专题06 导数及其应用小题（46题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题06 导数及其应用小题 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 构造函数的重要依据 5. 常见构造类型 6. 常见的指对放缩 ，，， 7. 常见的三角函数放缩 8. 其他放缩 ，， ，， ， ， 【金题】1．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 【金题】2．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）已知，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【金题】3．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知实数满足，若一定存在，使得成立，则的最小值为（） A．501 B．1012 C． D． 【金题】4．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为 【金题】5．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【金题】6．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【金题】7．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知不等式对恒成立，则当取最大值时， ． 【金题】8．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【金题】9．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）函数的极小值点为，则实数的值为 . 【金题】10．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．在内共有3个极值点 D．设，则在上共有12个零点 【金题】11．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【金题】12．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知在函数的图像上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则一定有：（    ） A． B． C． D． 单选+填空 1．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 2．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 3．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 . 7．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）设是定义在上的函数，为其导函数，且满足，则函数在处的切线方程为 ． 8．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（    ） A．2或 B． C． D．或 11．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 12．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024山东省实验5月模拟）使得不等式和均成立的一组，的值分别为 . 15．（2024山东省实验5月模拟）已知函数，若存在实数对满足且，则使得成立的正整数的最大值为 . 16．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知实数分别满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（山西大学附中2024届高三下月考）已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是 . 20．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是 ． 21．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 23．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知实数满足，则的值是 ，的取值集合是 . 25．（江西抚州临川一中2024届5月训练）已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 . 26．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点，若，则下列的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 多选 27．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解 C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解 28．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）已知函数，则（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增 C．不存在实数，使得 D．有最小值 29．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．函数在时，取得极小值 B．对于，恒成立 C．若，则 D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为 30．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．若恒成立，则 B．若与相切，则 C．存在实数使得和有相同的最小值 D．存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列 31．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点 C．函数必有2个零点 D． 32．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知正数a，b，c满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 33．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 34．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数存在极大值点和极小值点 C．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 D．对任意，不等式恒成立 35．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知，函数，则（    ） A．对任意，，存在唯一极值点 B．对任意，，曲线过原点的切线有两条 C．当时，存在零点 D．当时，的最小值为1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 导数及其应用小题 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 构造函数的重要依据 5. 常见构造类型 6. 常见的指对放缩 ，，， 7. 常见的三角函数放缩 8. 其他放缩 ，， ，， ， ， 【金题】1．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 【答案】 【分析】由导数的意义求出公切线的斜率，再根据斜率定义求出斜率值，然后由点斜式得到直线方程. 【详解】， 由题意可得切线的斜率存在，设为， 由导数的意义可得，即，又，所以切点， ，即，又，所以切点为， 又由斜率定义可得， 所以切点为，所以，即l的方程为. 故答案为：. 【金题】2．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）已知，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，将问题转化为比较，再转化为比较，构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性即可得答案. 【详解】由题知，， 记，则， 当时，，单调递增， 故比较的大小关系，只需比较的大小关系， 即比较的大小关系， 记，则， 记，则， 所以在上单调递减， 又， 所以，当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以. 故选：D 【点睛】本题难点在于构造函数，将问题转化成比较的大小关系后，需要再次构造函数，对学生观察问题和分析问题的能力有很高的要求，属于难题. 【金题】3．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知实数满足，若一定存在，使得成立，则的最小值为（） A．501 B．1012 C． D． 【答案】B 【分析】对式子进行变形得，构造函数，利用导数研究其单调性，结合图象可求得知的最大值. 【详解】已知.即. 令,则，当时，递增;时,递减. 又.结合图象知的最大值为. 即中的最大元素为2，故. 故选：B.    【金题】4．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为 【答案】ABD 【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A，B，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C，对构造函数再次求导，判断极值点即可. 【详解】易知，可得， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，故A，B正确， 若讨论方程的解，即讨论的零点， 易知，，故， 故由零点存在性定理得到存在作为的一个零点， 而当时，，显然在内无零点， 故只有一个零点，即只有一个解，故C错误， 令，故， 令，解得，而，， 故是的变号零点，即是的极值点， 故得导函数的极值点为，故D正确. 故选：ABD 【金题】5．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围. 【详解】根据题意可知的定义域为，所以， 又， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即， 所以是关于方程的两根， 所以，即，又，可得； 所以，由，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 【金题】6．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据奇偶性定义判断为奇函数，再应用导数研究的单调性，进而将目标式转化为在R上恒成立，求参数范围. 【详解】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，得在R上为增函数， 因为， 所以在R上恒成立，显然时满足； 当，需满足，解得， 综上，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：注意构造，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为在R上恒成立为关键. 【金题】7．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知不等式对恒成立，则当取最大值时， ． 【答案】 【分析】由题设，结合、的性质及不等式恒成立得，再构造，利用导数研究其最小值得且，根据不等式恒成立得，应用基本不等式求最大值并确定取值条件，此时有恒成立即可求参数值. 【详解】由，且， 若，则在趋向于0时，函数值趋向，而趋向于， 此时在上不能恒成立， 所以， 令且，则， 令且，则， 所以时，递减，时，递增， 则，且时，趋向正无穷时趋向正无穷， 故，使，即， 所以时，即，时，即， 所以上递减，上递增，则， 要使对恒成立，只需恒成立， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，结合已知参数比值取最大值，此时， 则，故，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先确定，再构造研究最小值，根据不等式恒成立有，结合等号成立条件求参数m的值. 【金题】8．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】因为， 因为对任意，都有，即恒成立， 令，易知在定义域上单调递增， 所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：，构造函数，从而将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出的最大值，即可求解. 【金题】9．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）函数的极小值点为，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】对求导，得到，由题设可得或，再进行检验，即可求解. 【详解】因为，得到， 由题知，解得或， 当时，， 由，得到或，由，得到， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，不合题意， 当时，，由，得到或，由，， 则f(x)在上单调递增，在上单调递减， 此时是极小值点，符合题意， 故答案为：. 【金题】10．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．在内共有3个极值点 D．设，则在上共有12个零点 【答案】ACD 【分析】对于A，根据函数的奇偶性的定义和判定方法即可判断;对于B，求得，结合，利用导数研究其单调性，可以判断的单调性；对于C，利用导数求得函数在的单调性,结合偶函数可知其极值点的个数；对于D，根据的周期及单调性以及函数零点的判定方法即可求解. 【详解】对于A，函数，定义域为R，关于原点对称， 且，故函数是偶函数，A正确； 对于B，由函数， 可得， 令， 则在单调递增， 又， 所以存在使得， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，故B错误; 对于C，由函数， 可得， 因为函数是偶函数，不妨设， 令，， 则在单调递增，又， 所以存在使得， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 在处取得极小值， 又函数是偶函数，所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，故C正确; 对于D，由， 函数周期为，不妨设， 由C可知，存在，在单调递减，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 又 所以在上有3个零点，故在上共有12个零点，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法技巧点睛：对于利用导数研究函数零点与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解; 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围; 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 【金题】11．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则问题化为存在唯一的整数解.作出h(x)图象，再作出的图象，数形结合即可解答. 【详解】令得，所以， 令， 则问题化为存在唯一的整数解， ∵，所以当时，单调递增，当单调递减； 又时，，，， 故可作出的图象： 过定点， 则当时，显然存在无数个整数解，不符题意； 当时，的唯一整数解可以为－1或1， 当时，如图： 则，解得； 当时，如图： 则，解得. 综上，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分离，构造函数，转化为存在唯一的整数解的问题，然后利用数形结合来得到答案. 【金题】12．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知在函数的图像上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则一定有：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过对称性将问题转化为函数零点的问题,因为变量比较多，构造的函数较复杂，我们可以先计算较较简单选项，然后利用排除法即可. 【详解】由题可知，原点为线段中点， 不妨设 则有 分别相加得 相当于方程，在有两个不同的根， 即在有两个不同的交点， 显然，即在有三个不同的交点， 得示意图 由示意图可知该函数需要在有两个极值点 求导 即导函数需要在有两个不同的零点， 当时，显然在单调递减，故不可能在有两个不同的零点， 当时， 有两个不同零点， 即在有两个不同的根 ， 此时 由韦达定理可知 得，故AD错误； 因为， ，故B错误； 由题可知，当时， 当时，，因为， 得,故C正确. 故选：C 【点睛】先利用对称性，将对称问题转化为交点问题，最后转化为函数零点问题，因为构造的函数有三个零点且连续，所以有两个极值点，然后讨论其导函数的解的问题，先判断简单选项，再判断复杂选项即可. 单选+填空 1．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 【答案】/ 【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可. 【详解】曲线的导数, ∵曲线在处的切线的倾斜角为, ∴, ∴, ∴ 故答案为: . 2．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 3．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用导数的四则运算与函数极值点的定义，举反例说明即可得解. 【详解】当时，，则在处导数为0，但0不是它的极值点； 当时，则在处导数不存在，但0是它的极值点； 因此题干两条件是既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可构造函数，利用函数单调性解不等式即可解得，再由集合间的关系可得结论. 【详解】设，该函数的定义域为， 则，所以在上单调递增. 由可得， 即，又在上单调递增，所以，解得， 显然集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据构造函数，并将不等式变形，利用单调性解不等式即可得结论. 5．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 6．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 . 【答案】 【分析】 分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值. 【详解】函数的图象在处的切线的切点为， 因为，所以切线斜率为，切线方程为，即， 设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为， 切线方程为，即， 由题，解得，，斜率为. 故答案为：. 7．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）设是定义在上的函数，为其导函数，且满足，则函数在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数的运算性质求出的解析式，再求出，可得函数在处的切线斜率和方程. 【详解】由可得： ，即为， 可设为， 所以，由，可得，解得：， 则，，， 则函数在处的切线方程为：， 化简可得：. 故答案为：. 8．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解. 【详解】设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，即， 所以，即， 所以，即. 由，可得，即，即， 所以，即. 综上所述，. 故选:B. 9．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用其单调性比较b与c的大小；令，利用其单调性比较a与c的大小. 【详解】解：令，则，当时，，故函数在上单调递减，故，即，即； 令，则，当时，，故函数在上单调递增，故，即，故，则， 故选：A. 10．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（    ） A．2或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值. 【详解】设切点坐标为，对函数，求导得， 切线方程化成斜截式为， 由题设知，显然，即， 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或， 即或，解得或. 故选：D. 11．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 12．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据余弦函数的单调性，得出，由的单调性即可判断选项. 【详解】因为，所以， 当时，，所以，即， 所以在上单调递减. 因为，是锐角的两个内角，所以，则， 因为在上单调递减， 所以， 故，故D正确. 同理可得，C错误； 而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定， 所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断. 故选：D 13．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 14．（2024山东省实验5月模拟）使得不等式和均成立的一组，的值分别为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，由变形构造函数，利用导数探讨函数的单调性，由此确定的取值区间，并验证成立即可. 【详解】不妨取，由，得， 令函数，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 取，由，得， 此时，取. 故答案为：（答案不唯一） 15．（2024山东省实验5月模拟）已知函数，若存在实数对满足且，则使得成立的正整数的最大值为 . 【答案】4 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，确定，的取值范围，再根据不等式确定的取值范围. 【详解】设函数，则，由得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，. 由，且，可得. 所以， 所以，所以正整数的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把化成，从而构造函数，再利用导数解决问题. 16．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与函数的图象有5个交点，可得是奇函数，可得只需直线与曲线有2个交点即可，即方程有2个实数根，利用导数即可求解. 【详解】由题意得，则直线与函数的图象有5个交点. 显然，直线与的图象交于点. 又当时，； 当时，； 当时，，所以是奇函数， 则必须且只需直线与曲线有2个交点即可， 所以方程有2个实数根.令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以. 又当趋近于0时，,所以； 当趋近于时，， 所以必须且只需. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法. 17．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 18．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知实数分别满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出. 【详解】由，则，令，， 则， 则当时，，故在上单调递增， 故， 即，即， 由，则， 令，，则， 令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，又，故恒成立， 故在上单调递增，故， 即，即，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小. 19．（山西大学附中2024届高三下月考）已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得，设切点，令，求得切点，求得点到直线的距离为时，，求得的值，结合图象，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点，令，即，解得，即切点 所以点到直线的距离为时，，解得或， 当时，函数图象与直线不相交（如图所示）， 从而函数的图象上只有一点到直线的距离为； 当时，函数图象与直线相交（如图所示）， 从而函数的图象上有且仅有三个点到直线的距离为， 综上，要满足点到直线的距离为的点有且仅有两个时，满足， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 20．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将恒有两个不同的极值点转化为直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得的取值范围. 【详解】函数恒有两个不同的极值点就等价于恒有两个不同的变号零点，即方程有两个不同的正实数根． 方程可变形为即． 令，则，， 即直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点． 记，则， 记，则， 所以在上单调递增． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增． 所以， ∴． 故答案为： 【点睛】利用导数研究函数的单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数间的关系，不能混淆. 21．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程得，令，可得，令，其中，作出函数的图象，根据原方程有三个不同的解可得出的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围． 【详解】由方程，可得， 令，则， 令，其中， 则，令，得， 列表如下： ， 0 单调递增 极大值 单调递减 函数的图象如下图所示： 由于方程有三个不同的解，而关于的二次方程至多有两个根． 当关于的二次方程有两根时，设这两根分别为，，不妨设， 则，①，或，②，或，，③， 由①得，解得， 在②中，将代入，可得， 所以，与矛盾，故无解； 在③中，，代入，可得， 所以，与矛盾，故无解． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 【点睛】方法点睛：解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 22．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 【答案】2 【分析】分离参数，利用换元法得，构造函数，利用导数研究其单调性结合隐零点求最小值即可. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 令，则上式化为， 构造函数， 则， 令， 所以在上单调递增，而在， 故使得，故在上单调递减，在上单调递增， 即， 所以， 又，故的最大整数值为2. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：分离参数并换元得，构造函数结合隐零点计算其最小值即可. 23．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解. 【详解】令，即， 当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为， 则当时，，即，不满足题意； 当时，令，则， 令，则，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，有最小值， 又对恒成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以，即，当且仅当，时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号. 24．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知实数满足，则的值是 ，的取值集合是 . 【答案】 【分析】令，对求导，可证得，再结合，即可知，，解方程可得答案. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，所以，当时取等号. 所以， 即，而， 又因为，所以，， 即，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于令，对求导，可证得，再结合，即可知，，解方程可得答案. 25．（江西抚州临川一中2024届5月训练）已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】对求导，利用导数判断其单调性和最值，令，整理得可得，构建，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，可得， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 作出的图象，如图所示， 对于关于x的方程， 令，可得，整理得， 且不为方程的根， 可知方程等价于， 若方程有三个不相等的实数解， 可知有两个不同的实数根， 且或或， 构建， 若，则，解得； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 26．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点，若，则下列的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义用x表示a，再数形结合探求出的关系，然后逐项判断作答. 【详解】依题意，由得：，即， 令，，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 函数有三个零点，即直线与函数与函数的图象共有三个公共点， 在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，它们有公共点，如图， 因此直线必过点，令直线与函数的图象另一交点为，与函数 的图象另一交点为，显然，且有， 由得：，即，而，于是， 由得：，即，而，于是， 由得：，即，D正确； 对于A，，A错误； 对于B，令，，函数在上递增， 即有，因此，则， 而，从而，B错误； 对于C，因为，若成立，则必有， 令，，当时，递减， 当时，递增，而， 因此函数的两个零点，即方程的两个根分别在区间内， 令，，当时，递减， 当时，递增，而， 因此函数的两个零点，即方程的两个根分别在区间内， 显然直线与函数和的图象的交点有4个，不符合题意， 所以，即不正确，C错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 多选 27．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解 C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解 【答案】ABC 【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可. 【详解】因为，. 由， 设，因为函数定义域为，且，， 可知方程一定有实数根，故A正确； 由或. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 且为极大值，为极小值. 做出函数草图如下：    观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解， 故BC正确； 又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误. 故选：ABC 28．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）已知函数，则（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增 C．不存在实数，使得 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】首先求导来研究的单调性最值情况，结合复合函数单调性可得的单调性、最值情况，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】由得，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数， 因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致， ，由得，列表如下： - 0 + ↘ ↗ 由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值）， 所以，在上单调递增，在上单调递增，即B正确； 在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是找到已知函数的同构函数，由此即可顺利得解. 29．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．函数在时，取得极小值 B．对于，恒成立 C．若，则 D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为 【答案】BCD 【分析】对求导，利用导函数的符号判断在上的单调性判断AB，构造，结合AB中结论求解的单调性判断CD. 【详解】选项A：由题意可得， 所以当时，在单调递减， 所以在上不存在极值点，A说法错误； 选项B：因为且由A可知在单调递减， 所以，恒成立，B说法正确； 选项C：令，，则， 由B可知在恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，，即，C说法正确； 选项D：由C可知当时，， 所以对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为，D说法正确； 故选：BCD 30．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．若恒成立，则 B．若与相切，则 C．存在实数使得和有相同的最小值 D．存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列 【答案】ACD 【分析】对于A：原题意等价于在内恒成立，令，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B：对求得，结合导数的几何意义列式分析可得，代入检验即可；对于C：取，利用导数求最值，进而分析判断；对于D：结合选项C可知：的图象，设交点为，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为，进而可得结果. 【详解】对于选项A，若，则，且，可得， 可知原题意等价于在内恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 由题意可得，整理得， 显然不满足上式，故B错误； 对于选项C：例如，构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知的最小值为； 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知的最小值为， 可知和有相同的最小值1，故C正确； 对于选项D：结合选项C可知：的图象大致如下： 设交点为，易知， 由图象可知：当直线与曲线和曲线共有三个不同的交点时，直线必经过点，即. 因为，所以，即. 令，得，解得或， 由得. 所以当直线与曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为. 因为，即，所以成等差数列，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 31．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点 C．函数必有2个零点 D． 【答案】BD 【分析】由题意，对函数进行求导，结合，得到函数的单调性，进而可判断选项A和选项B，利用，可得，对，和这三种情况进行分析，进而可判断选项C，结合函数的单调性，将与的关系进行整理，进而可判断选项D． 【详解】， 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数， 故是函数的极小值点，故错误，B正确； 又，此时，若，此时函数可能有1个零点或者2个零点， 若，此时函数有且仅有一个零点， 若，此时函数没有零点，故C错误； 在上为增函数，则，即， 化简得，故D正确. 故选：BD. 32．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知正数a，b，c满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】把由对数的运算用表示，再由指数函数的性质可得B正确，由对数函数的性质可得A错误；作差之后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得C和D正确； 【详解】正数a，b，c满足，则， B：因为，所以，故B正确； A：，当时，，而，此时，故A错误； C：， 构造，则， 显然，所以在上单调递增， 所以， 所以，故C正确； D：， 构造函数，则， 设，则在上恒成立，即递增， 又因为，所以，即在上单调递增， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题CD关键在于构造函数，利用导数分析单调性和最值，再求出最小值判断. 33．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【分析】根据题意分和两种情况讨论， 当时，有，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出结论验证；当时，令，求导判断出函数存在零点设为，即可判断，最后综合得出的取值范围. 【详解】依题意，在上恒成立，当时，， 令，则，， 故当时，，当时，， 故，故，则不等式成立； 当时，令，因为， ，故在内必有零点，设为，则， 则，故，不合题意，舍去； 综上所述，. 故选：AB. 【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论； 适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值. 34．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数存在极大值点和极小值点 C．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 D．对任意，不等式恒成立 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义可判断选项A；先利用导数判断函数在上的单调性，求出最值，再结合奇函数的性质作出的大致图象可判断选项B；先将函数有三个不同的零点转化为函数与的图象有三个不同的交点，再利用函数的大致图象可判断选项C；结合函数的大致图象求出，再根据即可判断选项D. 【详解】因为；当时，， 所以为奇函数， 则关于点对称，故选项正确； 当时，. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减. 又由为奇函数，，，，可得的大致图象如下所示， 故选项B正确； 因为函数有三个不同的零点， 所以函数与的图象有三个不同的交点. 由图象可得：实数的取值范围是，故选项C错误； 因为 所以结合函数的图象可得：当时，，. 所以对任意，，故选项D正确. 故选ABD. 35．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知，函数，则（    ） A．对任意，，存在唯一极值点 B．对任意，，曲线过原点的切线有两条 C．当时，存在零点 D．当时，的最小值为1 【答案】ABD 【分析】对于A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B，设切点为，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D，由于为偶函数，故先判断时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断的单调性，进而求得函数最值. 【详解】对于A，由已知，函数，可得， 令， 则即在R上单调递增， 令，则， 当时，作出函数的大致图象如图： 当时，作出函数的大致图象如图： 可知的图象总有一个交点，即总有一个根， 当时，；当时，， 此时存在唯一极小值点，A正确； 对于B，由于，故原点不在曲线上，且， 设切点为，则， 即，即， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 当时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大， 当时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大， 故在和上各有一个零点，即有两个解， 故对任意，，曲线过原点的切线有两条，B正确； 对于C，当时，，， 故，该函数为R上单调增函数，， 故，使得，即， 结合A的分析可知，的极小值也即最小值为， 令，则，且为增函数， 当时， ，当且仅当时取等号， 故当时，，则在上单调递增， 故，令，则， 此时的最小值为，无零点，C错误； 对于D，当时，为偶函数，考虑视情况； 此时，， 结合A的分析可知在R上单调递增，， 故时，，则在上单调递增， 故在上单调递减，为偶函数， 故，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$