专题05 指数、对数、幂函数（25题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题05 指数、对数、幂函数 1. 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 2. 幂函数 恒过定点 （1） 幂函数的单调性 （2） 幂函数的奇偶性 【金题】1．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【金题】2．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）若且，则 A． B． C． D． 【金题】3．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设，，，则（   ） A． B． C． D． 【金题】4．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：） A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【金题】6．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 单选+填空 1．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（    ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3） A．105 B．107 C．1012 D．1015 2．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）设点A，B在曲线上两点，且中点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 6．（2024广东华南师大附中综合测试）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（    ）（参考数据：） A．3h B．4h C．5h D．6h 7．（福建福州一中2024届高三5月模拟）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 8．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知函数．则 ；若，则实数m的值为 ． 9．（2024届福建厦门一中最后一卷）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 10．（贵州贵阳一中2024届高三一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 多选 11．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知函数，则（    ） A．的最小值为1 B．， C． D． 【附加联考模拟】 1．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·一模）设函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北保定·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 指数、对数、幂函数 1. 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 2. 幂函数 恒过定点 （1） 幂函数的单调性 （2） 幂函数的奇偶性 【金题】1．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 【金题】2．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）若且，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误； 对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法： ， 从而，选项B正确； 对于选项C：由，，知C错误； 对于选项D：可知，从而选项D错误； 故选B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型. 【金题】3．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数性质知，，，然后由基本不等式证明，再用作差法比较大小后可得． 【详解】由对数函数性质知，即，同理， 又，即， ， 所以，即，综上， 故选：D． 【金题】4．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：） A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为，且这次地震的标准地震振幅为， 可得. 故选：B. 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】D 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解． 【详解】由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以． 故选：D． 【金题】6．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可. 【详解】绘制出的图像， 当时，，当时，. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 单选+填空 1．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（    ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3） A．105 B．107 C．1012 D．1015 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可. 【详解】64个格子放满麦粒共需， 麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒， ， 故选：C. 2．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【详解】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象，    可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象，    可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系； （2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 3．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 即在上为增函数且函数值大于， 由函数，则，故， 则的取值范围是. 故选：C. 4．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）设点A，B在曲线上两点，且中点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，由给定条件列出方程组，求解方程组并求出. 【详解】由点A，B在曲线上两点，设，， 则有 ，即，解得  或， 因此，所以. 故选：D 5．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】 由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得. 【详解】根据题意，将，代入可得； 将，代入可得； 所以可知. 故选：D 6．（2024广东华南师大附中综合测试）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（    ）（参考数据：） A．3h B．4h C．5h D．6h 【答案】A 【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可 【详解】由题意可知， 所以， 又因为， 所以， 所以 ， 比较接近3， 故选：A 7．（福建福州一中2024届高三5月模拟）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得． 【详解】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等， 由题意得：，整理得：， 两边取常用对数得：，即， 即， 所以，即， 所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等． 故选：C． 8．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知函数．则 ；若，则实数m的值为 ． 【答案】 或 【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函数值，即可求得结果. 【详解】因为，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，满足题意； 综上：的值为或. 故答案为：；或. 9．（2024届福建厦门一中最后一卷）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 【答案】A 【分析】利用取对数法进行化简求解即可． 【详解】万年用掉个二维码， 大约能用万年， 设，则， 即万年． 故选：A． 10．（贵州贵阳一中2024届高三一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】D 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解． 【详解】由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以， 故选：D. 多选 11．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知函数，则（    ） A．的最小值为1 B．， C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD. 【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确． 因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误． 因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ACD 【附加联考模拟】 1．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，且为减函数， 若，则在为减函数，则函数为增函数，故舍去； 若，则为增函数，因为函数在区间上是减函数， 故. 故的取值范围是. 故选：D. 2．（2025·江西·一模）设函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用复合函数和对数函数的性质转化为二次函数单调性的问题，建立不等式组求解取值范围，再求最值即可. 【详解】令，， 则可视为由和构成的复合函数， 由对数函数性质得在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数性质得在区间上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为直线， 显然开口向上，故，解得， 则的最大值为4，故C正确. 故选：C 3．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， ∴在R上单调递增，则需满足， 解得， 即a的取值范围是， 故选：B． 4．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过和两类情况结合指数型复合函数的单调性，讨论即可； 【详解】设，则， 由复合函数的单调性可知当时，在区间上单调递增， 所以只需，则，与矛盾； 当时，在区间上单调递减， 所以，即． 故的取值范围是． 故选：B 6．（2025·河北保定·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算性质得到有解，求得的值域，即可求解； 【详解】由题意可得， 即， 可转化为方程在定义域内有解， 由对数函数的定义域可知，又，所以， 所以， 令，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以，又， 所以. 故选：B. 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 8．（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则， ∵，∴，解得， 当时，，，不合题意， ∴的取值范围是. 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$