专题03 基本不等式及不等式综合（27题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题03 基本不等式及方程、不等式综合 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 推广公式： 5. 权方和不等式：若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀) 【金题】1．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【金题】2．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【金题】3．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）若且，则 A． B． C． D． 【金题】4．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设，，，则（   ） A． B． C． D． 1．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）设且，则的最大值为 3．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D．15 4．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 5．（2024届福建厦门一中最后一卷）（多选）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（湖南师大附中2024二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．（贵州贵阳一中2024届高三一模）某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024届福建厦门一中最后一卷）（多选）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 10．（2024广东华南师大附中综合测试）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 . 11．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ． 12．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）若实数，满足，则的最小值为 ． 13．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（山东省实验2024届高三二模）已知函数，若实数满足，则的最大值为 . 15．（山西大学附中2024届高三下月考）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若a，b为正实数，，则 B．若a，b，m为正实数，，则 C．若，则“”是“”的充分不必要条件 D．不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是 16．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知正实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知，都是正实数，若向量，，且满足，则的最小值是（    ） A．50 B． C． D． 19．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）（多选）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）（多选）已知，分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（山东青岛二中二模）（多选）已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 22．（广东东莞高级中学三模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．    23．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）方程所有正根的和为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式及方程、不等式综合 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 推广公式： 5. 权方和不等式：若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀) 【金题】1．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【金题】2．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可． 【详解】在等比数列中，由，得，即， 则，则， 当且仅当，即时取等号，此时，而， 由对勾函数的性质知，当时，； 当时，，又， 所以当时，取得最小值为. 故答案为： 【金题】3．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）若且，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误； 对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法： ， 从而，选项B正确； 对于选项C：由，，知C错误； 对于选项D：可知，从而选项D错误； 故选B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型. 【金题】4．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数性质知，，，然后由基本不等式证明，再用作差法比较大小后可得． 【详解】由对数函数性质知，即，同理， 又，即， ， 所以，即，综上， 故选：D． 1．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误； 对于B：当、，满足，但是，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确 对于D：当、，满足，但是，故D错误. 故选：C 2．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）设且，则的最大值为 【答案】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，则， 解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为， 则， 即的最大值为 故答案为： 3．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】记，由题意可知，易得，再利用基本不等式，得出其最值. 【详解】如图所示：,记,则， ， ， 当且仅当，即时，取等号. 所以四边形的面积的最大值为. 故选：D    4．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】如图所示，由题意知， 因为是的平分线且，， 可得， 即，即，且，， 则， 当且仅当，即也即时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 5．（2024届福建厦门一中最后一卷）（多选）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;  由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 6．（湖南师大附中2024二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据指数函数的性质证明C. 【详解】取，，满足，但是推不出，故排除A； 取，，满足，但是推不出，故排除B； 取，，满足，但是推不出，故排除D； 由，，可推出，即，即，故充分性成立. 故选：C. 7．（贵州贵阳一中2024届高三一模）某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据圆锥与圆柱的几何性质，可得到答案. 【详解】由题意作图如下 由题设可知该圆锥的高， 设在该圆锥中内接一个高为的圆柱， 该圆柱的底面半径为，由，得， 即，所以， 故该圆柱的侧面积 当且仅当，即时，等号成立， 故圆柱的侧面积的最大值为. 故选：C 8．（2024届福建厦门一中最后一卷）（多选）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;  由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 9．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】将上述式子转化为两点间的距离,在平面直角坐标系中，描出各点，根据位置关系，得出最小值.根据连不等式成立的条件，找出唯一解即可. 【详解】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 10．（2024广东华南师大附中综合测试）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可． 【详解】因为，所以, 所以， 当且仅当即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 11．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ． 【答案】2 【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论. 【详解】由， ①当时，， 而，可得至少有一个不小于2, 则的最小值为2； ②当时， ， 而，可得至少有一个不小于2， 的最小值不小于2. 综上，的最小值为2. 故答案为：2 12．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】. 【分析】由，得出构成成等比数列，求得，进而结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】由题意，实数，满足， 可得构成成等比数列， 设公比为，则，整理得，解得， 可得，所以， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最值问题的求解，其中解答中根据题设条件，合理转化为等比数列，利用等比数列的性质求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及分析问题和解决问题的能力． 13．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】作出曲线对应的曲线，将看作曲线C上的点到直线的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最大值，即可求得答案. 【详解】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称； 由于时，曲线的方程为，即， 故结合曲线对称性，作出曲线C如图： 而表示曲线C上的点到直线的距离， 可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上， 当时，曲线的方程为，即， 此时d的最小值为， 当时，曲线的方程为，即， 此时d的最大值为， 故的最小值与最大值之和为， 所以的最小值与最大值之和为， 故选：C． 14．（山东省实验2024届高三二模）已知函数，若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先证明，进而可得，设，则直线与椭圆有交点，联立方程，则，即可得解. 【详解】由题意，， 则，又， 所以，即， 设，则直线与椭圆有交点， 联立，得， 则，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．（山西大学附中2024届高三下月考）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若a，b为正实数，，则 B．若a，b，m为正实数，，则 C．若，则“”是“”的充分不必要条件 D．不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用作差法即可求解AB,结合充分不必要条件，即可根据不等式的性质求解CD. 【详解】对于A，因为，为正实数，， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，为正实数，，所以，所以，故B错误； 对于C，由，可得或，故由可得， 但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由可得，由于成立的充分不必要条件是， 所以或，解得，故D正确． 故选：ACD 16．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，点在直线上，点在曲线上，再转换为直线上的点曲线上的点的距离平方，利用参数方程的方法求解即可 【详解】由题意得，即点在直线上，点在曲线上，表示两点距离的平方，不妨设，则到直线的距离为，故的最小值为，当时取等号. 故选：A 17．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知正实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原问题可转化为直线与椭圆在在第一象限有交点，利用数形结合及直线与椭圆相切即可求解. 【详解】    原问题可转化为直线与椭圆在在第一象限有交点， 当直线与椭圆交于上顶点时，， 数形结合可得，； 联立，化简得， 令，解得（负值舍去）， 所以. 故选：C. 18．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知，都是正实数，若向量，，且满足，则的最小值是（    ） A．50 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算即可得到，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，，且， 则，所以， 化简可得， 整理可得，因为 ，都是正实数， 所以，即， 所以，解得或（舍）， 所以，即， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A 19．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）（多选）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 20．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）（多选）已知，分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，通过对数的换底公式变形，再用基本不等式，即可判断；对于B，通过对数的运算化简，再由对数函数的单调性缩小，再用基本不等式，即可判断；对于C，设出，利用其单调性，即可判断；对于D，利用基本不等式，即可判断. 【详解】对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以， 故B正确； 对于C，设，则，所以单调递增， 因为，所以，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 21．（山东青岛二中二模）（多选）已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，进而得到只需即可，再依次判断四个选项即可. 【详解】要满足，只需满足， 其中正实数，，，且，，，为正数， ， 当且仅当，即时，等号成立， 观察各选项，故只需，故只需即可， A选项，，，时，，A错误； B选项，，，时，，B正确； C选项，，，时，，C正确； D选项，，，时，，D错误. 故选：BC. 22．（广东东莞高级中学三模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】    如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大， 此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和. 由正六边形的性质和对称性知，，， 在中，由余弦定理可得： ， 得， 由基本不等式可知，则， 故， 因，，解得， 当且仅当时等号成立， 故， 又正六边形的面积， 所以折叠后的面积最大值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解. 23．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）方程所有正根的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，令，得到或讨论求解. 【详解】解：， 令，则，即， 所以或， 当时，即， 所以， 因为，所以， 当时，即， 则， 因为是奇数，所以也是奇数，不成立； 所以方程所有正根的和为：, 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$