第四单元易错易混专项04 正反比例综合生活实践奥数思维22题-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

第四单元易错易混专项04 正反比例综合生活实践奥数思维22题 一、填空题 1．在上午某一时刻，身高1.7米的小桐在地面上的影子长3.4米，小桐测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米长的影子落在墙上，由此可知，旗杆高( )米。 2．下表是两辆自行车的相关数据，同样是蹬一圈，( )自行车行的路程远。 参数 前齿轮齿数/个 后齿轮齿数/个 车轮直径/ 甲自行车 48 16 70 乙自行车 32 16 60 3．为了庆祝六一节每张卡片减价20%，用同样多的钱可以多买6张，原来可以买( )张卡片。 4．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 5．从甲城到乙城，客车需要6小时，货车需要9小时。现在两车同时从甲、乙两城相对开出，相遇时客车正好行180千米，甲、乙两城相距( )千米。 6．甲、乙两人从武汉长江大桥的两端出发，相向而行，乙先走556.8米，然后甲从桥的另外一端开始出发。已知甲、乙两人的速度是3∶2，甲、乙相遇时所走的路程是2∶3，问武汉长江大桥全长( )米。 7．如图（单位：cm），已知平行四边形的面积是63平方厘米，图中乙三角形的面积是甲三角形的，丙三角形的面积是（ ）平方厘米。 8．小丁去买笔和作业本，笔1元/支，作业本0.5元/本。第一次他买笔花的钱与买作业本花的钱相同，第二次他买笔的数量与买作业本的数量相同，若他第一次与第二次花的钱一样多，则他每次至少花 元。 9．甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 10．下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 二、解答题 11．甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地50千米。A，B两地相距多少千米？（用比例解答） 12．一列匀速行驶的火车通过一架长1000米的桥梁用了30秒，穿越长1920米的隧道用了50秒，这列火车每秒行多少米？车身长多少米？ 13．已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？ 14．学校举行运动会，小明、小刚、小龙都参加竞走的项目。当小明到达终点时，小刚离终点还有，小龙离终点还有。如果小明、小刚、小龙的速度不变，那么当小刚到达终点时，小龙离终点还有多少米？（得数保留两位小数） 15．昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答） 16．某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？ 17．甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行。甲行完全程要6小时，甲、乙相遇时所行的路程比是，乙行完全程要多少小时？（甲、乙速度均保持不变） 18．韩昊上学时每分钟走75米，放学时每分钟走90米，这样他上学和放学回家共用了22分钟，从韩昊家到学校有多少米？（用比例知识解答） 19．妈妈买回一根限挂10千克的弹簧秤，小刚感到很好奇，动手试了试，发现弹簧挂上物体后长度会伸长。小刚又试了试，还发现这个弹簧秤若挂上4千克的物体，则弹簧长22厘米；若挂上6千克的物体，则弹簧长23厘米。 （1）若不挂物体，则这根弹簧长多少厘米？ （2）想使弹簧比不挂物体时伸长20%，应挂上多少千克？ 20．如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 21．如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 22．把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。 底面积/cm2 5 10 20 30 60 水面高度/cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成（    ）比例关系。 （3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是（    ）厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四单元易错易混专项04 正反比例综合生活实践奥数思维22题 答案解析 1．【解题思路】在同一时刻物体实际高度与影长成正比例，先求出小桐身高与影长的比值为，再根据旗杆有2米长的影子落在墙上，墙上的2米投射到地面上为2÷＝4米，所以旗杆在地面上的影长一共是16＋4＝20米；设旗杆的实际高度是米，列出正比例方程，并求解。 【详细解答】＝ 墙上2米的影子在地面上的影长是：2÷＝4（米） 旗杆在地面的影长一共是：16＋4＝20（米） 解：设旗杆高米。 ＝ 3.4＝1.7×20 3.4＝34 ＝34÷3.4 ＝10 【考点点评】掌握正比例的意义，找到题目中的两种相关联的量成正比例关系，列出正比例方程是解题的关键。 2．【解题思路】蹬一圈自行车行的路程＝车轮周长，由此可见，当后齿轮齿数相同时，车轮周长越长、前齿轮齿数越多，蹬一圈自行车行的距离就越远，由此解答即可。 【详细解答】蹬一圈自行车行的路程＝车轮周长，甲自行车与乙自行车的后齿轮齿数相同，甲自行车的前齿轮齿数比乙自行车多，甲自行车的车轮直径比乙自行车大，也就是甲自行车的车轮周长比乙自行车长，所以同样是蹬一圈，甲自行车行的路程远。 【考点点评】明确“蹬一圈自行车行的路程＝车轮周长”是解答本题的关键。 3．【解题思路】先设原来卡片的单价是1，把原来卡片的单价看作单位“1”，现在每张卡片减价20%，则现在每张卡片的价格是原来的（1－20%），用原价乘（1－20%），求出现在每张卡片的价格； 根据“用同样多的钱”可知，总钱数不变，即单价×数量＝总价（一定），乘积一定，则单价和数量成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详细解答】设原来卡片的单价是1，现在卡片的单价是： 1×（1－20%） ＝1×0.8 ＝0.8 解：设原来可以买张卡片。 1×＝0.8×（＋6） ＝0.8＋4.8 －0.8＝4.8 0.2＝4.8 ＝4.8÷0.2 ＝24 原来可以买24张卡片。 【考点点评】先确定总钱数不变，再根据单价、数量、总价之间的关系，得出单价和数量成反比例关系，据此列出相应的比例方程。 4．【解题思路】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【详细解答】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【考点点评】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 5．【解题思路】从甲地到乙地客车需要6小时，货车需要9小时，因为路程一定，速度和时间成反比例；客车和货车的速度比为9∶6；两车分别从两地相对开出，相遇时时间一定，客车和货车的路程成正比例，客车和货车的路程比是9∶6；客车行了全程的，用客车行驶的路程180÷，即可求出甲、乙两地的路程。 【详细解答】客车速度∶货车速度＝9∶6 180÷ ＝180÷ ＝180× ＝300（千米） 【考点点评】本题考查对正比例、反比例的应用，关键明确：路程一定，速度和时间成反比例；时间一定，距离和速度成比例。 6．【解题思路】从甲出发到两人相遇这段时间里，甲、乙两人的路程比是3∶2；而甲、乙两人总的路程比是2∶3；设甲的路程是3x，那么乙的路程是2x加556.8，根据总的路程比列方程求解。 【详细解答】解：设甲的路程是3x； （米） 所以武汉长江大桥全长1670.4米。 【考点点评】本题考查的是比例行程问题，当时间一定时，速度比与路程比相同。 7．【解题思路】甲三角形的面积是平行四边形的一半，乙、丙的面积和也是平行四边形的一半，而乙、丙两个三角形的高相等，那么三角形的面积比等于对应的底边长度之比。 【详细解答】（平方厘米） （平方厘米） 【考点点评】本题考查的是三角形中等高模型，也就是当两个三角形的高相等的时候，其面积比等于对应的底边长度之比，实则是正比例关系的应用。 8．【解题思路】根据总价＝单价×数量，如果第一次他买笔花的钱与买作业本花的钱相同，说明他们的单价比等于数量的反比，也就是笔和作业本的数量比为0.5∶1，也就是1∶2；假设第一次买笔a支，买作业本2a本；第二次买笔b支，买作业本b本，所以a＋0.5×2a＝b＋0.5b，也就是2a＝1.5b，因为a和b为整数，要使a和b最小，则b最小为4，a最小为3，代入2a或1.5b可知，最少花的钱数。 【详细解答】总价相等，他们的单价比等于数量的反比； 笔和作业本的数量比为 0.5∶1 ＝（0.5×2）∶（1×2） ＝1∶2 假设第一次买笔a支，买作业本2a本；第二次买笔b支，买作业本b本，可得 a＋0.5×2a＝b＋0.5b a＋a＝b＋0.5b 2a＝1.5b 因为a和b为整数，要使a和b最小，则b最小为4，a最小为3； 2×3＝6（元） 他每次至少花6元。 【考点点评】解答本题的关键是找到第一次购买笔和作业本的数量关系。 9．【解题思路】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5，可以设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，最后甲乙的高度相等。列方程解答即可。 【详细解答】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5。 解：设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，则： 10＋＝ ＝10 ＝5 此时甲乙的水深都是10＋＝10＋3×5＝10＋15＝25（厘米） 【考点点评】理解体积相等、圆柱的底面积和高成反比，底面积是5∶3，那入注入的水的深度就是3∶5。理解底面积和高之间成反比是解答本题的关键。 10．【解题思路】因为两个是相互交合的齿轮，即转动齿数相等，所以转动的周数和每周齿数成反比，由此列出比例解决问题。 【详细解答】3dm＝30cm 解：设小齿轮要转动x周。 100×3.14×2×30＝3.14×2×3×x 100×2×30＝2×3×x 100×30＝3×x 3000＝3x x＝1000 【考点点评】答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，另外还要注意单位的统一。 11．【解题思路】题目可以理解为：甲行驶50千米时，乙行驶了30千米，则甲乙的速度比为50∶30；又因为当时间相同时，路程之比等于速度之比，假设AB两地相距x千米，可列比例：x∶（x－30）＝50∶30求解即可。 【详细解答】解：设AB两地相距x千米，由题意得： x∶（x－30）＝50∶30 x∶（x－30）＝5∶3 3x＝5（x－30） 3x＝5x－150 5x－3x＝150 2x＝150 x＝75 答：AB两地相距75千米。 【考点点评】当思考起来感觉困难时，可以再从题目里继续提取隐藏的条件：即甲车超过B地50千米的用时，与乙车行驶30千米用时是相等时；再结合路程速度时间三者间的关系可得比例。 12．【解题思路】设车身长x米，根据路程÷时间＝速度（一定），列出正比例算式，求出x的值是车身长，（桥梁长＋车身长）÷通过时间＝火车速度，据此分析。 【详细解答】解：设车身长x米。 （1000＋x）∶30＝（1920＋x）∶50 30×（1920＋x）＝（1000＋x）×50 57600＋30x＝50000＋50x 20x÷20＝7600÷20 x＝380 （1000＋380）÷30 ＝1380÷30 ＝46（米） 答：这列火车每秒行46米，车身长380米。 【考点点评】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。 13．【解析】第一次，当乙到达C点时，设乙走过的路程是x，可以表示出此时甲走过的路程，以及甲距离C点的距离，可以表示出AC的距离；第一次，当甲到达C点时，甲走过的距离仍为x，可以表示出乙此时走过的距离，以及乙距离C点的距离，可以表示出AC的距离，根据AC的距离相等列方程求解。 【详细解答】解：设BC的距离是x千米； 10分钟＝小时 （千米） 答：AB距离是240千米。 【考点点评】本题考查的是比例行程问题，当时间一定时，路程比与速度比相同。 14．【解题思路】当小明到达终点时，小刚离终点还有，小龙离终点还有，即相同时间，小刚走了，小龙走了，因为三人速度不变，所以相同时间小刚与小龙走过的路程比是固定的，即。因此当小刚到达终点时，即小刚走过的路程是时，设小龙离终点还有，可以列出比例，再由比例的基本性质可以解出x的值，结果保留两位小数即可。 【详细解答】解：设小龙离终点还有。 答：小龙离终点还有。 【考点点评】解答本题的关键是要抓住三人速度不变的条件。 15．【解题思路】根据题意，实际每天比计划少生产10%，把计划每天生产水泥的吨数看作单位“1”，则实际每天生产水泥的吨数是计划每天的（1－10%），单位“1”已知，用乘法计算，求出实际每天生产水泥的吨数； 这批水泥的总吨数不变，根据每天生产的吨数×天数＝水泥的总吨数（一定），积一定，则每天生产的吨数和天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详细解答】解：设这批水泥实际生产了天。 12×（1－10%）＝12×45 12×0.9＝540 10.8＝540 ＝540÷10.8 ＝50 答：这批水泥实际生产了50天。 【考点点评】①考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出实际每天生产水泥的吨数； ②找出相关联的两种量，判断相关联的两种量乘积一定，然后根据反比例的意义列出反比例方程。 16．【解析】增加两台机器，则只需要用规定时间的， 把规定时间分为8份，即原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原来有14台机器；减少2台机器剩余的12台机器要多工作小时，则原来计划的工作时间为4小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以2台机器要28个小时完成。 【详细解答】原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成； （台） （小时） （小时） 答：由2台机器完成这项工程，需要28小时。 【考点点评】本题考查的是工程问题中的比例问题，当工作总量是不变时，工作时间与工作效率成反比例关系。 17．【解题思路】甲、乙相遇时所用的时间是相同的，而路程比是，所以甲、乙的速度比是。当甲、乙两人行相同的路程时（用a表示），所需时间的比是，化简得。甲行完全程需6小时，则乙行完全程需（时）。 【详细解答】甲、乙相遇时的路程比 甲、乙两人的速度比 甲、乙两人行完全程的时间比   （时） 答∶乙行完全程要9小时。 【考点点评】解答本题要善于从变化的量中找到不变的量，比如相遇时路程比已知，因为相遇时所耗时间相同，及速度之比就等于路程之比；再由路程一定，得出甲乙二人行完全程的时间之比与速度成反比，最后可求出乙行完全程需要的时间。 18．【解题思路】设从韩昊上学用x分钟，放学用22－x分钟，根据上学和放学走的路程一定，列出反比例算式，解答即可。 【详细解答】解：设从韩昊上学用x分钟，放学用22－x分钟。 75x＝90（22－x） 75x＝1980－90x 165x÷165＝1980÷165 x＝12 12×75＝900（米） 答：从韩昊家到学校有900米。 【考点点评】本题考查了反比例应用题，积一定是反比例关系。 19．【解题思路】（1）由于＝弹簧每伸长1厘米可挂重物的质量（一定），所以弹簧伸长的长度与可挂重物的质量成正比，也就是每两次弹簧伸长的长度的比等于所挂重物质量的比；挂上4千克的物体，则弹簧长22厘米；若挂上6千克的物体，则弹簧长23厘米，用弹簧长度差除以物体重量差即可得出弹簧每挂1千克的重物伸长的长度；据此可求出不挂物体时弹簧的长度； （2）首先算出弹簧比不挂物体时伸长20%的长度，除以每挂1千克伸长的长度，就是需要挂的物品的重量。 【详细解答】（1）（23－22）÷（6－4） ＝1÷2 ＝0.5（厘米） 22－4×0.5 ＝22－2 ＝20（厘米） 答：若不挂物体，则这根弹簧长20厘米。 （2）20×20%÷0.5＝8（千克） 答：想使弹簧比不挂物体时伸长20%，应挂上8千克。 【考点点评】此题首先判定两种量成正比例，再求出弹簧原本的长度是解答问题的关键。 20．【解题思路】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【详细解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【考点点评】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 21．【解题思路】（1）因为C点（，45）也在l这条直线上，可以与A点或B点组成比例方程，并求解，求出的值。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （3）根据“等腰三角形的两条腰相等”以及点D的位置是（z，4），根据数对的知识可知，点D与点A在同一行，由此得出点D在图中的位置； 因为这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥；由点A、点B的数对，得出横轴、纵轴每格表示的长度，进而得出圆锥的底面半径和高，然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥的体积。 【详细解答】（1）＝ 解：4＝8×45 4＝360 ＝360÷4 ＝90 如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝90。 （2）＝＝…＝2（一定） 那么直线l上的点P（，），＝2，比值一定，和成正比例。 （3）如下图，点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形ABD。 横轴的每格表示： （20－8）÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 纵轴的每格表示： （10－4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆锥的底面半径：3×4＝12（厘米） 圆锥的高：3×2＝6（厘米） ×3.14×122×6 ＝×3.14×144×6 ＝904.32（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是904.32立方厘米。 【考点点评】（1）列出比例方程，并解比例。 （2）本题考查正比例的意义及辨识方法，也可以通过图象判断两种量是否成正比例。 （3）先根据等腰三角形的特征以及数对的知识找到D点的位置，再判断旋转而成的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式解答。 22．【解题思路】（1）根据统计表中的数据在方格图中描出各点，再用平滑的曲线顺次连接。 （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （3）先根据V＝Sh，用统计表中的任意一组数据求出水的体积，水的体积不变，杯子的底面积变成50平方厘米时，根据h＝V÷S，求出此时杯子中水面的高度。 【详细解答】（1）如图： （2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300 乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。 （3）5×60÷50 ＝300÷50 ＝6（厘米） 底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。 【考点点评】本题考查反比例关系的辨识方法、画反比例关系的图象以及利用反比例关系解决实际问题。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$