热点必刷题04 二次函数综合解答题压轴30题（4类题型30题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

热点必刷题04 二次函数综合解答题压轴30题 一、二次函数图象与性质及其应用 2 二、二次函数中的角度问题 42 三、二次函数中新定义及创新探究问题 58 四、二次函数中的实际应用问题 67 一、二次函数图象与性质及其应用 1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线与动直线有公共点，，且． (1)求实数t的取值范围； (2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值． 【答案】(1) (2)时，c最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是： （1）两函数解析式联立方程组，可得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出，，利用完全平方公式变形可得出，代入方程①后，根据方程有解可求出t的取值范围，然后根据是非负数求出t的取值范围，即可求解； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵与， ∴① 有实数根，，则，． ∴ 　 ② ②式代入①　　 ∴　 ∴ ∵t的取值应满足， ∴或， ∴t的取值范围为； （2）解：由②式知． 由于， 当时，c随着t的增大而增大， ∴当时，． 2．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的表达式． (2)若抛物线，当时，有最大值，求的值． (3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）把点坐标代入抛物线用待定系数法解答即可求解； （）根据函数的性质，分三种情况：、和，利用二次函数的性质解答即可求解； （）根据二次函数图象的平移画出图象，结合图象分两种情况：新抛物线与直线相交且有一个交点和抛物线与直线相切，利用数形结合求取值范围即可； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，掌握数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线得， ， 解得， 抛物线表达式为； （2）解：由（）知，抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵时，有最大值， 最大值只能在或时取得， 当时，即， 此时，有最大值， 即， 解得，符合题意； 当时，即， 此时，有最大值， 即， 解得，不合，舍去； 当，即， 当时，有最大值， 即， 解得，不合，舍去； 当，有最大值， 即， 解得，不合，舍去； 综上，的值为； （3）解：由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示： 当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时， 则 解得； 当抛物线与直线相切时， 就是把抛物线，向上平移10个单位，即， 的取值范围为或． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点． (1)当时，求b的值． (2)当时，求m的取值范围． (3)若两点也都在此函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）根据解析式可得对称轴为直线，进而可得，结合已知条件，即可求解； （2）令，得出抛物线与轴的交点为，根据可得在原点的两侧，结合得出，即可求解； （3）将，，分别代入，计算得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴对称轴为直线 又关于直线对称， ∴ ∵ ∴； （2）由 当时，，则抛物线与轴的交点为 ∵， ∴在原点的两侧， 又∵，则抛物线开口向上， ∴抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴ 解得： 又 ∴ （3）证明：将，，代入得， 由得， ∴ ∵ ∴ 4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图像过点， (1)当时，求a的值； (2)若，求p的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）当时，得，解得； （2）根据题意，，，结合，解答即可； （3）根据题意，，，则，利用实数的非负性解答即可． 本题考查了抛物线的性质，实数非负性，不等式解法，熟练掌握性质，不等式性质是解题的关键． 【详解】（1）当时，得， 解得． （2）根据题意，，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴或，， ∴或． （3）根据题意，，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，，当时，，当时，，求的值； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质综合，涉及待定系数法求解、与不等式的关系等，数形结合是解题的关键． （1）将，代入，再结合对称轴为直线即可求解； （2）利用数形结合，由当时，确定对称轴的值，再根据若，和当时，列式求解； （3）确定点的大致位置，画出草图，利用并结合图象确定点位置范围，列式求解． 【详解】（1）解：∵若，， ∴， ∴， ∴； （2）∵若，， 即抛物线过点， 再根据，即抛物线开口向上， 可得抛物线有三种大致图象，如图： ①当对称轴时， 此时当时，一定存在， 与矛盾， 故不成立； ②当对称轴时， 此时当时，一定存在， 与矛盾， 故不成立； ③当对称轴时， 此时当时，一定存在， 故成立； 综上，， ∴，即， ∵当时，时， ∴结合图象可得时，， ∴①， ∵若，， ∴②， ①-②，得， 代入， 解得：； （3）∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线，， ∴点在对称轴右侧， 根据题意画出草图，如图， ∵对于，，都有， 即点在点的水平上方， 由图可知点只能在对应的图象上， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：． 6．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再表示出，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【详解】（1）解：函数图象经过点， ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：函数图象经过点，， ，， ， ， ； （3）解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况：设函数图象经过点，，． 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， 当时， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，或． 7．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 8．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，的取值范围为； （2）解：令，则， 由一元二次方程根与系数关系可得， ， ，解得， ，则，即， 解得或， 抛物线与轴的交点为， 现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示： 抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为， 根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为， 当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点， 将代入，解得； 联立方程组 ，消去得， 将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点， 直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则， ， 综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定值符号解不等式、抛物线与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 9．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①先表示出，，由得到或，当时，有，解得：，则，可得，故；当时，有，解得：，故，因此可求，综上所述，；②将点代入，得：，求出，将代入①可得：，求出m关于的二次函数，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的函数表达式； （2）①解：∵， ∴， 而二次函数，且过点， ∴，， ∵ ∴或， 当时，有 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， ∴， 当时，有， 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， 综上所述，； ②将点代入， 得：， 由②①得：， ∴， 将代入①可得：， ∴， ∴，m取得最大值为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，借助于图像求解集，难度较大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 10．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大值为，当时，最大值为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）把代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）把代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值； （3）当时，二次函数的表达式为，联立方程组求得点A、B坐标，设过点P的直线表达式为，分别求出直线和与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点P坐标为，根据得到点P在直线运动，求出点C与D重合时的点P坐标为，结合图象即可求得点P的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 顶点坐标为：； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当即时，时，y取最大值； 当即时，时，y取最大值； （3）解：当时，二次函数的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴，， 设过点P的直线表达式为， 联立方程组，得， 当直线与抛物线有且只有一个交点A时， 根据一元二次方程根与系数关系得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 同理可得当直线与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为， 联立方程组，解得， 此时与重合，点P坐标为； ∵， ∴点P在直线运动， ∴当点C与D重合时，点P和点C、D重合，即点P在抛物线上，此时点P坐标为， ∵， ∴由图可知，点P的纵坐标的取值范围为． 11．（2024·浙江金华·三模）已知二次函数（是常数，）的图像经过点． (1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式． (2)在（1）的条件下，若函数图像过点，，求证：． (3)若函数图像经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，函数图像过点，，易得，，进而可得，结合，即可获得答案； （3）根据二次函数的图像经过点，易得，结合方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，进而可得①．时，即该二次函数图像经过点时，易知②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令，可得，求解可知此时；当逐渐增大时，该函数图像与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图像与轴的交点逐渐向下运动，结合，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该函数的表达式为； （2）根据题意，函数图像过点，， 分别将点，代入函数解析式， 可得，， ∴， ∵， ∴； （3）∵二次函数的图像经过点， ∴可有， ∴， 将方程整理可得， ∵该方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴可有，即有①， 该二次函数解析式为， 当时，即该二次函数图像经过点时， 若，即该函数图像开口向下，如下图， 此时该函数图像与轴交点在轴的正半轴上，此时， 故不符合题意； 若，即该函数图像开口向上，如下图， 可有，即②， 联立①②，可得， 解得， ∴该函数解析式为， 令，可得， 解得，， ∴此时； 当逐渐增大时，该函数图像与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图像与轴的交点逐渐向下运动， ∵该函数图像开口向上，， ∴函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当逐渐增大时，可有． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析、二次函数综合应用、非负数的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 12．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点． (1)求点A，坐标； (2)若为直角三角形； ①求实数的值； ②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件． 【答案】(1)， (2)①；②当时，或；当时，或 【分析】本题属于二次函数的综合应用题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，熟练掌握次函数的性质是解题的关键． （1）令，求出x的值即可得出结论； （2）①根据直角三角形的性质求得，即可求得;②分和，即可求得直线经过点和，然后根据判别式即可解答． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：； ，即，解得：； ∵点A在点左边， ∴，． （2）解：①令，可得， ∵为直角三角形， ∴, ∴，解得：；                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ②当时，当 时，如图，当 过点，且与二次函数部分有且只有一个交点时，k取到最大值；过点可得到，即； 与二次函数部分有且只有一个交点，可得，即：只有一个根，利用根的判别公式可得：，解得：，（舍去）， ∴； 当时，如图：当 过点，且与二次函数部分有且只有一个交点时，k取到最小值；过点可得到即； 与二次函数部分有且只有一个交点，可得，即：只有一个根，利用根的判别公式可得：，解得：； ∴； 综上，当时，或； 同理可得：当时，或． 13．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的对称轴为，且． (1)当时，求方程的根； (2)当时，求证：； (3)已知该二次函数的图象与x轴交于两点，（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点，若，且为直角三角形，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解一元二次方程，不等式的性质，相似三角形的判定与性质等熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，得到，解方程即可； （2）由题意得，化简得到，确定，即可求解； （3）先求得，，由对称轴得到，由于为直角三角形，则，故，解得，故， ，即可求解． 【详解】（1）解：当时即， 由，得， 而， 则，所以， ∴ 又， 故解得； （2）解：由题意得，又， 所以， 因为，且， 所以，，故， 所以； （3）解：由于点A在点B的左侧，因此，又， 所以， 而由得到是方程的根， 故，， 所以，， 所以该二次函数图象的对称轴为， 得，又，所以， 由于为直角三角形，只能为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以， 故，故， 由于点位于y轴的负半轴，所以， 解得， 又因为，故，所以， 因此，所求二次函数的解析式为． 14．（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把点代入，即可解答； （2）先求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的另一个交点，得出和，再根据n的范围即可得出答案； （3）分别表示出，，，再相加化简即可． 【详解】（1）由题意得，抛物线（m是常数，且）经过点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意得：垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点， ，即与抛物线交于P、Q，与直线交于N， 对于二次函数，令，则， ， 又对称轴是直线， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与抛物线的另一个交点满足 ， 解得：（舍去），或， 另一个交点为， 直线与的交点在之间， ， 又P、Q两点为直线与抛物线的交点， ，即， ， 又在直线上， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， 当，，时，， ， ， ． ， ． 15．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 16．（2024·浙江丽水·一模）设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： (1)若时，求二次函数的表达式； (2)当时，有最小值为，求的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析． 【分析】（）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由表可知，抛物线经过两点， ∴当或时，, ∴抛物线的对称轴为直线, ∴，即， ∴ ∵当时，y有最小值为， ∴①当，时，函数有最小值， ∴，解得：； ②当，则或时，函数y取得最小值， ∴，； 综上，的值或． （3）证明：由表和二次函数可得， ，，， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的值随的减小而增大， ∴当时，，即． 17．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了待定系数法、旋转变换、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形解决问题成为解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，把代入可得，然后写出解析式即可； （2）①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q，证明可得，即；过C作轴，过M作于G，过作于H，同理可得，可得，设，则，消掉p即可解答；②由，即可得当时，m取最小值1，当时，m取最大值，从而m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q， ∵是由A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图：过C作轴，过M作于G，过作于H， 同理可得， ∴， 设， ∵， ∴消掉p得：，整理得：． ②由①可得：， ∵， ∴当时，m取最小值1， 当时，m取最大值， ∴m的取值范围是． 18．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是原点． 直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式． (2)点是直线上的一个动点，设点的横坐标为， ①若的面积为，求关于的函数表达式； ②在直线上取，在的左侧，在直线的下方作正方形，求正方形与抛物线有两个交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】1）求出点坐标，两点式求出函数解析式即可； （2）①分，，两种情况进行讨论，利用三角形的面积公式进行表示即可； ②先求直线与抛物线的交点，根据正方形的性质和两直线平行的特点，求出直线的解析式，进而求出直线与抛物线的交点，分点移动到跟点重合时，再向下移动直至点与抛物线的顶点坐标重合之前，以及点与点重合到与抛物线只有一个交点时正方形与抛物线有2个交点，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∵抛物线经过点，与轴的另一个交点为， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵点是直线上的一个动点，设点的横坐标为， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴当时，， 当时，； ∴； ②设直线与抛物线的另一个交点为， 联立，解得：或， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， 当点在轴上时，如图： 则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，将代入，得：， 解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和 ∵，当时，， ∴，顶点坐标为， 即：直线经过点和； ∴当正方形与抛物线有两个交点时，分两段： ①点移动到跟点重合时，再向下移动直至点与抛物线的顶点坐标重合之前，如图： 当点与抛物线顶点重合时，此时， 过点作轴，过点作，过点，作，延长交轴与点，则：，，轴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入得：， 解得：， ∵ ∴当时，正方形与抛物线有两个交点； ②当点与点重合时，如图，此时正方形与抛物线有三个交点，过点作轴，过点作， 同理可得：， ∵轴， ∴， ∴，， ∴； 当与抛物线只有一个交点时：如图， ∵， ∴设直线的解析式为：， 令：，整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∵将沿着方向平移的距离，得到，即先向右移动个单位，再向下平移个单位， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：， 即：； ∴当时，正方形与抛物线有两个交点； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及两点式求函数解析式，三角形的面积，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的平移等知识点，综合性强，难度大，计算量大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 19．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题． （1）利用配方法求出顶点D坐标，令，可以求出点A坐标； （2）求出直线解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （3）分为边，为对角线两种情形分别讨论即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴顶点， 令，则， ∴点， ∴； （2）设直线为，则，解得， ∴直线解析式为， 由，解得， ∴点E坐标为， ∴点关于y轴的对称点， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或， ∵， ∴； （3）如图， ①当为边时，，， 令，则， ∴点C的坐标为， ∴ 根据平移可以得到点P坐标， ∴， ∴或(舍弃)， ②当为对角线时，为边， 根据平移可得点坐标， ∴， ∴或(舍弃) ∴抛物线解析式为或． 二、二次函数中的角度问题 20．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．    (1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式． (2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F，证明，得到，求出，，，得到，，，得到，求出的解析式，根据，得到，求出，得到，根据，，判定是直角三角形，，得到； （2）过点C作平分，过点F作于点L，证明，得到，在中运用勾股定理求出，，根据正切定义，得到， ，设，则，，得到，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 在中， 当时，， 解得，或， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 设的解析式为， 则 ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ；    （2）过点C作平分交x轴于点K，过点F作于点L， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合．熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，角平分线定义，正切定义，是解决问题的关键． 21．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M． (1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式； (2)若，求证：； (3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为， 设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明； （3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得 ，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得或， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与y轴交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， 解得（负值舍去）； 当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M， 同理可得 ， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 22．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，P1与 【分析】（1）利用待定系数法把坐标代入抛物线解析式即可； （2）根据已知条件求出的正切值，根据正切值相等解答即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数图象上， ∴ 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：解：过作轴于点，由（1）得， ∵，， ∴点， ∴，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； （3）解：∵点与， 设直线的解析式为, ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则 ∵， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去）， ∴， 当时 解得（舍去）， ∴， 综上所述，存在满足条件的点，它们是与． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 23．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)①存在值，使得，其值为或； ②当时，的取值范围是 【分析】（1）先根据抛物线，当时，取最大值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论： ①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； ②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为(在左侧)，则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，取最大值， ∴抛物线的解析式是：， 即； 当时，， 即点坐标是， 当时，，解得：或， 即点坐标是，点坐标是(2，． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）过点作为垂足， ∵， ， ， 由勾股定理，得， ①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足． ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足． ． ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设直线与抛物线的交点为在左侧)． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ， ， ①存在的值，使得．理由如下： ， ， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键． 三、二次函数中新定义及创新探究问题 24．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为： (2)抛物线的表达式为： (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中． （1）由新定义即可求解； （2）求出，得到抛物线的表达式为：，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：， 则该函数的顶点坐标为：， 则该顶点关于的对称点为， 则“中心对称”函数的解析式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 则顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时， 即， 则抛物线在时，取得最大值为2， 即， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）如下图： 设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H， 则点的坐标为：，，点H的坐标为：， 根据点关于中心对称，点的横坐标， 由点、的坐标得，， 则， 若， 即， 整理得：， 当四边形为矩形时，则， ， ， 则， 而， 则， 整理得：， 将代入上式得： 解得：（舍去）， 即． 25．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析，抛物线 (2) (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． 【详解】（1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 26．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握二次函数和一次函数图象及性质，二次函数、一次函数与方程的关系，是解题的关键． （1）写出，把代入，得到，根据即得； （2）求出，设，则，得到，当时，， ，得到，，即得； （3）设，得到， ，当时，，根据，得到；当时，，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵点在函数y的图象上， ∴， 即， ∵， ∴； （2）中，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∴，， ∴； ， ∴，， ∴， ∴； （3）设， 由（2）知，， ， 当时，， ∵E，F不同于点A， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 四、二次函数中的实际应用问题 28．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元 (2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台 【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解； （）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元， 再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元； （2）解：∵销售量台， ∴型电脑购进台 ， ∴型电脑购进台， ∴型电脑的利润为万元， 由图象可知，当时，与的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， 设总利润为万 元， 当时，总利润， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，(万元)； 当时，总利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，(万元)； ∵， ∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大． 29．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型． （1）以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可设抛物线的表达式为，结合题意可知抛物线的抛球点位，，，将其代入求得，则，可知由题意可知，当时，，即， 计算出，时，的值，根据距离蓝框的距离即可求解． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为， 将代入，可得：， ∴， ∴抛物线C的表达式为； （2）解：由（1）可设抛物线的表达式为， ∵改用跳投的方式，出手点O位置升高了， 则抛物线的最高点抛物线的基础上升高， ∴抛物线的抛球点位，，， 将其代入，得， 解得：， 由球的运动可知，最高点在抛出点的右侧，则， ∴，则， ∴ ∵当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框， ∴当时，，即， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 即：或 亦即：或． 30．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题04 二次函数综合解答题压轴30题 一、二次函数图象与性质及其应用 2 二、二次函数中的角度问题 7 三、二次函数中新定义及创新探究问题 9 四、二次函数中的实际应用问题 11 一、二次函数图象与性质及其应用 1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线与动直线有公共点，，且． (1)求实数t的取值范围； (2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值． 2．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的表达式． (2)若抛物线，当时，有最大值，求的值． (3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点． (1)当时，求b的值． (2)当时，求m的取值范围． (3)若两点也都在此函数图象上，求证：． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图像过点， (1)当时，求a的值； (2)若，求p的取值范围； (3)求证：． 5．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，，当时，，当时，，求的值； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 6．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 7．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 8．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 9．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 10．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 11．（2024·浙江金华·三模）已知二次函数（是常数，）的图像经过点． (1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式． (2)在（1）的条件下，若函数图像过点，，求证：． (3)若函数图像经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围． 12．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点． (1)求点A，坐标； (2)若为直角三角形； ①求实数的值； ②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件． 13．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的对称轴为，且． (1)当时，求方程的根； (2)当时，求证：； (3)已知该二次函数的图象与x轴交于两点，（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点，若，且为直角三角形，求该二次函数的表达式． 14．（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 15．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 16．（2024·浙江丽水·一模）设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： (1)若时，求二次函数的表达式； (2)当时，有最小值为，求的值； (3)若，求证：． 17．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 18．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是原点． 直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式． (2)点是直线上的一个动点，设点的横坐标为， ①若的面积为，求关于的函数表达式； ②在直线上取，在的左侧，在直线的下方作正方形，求正方形与抛物线有两个交点时的取值范围． 19．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 二、二次函数中的角度问题 20．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．    (1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式． (2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标． 21．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M． (1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式； (2)若，求证：； (3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 22．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 三、二次函数中新定义及创新探究问题 24．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 25．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 26．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 四、二次函数中的实际应用问题 28．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 29．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 30．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$