热点必刷题01 函数（含一次函数、二次函数、反比例函数）选填压轴35题（5类题型35题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

热点必刷题01 函数选填压轴35题 （含一次函数、二次函数、反比例函数） 一、一次函数、反比例函数及结合问题 2 二、二次函数图形性质的应用之函数值的大小关系 24 三、图象综合问题 26 四、求参数的值或范围 32 五、其他类综合 44 一、一次函数、反比例函数及结合问题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】过点P作轴于点E， 如图所示：    依题意得：，，，， 在中 ，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即 ∴，， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B 2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 【详解】如图，过作于，易知， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， ∴A点坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为： 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义．过点作轴于，过点作轴于，根据反比例函数比例系数的几何意义得，再由，得，证相似得，则，可设，，再证和相似得，则，由此可得的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， ， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即：， 轴， ∴， ， ， ， 轴， ∴， ， ， 即， ， ， 可设，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于，交轴于，设，，可得，结合为的中点，可得，可得：，可得，解得，由，可得，再结合，可得：，，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于，交轴于， ∵菱形， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴菱形的面积为： ； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（2024·浙江宁波·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键． 先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用两次相似求出点D的坐标，最后把D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k值． 【详解】∵， ∴ ∴， ∴小正方形边长为2， ∴，，， 如图， 作轴，垂足为点E，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， 同理， ， 即， ∴， ∴ ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 6．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示： ∴， ， 可设，，则， 点，在反比例函数的图象上， 点，点， ， ， ， 即：， ， 轴， ，， ，轴， ，， ， ， ， 即， ， ， 轴，轴，， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为6， ， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，过点作轴于，于，由反比例函数的性质得，，，再证明得，，进而得，，再根据即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，于，则，，， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2024·浙江·模拟预测）已知点关于直线（）的对称点恰好落在坐标轴上，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数及轴对称的性质，要熟知对称轴是对称点连线的垂直平分线，本题还利用了中位线的性质及推论，这此知识点要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．求正比例函数的解析式，就是求直线上一点的坐标即可． 当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时，作辅助线，构建点与轴和轴的垂线，先根据点的坐标得出的长，再根据中位线定理和推论得：是的中位线，所以，也可以求的长，表示出点的坐标，代入直线中求出的值．当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时，同理，即可求解． 【详解】解：当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时， 设关于直线的对称点为，连接，交直线于，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则，    ∵， ∴， ∴， ∵和关于直线对称， ∴是的中垂线， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， 解得：； 当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时， 当设关于直线的对称点为，连接，交直线于，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则，      ∵， ∴， ∴， ∵和关于直线对称， ∴是的中垂线， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， 解得：； 故答案为：或． 9．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，轴对称图形，求得点的坐标是解题的关键． 作轴点，则，通过证得，求得，，证得是轴对称图形，得到，即可证得，，再证得，求得，则，得到，然后利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，轴平分， 是轴对称图形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 10．（2024·浙江温州·一模）如图，菱形的对角线交于点E，边交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数 的图象经过C，E两点，过点E作于点G，若，则k的值是（     ）． A． B．12 C． D．15 【答案】C 【分析】过点C作于点H，可得，进而可得：，，结合和菱形性质，可推出：， ，设则再结合，即可求出，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ∵即 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 设则 ∴ ∵四边形是菱形， ∴，即， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，即， ∴， ∴，即点C的横坐标为2， ∵反比例函数的图象经过两点， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（2024·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E， 设，， ∴； ∵是的中点， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∴ ， 故选：C． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 【详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 二、二次函数图形性质的应用之函数值的大小关系 13．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【详解】解：，， ，， 抛物线与的交点为A， ， 整理得， 解得或， ， ， 抛物线与，与x轴的交点分别为B，C， ，可得，，可得， ， ，， ， 故选：C． 14．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解． 【详解】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， A、若， ． ． ． ． ，故A错误，故本选项不符合题意； B、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故B错误，故本选项不符合题意； 当时， C、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故C错误，故本选项不符合题意； D、若， ． ． ． ． ，故D正确，故本选项符合题意． 故选：D． 三、图象综合问题 15．（2024·浙江宁波·一模）关于的方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④抛物线的顶点在第四象限． 其中正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，把方程的根代入计算即可求出，判定①正确；利用根与系数的关系求出，从而判定②正确；根据二次函数与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误，向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键． 【详解】解：是方程的根， ， ，故①正确； 是方程的两个根中较小的根， ∴，， ， ，故②正确； ∵方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2， ∴二次函数与x轴有两个交点，且对称轴在直线的右边， ∴二次函数顶点坐标在第四象限， 向上平移2个单位得到二次函数，与x轴不一定有交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根错误，故③错误； 向下平移2个单位得到二次函数，顶点坐标一定在第四象限，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④共3个． 故选：C． 16．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形中，点E在上，连接，过点D作于点F．设，已知x，y满足反比例函数，其图像如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的动点问题、勾股定理等知识点，正确从函数图像上获取信息成为解题的关键． 由图可知，当与点B重合时，最小，与重合，此时，；当与点C重合时，最大，与重合，根据，矩形的面积，据此列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接． 由函数图像可知：，，，到的距离等于2． ∵，矩形的面积， ∴，解得：（负数已经舍去） ∴矩形的面积为， 故选C． 17．（2024·浙江嘉兴·一模）机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（    ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用，分过程探讨所需要的时间是解题的关键．根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可． 【详解】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为， 根据题意得：，， ， ， ， ，， 乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李， 此时，时间过去：， 行李离起点的距离为， 乘客找回行李所用时间为：， 此时，乘客离终点的距离为：， 乘客找行李后，走到终点，所用时间为：， 整个过程共耗时11分钟， ， 整理得：，即， 若该乘客直接走到终点，则所用时间为：， 将代入，得：， 行李到达终点所用时间为：， 将代入，得：， 还需要等待， 故选：A． 18．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 19．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象和性质，熟练掌握图象与x轴的交点，函数的增减性，最值的计算方法，两个函数图象的交点，是解题的关键． 根据函数图象的性质特点进行逐项分析即可． 【详解】由函数图象知，当时，或，故①正确； 当时，图象有最低点，没有最高点， ∴y有最小值，没有最大值，故②正确； 当时，y隋x的增大而减小，故③不正确； ∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点， ∴点在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确 故选：B 四、求参数的值或范围 20．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．由“抛物线与轴只有一个交点“得出，即，其次，根据抛物线对称轴的定义知当和时函数值都为，得出最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点， △， 即， 当和时函数值都为， ， ， 把，代入得， ， ， ， 故答案为：． 21．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，即， 解得：， ，， ， ， ，， 抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， 点和也在此抛物线上， 若恒成立，则； 若恒成立，则； 故选：A． 23．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值； 【详解】由题意得，， ， 当时，m 有最小值，当时，m有最大值， ， ，， 当时，n随着b的增大而减小， 当时，n 有最小值1， 当时，n有最大值4， ， ， ， ， 解得：， ， ， n有最大值3，最小值1； 故选：C． 24．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由与轴的交点坐标为，又因为图象过，根据抛物线的对称性求得对称轴为，得到，将，代入二次函数，得到，，从而得到，，通过的范围，推出的范围以及的范围，从而推出的范围． 【详解】将代入得到， 与轴交点为， 又该图像过， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 将，三个点代入二次函数，得 ， ， ，， 若，则， ， 若，则， 又， ， ． 故选：A． 25．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．依据题意，由抛物线过，，从而可得抛物线的对称轴，且有，用表示和，进而用m表示抛物线的顶点，再结合一次函数过和二次函数的顶点，即可求出． 【详解】解：抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线，， ， ， 顶点为， 又一次函数过和二次函数的顶点， ，且， ， 或（舍去）， ． 故选：B． 26．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，已知两点求距离，平方数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出顶点为，则，由平方数非负求解即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∴， ∵，， ∴， 而， 故选：D． 27．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 28．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．①当时，时，取最大值2，时，取最小值，代入，无解；②当时，时，取最大值2，时，取最小值1，不满足；③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2，不满足；④当时，时，取最小值1，时，取最大值，代入，求出值． 【详解】 对称轴为，顶点坐标为， 将代入，，所以该二次函数过 将代入，，所以该二次函数过 画出的图象，，开口向上，如图所示 ①当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为 ， 该方程无解； ②当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为1 ， 不满足 ③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2 ， 不满足 ④当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为 ， 解得， 舍去 故选：C． 29．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，由点的纵坐标相同，可得，即得，再由二次函数与轴只有一个交点可得，即得，最后把代入二次函数解析式得，即可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故选：． 30．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值． 【详解】解：当时，，，当，， ， 当时，，，当，， ， 的最小值为2， 最小值为， ， 当时，取得最小值，即， ， 由题意知，所以， 当时，，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 故选：D 31．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值的性质，由点、点可得抛物线的对称轴为直线，即得，得，再根据二次函数解析式得抛物线与轴的交点坐标为，又根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，得到点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，即得，最后根据绝对值的性质解不等式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在二次函数图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴， 即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上， 的取值范围为或， 故选：． 五、其他类综合 32．（2024·浙江温州·一模）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 由二次函数图象及性质可得对称轴为，再根据当时，二次函数y随x增大而减小可得．根据图象及性质可得，进而得到，求解得，因此，从而根据点A，B的坐标即可求解． 【详解】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 ∵当时，二次函数y随x增大而减小， ∴，即 当时，， ∵， ∴在中， 当时，y有最大值，为， 当时，y有最小值，为， ∴当，时， ∵恒成立， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴A、B两点的最大距离为． 故答案为：8 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据轴对称图形的性质得出点E坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 记与y轴的交点为F，根据图像关于y轴对称且直径，得出点，再根据对称性求得点A坐标，将点A坐标代入抛物线解析式，求出a的值即可即可解答． 【详解】解：记与y轴的交点为F， ∵且半圆关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴左侧抛物线的顶点E坐标为， ∵且关于y轴对称， ∴, 设，则有，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴图案中这段抛物线的函数表达式为 故答案为：． 34．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等．灵活运用这些知识是关键．当时，易得，则可求得b的值；再由，由判别式非负即可求得a的值，从而求得c的值，最后求得函数解析式． 【详解】解：当时，，即； ； 当时，，即，则有； 即， 解得：，则； ， 由于对一切x的值有成立，即， 则， 即， 而， ， 解得：， 则， ； 故答案为：． 35．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当  时，点 的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数，一次函数，锐角三角形的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，过点作轴交轴于点，根据题意，利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据，则，根据，求出，可得，将直线向下平移，使得点与点重合，可得直线的解析式为：，得到直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式，即可． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将直线向下平移，使得点与点重合， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式， ∴联立和， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点 的横坐标为， 故答案为：． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题01 函数选填压轴35题 （含一次函数、二次函数、反比例函数） 一、一次函数、反比例函数及结合问题 2 二、二次函数图形性质的应用之函数值的大小关系 5 三、图象综合问题 6 四、求参数的值或范围 8 五、其他类综合 9 一、一次函数、反比例函数及结合问题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ． 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 5．（2024·浙江宁波·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则    6．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为 （结果用含的代数式表示）． 8．（2024·浙江·模拟预测）已知点关于直线（）的对称点恰好落在坐标轴上，则k的值为 ． 9．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 10．（2024·浙江温州·一模）如图，菱形的对角线交于点E，边交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数 的图象经过C，E两点，过点E作于点G，若，则k的值是（     ）． A． B．12 C． D．15 11．（2024·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 二、二次函数图形性质的应用之函数值的大小关系 13．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 三、图象综合问题 15．（2024·浙江宁波·一模）关于的方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④抛物线的顶点在第四象限． 其中正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 16．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形中，点E在上，连接，过点D作于点F．设，已知x，y满足反比例函数，其图像如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A． B．9 C．10 D． 17．（2024·浙江嘉兴·一模）机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（    ） A． B．15 C． D． 18．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 19．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 四、求参数的值或范围 20．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为 ． 21．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 22．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 23．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 24．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 26．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 27．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 28．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 29．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 30．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 31．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D．或 五、其他类综合 32．（2024·浙江温州·一模）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 34．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ． 35．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当  时，点 的横坐标为 ． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$