专题05 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题05 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3 利用平行四边形求面积】 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 【题型5 平行四边形中的最值问题】 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 【题型7 平行四边形的判定条件】 【题型8 平行四边形的判定与坐标】 【题型9 平行四边形的判定与动点】 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 10．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，平分，则 ． 11．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【题型3 利用平行四边形求面积】 13．（24-25九年级上·广西崇左·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点，连接，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 14．（24-25九年级上·贵州·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．9 D．12 16．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 17．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）若一平行四边形面积为，相邻两边上的高分别是和，则此平行四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为 【题型5 平行四边形中的最值问题】 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____． 29．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【题型6 平行四边形中的折叠问题】 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 32．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【题型7 平行四边形的判定条件】 37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8 平行四边形的判定】 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【题型9 平行四边形的判定与动点】 44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 46．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，交于E，．求四边形的面积． 48．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 49．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3 利用平行四边形求面积】 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 【题型5 平行四边形中的最值问题】 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 【题型7 平行四边形的判定条件】 【题型8 平行四边形的判定与坐标】 【题型9 平行四边形的判定与动点】 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据题意先证明，，再由平行四边形的判定，即可得出结论． 【详解】解：∵要使四边形为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为，，，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出是解题的关键．由平行四边形的性质可得出，进而得出，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出，此题得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 由翻折可知：，． ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据题意得到，，然后求出，，然后根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】∵的周长是 ∴ ∵的周长比的周长多 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴． 故选：C． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，平分，则 ． 【答案】/2厘米 【分析】根据平行四边形的性质证明出，得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：在中，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【题型3 利用平行四边形求面积】 13．（24-25九年级上·广西崇左·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点，连接，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，根据作图可知，垂直平分，推出为等边三角形，根据平行四边形的性质，得到，进而求出的面积即可． 【详解】解：根据作图可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 14．（24-25九年级上·贵州·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，求得，则可求得答案． 【详解】解：过点B作于点E，于点F， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴． 故选：B． 15．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例定理，中线的性质，平行四边形的判定与性质．由平行线分线段成比例定理和三角形面积公式推出与的数量关系是解题的关键． 连接、，由三角形重心的性质推出，由平行线分线段成比例定理推出，得到，由点是边的中点，得到，从而得出，最后根据平行四边形的性质求出后即可求得． 【详解】解：连接、， 是的中点，点是的重心， 、、三点共线， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选C． 16．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由，可知，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 17．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，利用平移思想，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点是由点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的， ∴点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位即为点的坐标， 即：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平移的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，再由平移的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴向点的平移方向与距离与点向的平移方向与距离一样， ∵A，C，D的坐标分别是， ∴由平移的性质得到 故选：D． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，由B，C的坐标求出线段的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， B，C的纵坐标相等， 轴， ， 轴， 又顶点A的坐标是，， ∴顶点D的坐标为， 故选C． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）若一平行四边形面积为，相邻两边上的高分别是和，则此平行四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即．其中可以是平行四边形的任何一边，必须是边与其对边的距离，即对应的高．根据平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，进行计算即可． 【详解】解：∵平行四边形的面积＝边长×高， ∴当边上的高为时，边长， 当边上的高为时，边长， ∴平行四边形的周长为， 故选：B． 21．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，由平行四边形的性质得，求得，再证明，利用全等三角形的性质得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，则， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 22．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为 【答案】， 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称点的坐标特征，熟练掌握平行四边形是中心对称图形和关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 由平行四边形是中心对称图形可得点A与点C关于原点对称；点B和点D关于原点对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，平行四边形的中心在原点， ∴点A与点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵，， ∴A，B两点的坐标分别为，． 故答案为：，． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线，理解当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大是解题关键．连接，由G，H分别为的中点，结合三角形中位线定理可知．最后根据当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵G，H分别为的中点， ∴． 当时，最短，即此时最小，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 当点F与点C重合时，最长，即此时最大，如图，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：，． 26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形性质、垂线段最短等知识点，确定的最小值成为解题的关键，先利用勾股定理算出，再根据垂线段最短可得当时，的长的最小；再根据平行四边形的性质可知,即的长的最小值就是线段长的最小值，据此即可解答即． 【详解】解：∵，， ， 根据垂线段最短可得当时，的长的最小； ∴,即, 解得：， ∵在中， ∴， ∴的长的最小值就是线段长的最小值． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，由垂线段最短可得当时，最短，由平行四边形对角线互相平分得，根据勾股定理得, 根据等积关系得，从而可求出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点在上， ∴当时，最小， ∵是对角线， ∴是的中点， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质于判定，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，取的中点，取中点，连接，则由三角形中位线定理，据此可得三点共线，则点在上运动，故当时，最小；再证明，由三线合一定理得到，则，即当点G与点重合时，最小，设交于H，则，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即最小值为． 【详解】解：如图所示：连接，取的中点，取中点，连接， ∴分别是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知三点共线， 点在上运动， ∴当时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴当点G与点重合时，最小， 设交于H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 29．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定和的长为确定的值，得到四边形的周长最小时，即为最小时，过点F作得平行四边形，知作点E关于对称点Q，连接则连接当三点共线时，的值最小，为得到最小为在中由勾股定理可得从而可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，只要最小即可， 过点F作交于点P，则四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 延长到点，使连接则 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小，为 ∴的最小值为 在中， ∴四边形的周长为 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 32．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质得，先证明为等腰直角三角形，求出 ，在中，求出，，在中，求出，在中，即可求． 【详解】解：∵将沿若所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ， ∴， 由勾股定理得： 解得：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， 故选：． 【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处， ，， 四边形纸片为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 【答案】/126度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，由折叠得，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可． 【详解】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 【题型7 平行四边形的判定条件】 37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行线平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据平行四边形判定定理进行判断． 【详解】解：如图， A、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； C、， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、 ，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【题型8 平行四边形的判定】 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键．根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定性质，三角形全等的判定与性质，．由平行四边形性质得，，，证明，，进而推出，证明，得，进而可得，又因为，即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型9 平行四边形的判定与动点】 44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 46．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可； （2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）∵沿射线方向平移，得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设，则． ∵． ∴． ∵，当点E在点C左侧时， ∴， 解得，即的长为6． 当点E在点C右侧时，同理可得，， 解得， 综上所述，或12． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，交于E，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理．根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得出，进而证明四边形是平行四边形，则，在中，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 又∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则 ∵ ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴四边形的面积为 48．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点． （1）由平行四边形的性质得出，且，由中点的定义得出，结合已知条件即可得出，进一步证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得出． （2）过点C作于点H．由平行线的性质得出，则，由勾股定理求出，由平行四边形的性质得出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图，过点C作于点H． 在中，，， ∴． ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得： ． 49．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$