7.4 解一元一次不等式组-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

7.4 解一元一次不等式组 课程标准 学习目标 ①解一元一次不等式组 ②一元一次不等式组的应用 1. 掌握一元一次不等式组中的解法； 2. 掌握一元一次不等式的应用中的各种类型． 知识点01 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： 一、求解出每一个不等式的解集 1 去分母：如果不等式中有分母，需要将不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，以去除分母。在乘以负数时，要注意不等号的方向会发生变化。 2 去括号：根据去括号法则，如果括号外面是负号，去掉括号后，括号里面的各项符号要改变。 3 移项：将不等式中的项进行移动，通常是将含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。移动项时，要注意改变相应项的符号，但不等号的方向不变。 4 合并同类项：将不等式左边的同类项和右边的同类项分别进行合并，以简化不等式。 5 系数化为1：将未知数的系数化为1，得出每个不等式的解集。如果系数是负数，不等号的方向要改变。 二、求解不等式组的解集 1 将各不等式的解集表示在数轴上，以便直观地观察各解集之间的关系。 2 在数轴上求出各解集的公共部分，这个公共部分即为不等式组的解集。 知识点02 一元一次不等式组的应用 1.商品销售问题：涉及售价、进价、利润等关系，通过列出不等式求解来确定商品的打折程度、定价策略或销量目标。例如，为了保证利润率不低于某个百分比，需要计算商品最多可以打几折出售。 2.竞赛积分问题：根据得分规则和竞赛要求，列出不等式来求解参赛者的最低得分或需要答对的题目数量。这类问题中通常会涉及“至少”“至多”等关键词。 3.安全问题：涉及速度、时间、距离等关系，通过不等式求解来确定安全条件下的最低速度或最短时间。例如，在爆破施工中，为了确保人员安全撤离到安全距离以外，需要计算导火索的最短长度或撤离人员的最低速度。 4.分段计费问题：涉及不同计费标准下的费用计算，通过列出不等式来求解满足特定费用条件下的用量或时间。这类问题中通常会涉及基本费用和超出部分的费用。 5.调配问题：涉及不同工作之间的人数、工作量或资源分配，通过列出不等式来求解满足特定条件下的最优调配方案。例如，在安排不同工种的人数时，需要确保总收入不低于某个水平。 6.方案决策问题：涉及多种方案的选择和优化，通过列出不等式来求解满足特定条件下的最优方案。这类问题中通常会涉及多种资源的限制和目标的最大化或最小化。 7.工程问题：涉及工程进度、工作量、人数等关系，通过不等式求解来确定满足特定条件下的最优工程计划。例如，为了确保工程按时完成，需要计算每天至少需要完成的工作量。 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一般地，由几个 的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的 就是不等式组的解． 【变式3】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 【变式4】判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 题型02 列一元一次不等式组 【典例1】东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【变式3】“x的3倍与2的差不大于7”列出不等式是是 . 【变式4】某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 题型03 解一元一次不等式组——移项和合并同类项 【典例1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式组的解集为 ． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【变式4】解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上． 题型04 解一元一次不等式组——系数化1 【典例1】不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式组的解集是 ． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【变式4】解不等式组． 题型05 解一元一次不等式组——去括号 【典例1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式组：的解集为 ． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【变式4】解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 题型06 解一元一次不等式组——去分母 【典例1】不等式的解（    ） A． B． C． D． 【变式1】解不等式组：． 【变式2】不等式组 的解集为 ． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【变式4】解下列不等式组： (1) (2) (3) 题型07 一元一次不等式组中的整数解 【典例1】不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 【变式1】若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 【变式3】若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【变式4】已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 题型08 一元一次不等式组与方程组结合应用 【典例1】已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为 ； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【变式3】已知，且，则k的取值范围是 ． 【变式4】已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 题型09 一元一次不等式组的应用——方案问题 【典例1】五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 【变式1】某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克10元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克14元，售价每千克18元，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，准备投入资金不少于1180元，要求利润也不少于500元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），则有（    ）不同的购买方案． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式2】某超市从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为200元．该超市购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进种礼盒最多36个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，共有 种进货方案． 【变式3】某学校组织名师生进行长途考察活动，带有行李件，计划租用甲、乙两种型号的汽车辆．经了解，甲型车每辆最多能载人和件行李，乙型车每辆最多能载人和件行李，则学校有 种租车方案． 【变式4】为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 1．不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 3．关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．如果不等式组无解，则m的取值范围是 ． 5．不等式组的解集是 ． 6．已知关于x的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ． 7．解不等式组： 8．解不等式组，并写出它的所有整数解． 9．（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 10．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数 a、b、c 中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，；， (1) ； ； (2)若，求 x 的取值范围； (3)若 ，求 x 的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4 解一元一次不等式组 课程标准 学习目标 ①解一元一次不等式组 ②一元一次不等式组的应用 1. 掌握一元一次不等式组中的解法； 2. 掌握一元一次不等式的应用中的各种类型． 知识点01 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： 一、求解出每一个不等式的解集 1 去分母：如果不等式中有分母，需要将不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，以去除分母。在乘以负数时，要注意不等号的方向会发生变化。 2 去括号：根据去括号法则，如果括号外面是负号，去掉括号后，括号里面的各项符号要改变。 3 移项：将不等式中的项进行移动，通常是将含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。移动项时，要注意改变相应项的符号，但不等号的方向不变。 4 合并同类项：将不等式左边的同类项和右边的同类项分别进行合并，以简化不等式。 5 系数化为1：将未知数的系数化为1，得出每个不等式的解集。如果系数是负数，不等号的方向要改变。 二、求解不等式组的解集 1 将各不等式的解集表示在数轴上，以便直观地观察各解集之间的关系。 2 在数轴上求出各解集的公共部分，这个公共部分即为不等式组的解集。 知识点02 一元一次不等式组的应用 1.商品销售问题：涉及售价、进价、利润等关系，通过列出不等式求解来确定商品的打折程度、定价策略或销量目标。例如，为了保证利润率不低于某个百分比，需要计算商品最多可以打几折出售。 2.竞赛积分问题：根据得分规则和竞赛要求，列出不等式来求解参赛者的最低得分或需要答对的题目数量。这类问题中通常会涉及“至少”“至多”等关键词。 3.安全问题：涉及速度、时间、距离等关系，通过不等式求解来确定安全条件下的最低速度或最短时间。例如，在爆破施工中，为了确保人员安全撤离到安全距离以外，需要计算导火索的最短长度或撤离人员的最低速度。 4.分段计费问题：涉及不同计费标准下的费用计算，通过列出不等式来求解满足特定费用条件下的用量或时间。这类问题中通常会涉及基本费用和超出部分的费用。 5.调配问题：涉及不同工作之间的人数、工作量或资源分配，通过列出不等式来求解满足特定条件下的最优调配方案。例如，在安排不同工种的人数时，需要确保总收入不低于某个水平。 6.方案决策问题：涉及多种方案的选择和优化，通过列出不等式来求解满足特定条件下的最优方案。这类问题中通常会涉及多种资源的限制和目标的最大化或最小化。 7.工程问题：涉及工程进度、工作量、人数等关系，通过不等式求解来确定满足特定条件下的最优工程计划。例如，为了确保工程按时完成，需要计算每天至少需要完成的工作量。 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】一般地，由几个 的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的 就是不等式组的解． 【答案】 含有同一个未知数 公共部分 【分析】根据定义填空即可． 【详解】一般地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解． 故答案为：含有同一个未知数，公共部分． 【点睛】本题直接考查一元一次不等式组的定义，不等式组的解的定义．熟知定义是解题关键． 【变式3】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 【答案】 一元一次不等式组 公共部分 解集 【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可． 【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集. 【点睛】考查一元一次不等式组的相关概念，比较基础，难度不大. 【变式4】判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 题型02 列一元一次不等式组 【典例1】东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：A． 【变式1】一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组． 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键． 【变式2】若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【答案】 【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得． 【详解】设有间宿舍，则学生有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 【变式3】“x的3倍与2的差不大于7”列出不等式是是 . 【答案】 【分析】不大于7就是小于等于7，根据x的3倍减去2的差不大于7可列出不等式． 【详解】X的三倍与2的差为3x-2, 不大于7，即7 即 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键在于熟练掌握不等式的基本性质. 【变式4】某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 题型03 解一元一次不等式组——移项和合并同类项 【典例1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解法和数轴表示法，注意画图时实心、空心与数学符号的对应关系．分别解两个不等式，得和，联立在一起，可得． 【详解】解：∵解不等式， ∴， ∵解不等式， ∴， ∴不等式组解集是， 数轴表示为： 故选：A． 【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，解集的取值方法是解题的关键． 分别根据解不等式的方法求出各个不等式的解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示， 故选：D ． 【变式2】不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质解不等式组，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，由此即可求解． 【详解】解： 由①得，；由②得，； ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式4】解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】无解，数轴上表示见解析 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 题型04 解一元一次不等式组——系数化1 【典例1】不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：, ∴原不等式组的解集为：， 故选：C． 【变式1】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是 故选：C 【变式2】不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题关键．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求其公共解集即可． 【详解】解： 不等式①的解集即为：， 解不等式②，得：， 所以该不等式组的解集是． 故答案为：． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 先根据解不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据口诀“大小小大中间找”，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 故答案为：． 【变式4】解不等式组． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 【点睛】本题考查不等式及不等式组的解法步骤，熟练掌握解一元一次不等式，并能根据“大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求一元一次不等式组的解集是解决问题的关键． 题型05 解一元一次不等式组——去括号 【典例1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，以及在数轴上表示出解集， 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．最后在数轴上表示出解集即可判断． 【详解】解： 解①式得： 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集表示如下： 故选：A． 【变式1】不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．解决问题的关键是熟练掌握不等式组解集的四种情况：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找，即可确定不等式组的解集． 【详解】， 解不等式①，得，， 解不等式②，得，， ∴， ∴不等式组的解集为：． 故选：D． 【变式2】不等式组：的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤及口诀：“大大取大，小小取小，大小小大中间找”，是解题的关键．分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集是：． 故答案为： 【变式3】不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，关键在于正确找到两个不等式的公共部分． 分别解得两个不等式的解集，取其公共部分即可． 【详解】解： 解不等式得： 解不等式得： ∴ ∴不等式组的解集为： 故答案为． 【变式4】解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见详解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．然后再把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： ． 题型06 解一元一次不等式组——去分母 【典例1】不等式的解（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，分别表示在数轴上即可． 【详解】解：原不等式组化为：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， 表示在数轴上如图所示： 故选：A． 【变式1】解不等式组：． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组，求出每个不等式的解集，找到公共部分即可熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集是． 【变式2】不等式组 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式 得． ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式3】不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式4】解下列不等式组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键． （1）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （3）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可． 【详解】（1）解: ， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （3）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 题型07 一元一次不等式组中的整数解 【典例1】不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解是：， 故选：D． 【变式1】若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，由此即可求解． 【详解】解：， 解①得，， ∴， ∵不等式组恰有三个整数解，即， ∴， 故选：C ． 【变式2】关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后求整数解即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为， 故答案为：． 【变式3】若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，由关于的不等式组有且仅有个整数解，得出关于的不等式组，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，， ， ． 故答案为：． 【变式4】已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【答案】(1)方程组的解为 (2)的整数值为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 题型08 一元一次不等式组与方程组结合应用 【典例1】已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确求出方程组的解进而得到关于a的不等式是解题的关键． 先利用加减消元法求出方程的解，再根据方程的解满足得到关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】①② 得， 解得：， 把代入②得， ， 解得：， 方程组的解为， 方程组的解满足， ， 解不等式得：． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为 ； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知加减消元法是解题的关键． （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ①-②，得：， ， ， 解得； （2）， 由①+②，得：， ， ， ， ， 解得． 故答案为：，． 【变式3】已知，且，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先解方程组得出，然后根据得出，解关于k的不等式组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是根据方程组求出，得出关于k的不等式组． 【变式4】已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 题型09 一元一次不等式组的应用——方案问题 【典例1】五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个，根据题意得： ， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选C． 【变式1】某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克10元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克14元，售价每千克18元，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，准备投入资金不少于1180元，要求利润也不少于500元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），则有（    ）不同的购买方案． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，利用总价单价数量及总利润每千克的销售利润销售蔬菜，结合“投入资金不少于1180元，且利润不少于500元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为50，51，52，53，54，55， 共有6种不同的购买方案， 故选：D． 【变式2】某超市从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为200元．该超市购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进种礼盒最多36个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，共有 种进货方案． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，：由题意可知，礼盒的单价为：元，礼盒的单价为：元，设购进种礼盒个，种礼盒个，根据总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，由购进种礼盒最多36个且种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合，均为整数即可得出的值，进而可得出进货方案数．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意可知，礼盒的单价为：元，礼盒的单价为：元， 设购进种礼盒个，种礼盒个， 依题意，得：， ∴． ∵，， ∴． ∵，的值均为整数， ∴为3的倍数， ∴的值为：30、33、36， ∴共有三种方案， 故答案为：3． 【变式3】某学校组织名师生进行长途考察活动，带有行李件，计划租用甲、乙两种型号的汽车辆．经了解，甲型车每辆最多能载人和件行李，乙型车每辆最多能载人和件行李，则学校有 种租车方案． 【答案】/四 【分析】设租用甲型车辆，则租用乙型车辆，根据甲乙两种型号的车装载的师生数量应大于等于，装载的行李数量应大于等于，可得到关于的一元一次不等式组． 【详解】设租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 根据题意，得 解得 ． 因为为正整数，所以或或或． 所以有四种租车方案，分别为：租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组与实际问题，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式组． 【变式4】为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元 (2)有5种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用， （1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 1．不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查利用数轴确定不等式组的解集；根据数轴可直接得出答案． 【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是． 故选：A． 2．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组解集的求解，分别求出不等式的解集，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得出结果即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组无解， 故选：D． 3．关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 4．如果不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据口诀：“大大小小找不到”，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 5．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 6．已知关于x的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． （1）将m的值代入，解不等式即可； （2）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有3个，即可得到关于m的不等式，然后求解即可． 【详解】解：（1）当时， ， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 故答案为：； （2）由不等式，可得：， ∵该不等式的负整数解有且只有3个， ∴这3个整数解为，，， ， 解得， 故答案为：． 7．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 【详解】解：由①得． 由②得，即．，， 原不等式组的解集为． 8．解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，该不等式组的整数解为0，1，2，3． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的整数解为0，1，2，3． 9．（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握相关计算方法是解题的关键． （1）先分别求出方程和不等式组的解集，然后得到关于m的不等式组求解即可； （2）先分别求出方程组、不等式组的解集，然后根据题意得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：解关于x的方程得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． （2）解：解关于的方程组得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． 10．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数 a、b、c 中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，；， (1) ； ； (2)若，求 x 的取值范围； (3)若 ，求 x 的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义，不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义列出关于的不等式组，解之可得； （3）分情3种情况：）①当4最小时，②当最小时，③当最小时，分别 列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ； 故答案为：，； （2）解：， ， 解得：； （3）解：①当4最小时， ，，此种情况不成立， ②当最小时， ，， ，，解得：； ③当最小时，，， ； Ⅰ、当2最大时， ，， ， ，解得：； Ⅱ、当最大时， ，， ， ，解得：（舍去）； Ⅲ、当最大时， ，，此种情况不成立； 综上，的值为1或． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$