重难点专题训练一 一元一次不等式（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

重难点专题训练一 一元一次不等式思维导图 专题训练01一元一次不等式中求参 1．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次不等式，先由得，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：由得， ∵关于的方程的解是负数， ∴， ∴． 故选：B． 2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，该不等式有三个正整数解，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解．根据不等式的正整数解为1，2，3，即可确定出正整数a的取值范围． 【详解】解：∵不等式有3个正整数解， ∴这3个整数解为1，2，3， 则， 故答案为：． 3．已知关于x的一元一次方程的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．先求出方程的解，根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程，得． 因为关于x的一元一次方程的解满足， 所以 解得． 专题训练02一元一次不等式中有解 1．若关于的不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，不等式的解集， 先根据数轴上两点之间的距离得出a的最小值，再根据不等式的解集可得答案． 【详解】在数轴上代数式的意义是表示数的点到表示数的点和表示数3的点的距离之和， 当数x在数的点和表示数3之间时，的最小值为4． 因为不等式有解， 所以． 故选：B． 2．若不等式有解，则实数的最小值是 . 【答案】 【分析】本题考查绝对值的代数意义，根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案， 熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：①当时，， ，解得， 不等式有解， ，解得； ②当时，， ，解得， 不等式有解， ，解得； ③当时，， ，解得， 不等式有解， ，解得； 综上所述，若不等式有解，则，即实数的最小值是， 故答案为：． 3．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 专题训练03一元一次不等式的整数解 1．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【详解】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 2．已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是理解题意，确定出a的取值范围．求出的取值范围，即可得答案． 【详解】解：∵的正整数解为， ∴的取值范围是． ∵为正整数， ∴的值为3， 故答案为：3． 3．若关于x的方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，已知一元一次方程的解求参数，先求出不等式的解集为，然后得出最大大整数解是，再将代入，求出a的值即可． 【详解】解：解不等式， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以该不等式的最大整数解是， 因为方程的解是不等式的最大整数解， 所以， 解得：． 专题训练04一元一次不等式的新定义运算 1．对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．根据定义的新运算列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意： 当时，解得：， 则，即 解得：，相矛盾，舍去； 当时，解得：， 则，即 解得：， ； 故选：A． 2．定义一种运算：，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义，求不等式的解集，解题的关键是列出一元一次不等式．根据新定义列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴可变为， 解得． 故答案为：． 3．对x，y定义一种新运算：．例如：当，时，． (1)若，求a和b的值； (2)若b是非负数，，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，一元一次不等式组的解法，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据定义的新运算F，将，代入，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据定义的新运算F，将代入，得到，即可得到，由b是非负数得到，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意得：， ， 解得：，； （2）根据， 得， ∴， ∵b是非负数， ∴， ∴． 专题训练05一元一次不等式与方程组结合 1．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不大于5列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相减， 可得， 根据题意得：， 解得：． 故选：C． 2．若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式．先把两式相减求出的值，再代入中得到关于a的不等式，进而求出a的取值范围，即可． 【详解】解：， 由得：， ∵，则， ∴， ∴， 故答案是：． 3．已知关于，的二元一次方程组 (1)求这个方程组的解（用含的式子表示）； (2)若这个方程组的解，满足成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式： （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）所求可得不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵这个方程组的解，满足成立， ∴， 解得． 专题训练06一元一次不等式的绝对值 1．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 2．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2， 4>2 ∴x＜-1， -1≤x≤3时， -x+3-x-1＞2， x<0； x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立. 故答案是:x<0 【点睛】考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础． 3．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 专题训练07一元一次不等式的最值 1．非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，求不等式解集，先将原式变形，代入M式子，根据不等式的性质求出范围即可求出a，b的值，得出结果． 【详解】解：将变形，得， 将分别代入，得， ， ， 当时，M可以取最大值，最大值， 当时， M可以取最小值，最小值， ． 故选：D． 2．已知且，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了幂的乘方及其逆运算，解一元一次不等式，同底数幂乘法计算，先根据得到，进而得到，则，再根据，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 所以，即． 因为， 所以， 所以． 所以， 所以的最小值为10． 故答案为：10． 3．已知有关的方程的解也是不等式的一个解，求满足条件的整数的最小值． 【答案】整数的最小值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次不等式的解，先求出一元一次方程的解，再将解代入不等式，求出解集即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为：， 即， 解得：， 把代入中，得， 解不等式得：， 所以整数的最小值为0． 专题训练08一元一次不等式的应用——扣分问题 1．一次智力测验，有道选择题．评分标准是：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于分，那么小明至少答对的题数是（  ） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【分析】设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于60分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解. 【详解】设小明答对的题数是x道， ， ， ∵x为整数， ∴x的最小整数为14， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是设出相应的未知数，以得分作为不等量关系列不等式求解． 2．在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对l题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，张强有1道题末答，如果总分才不会低于70分，则他至少答对 道题． 【答案】16 【详解】分析：设小明至少答对的题数是x道，答错的为（20-1-x）道，根据总分才不会低于70分，这个不等量关系可列出不等式求解． 解答：解：设小明至少答对的题数是x道， 5x-2（20-1-x）≥70， x≥15 故至少答对16题，总分才不会低于70分. 故答案为16． 点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出相应的题目数，以得分做为不等量关系列不等式求解． 3．为了增加同学们对新冠肺炎防控知识的了解，某班级组织了一次测验，共有15道选择题，评分标准为：答对一道题给2分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣分．小强同学在答题时除了有2道题不会没有给出答案外，对其它题都给出了答案，若他想让自己的总分不低于16分，那么他至少要答对几道题？ 【答案】小明至少要答对 11 道题，总分才不会低于16分． 【分析】设小明答对x道题，根据他想让自己的总分不低于16分，列不等式解不等式，结合为整数，从而可得答案． 【详解】解：设小明答对x道题， 根据题意，可得 ， 解得， 因为 x 是整数，所以 x 最小整数值是 11 ， 答：小明至少要答对 11 道题，总分才不会低于16分． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握利用不等关系列一元一次不等式是解题的关键． 专题训练09一元一次不等式的应用——销售问题 1．推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润”列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 2．2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．利用销售利润=售价-进价，结合至少获利，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 3．小明爸爸经营了一家商店，他在课余时间关注了甲、乙两种商品的营销情况，他查看这两种商品的进货单和已售出商品统计，如表： 表一：进货单 商品名称 数量（件） 单价（元/件） 合计（元） 甲 80 50 4000 乙 50 40 2000 表二：销售统计 统计日期 售出甲商品件数（件） 售出乙商品件数（件） 总售价 12月30日 0 1 50 12月31日 1 2 180 元月1日 2 10 660 (1)分析表中数据，直接写出甲、乙两种商品的售价，甲的售价为_____元/件，乙的售价为_______元/件； (2)小明爸爸发现甲商品销售情况不好，决定从元月2日开始对甲商品进行打折销售，乙商品销售价格不变，在甲商品的单件利润不低于乙商品的单件利润的情况下，求甲商品最多可以打几折； (3)按照以上销售方式，甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得多少利润？ 【答案】(1)80，50； (2)甲商品最多可以打折； (3)一共可获得1360元的利润． 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，有理数的混合运算的应用； （1）由第二个表格的信息可得乙商品的售价为每件元，再列式计算甲商品的售价即可， （2）设甲商品最多可以打折，结合题意可得：，再解不等式即可； （3）根据甲按照80元每件销售了3件，剩下的打折，乙按照每件50元进行销售，再列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：乙商品的售价为每件元， 甲商品的售价为每件元， （2）解：设甲商品最多可以打折，由题意可得： ， 解得：， ∴甲商品最多可以打折． （3）解：由题意可得：（元）； ∴按照以上销售方式，甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得利润； 专题训练10一元一次不等式的应用——分配问题 1．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若__________，依题意设有x名同学，可列不等式，则横线处可以是（    ）． A．每人分3本，则剩余4本 B．每人分3本，则最后一人可多分4本 C．每人分3本比每人分5本，书多剩出4本 D．每人分3本，则可多分给4个人 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】解：由不等式，可得：把一些书分给x名同学，若每人分3本，则可多分4个人；若每人分5本，则有剩余． 故选：D． 2．把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有 名同学． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是设有名学生，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设有名学生， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴至少有名同学． 故答案为：． 3．一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果每人分5本，那么最后一人分不到3本． (1)书有______本（用含x的式子表示） (2)按后一种分法，最后一人分到______本（用含x的式子表示） (3)有多少本书？有多少人？ 【答案】(1)3x＋8 (2)3x＋8－5（x－1） (3)26本；6人 【分析】（1）根据：书的本数=人数人均书数+剩余书数； （2）根据：最后一人分的书数=总数前面人分到的书数； （3）最后一人分不到3本，即； 【详解】（1）解：书的本数=人数人均书数+剩余书数=； （2）最后一人分的书数=总数前面人分到的书数=； （3）， 解得：， 所以（人）， 有人，书共有26本． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题关键读懂“最后一人分不到本”． 专题训练11一元一次不等式的应用——数字问题 1．有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】设十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意列不等式解答即可． 【详解】解：设十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意， ， 解得：， ∵为整数且， ∴，， ∴当时，个位上的数字为， 当时，个位上的是数字为， ∴这个两位数为或， 故选． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与实际问题，明确题目中的数量关系是解题的关键． 2．有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是 ． 【答案】87或98/98或87 【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，就可以表示出这个两位数为，根据这个两位数不小于80建立不等式求出其解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得 ， 解得：， 为整数，， ，9， 个位上的数字为：或8， 这个两位数为：87或98． 故答案为：87或98． 【点睛】本题考查了数字问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立不等式是关键． 3．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕上的数字就会自动加上2．已知屏幕上的初始数字为，如图所示．    (1)从初始状态按2次后，求屏幕上显示的结果； (2)按次按键后，若屏幕上显示的数字不小于0，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据每按一次按键，屏幕上的数字就会自动加上2列式计算即可； （2）根据按次按键后，若屏幕上显示的数字不小于0列不等式求解． 【详解】（1）由题意得， ． （2）由题意得， ， 解得 ， ∴的最小值为5． 【点睛】本题考查了有理数加法的应用，一元一次不等式的应用，正确列出算式和不等式是解答本题的关键． 专题训练12一元一次不等式的应用——行程问题 1．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车的到站情况．小聪要乘坐公交车，他走到站牌的处，拿出手机查看了公交车的到站情况，发现他与公交车之间的距离为（如图），此时他与公交车相向而行，到站牌去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪不会错过这辆公交车，则站牌与小聪之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设看手机时小聪到站牌的距离为，由题意列出一元一次不等式，然后求解即可，读懂题意，找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设看手机时小聪到站牌的距离为， 由题意得：， 解得：， ∴站牌与小聪之间的距离最大为， 故选：． 2．一辆匀速行驶的汽车在距离A地50km，要在之前驶过A地，道路最高限速，该车速度v应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：， 由题意，得：， 解得：， 又∵道路最高限速， ∴； 故答案为：． 3．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 专题训练13一元一次不等式的应用——方案问题 1．如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（      ） 歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元 A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设嘉淇和朋友们共有x人，根据题意，列出不等式，求出最小整数解即可． 【详解】解：设嘉淇和朋友们共有x人． 若选择包厢计费方案需付元， 若选择人数计费方案需付 (元)， 由题意，得：， 解得： ∴ 至少有8人． 故选 C． 2．某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案 ；租车总费用最少需要 元． 【答案】 辆客车（答案不唯一） 租客车辆， 客车辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，由题意可知，最多租辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可，按租丙客车的数量讨论，设甲客车租x辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案，正确理解题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵每辆车至少有名教师， ∴最多租辆客车， ∵总人数为(人) ， 若全租客车，符合题意, 则满足乘坐需求的租车方案为辆客车， 故答案为：辆客车 (答案不唯一) ； 若租客车辆，则客车没有租， 此时乘坐人数为满足题意， 租车总费用为: 元； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得： ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为， 当时，即租客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当租客车少于辆时，均不满足需求， 则租车总费用最少的租车方案为租客车辆， 客车辆， 故答案为：租客车辆， 客车辆． 3．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？ (2)经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中且为整数）． ①请用含a的代数式表示： 若该校到甲商场购买，所花的费用为__________元；若该校到乙商场购买，所花的费用为__________元； ②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？ ③假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？（直接写出方案） 【答案】(1)队服150元，足球100元 (2)①，②③当时，到乙处购买更合算；当时，到两家商场购买一样合算；当时，到乙商场购买比较合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列代数式等知识，理解题意，根据题意表示出两个商场的费用是解题关键． （1）设每个足球的价格是x元，则每套队服的价格是元，根据题意列方程，解方程，问题得解； （2）①分别根据两个商场的优惠方案列式即可求解；②根据题意得到当两商场费用相同时，列方程得到足球的个数， ③根据当两商场费用相同时，所能购买到的足球个数，分类比较即可． 【详解】（1）（1）解：设每个足球的价格是x元，则每套队服的价格是元， 依题意得：， 解得：， 则． 答：每套队服的价格是150元，每个足球的价格是100元； （2）解：①甲商场的费用：当时，费用为：元； 乙商场的费用为：元； 故答案为： ，； ②依题意得， 解得， ③因为，当时，两家花费一样； 若 解得， 所以，当时，到乙处购买更合算； 当时，到两家商场购买一样合算； 当时，到乙商场购买比较合算． 专题训练14一元一次不等式的应用——几何问题 1．已知三角形的两边长为2，4，则第三边长应为（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系求解即可，三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：∵三角形的两边长为2，4， 设第三边为， ∴ 即 故选B 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 2．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 3．一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 专题训练15作差法应用 1．已知是真分数，那么与比较大小的结果是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由是真分数可得，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：是真分数， ， ， ，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了真分数，根据真分数的定义得出是解题的关键． 2．比较大小，用“”或“”填空： （1）若，且，则 ． （2）若，为实数，则 ． 【答案】 ＜ ＞ 【分析】（1）由不等式的性质可得，即可求解． （2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小． 【详解】解：（1），且， ， ， 故答案为：． （2） ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了比较代数式的大小以及不等式的基本性质，常见的比较大小的方法有：作差法、作商法、两边同时平方等，熟练运用合适的方法进行比较，是解决此类题的关键． 3．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系． （1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； （2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系； ②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 专题训练16一元一次不等式的新定义应用 1．定义；如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论： （1）代数式：的“相反式”是； （2）若与互为“相反式”，则的值为； （3）当时，代数式（，，，是常数的值为10，则它的“相反式”的值为； （4）无论取何值，代数式的值总大于其“相反式”的值，则的取值范围为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相反式的含义直接可判断（1），再建立方程组，再解方程组可判断（2），先把代入代数式，再把代入其相反式即可判断（3），由（4）的含义建立不等式，再利用不等式的性质可判断（4），从而可得答案． 【详解】解：（1）的“相反式”是，（1）错误； （2）由题意得，解得， ，（2）正确； （3）当时，代数式 ，， ，（3）正确； （4）由题意得， 即 ， 解得，（4）正确； 故正确结论有3个， 故选C． 【点睛】本题考查的是相反式的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，非负数的性质，不等式的性质，因式分解的应用，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键． 2．对于实数a，b，我们定义符号；当时，；当时，.例如：，． 根据上面的材料，回答下列问题： （1）若，则 ． （2）当时，x的取值范围是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，掌握解一元一次不等式的一般步骤． （1）由新定义直接可得答案； （2）由新定义，列出不等式，即可解得的范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为：． 3．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)，，，，，； (3)． 【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． 【详解】（1）解：解关于的不等式：，得． 解不等式：，得． 由题意得，解得． （2）解：解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴，易知， ∴． ∵，是正整数，且 ∴为1或7或17或或， ∴； （3）解：解不等式：，得． 将不等式变形，得，则， 不等式的解集为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的解集为． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练一 一元一次不等式思维导图 专题训练01一元一次不等式中求参 1．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，该不等式有三个正整数解，则a的取值范围是 ．    3．已知关于x的一元一次方程的解满足，求a的取值范围． 专题训练02一元一次不等式中有解 1．若关于的不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若不等式有解，则实数的最小值是 . 3．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 专题训练03一元一次不等式的整数解 1．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 2．已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ． 3．若关于x的方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 专题训练04一元一次不等式的新定义运算 1．对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义一种运算：，则不等式的解集是 ． 3．对x，y定义一种新运算：．例如：当，时，． (1)若，求a和b的值； (2)若b是非负数，，求a的取值范围． 专题训练05一元一次不等式与方程组结合 1．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 3．已知关于，的二元一次方程组 (1)求这个方程组的解（用含的式子表示）； (2)若这个方程组的解，满足成立，求的取值范围． 专题训练06一元一次不等式的绝对值 1．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 2．不等式的解集是 ． 3．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 专题训练07一元一次不等式的最值 1．非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 2．已知且，则的最小值为 ． 3．已知有关的方程的解也是不等式的一个解，求满足条件的整数的最小值． 专题训练08一元一次不等式的应用——扣分问题 1．一次智力测验，有道选择题．评分标准是：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于分，那么小明至少答对的题数是（  ） A．道 B．道 C．道 D．道 2．在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对l题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，张强有1道题末答，如果总分才不会低于70分，则他至少答对 道题． 3．为了增加同学们对新冠肺炎防控知识的了解，某班级组织了一次测验，共有15道选择题，评分标准为：答对一道题给2分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣分．小强同学在答题时除了有2道题不会没有给出答案外，对其它题都给出了答案，若他想让自己的总分不低于16分，那么他至少要答对几道题？ 专题训练09一元一次不等式的应用——销售问题 1．推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ． 3．小明爸爸经营了一家商店，他在课余时间关注了甲、乙两种商品的营销情况，他查看这两种商品的进货单和已售出商品统计，如表： 表一：进货单 商品名称 数量（件） 单价（元/件） 合计（元） 甲 80 50 4000 乙 50 40 2000 表二：销售统计 统计日期 售出甲商品件数（件） 售出乙商品件数（件） 总售价 12月30日 0 1 50 12月31日 1 2 180 元月1日 2 10 660 (1)分析表中数据，直接写出甲、乙两种商品的售价，甲的售价为_____元/件，乙的售价为_______元/件； (2)小明爸爸发现甲商品销售情况不好，决定从元月2日开始对甲商品进行打折销售，乙商品销售价格不变，在甲商品的单件利润不低于乙商品的单件利润的情况下，求甲商品最多可以打几折； (3)按照以上销售方式，甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得多少利润？ 专题训练10一元一次不等式的应用——分配问题 1．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若__________，依题意设有x名同学，可列不等式，则横线处可以是（    ）． A．每人分3本，则剩余4本 B．每人分3本，则最后一人可多分4本 C．每人分3本比每人分5本，书多剩出4本 D．每人分3本，则可多分给4个人 2．把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有 名同学． 3．一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果每人分5本，那么最后一人分不到3本． (1)书有______本（用含x的式子表示） (2)按后一种分法，最后一人分到______本（用含x的式子表示） (3)有多少本书？有多少人？ 专题训练11一元一次不等式的应用——数字问题 1．有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是（    ） A． B． C．或 D． 2．有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是 ． 3．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕上的数字就会自动加上2．已知屏幕上的初始数字为，如图所示．    (1)从初始状态按2次后，求屏幕上显示的结果； (2)按次按键后，若屏幕上显示的数字不小于0，求的最小值． 专题训练12一元一次不等式的应用——行程问题 1．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车的到站情况．小聪要乘坐公交车，他走到站牌的处，拿出手机查看了公交车的到站情况，发现他与公交车之间的距离为（如图），此时他与公交车相向而行，到站牌去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪不会错过这辆公交车，则站牌与小聪之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 2．一辆匀速行驶的汽车在距离A地50km，要在之前驶过A地，道路最高限速，该车速度v应满足的条件是 ． 3．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 专题训练13一元一次不等式的应用——方案问题 1．如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（      ） 歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元 A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人 2．某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案 ；租车总费用最少需要 元． 3．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？ (2)经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中且为整数）． ①请用含a的代数式表示： 若该校到甲商场购买，所花的费用为__________元；若该校到乙商场购买，所花的费用为__________元； ②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？ ③假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？（直接写出方案） 专题训练14一元一次不等式的应用——几何问题 1．已知三角形的两边长为2，4，则第三边长应为（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 2．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    3．一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 专题训练15作差法应用 1．已知是真分数，那么与比较大小的结果是（    ）． A． B． C． D．无法确定 2．比较大小，用“”或“”填空： （1）若，且，则 ． （2）若，为实数，则 ． 3．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 专题训练16一元一次不等式的新定义应用 1．定义；如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论： （1）代数式：的“相反式”是； （2）若与互为“相反式”，则的值为； （3）当时，代数式（，，，是常数的值为10，则它的“相反式”的值为； （4）无论取何值，代数式的值总大于其“相反式”的值，则的取值范围为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．对于实数a，b，我们定义符号；当时，；当时，.例如：，． 根据上面的材料，回答下列问题： （1）若，则 ． （2）当时，x的取值范围是 ． 3．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$