重难点专题训练二 一元一次不等式组（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

重难点专题训练二 一元一次不等式组思维导图 专题训练01一元一次不等式组中求参 1．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出，然后根据不等式组的解集为，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解不等组式得：， ∵不等式组的解集为， ∴的范围为． 故选：D． 2．已知关于x的不等式组 （1）当时，不等式组的解集为 ； （2）当的解集为时，a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可确定a的范围． 【详解】解：（1）当时， 不等式组为， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为； 故答案为：． （2）解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 3．已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）表示出不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围即可； （2）根据不等式组有解表示出解集，由解集中的任何一个x值均不在的范围内，确定出a的范围即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得 ， 因为该不等式组有且只有4个整数解， 所以， 所以，整数解为， 所以， 解得， 所以满足条件的整数a的值为； （2）解：因为该不等式组有解， 所以， 所以． 因为解集中的任何一个x值均不在的范围内， 所以， 解得， 所以a的取值范围为． 专题训练02一元一次不等式组中有、无解 1．若不等式组有解，则a取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．根据不等式组有解得出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组有解， ∴， ∴． 故选：C． 2．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式无解的情况是解题的关键．解出不等式组的解集后再根据不等式组无解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组无解，即， 故答案为：． 3．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 专题训练03一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的最大整数解是（   ） A．5 B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，正确求解是关键；分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分，即可求得最大整数解． 【详解】解：解第一个不等式得：，第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数分别为，0，1，2，3，4， 则最大整数解为4； 故选：B． 2．不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 专题训练04一元一次不等式组的新定义运算 1．对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当时，；当时，． 例如：．参照上面的材料，则，则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式;分当，即时，当，即时，两种情况根据新定义建立不等式求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∴； 当，即时， ∵， ∴， 解得，此时无解； 综上所述，． 故选：C． 2．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、新定义，根据，可以将不等式组不等式组可以转化为，然后求解即可．解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组． 【详解】解：由题意可得，不等式组可以转化为， 解得， 故答案为：． 3．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 专题训练05一元一次不等式组与方程组结合 1．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案． 【详解】把两个方程相减，可得 与的和不小于 解得： k的取值范围为． 故答案为：． 3．已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）由题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而根据是整数可得的值； 本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的整数解，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 由①得，， 由②得，， ∴， ∵是整数， ∴． 专题训练06一元一次不等式组的最值 1．已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，由题意得，用表示，，再根据、、，为非负数得不等式组即可求得，进而可得，的值，即可求解．熟练掌握相关运算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故排除C和D， 由题意，得，解得， ∵a、b、c均非负，∴， 解得， ∵c的最大值为m，最小值为n， ∴，， ∴， 故选：B． 2．已知、都是非负数，且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，则的值是 ． 【答案】 【分析】先用a的代数式表示出x，y，再由、都是非负数列不等式组并求解出a的取值范围，再根据不等式的性质求出A的最大值和最小值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵、都是非负数， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得， ∵， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 专题训练07一元一次不等式组的应用——分配问题 1．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书共有本数为（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的应用，设有x人，则书有本，根据：如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可求解． 【详解】解：设有x人，则书有本， 由题意得：， 解得， x为正整数， ， 这些书共有本数为：（本）， 故选C． 2．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本． 【答案】26 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．设一共有x人，根据“如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本”，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设一共有x人，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， 所以， 答：这些书共有26人． 故答案为：26 3．某班级买了一些书，要分给班里的小组．如果每个小组分3本，那么余8本；如果前面的小组每组分5本，那么最后一组就分不到3本这些书有多少本？共有多少组？ 【答案】有6个小组，26本书 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题关键是弄懂题意，表示出书的数量，找出题目中的关键语句，列出不等式． 设有x个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含x的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到3本”列不等式，解不等式，取正整数解即可． 【详解】解：设有个小组，则有本书． 由题可列不等式组 解得：， ∵x取正整数， ， ， 答：有6个小组，26本书． 专题训练08一元一次不等式组的应用——容器问题 1．某长方体形状的容器长7 ，宽5 ，高10 ，容器内原有水的高度为4 ，现准备向它继续注水.用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围.（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积得出不等式，再根据新注入水的体积不能是负数得出，即可求出V答案即可． 【详解】新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即， 解得：， 又由于新注入水的体积不能是负数，可得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的实际应用，认识立体图形等知识点，能根据题意列出不等式是解此题的关键． 2．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键．根据水的总体积不能超过容器的总体积，即可列出不等式组，求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：． 3．如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升． (1)求一个大玻璃球的体积； (2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围． 【答案】(1)一个大玻璃球的体积为； (2)一个小玻璃球体积的大于且不大于． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）利用容器的底面积倒入水的体积水面的高度，可求出容器的底面积，再利用一个大玻璃球的体积容器的底面积放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可求出一个大玻璃球的体积； （2）设一个小玻璃球的体积是，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：容器的底面积为， 一个大玻璃球的体积为． 答：一个大玻璃球的体积为； （2）解：设一个小玻璃球的体积是， 根据题意得：， 解得：． 答：一个小玻璃球体积的大于且不大于． 专题训练09一元一次不等式组的应用——温度问题 1．农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（    ） A． B． C． D．以上 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组的应用，根据题意，设大棚温度为，则，再根据一元一次不等式组的方法，求出这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜即可． 【详解】解：设大棚温度为， 则， 解得， ∴这时应该把大棚温度设置在最适宜． 故选：B． 2．云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是， 故答案为：． 3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)14 (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)应接或的开水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式． （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：根据题意得： 解得：， ∵x为整数， ∴或， 答：应接或的开水． 专题训练10一元一次不等式组的应用——方案问题 1．静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据题意得出不等式是解题关键，注意题干中的条件：“至少要买4本种笔记本”． 设静怡准备买种笔记本本，则购买种笔记本本，根据题意建立不等式即可求解． 【详解】解：设静怡准备买种笔记本本，则购买种笔记本本， 根据题意可知，， 解得，， ， ， ∴x可取4，5，6，7， ∴共4有种方案． 故选：C． 2．某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 【答案】 【分析】本题考查了方案的设计选择，分析题意合理使用方案是解题关键． （1）根据甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨，设计出甲型电池的组法，再分别求出乙型电池吨数，满足两种电池总重量不超过24.5吨即可； （2）根据（1）中方案，计算总数，判断即可． 【详解】解：（1）设甲型电池吨数为，乙型电池的吨数为， 甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨， ， 由表得满足甲型电池的组法为： 组用甲型电池12吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池11吨， 以上五种方案中使用乙型电池吨数为： 组用乙型电池10吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池12吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池15吨， 两种电池总重量不超过24.5吨， ， 满足题意的方案为组，， 一种满足条件的组装方案可以是， 故答案为：； （2）由（1）得，组用的乙型电池最多， 故答案为：． 3．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 专题训练11一元一次不等式组的应用——程序问题 1．运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算与程序图，一元一次不等式组的运用，理解程序图的计算方法，掌握有理数的混合运算法则，一元一次不等式组的计算方法是解题的关键． 根据题意，第一次计算为，第二次计算为，由此联立不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 由①得，， 由②得，， ∴的取值范围是， 故选：A ． 2．按如图程序进行运算，并规定程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x的所有值是 ．    【答案】6，7，8，9 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 根据程序可以列出不等式组，即可确定x的整数值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 根据题意得： 解得：． 则x的整数值是：6，7，8，9． 故答案是：6，7，8，9． 3．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25？”为一次操作． (1)如果操作只进行一次就停止，求x的取值范围； (2)如果操作进行了两次才停止，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． （1）根据题意可列不等式，解得的取值范围即可， （2）根据题意可得，第二次停止，则可得不等式组，解得的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：． 故操作只进行一次就停止时，的取值范围是． （2）解：前两次操作的结果分别为，． 由题意，得， 解得：． 故操作进行了两次才停止时，的取值范围是． 专题训练12一元一次不等式组的新定义应用 1．若定义一种新的取整符号，即表示不小于的最小整数．例如：，．则下列结论正确的是（    ） ①；②；③方程的解有无数多个；④当时，则的值为0、1或；⑤若，则的取值范围． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④分情况讨论，验证的所有取值；⑤把方程问题转化为不等式问题；． 【详解】解：由题意得：，故①结论正确； 设，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分， ∴，故②结论不正确； 设，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分 则方程可变形为：， 解得：， ∵a的值不能够确定， ∴方程有无数多个解，故③结论正确； 当时，， 即， ∴当时，， ∴； 当时，， 即， ∴； 当时，， 即， ∴，故④结论不正确． ∵， ∴， 解得：， ∴⑤结论正确； 故正确的为①③⑤ 故选：C． 【点睛】本题考查了取整函数与一元一次不等式，解题的关键在于能够把取整数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决． 2．定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，先解出不等式组的解集，再根据题干“子集”的定义，得出关于k的不等式，问题随之得解． 【详解】解：解不等式组得，． 又关于x的不等式的解集为：， ∵关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴． ∴． 故答案为：． 3．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 专题训练13阅读理解——特殊不等式组 1．阅读理解题：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，得； 解不等式组，得， 所以原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上阅读材料，解不等式． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，由两数相乘异号得负得出关于的不等式组，解之可得答案． 【详解】解：根据题意可得①或②， 解不等式组①，知该不等式组无解； 解不等式组②，得， 该不等式的解集为． 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得情况①；或情况② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______； (2)解一元二次不等式； (3)解分式不等式． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则． （1）仿照题意求解即可； （2）先因式分解得到，再根据由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”， 得情况①；或情况②，解两个不等式组即可； （3）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得情况①；或情况②解两个不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得情况①；或情况② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或， 故答案为：或． （2）解：∵， ∴， 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”， 得情况①；或情况② 解不等式组①，得；解不等式组②，得不等式组无解， ∴的解集为， 即一元二次不等式的解集为； （3）解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”， 得情况①；或情况② 解不等式组①，得；解不等式组②，得不等式组无解， ∴的解集为． 3．阅读理解： 例：解不等式． 解：把不等式进行整理，得，通分得， 即，则有：①；②． 解不等式组①得：；解不等式组②得：． 所以原不等式的解集为：或． 请根据以上解不等式的思想方法解不等式． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据所给的解一元一次不等式的方法得到关于的不等式组是解题的关键．先根据题意把不等式的右边化为0的形式，再得到关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：把不等式进行整理，得 通分得，即 则有：①；② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：． 所以原不等式的解集为：或． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练二 一元一次不等式组思维导图 专题训练01一元一次不等式组中求参 1．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组 （1）当时，不等式组的解集为 ； （2）当的解集为时，a的取值范围为 ． 3．已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 专题训练02一元一次不等式组中有、无解 1．若不等式组有解，则a取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 3．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 专题训练03一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的最大整数解是（   ） A．5 B．4 C．2 D．3 2．不等式组的所有整数解的和为 ． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 专题训练04一元一次不等式组的新定义运算 1．对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当时，；当时，． 例如：．参照上面的材料，则，则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是 ． 3．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 专题训练05一元一次不等式组与方程组结合 1．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 2．关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 3．已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 专题训练06一元一次不等式组的最值 1．已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知、都是非负数，且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，则的值是 ． 3．已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 专题训练07一元一次不等式组的应用——分配问题 1．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书共有本数为（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 2．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本． 3．某班级买了一些书，要分给班里的小组．如果每个小组分3本，那么余8本；如果前面的小组每组分5本，那么最后一组就分不到3本这些书有多少本？共有多少组？ 专题训练08一元一次不等式组的应用——容器问题 1．某长方体形状的容器长7 ，宽5 ，高10 ，容器内原有水的高度为4 ，现准备向它继续注水.用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围.（    ） A． B． C． D． 2．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是 ． 3．如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升． (1)求一个大玻璃球的体积； (2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围． 专题训练09一元一次不等式组的应用——温度问题 1．农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（    ） A． B． C． D．以上 2．云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是 ． 3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 专题训练10一元一次不等式组的应用——方案问题 1．静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 3．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 专题训练11一元一次不等式组的应用——程序问题 1．运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．按如图程序进行运算，并规定程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x的所有值是 ．    3．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25？”为一次操作． (1)如果操作只进行一次就停止，求x的取值范围； (2)如果操作进行了两次才停止，求x的取值范围． 专题训练12一元一次不等式组的新定义应用 1．若定义一种新的取整符号，即表示不小于的最小整数．例如：，．则下列结论正确的是（    ） ①；②；③方程的解有无数多个；④当时，则的值为0、1或；⑤若，则的取值范围． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 2．定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ． 3．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 专题训练13阅读理解——特殊不等式组 1．阅读理解题：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，得； 解不等式组，得， 所以原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上阅读材料，解不等式． 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得情况①；或情况② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______； (2)解一元二次不等式； (3)解分式不等式． 3．阅读理解： 例：解不等式． 解：把不等式进行整理，得，通分得， 即，则有：①；②． 解不等式组①得：；解不等式组②得：． 所以原不等式的解集为：或． 请根据以上解不等式的思想方法解不等式． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$