精品解析：河南省南阳市新野县2024-2025学年八年级上学期1月数学期末考试题

新野县2024年秋期期终质量评估八年级试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列实数中，属于无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. 24 C. 40 D. 48 3. 某校八年级开展“阳光体育”活动，对爱好排球、足球、篮球、羽毛球的学生人数进行统计，得到如图所示的扇形统计图．爱好排球的人数是27人，爱好足球的人数是爱好羽毛球的人数的4倍，则下列说法正确的是（ ） A. 喜欢篮球的人数为16人 B. 喜欢足球的人数为36人 C. 喜欢羽毛球的人数为10人 D. 被调查的学生人数为80人 4. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②一定有立方根；③“相等的角是对顶角”是真命题；④“等边对等角”的逆命题是真命题．其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示数是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ） A. 已知三条边 B. 已知三个角 C. 已知两角和夹边 D. 已知两边和夹角 8. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 9. 如图，，分别是锐角的高，，相交于点，若，，，则的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 10. 如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米 A. 5 B. C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 若，，则等于________． 13. 如图，的两条角平分线交于点，过点作的平行线分别交边、于点、，已知，，，则的周长为________． 14. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为________． 15. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2）； 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 生活垃圾分类与回收利用可以减少污染，生活垃圾一般可分为四大类：可回收物（A）、厨余垃圾（B）、有害垃圾（C）和其他垃圾（D），某垃圾处理厂统计了居民日常生活垃圾的分类情况，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （1）求在此次调查中，表示“有害垃圾（C）”部分的扇形的圆心角度数； （2）请将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）研究发现，在可回收物（A）中废纸约占，某企业利用回收的1吨废纸可生产0.8吨纸，若该市每天生活垃圾为2000吨，那么该企业每天利用回收的废纸可以生产多少吨纸？ 19. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点，连接、；（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．） （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 21 如图，AC⊥BC，DC⊥EC， AC=BC， DC=EC， AE与BD交于点F． （1）求证： AE=BD； （2）求∠DFE的度数． 22. 【阅读材料】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如：． ． 请仿照上例解决以下问题： （1）因式分解：； （2）多项式有最_______（填大或小）值，这个值为________． （3）已知、、是三边的长，且满足，判断的形状，并说明理由． 23. 如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．若点、两点分别从点、同时出发． （1）经过2秒后，求证： ①； ②； （2）若周长为，问经过几秒钟后，为等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新野县2024年秋期期终质量评估八年级试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故不符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 3. 某校八年级开展“阳光体育”活动，对爱好排球、足球、篮球、羽毛球的学生人数进行统计，得到如图所示的扇形统计图．爱好排球的人数是27人，爱好足球的人数是爱好羽毛球的人数的4倍，则下列说法正确的是（ ） A. 喜欢篮球的人数为16人 B. 喜欢足球的人数为36人 C. 喜欢羽毛球的人数为10人 D. 被调查的学生人数为80人 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键是从扇形统计图中获取准确的信息． 先求出被调查的学生的人数，可求得喜欢篮球的人数，从而得到喜欢足球的和喜欢羽毛球的人数之和，根据爱好足球的人数是爱好羽毛球的人数的4倍，可求出喜欢足球的人数，喜欢羽毛球的人数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：被调查的学生的人数：（人），故D选项错误，不符合题意； ∴喜欢篮球的人数为：（人），故A选项错误，不符合题意； ∴喜欢足球的和喜欢羽毛球的人数之和为：（人）， ∵爱好足球的人数是爱好羽毛球的人数的4倍， ∴喜欢足球的人数为（人），故B选项正确，符合题意； ∴喜欢羽毛球的人数为（人），故C选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②一定有立方根；③“相等的角是对顶角”是真命题；④“等边对等角”的逆命题是真命题．其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴的关系、立方根、命题的真假，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用实数与数轴的关系、立方根的定义、对顶角相等及等腰三角形的性质分别分析得出答案． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确，符合题意； ②一定有立方根，原说法正确，符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，则“相等的角是对顶角”是假命题，原说法错误，不符合题意； ④“等边对等角”逆命题是“等角对等边”在同一个三角形内成立，故是真命题，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 点表示的数为,点表示的数为， ， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：B． 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， ， 的周长， ， ， ， 故选：A． 7. 利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ） A. 已知三条边 B. 已知三个角 C. 已知两角和夹边 D. 已知两边和夹角 【答案】B 【解析】 【详解】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形； B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形； C、正确，符合ASA判定； D、正确，符合SAS判定． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查由已知条件作三角形，可以依据三角形全等判定来做． 8. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 9. 如图，，分别是锐角的高，，相交于点，若，，，则的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； 先得出，再利用证明，则有，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：，分别是锐角的高， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米 A. 5 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式法，再利用平方差公式进行因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若，，则等于________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式对与关系的转化，结合已知条件求解。 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：40 13. 如图，的两条角平分线交于点，过点作的平行线分别交边、于点、，已知，，，则的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边判定等腰三角形，掌握角平分线的定义，等角对等边的性质是解题的关键． 根据角平分线定义，平行线的性质可得，，则周长为，由此即可求解． 【详解】解：的两个角平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故答案为：24． 14. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为________． 【答案】13，84，85 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，进而得出（13，84，85）． 【详解】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1； 第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1； 第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1； ∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1， ∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5． 故答案为：13，84，85． 【点睛】本题考查的是勾股数的规律探究，能够根据题意找到每组勾股数之间的关系是解决本题的关键． 15. 如图，中，，，，，分别是边，上两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的数混合运算，幂的混合运算． （1）先开方，化简绝对值，计算乘方，再加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法及除法，最后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式，把所求式子化简．先展开，去括号合并同类项，化简后将、的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式 18. 生活垃圾的分类与回收利用可以减少污染，生活垃圾一般可分为四大类：可回收物（A）、厨余垃圾（B）、有害垃圾（C）和其他垃圾（D），某垃圾处理厂统计了居民日常生活垃圾的分类情况，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （1）求在此次调查中，表示“有害垃圾（C）”部分的扇形的圆心角度数； （2）请将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）研究发现，在可回收物（A）中废纸约占，某企业利用回收的1吨废纸可生产0.8吨纸，若该市每天生活垃圾为2000吨，那么该企业每天利用回收的废纸可以生产多少吨纸？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）该企业每天利用回收的废纸可以生产60吨纸 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先求出调查的垃圾的总重量，再用360度乘以“有害垃圾（C）”部分所占的比例，即可求解； （2）求出“B”厨余垃圾的重量，再求出厨余垃圾（B）、有害垃圾（C）和其他垃圾（D）各自所占垃圾总重量的百分比，即可求解； （3）求出一天回收的废纸重量，据此求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的垃圾的总数量为：（吨）， 表示“有害垃圾（C）”部分扇形的圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：“B”厨余垃圾的重量为：（吨）， 、厨余垃圾（B）所占垃圾总重量的百分比为：， 有害垃圾（C）所占垃圾总重量的百分比为：， 其他垃圾（D）所占垃圾总重量的百分比为：， 补全条形统计图和扇形统计图如下： 【小问3详解】 解： （吨）， 答：该企业每天利用回收的废纸可以生产60吨纸． 19. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面处折断 （2）在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； 【小问2详解】 解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点，连接、；（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．） （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）根据作已知角的平分线的步骤作图即可； （2）根据题意易得是等腰三角形，结合是的角平分线及，求出，进而求出，，由三角形内角和定理求出，再证明，推出，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，AC⊥BC，DC⊥EC， AC=BC， DC=EC， AE与BD交于点F． （1）求证： AE=BD； （2）求∠DFE的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）90° 【解析】 【分析】（1）先证明∠ACE=∠BCD，再证明△DCB≌△ECA便可得AE=BD； （2）由全等三角形得∠A=∠B，由∠ANC=∠BNF，∠A+∠ANC=90°推出∠B+∠BNF=90°，可得∠AFD=90． 【详解】证明：（1）∵AC⊥BC DC⊥EC ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中 ∴△ACE≌△BCD ∴ AE=BD (2)∵△ACE≌△BCD ∴∠E=∠D 在△FOE和△COD中 ∵∠FOE=∠COD，∠E=∠D ∴∠DFE=∠ECD=90° 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 【阅读材料】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如：． ． 请仿照上例解决以下问题： （1）因式分解：； （2）多项式有最_______（填大或小）值，这个值为________． （3）已知、、是三边的长，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）大，10 （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，勾股定理得逆定理，正确理解题意是解题关键； （1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式配方，再利用完全平方公式的非负性解答即可求解； （3）将等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，然后利用勾股定理逆定理判定三角形即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． ∵， ∴， ∴． ∴当时，多项式有最大值，这个值为10． 故答案为：大，10 【小问3详解】 ，b，c为的三条边，， 即， ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 23. 如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．若点、两点分别从点、同时出发． （1）经过2秒后，求证： ①； ②； （2）若的周长为，问经过几秒钟后，为等腰三角形？ 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）经过2秒后，，则，，结合已知可得，，，即可根据可证得；由；可得，再根据三角形的外角即可得证． （2）可设点E的运动时间为，是等腰三角形，则可知，，，，再根据的周长为，得出，当为等腰三角形时，分三种情况从而求得t的值即可． 【小问1详解】 证明：当P，E两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有，， 则，， 是的中点， ， ，， 又中，， ， 在和中， ， ； ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设当P，E两点同时出发运动t秒时， 有， 的取值范围为， 则，， 的周长为，  ， 要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： 当时，则有 解得：（此时，舍去）； 当时，则有 解得：； 当时，则有 解得：； 三种情况均符合t的取值范围． 综上所述，经过秒或秒时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $