专题07 代数推理证明题（单选压轴精选30道）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用）

2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题07 代数推理证明题（单选压轴精选30道） 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给运算方式是解题的关键． 根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2进行计算，并对所给说法进行判断即可． 【详解】解：由题知， ，， 则或3或6． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又因为，， 所以，，， 所以． 由得， ，． 故①②错误，③正确． 所以运算结果为15232． 故④错误． 故选：A． 2．简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，有依次排列的3个整式x，y，z，用任意两个整式的和减去剩下的整式，产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过实际操作，下列结论： ①第3次操作后，得到的整式串为，，； ②第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43； ③第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式x，y，z）的和为． 其中正确的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式类规律探索、整式的加减的的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出第次操作后，得到的整式串，再归纳类推出一般规律，逐个判断即可得． 【详解】解：由题意得：第1次操作后，得到的整式串为，，， ∵， ， ， ∴第2次操作后，得到的整式串为，，， ∵， ， ， ∴第3次操作后，得到的整式串为，，，结论①正确； ∵， ， ， ∴第4次操作后，得到的整式串为，，， 归纳类推得：每次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都相同，每个多项式的各项系数之和都等于1，而且有两项的系数相等，其中，不相等的系数依次为， 则第次操作后，得到的整式串中，不相等的系数为（其中为正整数）， ∵，， ∴第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43，结论②正确； 第1次操作后，得到的整式串的和为， 第2次操作后，得到的整式串的和为， 第3次操作后，得到的整式串的和为， 归纳类推得：每次操作后，得到的整式串的和都是， 则第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式）的和为，结论③正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：D． 3．对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法； ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数，使得是10的倍数． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减及数字类变化规律，根据题意找到规律是解题的关键．先分别计算出，再对各个说法分别分析并判断即可得出结论． 【详解】已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 由上述计算可知，题干未说明的取值，所以不一定等于7， 故说法①错误； 当时，， ， ∵， ， 故说法②错误； 当时，即， 此时，， 发现所有的末位数字均为2、4、6，不会出现0， 则不存在正整数，使得是10的倍数． 故说法③正确． 综上，正确的说法只有1个， 故选：B． 4．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． ①当，时，可得  ，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数，且， ，，，，， ， 故①错误． ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个； 故②正确． ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，4，有5个； 当时， ， 为，，，，，，，，，， 有10个； 当时， ， 为，，，，， ， 有6个； 当时， ， 为，，，，， ∴有4个， 当时， ， 为， ∴有1个， 此时共有：个； 综上所述：共有个， 故③错误． 因此正确的结论是②，共1个． 故选：B． 5．已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查数式的操作，涉及一元二次方程，算术平方根，整式，熟练理解题意，并根据题意列式操作是解题的关键．当时，，，可得，，即可判断①；分别判断当时，当时，当时，整式的所有情况，即可判断②；若时，（舍）、、、、、、、、，当整式的值为时，分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程，即可判断③． 【详解】解：①当时， ，， ∵为整数， ∴，， 故满足条件的有个， 所以①正确； ②由①得当时，，； 当时， ，， ∴， ∵，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 当时， ，， ∴， ∵，，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 个 个 综上，为单项式的有：，，，，，，共个， 所以②正确； ③若时，（舍）、、、、、、、、， 当整式的值为时， 分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程， 即、、、（无解）、、、（无解）、（无解）， 解得：、、， 则满足条件的实数的值有个， 所以③正确， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 6．有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故①符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故②不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，一元二次方程的解法，数字的变化规律等，解题的关键是根据题意分别确定，第一项至第四项，再总结规律，利用规律解题． 7．关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根据多项式的特点选取合适的的值是解题关键．先确定共有6个互不相等且不为零的系数，再根据“衍生多项式”的定义即可判断①正确；将代入多项式即可判断②正确；将和代入计算即可判断③正确． 【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数， ∴交换任意两项的系数共有种， 则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确； 令，则，说法②正确； 当时，， 当时，， 将上面两式相减得：， 则，说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：A． 8．已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当，时，可得 ，，，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数， 且， ，，，，，，， ； 故此项正确； ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 此时共有：个； 存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； 故此项正确； ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 综上所述：共有个， 故此项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 9．将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究、一次函数的应用、勾股定理、解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题中操作可判断①；根据题中操作，发现规律可判断②；根据题中操作可得，，，，利用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，可得两直线相交于坐标原点，则有，然后利用勾股定理列方程求解a值即可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到， 则由题意，得，解得，故①错误； ②经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推， 经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确； ③经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即， 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推，，，，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 可得两直线相交于坐标原点， 若直线与直线互相垂直时，则有， ∵， ∴，， 由得：， 整理，得， 解得，故③错误， 综上，正确的有1个， 故选：B． 10．有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，，（，m为整数）时，． 其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大，理解题意，准确计算是关键． 根据其规律，求出其值，再判定结论是否正确即将可． 【详解】解：根据题意有， ①当，时，，， 故①错误； ②当，时，，， 同理：，，，，，，，，…，，， ， 故②正确； ③当，，时，， 则有：， 解得：或， 故③错误； ④当，，（，m为整数）时， ，，，，，，． 故④正确； 综上所述，正确的结论②④观点，共2个． 故选：B． 11．已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 12．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 13．在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B． 【详解】解：由题意得，此时， ，此时， 第3次构造后得到的一列数为， ∴，此时，故A正确，不符合题意； 同理可得，此时， ……， 以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意 ∴，，故C正确，不符合题意； ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 以此类推，也是偶数， ∴为偶数，故B正确，不符合题意； 故选：D． 14．数学课上李老师把54张扑克牌按照1、2、3、、54的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有54名学生，同样把这54名学生按照1、2、3、、54的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第1次：1号学生把扑克牌中编号为1的倍数的所有牌翻一次；第2次：2号学生把扑克牌中编号为2的倍数的所有牌再翻一次；第3次：3号学生把扑克牌中编号为3的倍数的所有牌也翻一次第54次：54号学生把54号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论： ①2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上； ②4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上； ③54号学生操作结束后，共有6张牌正面朝上，且这6张牌对应编号之和为91． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据题意，易得：2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上；4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上；54号学生操作结束后，编号为1、4、9、16、25、36、49的扑克牌正面朝上，共有7张牌正面朝上；因此①②是正确的，③不正确． 【详解】解：1号学生操作结束后，共有54张牌正面朝上； 2号学生操作结束后，牌面依次为：正背正背正背正背正背正背，共有27张牌正面朝上，因此结论①正确； 3号学生操作结束后，牌面依次为：正背背背正正正背背背正正，每6张牌中有3个正面，共9组，因此共有27张牌正面朝上； 4号学生操作结束后，牌面依次为：正背背正正正正正背背正背正背背正正正，每12张牌中有7个正面，共4组余6张牌，正面朝上的牌数为（张），因此结论②正确； 5号学生翻了10张牌，这10张牌原本依次是：正背背正正正正正背背，5号学生操作结束后，变为4正6背，因此正面朝上的牌数为30张； 6号学生翻了9张牌，这9张牌原本依次是：正背正背背背正背正，6号学生操作结束后，变为5正4背，因此正面朝上的牌数为31张； 7号学生翻了7张牌，这7张牌原本依次是：正背背正背背正，7号学生操作结束后，变为4正3背，因此正面朝上的牌数为32张； 8号学生翻了6张牌，这6张牌原本依次是：正正正正背正，8号学生操作结束后，变为1正5背，因此正面朝上的牌数为28张； 9号学生翻了6张牌，这6张牌原本依次是：背背背正正背，9号学生操作结束后，变为4正2背，因此正面朝上的牌数为30张； 此时发现前9张牌中，第1、4、9张是正面朝上，其他6张都是背面朝上； 经分析验证，54号学生操作结束后，第16、25、36、49张牌也是正面朝上的， 因此，最终共有7张牌正面朝上，因此结论③不正确； 因此，正确的个数是2个． 故选：C． 15．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、单项式乘以单项式，数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现，为正整数， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为偶数，故①不符合题意； ∵ ∴，， ∴，故②不符合题意； ∵，为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， ∴当，，，时最小， ∴的最小值是；故③符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴n值最小为11，故④符合题意； 故选B 16．对于式子：，按照以下规则进行操作，改变指定项的符号（仅限于正号与负号之间的变换），第一次操作：改变所有3的倍数项前的符号，其余各项符号不变；第二次操作：在第一次操作的结果上，只改变4的倍数项前的符号；第三次操作：在第二次操作的结果上，只改变5的倍数项前的符号；第四次操作：在第三次操作的结果上，只改变6的倍数项前的符号．请根据上述操作规则，分析以下说法的正确性：①第二次操作结束后，一共有42项的符号为正号；②第三次操作结束后，所有10的倍数项之和为；③第四次操作结束后，所有项的和为．其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律，通过倍数关系找到变量以及变量之间的关系，①通过每次操作后均可得到需要改变符号的项数，结合正负改变得数量关系求解即可；②找到10的倍数每次操作的倍数关系，确定其正负后即可求得和；③先求出在未进行操作时所有项的和为，根据符号的变化求出每一次所有项的改变量，再与前一次进行求和即可求解． 【详解】解：①第一次操作结束后，100项中有33个3的倍数，则33个数要改变符号， 此时正号有67个，负号有33个， 第二次操作：在第一次操作的结果上，只改变4的倍数项前的符号， 而100项中有25个4的倍数，其中有8个也是3的倍数， ∴此时正号有个，故①错误； ②10的倍数第一次操作后30，60和90为负，10，20，40，50，70，80，100为正， 第二次操作后20，30，40，80，90，100为负，10，50，60，70为正， 第三次操作后10，50，60，70为负，20，30，40，80，90，100为正， 则，故②正确； ③在未进行操作时所有项的和为； 第一次操作后33个项要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为； 第二次操作后25个项要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为； 第三次操作后20个数要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为， 第四次操作后16个数要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为，故③错误． 故选：B． 17．有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减．根据题，得出一般规律：第个整式串共有个整式，所有整式的和为，从左往右第二个整式为，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，第1个整式串：，，；整式的个数为， 所有整式的和为； 第2个整式串：，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 第3个整式串为，，，，，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 …… 观察发现，第个整式串共有个整式，所有整式的和为， 第个整式串中末尾的整式为，故①错误， 第6个整式串共有个整式，②结论正确； 即第9个整式串中，所有整式的和为，③结论正确； 第个整式串中，从左往右第二个整式为 ∴第2025个整式串中，从左往右第二个整式为，④结论错误； 结论中正确的有②③，共2个， 故选：B． 18．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 19．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 20．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串1：，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串2：，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串的和为； 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据题意，整式串1：，，；有个， 整式串2：，，，，；有个， 整式串3：，，，，，，，，；有个， 由此，得到整式串4，有个整式，可判断①；根据规律，得到整式串9从左往右第2个整式是，整式串10从左往右第2个整式，其差为，可判断②； 根据题意，整式串1：，，的和为；， 整式串2：，，，，的和为；， 整式串3：，，，，，，，，的和为；， 由此得到，经过2024次操作后，整式串的和为， 可以判定③． 本题考查了整式中的规律，会构造以２为底数，序号整数为指数的幂是解题的关键． 【详解】根据题意，整式串1：，，；有个， 整式串2：，，，，；有个， 整式串3：，，，，，，，，；有个， 由此，得到整式串4，有个整式，可判断①正确； 根据规律，得到整式串9从左往右第2个整式是，整式串10从左往右第2个整式，其差为， 可判断②错误； 根据题意，整式串1：，，的和为；， 整式串2：，，，，的和为；， 整式串3：，，，，，，，，的和为；， 由此得到，经过2024次操作后，整式串的和为， 可以判定③正确． 故选B． 21．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数据，原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，据此即可求解． 【详解】原数据为：，□，，，，… ∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为， ∴□为 故选：A． 22．对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意列出到的值，找出值为的规律，即可判断①，计算，即可判断②，找出的的值，根据规律计算的个数，即可判断③， 本题考查了整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，， ，， ，， ，，…； ∴、、、、…多项式为， 即：，，2，3，…， 当时，，故①正确； ，故②错误； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当，5，8，…，即：，，2，3，…，时，， 当时，，，不符合题意， 当时，， ∴当时，有， 即共有个值，满足； ∵在序列中，当时，共有个的差， ∴在序列中，有（个）值使得， 故③不正确， 综上所述①正确，个数为1， 故选：B． 23．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是解题的关键．根据题意依次进行作差，重复操作可知6个一循环，然后再依次判断即可． 【详解】解：由题意依次计算可得： ， ， ， ， ， ， ． 以此类推，6个一循环， ∴当时，，故①错误； 当时，则， ∴或， ∴或0， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，，， ∴， ， ∴和不一定相等，故③错误， 综上所述，正确的说法有1个， 故选：D． 24．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以，故④错误． 故选B． 25．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【详解】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 26．已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，且，，中最小值为，则或2或； ③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化类和单项式乘多项式，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出正确的算式和方程． ①根据已知条件，列出算式，进行计算，然后比较即可； ②根据已知条件，列出方程，解方程，进行解答即可； ③根据第一次和第二次操作的结果，找出规律，然后解答即可． 【详解】解：①，，，故最大数为8正确，故①符合题意； ②由题意知， 一次操作得到的结果为，，， ∵， ∴当最小时，，， 解得，，； 当最小时，，， 解得，，； 综上所述，或；故②不符合题意； ③， ∴； ∴ ∴； 同理可求：； ， 发现，而某一次操作的结果为，，，满足和为，故③符合题意． 故选：C． 27．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④． 【详解】解：∵， 当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴ ，故④错误， 综上，正确的有2个． 故选：C． 28．已知，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和例如：，，则下列说法正确的有（ ） （） （） （） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据所定义的运算，可求出，，，分析存在的规律，再逐项进行分析即可判断求解，解题的关键是求得，，，总结出存在的规律． 【详解】解：，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ， ∴， ∴()，故()正确； ()，故()错误； () ， ， ， ，故()正确； 综上所述，正确的有个， 故选：． 29．将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，直至只留下一个数，将这个数记为．当n取不同值时，可得到对应情况下的，并将所有形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（   ） ①无论n为多少，一定为奇数； ②； ③记的前n项和为，则； ④当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数为3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义的含义，运算推理的探究，掌握探究的方法是解本题的关键，先分别求解当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，再进一步推理探究即可． 【详解】解：当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 当时，剩下， 归纳可得：第一圈划去的都是偶数，最后剩下的一定是奇数，故①符合题意； 当时，第一圈把偶数都划去了，剩下8个数，最后剩下1， ∴，故②符合题意； 由①的方法可得： ， ∴，故③符合题意； 当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数是，而，故④符合题意； 故选D 30．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②整式与整式结果相同；③当时，；④；其中，正确的说法有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．根据依次进行作差、求和的交替操作可知6个一循环，然后再依次判断即可． 【详解】解：由题意依次计算可得： ， ， ， ， ， ， ． 以此类推，6个一循环， 当时，，故①错误， 整式与整式结果相同，整式与结果相同，故②错误， 当时，则， 或， 或0， 故③正确， ，，， ， ，故④错误， 故选：D． 2 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 1 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题07 代数推理证明题（单选压轴精选30道） 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，有依次排列的3个整式x，y，z，用任意两个整式的和减去剩下的整式，产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过实际操作，下列结论： ①第3次操作后，得到的整式串为，，； ②第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43； ③第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式x，y，z）的和为． 其中正确的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3．对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法； ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数，使得是10的倍数． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 对应整式 整式个数 个 个 个 对应整式 整式个数 个 个 个 个 个 6．有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 10．有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，，（，m为整数）时，． 其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 14．数学课上李老师把54张扑克牌按照1、2、3、、54的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有54名学生，同样把这54名学生按照1、2、3、、54的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第1次：1号学生把扑克牌中编号为1的倍数的所有牌翻一次；第2次：2号学生把扑克牌中编号为2的倍数的所有牌再翻一次；第3次：3号学生把扑克牌中编号为3的倍数的所有牌也翻一次第54次：54号学生把54号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论： ①2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上； ②4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上； ③54号学生操作结束后，共有6张牌正面朝上，且这6张牌对应编号之和为91． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．对于式子：，按照以下规则进行操作，改变指定项的符号（仅限于正号与负号之间的变换），第一次操作：改变所有3的倍数项前的符号，其余各项符号不变；第二次操作：在第一次操作的结果上，只改变4的倍数项前的符号；第三次操作：在第二次操作的结果上，只改变5的倍数项前的符号；第四次操作：在第三次操作的结果上，只改变6的倍数项前的符号．请根据上述操作规则，分析以下说法的正确性：①第二次操作结束后，一共有42项的符号为正号；②第三次操作结束后，所有10的倍数项之和为；③第四次操作结束后，所有项的和为．其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 17．有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 19．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 20．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串1：，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串2：，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串的和为； 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 21．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 22．对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 24．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 26．已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，且，，中最小值为，则或2或； ③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 28．已知，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和例如：，，则下列说法正确的有（ ） （） （） （） A．个 B．个 C．个 D．个 29．将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，直至只留下一个数，将这个数记为．当n取不同值时，可得到对应情况下的，并将所有形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（   ） ①无论n为多少，一定为奇数； ②； ③记的前n项和为，则； ④当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数为3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②整式与整式结果相同；③当时，；④；其中，正确的说法有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 1 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$