专题06 几何求解分类训练（5种类型50道）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用）

2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 几何求解分类训练（5种类型50道） 目录 题型一：求线段的长度 1 题型二：求线段的比值 3 题型三：用代数式（字母）表示角 6 题型四：线段最值问题 9 题型五：综合问题探究（难度匹配25题） 12 题型一：求线段的长度 1．如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，连结，那么线段的长度为 ． 2．已知矩形中，是边上一点，将绕点旋转得到，使得点的对应点落在线段上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于 ． 3．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是 ． 4．如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 5．在矩形中，，点O在对角线上，圆O半径为2，若圆O与矩形各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 6．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 7．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 8．如图，在中，，矩形内接于，且，点D、E、F分别在边、、上，连接，交于G．若，，求的长度． 9．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 10．在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 题型二：求线段的比值 11．如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在正方形中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 15．如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连结，延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 17．如图，将含30°的直角三角尺放在矩形中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其它角的顶点分别在和边的点E，F处，若点E恰好为的中点，则值为 ． 18．将矩形纸片沿直线折叠，使点D落在原矩形的边上的点E处，如果的余弦值为，那么 ． 19．如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为 ． 20．如图，在菱形中，，点是边上一点，连结，将四边形沿直线折叠，使点的对应点恰好落在的延长线上，的延长线与线段交于点，则 ． 题型三：用代数式（字母）表示角 21．如图，已知在正方形中，点M是边的中点，连接，过点B作于点N，连接，若，则的度数用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 22．如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接交于点P，连接和，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在正方形中，，连接，，平分交于，过作交于，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．如图，正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 26．如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． (1)若，求的度数． (2)若，，且，求的长． 27．如图，在等边中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点，在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28．如图，等边中，点D为直线上一点，连接，以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E，连接． (1)如图1，点D在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点D在延长线上，连接，延长交于点F，取的中点G，连接，用等式表示线段与、之间的数量关系，并证明； (3)点D在运动过程中，当线段的值最小时，直接写出的值． 29．【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 30．在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 题型四：线段最值问题 31．如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 32．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为 ． 33．在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为 ． 34．如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 35．如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ． 36．如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ．      37．如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为 ． 38．如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ．    39．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 40．如图，抛物线 ，经过点 ，， 三点．    (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)连接，，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； (3)在（2）问的条件下，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点 在x轴上，连接 ，，，当m为何值时，的和最小，并求出 和的最小值． 题型五：综合问题探究（难度匹配25题） 41．如图，矩形的顶点A，C分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若直线与轴、轴分别交于点M，N，连接， ①求证：； ②求的值； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点．连接，直接写出的最小值． 42．综合与实践 如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图2，当时，若，则 ； ②如图3，当时，若，则 ． 【猜想证明】 （2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长． 43．已知：△和△均为等腰三角形，，，． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，且时，　　（填“”、“ ”、“ ”号）； (2)当时． ①如图2，连接，点为的中点，试探究与的数量和位置关系，并证明； ②如图3，将△绕点旋转，使得点正好落在射线上，若，，请直接写出线段的长为 　　． 44．在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板，用于制作零件．金属板的长米，宽米．工人在边上确定了一个点P，使得米． (1)为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接和，并将绕点P逆时针旋转一定角度进行加工．旋转后与金属板的边相交于点E，与金属板的边所在的直线相交于点F，如图1所示．由于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和拼接方案，请你帮工人探究和之间的数量关系． (2)为了进一步组装零件，工人以、为边构造矩形，如图2，在组装过程中发现，当的周长最小时，最省材料，求此时的值． 45．如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．点P从点A出发沿以每秒4个单位的速度向终点B运动，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)当为矩形时，求矩形的周长； (3)连接PC． ①当将的面积分成的两部分时，求t的值； ②作点A关于直线的对称点，记为．当与的边垂直时，直接写出t的值． 46．如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． (1)线段，的数量关系为： ，并证明你的结论； (2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转一定角度，得到线段，其中点恰好在上，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)如图3，在（2）的基础上，分别延长和，两线相交于点，若，，求线段的长． 47．如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)【观察猜想】在图1中，线段与的数量关系是_____； (2)【探究证明】当，把绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，请直接写出的形状为______； (3)【拓展延伸】当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3． ①求证：四边形是正方形； ②请直接写出四边形面积的最大值为______． 48．如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，与交于点． (1)求线段的长； (2)连接，若，求的长； (3)连接，与交于点，求面积的最小值． 49． 在菱形中，，点E在射线上，连接、． (1)如图1，当点E是边的中点，求的正切值； (2)如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长； (3)当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长． 50．已知：如图，在中，，点D，E分别在上运动，．在右侧作矩形，． (1)_______；点F到直线的最小值_______； (2)当时，求的长； (3)是否存在这样的时刻，点H到直线的距离等于点F到直线的距离，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； (4)直接写出的取值范围． 10 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 15 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），名师精选！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 几何求解分类训练（5种类型50道） 目录 题型一：求线段的长度 1 题型二：求线段的比值 18 题型三：用代数式（字母）表示角 33 题型四：线段最值问题 55 题型五：综合问题探究（难度匹配25题） 73 题型一：求线段的长度 1．如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，连结，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，由勾股定理得出A'C=5，则A'D=A'C-CD=5-3=2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF=D'F，设DF=D'F=x，则A'F=4-x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=，由勾股定理即可得出CF的长度． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ADC=90°， ∴∠A'DF=∠CDF=90°， 由旋转的性质得：CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°， ∴， ∴A'D=A'C-CD=5-3=2， 在Rt△CDF和Rt△CD'F中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL）， ∴DF=D'F， 设DF=D'F=x，则A'F=4-x， 在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2=（4-x）2， 解得：x=， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．已知矩形中，是边上一点，将绕点旋转得到，使得点的对应点落在线段上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查图形旋转的性质和勾股定理，连接，，根据图形旋转的性质可知，，根据勾股定理可得，结合，可得的长度，再次利用勾股定理，即可求得答案． 【详解】如图所示，连接，． 根据图形旋转的性质可知 ，． ∵的延长线恰好经过点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是 ． 【答案】6或10 【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tanA＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tanA＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tanA＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去. 【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F． 设PE＝x． 在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10， ∴BE＝8，AE＝6， ∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°， ∴∠EBP＝∠FPQ， ∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°， ∴△PBE≌△QPF（AAS）， ∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8， ∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1， ∵CD∥AB， ∴∠FDQ＝∠A， ∴tan∠FDQ＝tanA＝＝， ∴＝， ∴x＝4， ∴PE＝4， ∴AP＝6+4＝10； 如图2，当点Q落在AD上时， ∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠APB＝∠BPQ＝90°， 在Rt△APB中，∵tanA＝＝，AB＝10， ∴AP＝6； 如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形． 在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10， ∴BE＝8，AE＝6， ∴PF＝BE＝8， ∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ， ∴PF＝BF＝FQ＝8， ∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去）， 综上所述，AP的值是6或10， 故答案为：6或10． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键. 4．如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，利用勾股定理求出，根据旋转的性质得到相应结论，求出证明，求出，，证明，求出，，设，最后证明，得到，求出，从而可得． 【详解】解：如图，过点作， 在矩形中，，， ∴， 由旋转可知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是添加辅助线，充分运用相似三角形的性质求出相应线段的长． 5．在矩形中，，点O在对角线上，圆O半径为2，若圆O与矩形各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、切线的性质、正弦函数等知识点，确定临界点成为解题的关键． 根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于E，连接，如图2，设与边相切于F，连接，分别运用正弦的定义求得临界点时的取值，进而确定取值范围． 【详解】解： ∵在矩形中，， ∴，， ∴， 如图1，设与边相切于E，连接，则， ∵， ∴，解的：； 如图2，设与边相切于F，连接，则， 同上可得：， ∴， ∴如果圆O与矩形的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是． 故答案为：． 6．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 8．如图，在中，，矩形内接于，且，点D、E、F分别在边、、上，连接，交于G．若，，求的长度． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得，然后可得，由题意可设，则，进而可证，最后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形矩形，， ∴设，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理及矩形的性质是解题的关键． 9．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 【答案】(1)； (2)①；②的值为4或8． 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求解； （2）①证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； ②分两种情形：a、点F在线段的延长线上（如图2中），b、点F在线段的延长线上（如图3中），分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，且点F不可能在线段上， ∴与相似有两种可能： a、点F在线段的延长线上（如图2中）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． b、点F在线段的延长线上（如图3中）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的值为4或8． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2) (3)，（） 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 题型二：求线段的比值 11．如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 12．如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作FP⊥AB于点P，根据折叠的性质及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，从而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值为，设EF=25a，则PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，从而可得BP，则由相似可得，再由折叠的性质可得点E是AB的中点，从而可求得结果． 【详解】如图，过点F作FP⊥AB于点P 由折叠的性质可得：AE=EF，∠AED=∠FED ∵BE=EF ∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF ∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜ ∴∠AED=∠EBF ∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AB ∴∠A=∠FPB=90゜ ∴△ADE∽△PFB ∴ ∵在中， ∴设EF=25a，则PF=24a 由勾股定理求得 ∴BP=BE－PE=18a ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设EF与PF的长，难点是证明△ADE∽△PFB． 13．如图，在正方形中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，交的延长线于点，作于点，根据旋转的性质和正方形的性质得到，，再证明，得到，，设，则，，得到，，，再根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得到，，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，作于点，则， ∵将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 14．如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，过E作于H，交于G，证明，可得，，即可知是等腰直角三角形，得，由，设，则，可得，再求出，再代入计算可得答案． 【详解】解：过E作于H，交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵O为中点， ∴， 由，设，则， ∴， ∴, ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连结，延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于点，由四边形和四边形是正方形，得，，，则可证是等腰直角三角形， 设，则，，，又四边形是平行四边形，则，再证是等腰直角三角形，根据性质得，设，则，再证明从而根据相似三角形的性质得，即，最后求出即可求解． 【详解】过作于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 【答案】 【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 由旋转和矩形的性质可得：，，， ， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 17．如图，将含30°的直角三角尺放在矩形中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其它角的顶点分别在和边的点E，F处，若点E恰好为的中点，则值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，再证明，得到，再由点E恰好为的中点，推出，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键． 18．将矩形纸片沿直线折叠，使点D落在原矩形的边上的点E处，如果的余弦值为，那么 ． 【答案】 【分析】设，则，利用射影定理可得，利用勾股定理可得，再根据，即可得到，进而得出，据此可得的值． 【详解】解：如图所示，由折叠可得，垂直平分，， ∵的余弦值为， ∴可设，则， ∵中，， ∴，即， ∴中，， ∴， 设，则，， 由，可得， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 19．如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，则，可得，由轴对称的性质可得：，，求解，利用，可得，利用，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 由轴对称的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用三角函数解决问题是关键． 20．如图，在菱形中，，点是边上一点，连结，将四边形沿直线折叠，使点的对应点恰好落在的延长线上，的延长线与线段交于点，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于，根据菱形的性质得，，，，再由折叠的性质得，，，设，由含角的直角三角形的性质及勾股定理得，，，则，，进而得，据此可求出的值． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： 则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 设， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，灵活运用含角的直角三角形的性质，勾股定理进行运算是解决问题的关键． 题型三：用代数式（字母）表示角 21．如图，已知在正方形中，点M是边的中点，连接，过点B作于点N，连接，若，则的度数用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理、以及等角对等边是解答的关键．设正方形的边长为，利用勾股定理和三角形的面积公式分别求得，，过N作，交、于E、F，则四边形是矩形，可得，，再由勾股定理和三角形的面积求得，，在中，利用勾股定理求得，进而根据等角对等边得到，然后求得即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过N作，交、于E、F，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：D． 22．如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接交于点P，连接和，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质， 延长交于G，证明，推出，证得，再证，由此证得，得到为斜边上的中线，列得，求出 【详解】解：延长交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵E，F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 23．如图，在正方形中，，连接，，平分交于，过作交于，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识．证明，得到，求出，证明，得到，，证明，得到，由即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分交于， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 24．如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 【详解】解：连接如图： 是正方形， ，， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 25．如图，正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点G，得到，根据全等三角形的判定易得，再由全等三角形的性质得到，利用直角三角形的性质得到，再利用已知得到，结合三角形的外角性质得到 即可求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点G，如下图 由旋转得，， ． 四边形是正方形， ，， ． ，， ． 在和中 ， ，， ， 即， ， ． ，， ． ， ， ． 【点晴】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的外角性质，作出辅助线证明三角形全等是解答关键． 26．如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． (1)若，求的度数． (2)若，，且，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； （2）解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 27．如图，在等边中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点，在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出， ，由，推出，结合三角形的内角和定理，，代入得出答案即可； （2）连接，过点作，交于点，交于点，得出，根据等边三角形的性质，得出，，推出，利用证明，得出，根据轴对称的性质，得出，，，，解直角三角形，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，推出，即可得出． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 28．如图，等边中，点D为直线上一点，连接，以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E，连接． (1)如图1，点D在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点D在延长线上，连接，延长交于点F，取的中点G，连接，用等式表示线段与、之间的数量关系，并证明； (3)点D在运动过程中，当线段的值最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由旋转可得，，得到，再由三角形的外角可得，代入求值即可； （2）延长至，使，过作，交延长线于，连接，先证明，得到，，，即可说明四边形为平行四边形，得到，，再证明，，接着利用中位线得到，，最后代入即可求解； （3）由（2）可得，当点在下方时，，，同理，当点在上方时，，，，则，得到在直线上运动，且，当时，线段的值最小，此时四边形为矩形，设，则，在中，求出，，得到，，再由等腰直角三角形的特点得到，最后代入化简求值即可． 【详解】（1）解：∵以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E， ∴，， ∴， ∵等边， ∴，， ∵， ∴； （2）解：， 证明如下： 延长至，使，过作，交延长线于，连接，则， ∵以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵的中点G， ∴是中位线， ∴， ∵，， ∴； （3）解：延长至，使，连接，过作于，过作于， 由（2）可得，当点在下方时，，， 同理，当点在上方时，，，，则， ∴在直线上运动，且， ∴点D在运动过程中，当时，线段的值最小，此时四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴，， ∴，， 由旋转可得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判断与性质，直角三角形的性质，二次根式的计算，利用旋转得到是解题的关键． 29．【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作的延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在上截取，使，连接． ，， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或，． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 【点睛】此题考查菱形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟悉菱形性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质． 30．在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 题型四：线段最值问题 31．如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 32．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，根据等边三角形的性质和旋转的性质得出，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，，推得，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等得出，得出点在的边上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得出，求得，，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，，根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足，，三点共线，且时，的值最小，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：延长到，使．如图： ∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴点在的边上运动， ∵，， ∴， 故，， 作点关于的对称点，连接， 则，， 故， 当，，三点共线时，， 当时，的值最小， 故满足，，三点共线，且时，的值最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 33．在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形中的最值问题，涉及三角形的面积，轨迹圆，四边形的性质，熟练掌握轨迹圆求最值是解题的关键．过点作于点，先利用等面积法得，可知当最大时，最小，再利用轨迹圆得出最大值的位置，计算即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图， 当与相切时，最大， 由得此时最大， 由相切得， ∴， ∴， 即， 解得：， 所以此时， 故答案为：． 34．如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线，即，且， 正方形的边长为2， ， ， ， ，且，即四边形为平行四边形， ， 连接，，根据正方形的对称性可知，， ， 根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值， 即此时的最小值为线段的长度， 连接，则在中， ，， ， 故的最小值为， 故答案为：． 35．如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， 当点运动到线段上的点时，取得最小值， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出． 36．如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ．      【答案】8 【分析】首先根据题意得到点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，连接交于点，得到当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，    ∵为中点，， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴点在以点M为圆心，以5为半径的圆上， 连接交于点， ∴当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的概念，解题的关键是得出的轨迹是圆． 37．如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点．利用相似三角形的性质求出，设，则，，，求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接，则，由，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如图1中， 作点关于轴的对称点，连接， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 38．如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，，则，   ， ， 当、、三点共线时，取最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 39．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 40．如图，抛物线 ，经过点 ，， 三点．    (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)连接，，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； (3)在（2）问的条件下，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点 在x轴上，连接 ，，，当m为何值时，的和最小，并求出 和的最小值． 【答案】(1)，抛物线的顶点M坐标为 (2)点N坐标为 (3)当时，的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过点A作交抛物线于点N，则有，利用待定系数法分别求直线、的解析式，再联立方程组即可求解； （3）将顶点向上平移3个单位得到点，连接交x轴于点，连接，则，证明四边形是平行四边形，可得，由图可知，当，，三点共线时，取最小值，利用待定系数法求直线的解析式，可得当 时，，从而求得，即，过点N作轴交延长线于点E，在中，利用勾股定理求得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，，， ∴， 解得：， ∴， 则抛物线的顶点M坐标为 ． （2）解：设直线解析式， 将点， 代入，得：， 解得：， 则直线解析式为 ， 过点A作交抛物线于点N，则有， 则直线的解析式为， 将点 代入，得：，解得：， ∴直线解析式为， 由，解得：或 ， ∴点N坐标为．    （3）解：将顶点向上平移3个单位得到点，连接交x轴于点，连接、，则， ∵，， ∴轴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由作图知当，，三点共线时，取最小值， 设直线的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当 时，， ∴，即， 此时过点N作轴交延长线于点E， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴当 时，的最小值为．    【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定与性质、线段和最值、一次函数与二元一次方程组、一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握相关知识，利用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 题型五：综合问题探究（难度匹配25题） 41．如图，矩形的顶点A，C分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若直线与轴、轴分别交于点M，N，连接， ①求证：； ②求的值； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点．连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②52； (3) 【分析】（1）根据点的坐标为，矩形，得到，，结合点是的中点，得到，从而确定反比例函数的解析式，根据题意，设点，代入解析式解答即可； （2）①根据题意，设，，，，故根据解析式可计算打得到，，得到，继而得到； ②根据，，得平行四边形，得到，根据，，得平行四边形，得到，结合 ，计算的值即可； （3）连接，交于点F，根据题意，得，得，继而得到，结合，得到，，∴，根据垂线段最短，得当时，最小，解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式， 设点，代入解析式， 得； 故点． （2）①解：根据题意，设，， ∵，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． ∴， ∴， ∴． ②解：∵，， ∴平行四边形， ∴， ∵，， ∴平行四边形， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，交于点F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，得当时，最小， 故， 又， 故， 故的最小值． ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，垂线段最短，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正弦函数，熟练掌握三角函数，平行四边形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 42．综合与实践 如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图2，当时，若，则 ； ②如图3，当时，若，则 ． 【猜想证明】 （2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长． 【答案】[特例感知]（1）①；②； [猜想证明]（2）四条线段的比例关系为：，理由见详解 [拓展应用]（3） 【分析】（1）①当时，平行四边形是正方形，可证，得到，由此即可求解；②当时，四边形是矩形，则，，，可证，得到，由此即可求解 ； （2）选择图1中的①：根据平行四边形的性质得到，且，可证，得到，，再证明，得到，即，由此即可求解；选择图1中的②：证明方法同上； （3）如图所示，过作交于，则，，设，则，，设，，先证明，得到，解得，，再证明，得到，求出，，最后根据和列方程求解即可． 【详解】解：[特例感知] （1）四边形是平行四边形， ①当时，平行四边形是正方形，如图所示， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时，如图所示， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； [猜想证明]（2），理由如下， 选择图1中的①，四边形是平行四边形，点在线段上，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 图1中的②：四边形是平行四边形，点在直线上，， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，四条线段的比例关系为：； [拓展应用]（3）如图所示，过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴ ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 去分母得， 整理得， ∵中，， ∴，整理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明相似． 43．已知：△和△均为等腰三角形，，，． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，且时，　　（填“”、“ ”、“ ”号）； (2)当时． ①如图2，连接，点为的中点，试探究与的数量和位置关系，并证明； ②如图3，将△绕点旋转，使得点正好落在射线上，若，，请直接写出线段的长为 　　． 【答案】(1)= (2)①；证明见解析；②或 【分析】（1）作于点，于点，根据题意及角的等量代换，证明，得到，即可解答； （2）①分别取和的中点和，连接、并延长交于点，连接、，证明四边形为平行四边形，，即可得到与的数量关系，根据平行线的性质及角的等量代换，即可得到与的位置关系； ②分情况讨论，当点在线段上时，取的中点，连接，；当点在线段的延长线上时，取的中点，连接，，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于点，于点， ，，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 则， 即． 故答案为：． （2）①，且，证明如下： 分别取和的中点和，连接、并延长交于点，连接、， ，， △为等边三角形， ， ， 又， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， 为的中点， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ，且． ②或． 当点在线段上时，取的中点，连接，，如图， 由（2）①的结论可知：，且， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，取的中点，连接，，如图， 由（2）①的结论可知：，且， ，， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 44．在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板，用于制作零件．金属板的长米，宽米．工人在边上确定了一个点P，使得米． (1)为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接和，并将绕点P逆时针旋转一定角度进行加工．旋转后与金属板的边相交于点E，与金属板的边所在的直线相交于点F，如图1所示．由于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和拼接方案，请你帮工人探究和之间的数量关系． (2)为了进一步组装零件，工人以、为边构造矩形，如图2，在组装过程中发现，当的周长最小时，最省材料，求此时的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先证明，得到，，进而推出，同角的余角相等，得到，旋转得到，证明，即可得出结果； （2）连接，过点作，证明，再证明，得到点在过点垂直于的直线上运动，倍长至点，连接，得到，垂直平分，进而得到，根据的周长，得到当三点共线时，最小，的周长最小，过点作，等积法结合勾股定理求出的长，证明，求出的长，在中，利用正切的定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵ 矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 连接，过点作，则：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴点在过点垂直于的直线上运动， 倍长至点，连接，则，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当三点共线时，最小，如图， 过点作， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，求角的正切值等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 45．如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．点P从点A出发沿以每秒4个单位的速度向终点B运动，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)当为矩形时，求矩形的周长； (3)连接PC． ①当将的面积分成的两部分时，求t的值； ②作点A关于直线的对称点，记为．当与的边垂直时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；   ②；； 【分析】（1）直接利用三角形的中位线的性质求解即可； （2）如图， 先求解，由，可得，好四边形为矩形，可得答案； （3）①如图，当时，，如图，当时，，再进一步求解即可； ②如图，当于时，延长交于，连接，证明，设，则，，求解，利用等面积法可得，进一步可得答案；如图，当于时，记的交点为，由对折可得：，，而，证明四边形为菱形，可得答案；如图，当于，交于，过作于，求解，，利用等面积法可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵点D、E分别是、的中点，， ∴，； （2）解：如图，在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴； （3）解：①如图，当时，， ∵， ∴， ∴， 如图，当时，， ∴， ∴， 综上：当将的面积分成的两部分时，t的值为或； ②如图，当于时，延长交于，连接， ∵，则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 而， ∴， 解得：，（舍去） ∴， ∴， 如图，当于时，记的交点为， 由对折可得：，，而， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 如图，当于，交于，过作于， 同理可得：， ∴， 由对折可得：，，， ∴设， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 46．如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． (1)线段，的数量关系为： ，并证明你的结论； (2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转一定角度，得到线段，其中点恰好在上，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)如图3，在（2）的基础上，分别延长和，两线相交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后利用可证得，进而由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）得，，由全等三角形的性质可得，分别延长和，两线相交于点，由旋转的性质可得，进而可得，由等边对等角可得，进而可得，由正方形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由三角形外角的性质可得，于是结论得证； （3）连接，由正方形的性质可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由（2）得，，即，进而可得，由等角对等边可得，进而可得，又由（2）得，即，因而是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，设正方形的边长为，则，，由（2）得，进而可得，由勾股定理可得，，即，解方程即可求出正方形的边长，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出线段的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明结论： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）得：，， ， 如图，分别延长和，两线相交于点， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，连接， 四边形是正方形， ， ，， 由（2）得：，， 即：， ， ， ， 又由（2）得：， 即：， 是的垂直平分线， ， 设正方形的边长为，则，， 由（2）得：， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 整理，得：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 47．如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)【观察猜想】在图1中，线段与的数量关系是_____； (2)【探究证明】当，把绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，请直接写出的形状为______； (3)【拓展延伸】当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3． ①求证：四边形是正方形； ②请直接写出四边形面积的最大值为______． 【答案】(1) (2)等腰三角形 (3)①见解析；②16 【分析】（1）线段与的数量关系是：，理由是：是的中位线，是的中位线，可得，，而，，可得，故； （2）连接、，证明，可得，根据点、、分别为、、的中点，得，，故，是等腰三角形； （3）①连接、，由，可得，，根据是的中位线，是的中位线，是中位线，是中位线，即可证明四边形是菱形，再经过倒角证明，，即得四边形是正方形； ②由①可知：四边形是正方形，，故四边形面积的最大，即是最大，此时在延长线上，，即得，四边形面积的最大值为． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由是： 点、、分别为、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 而，， ，即， ； 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 如图2，连接、， 把绕点顺时针方向旋转， ， 在和中， ， ， ， 点、、分别为、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； （3）①证明：如图3，连接、， 把绕点旋转， ， 在和中， ， ， ，， 点、、分别为、、的中点，为中点， 是的中位线，是的中位线，是中位线，是中位线， ，，，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形； ②解：如图4， 由①可知：四边形是正方形，， 四边形面积的最大，即是最大， 而，， 在延长线上时，最大，此时， ， 四边形面积的最大值为． 故答案为：16． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及等腰三角形判定及性质、正方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练应用三角形的中位线定理． 48．如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，与交于点． (1)求线段的长； (2)连接，若，求的长； (3)连接，与交于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的面积的最小值为 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）过点作于点，过点作于点，设，根据，求出，证明，得到，，，证明，可得，解出的值，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）作的外接圆圆，连接，，，过点作，过点作，证明，得到，设圆的半径为，得到，，推出，再由等面积法解得，由图可知，得到的取值范围，即可求出面积的最小值． 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ， ； （2）如图，过点作于点，过点作于点，设， ，，， ，即， ， ， ， 由旋转可得：，，即， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ，即， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ，即， ； （3）如图，作的外接圆圆，连接，，，过点作，过点作， ， 四边形四点共圆， 为定值， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 设圆的半径为，由（1）知， ， ，， ， ，即， ， 由图可知，， ， 解得：， ， 即的面积的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、最值问题、圆周角定理、三角形的面积公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 49． 在菱形中，，点E在射线上，连接、． (1)如图1，当点E是边的中点，求的正切值； (2)如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长； (3)当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，证和均为等边三角形，再由点E为的中点得，，则，设，则，，进而在中可求出的正切值； （2）过点D作于M，先求出，则，从而得，进而得，则，，证得，则，，再由勾股定理求出，进而可得的长； （3）过点E作于N，先证点C只能和点G是对应点得，则，从而得，设，则，在中由得，进而得，再证得，即，由此解出x即可得的长． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴在中，； （2）解：过点D作于M，如图2所示： ∵，和均为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 又∵的面积等于， ∴， ∵的边和的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：过点E作于N，如图3所示： ∵和均为等边三角形，，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∵与以点E、G、B所组成的三角形相似， ∴点C只能和点G是对应点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 50．已知：如图，在中，，点D，E分别在上运动，．在右侧作矩形，． (1)_______；点F到直线的最小值_______； (2)当时，求的长； (3)是否存在这样的时刻，点H到直线的距离等于点F到直线的距离，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； (4)直接写出的取值范围． 【答案】(1)10；3； (2)； (3)存在，； (4) 【分析】（1）如图，过作于，当落在上时，重合，到的距离为，此时最小； （2）如图，连接，求解，，，设，则，而，可得，再进一步求解即可； （3）如图，过作于，过作于， ，结合题意可得：，证明，可得，， 可得，从而可得答案； （4）如图，取的中点，连接，，可得，当三点共线时，取最大值，当落在上时，此时重合，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过作于， 当落在上时，重合，到的距离为，此时最小； （2）解：如图，连接， ∵矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 设，则，而， ∴， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，过作于，过作于， ， 结合题意可得：， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴； （4）解：如图，取的中点，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， 当三点共线时，取最大值， 当落在上时，此时重合，， ∴的范围为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 1 助力新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$