18.2 平行四边形的判定-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

18.2 平行四边形的判定 课程标准 学习目标 ①平行四边形的判定方法 ②平行四边形的性质与判定求解 1. 掌握平行四边形的判定，并用边、角、对角线进行证明； 2. 掌握平行四边形性质和判定的同时并对线段、角的等求解． 知识点 平行四边形的判定 一、定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 二、边的判定 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 三、角的判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（需证）。 四、对角线的判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 题型01 平行四边形的判定——两组对边分别平行 【典例1】如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质，得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：． 故选：D． 【变式1】如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可． 【详解】解：延长，交，于点G，H，    ∵，， ∴四边形，，为平行四边形， ∴，， ∴图形的周长为， ∴需要知道的长即可， 故选：C． 【变式2】如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为 ．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ． 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】平行四边形的两组对边分别平行，逆定理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【变式4】已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得到，利用角的转化证明，证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．根据平行线的性质和判定证明四边形为平行四边形是解题的关键． 题型02 平行四边形的判定——两组对边分别相等 【典例1】已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴①平行四边形的对角相等，即，正确；②平行四边形的对边平行且相等，即，正确； ③平行四边形的对边平行且相等，即，正确． ∴正确的有：①，②， ③， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，则ABCD，再由平行线的性质得∠B+∠C=180°，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠B=180°-80°=100°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 真 【分析】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及平行四边形的判定，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行四边形的判定方法判定逆命题的真假即可． 【详解】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真． 【变式3】如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】略 【变式4】如图点是直线外一点，在上取两点，，使得，，分别以点，为圆心，作，交于点，连接，，四边形的是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】是平行四边形，见解析 【分析】根据题意可得，，即可解答． 【详解】解：是平行四边形，理由如下： 证明：，，， ，． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 题型03 平行四边形的判定———组对边平行且相等 【典例1】如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加； 故两人的都正确； 故选C． 【变式1】已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：A、由ABCD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、由ABCD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 【变式2】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】20 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中线性质，熟练掌握平行四边形的性质，得到是解答的关键． 【变式3】在四边形中，如果且，，那么 ． 【答案】28 【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵且，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质．掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式4】如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．求证：四边形是平行四边形； 【答案】见解析 【分析】先推导，得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 题型04 平行四边形的判定——对角线互相平分 【典例1】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确． B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误． C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误． D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误． 故选：A． 【变式1】如图，在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故符合题意 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 【变式2】请写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题： ，此逆命题是 （“真”“假”）命题． 【答案】 对角线互相平分的四边形是平行四边形 真 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真． 【点睛】本题主要考查的是命题的真假判断、互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【变式3】若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】12 【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm）， ∴OC=OA， ∵OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． 【变式4】如图，平行四边形的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．    【答案】详见解析 【分析】求出，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键． 题型05 平行四边形的判定——两组对角分别相等(补充需证) 【典例1】下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边相等 B．一组对角相等 C．两条对角线相等 D．两组对角相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意； C、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意； D、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【变式1】一个四边形的四个内角的度数依次为，，，，我们判定其为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为，，，， ∴度数为的两个内角是一组相等的对角，度数为的两个内角是另一组相等的对角， ∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式2】下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据平行四边形的判定、真命题与假命题的定义解决此题． 【详解】解：①根据平行四边形的判定，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，那么①是真命题； ②根据平行四边形的判定，一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，那么②是假命题； ③根据平行四边形的判定，一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线该组平行的对边也相等，故这个四边形是平行四边形，那么③是真命题； ④根据平行四边形的判定，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形无法推断出这个四边形是平行四边形，那么④是假命题． 综上：真命题有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、命题与定理，熟练掌握平行四边形的判定、真命题与假命题的定义是解决本题的关键． 【变式3】命题“平行四边形的两组对角分别相等”的逆命题是 命题．（填入“真”或“假”） 【答案】真 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，写出逆命题进行判断即可． 【详解】解：命题“平行四边形的两组对角分别相等”的逆命题是“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”， 该命题是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【变式4】类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题： 从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形．张老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在张老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，4个已经被证明的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究． (1)数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明．如图1，在四边形中，，求证：四边形是平行四边形． (2)小振和小涵研究后发现命题：“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题．他们先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） (3)数学课代表小骆想到了一个命题：“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线”，需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)见解析； (3)证明见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的判定，基本作图，反证法，熟练掌握平行四边形的性质与基本作图的方法是解题的关键． （1）利用四边形的内角和定理和平行四边形的 定义解答即可； （2）利用线段垂直平分线的作法找到的中点，连接并延长至点，使，得到平行四边形，再利用同圆的半径相等的性质得到点，则四边形可得； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况推论解答：①已知，且，画出符合条件的反例即可；②已知，且，利用反证法解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）作出线段的中点，连接并延长至点，以点为圆心，连接， 如图， 四边形即为所求，理由： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由作法可知：， ∴ ∴四边形中，，但四边形不是平行四边形． （3）解：分两种情况：①已知，且， \ 四边形满足一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线； ②已知，且， 反证法：假设四边形不是平行四边形，则， 故可以在射线上取和不重合的点，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴和重合， 这与点与点不重合矛盾， ∴假设不成立， ∴四边形是平行四边形． 题型06 平行四边形的判定——平行线之间的传递性(补充需证) 【典例1】如图，四边形和都是平行四边形，过点作直线交边于点，交边于点，连接，．若和的面积分别为4和6，则的面积为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】过M作于G，过C作于H，得到，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过M作于G，过C作于H， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，解题的关键是掌握等底同高的两个三角形的面积相等． 【变式1】如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列选项中错误的是（   ） A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】D 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故A正确； ，都是等边三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形，故B、C正确； 过作于，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故①正确； ，都是等边三角形， ，， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形， 故②正确； ， 故③正确； 过A作于G，如图所示： 则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴， 故④正确； ∴正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式3】如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是 ，理由 ． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【详解】试题解析：四边形BCFE是平行四边形． 理由：∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，AD=EF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC． ∴EF∥BC，EF=BC，∴四边形BCFE是平行四边形． 故答案为(1). 平行四边形    (2). 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 【变式4】如图，四边形和都是平行四边形，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见详解 【分析】根据四边形是平行四边形得到，，根据四边形是平行四边形得到，，即可得到，，即可得到证明； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行． 题型07 平行四边形的性质与判定求边 【典例1】如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点A作交于点E，又由，得到四边形是平行四边形，从而，，又，得到，再，得到是等边三角形，因此，从而． 【详解】解：过点A作交于点E，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，在四边形中，，，且，，点在边上，点关于直线的对称点为，的延长线交边于点，如果，那么线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理； 连接交于O，证明四边形是平行四边形，求出，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】解：如图，连接交于O．   ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ，，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴在中，． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，对角线交于点，过点作于点，交于点，若面积是，，则的长为 ．    【答案】 【分析】由可证，可得，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 面积是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式4】在中，，点D是线段上的动点，交于点E，分别交射线、射线于点F、G，连结． (1)如图1，若点G恰好平分，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，设的长为x，的面积为y，求出y关于x的函数关系式； (3)当时，求的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2) (3)的长为或2 【分析】（1）由证明可得即可证明四边形是平行四边形； （2）表示出，，根据面积公式即可求解； （3）分两种情况：当点F在线段的延长线上时；当点F在线段上时，过点D作，分别求解即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形； ∵点G恰好平分， ∵ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）∵ ∵ ，， ∴ ； （3）当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴为等腰梯形 ∵ ∵ 由（2）可知，当时， 解得： ； 当点F在线段上时，过点D作 ∵ ∵ ∴四边形为平行四边形 ，解得 综上：的长为或2； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30度角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、三角形面积的计算、分类讨论等知识：本题综合性强，熟练掌握含30度角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键． 题型08 平行四边形的性质与判定求角 【典例1】在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ， 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， 故选：B． 【变式2】如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式3】如图，在平行四边形中，点分别在边上，且．若，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行四边形中求角度，涉及平行四边形的判定与性质等知识，在平行四边形中，，再结合，利用平行四边形的判定定理得到是平行四边形，进而得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， 是平行四边形， ， 故答案为：． 【变式4】在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角等知识点．通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 题型09 平行四边形的性质与判定求对角线 【典例1】若平行四边形的一边长为，则它的两条对角线长可以是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】过点作，交延长线于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，结合图形及三角形三边关系求解即可得出结果. 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， 四边形为平行四边形， ， 在中：， 即， ， 选项中只有B中的数据能满足此关系：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，三角形三边关系的应用，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 【变式1】根据下列条件，能作出平行四边形的是（   ） A．相邻两边长分别是3cm和7cm，夹角为 B．相邻两边的边长分别是2cm和4cm，一条对角线长是7cm C．一条对角线长为6cm，另一条对角线长为10cm，一条边长为8cm D．一条边长为7cm，两条对角线长为6cm和8cm 【答案】A 【分析】根据三角形三边的关系，首先判断所给的三边能否组成三角形，然后根据平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：A、可以作出平行四边形． B、，由于平行四边形中两组对边相等，则相邻的两边与对角线必须能组成三角形，而这个条件不能满足三角形三边关系，故不能． C、对角线的一半分别为3和5，与边长8不能组成三角形，故不能． D、根据平行四边形的对角线互相平分，则两条对角线的一半的和等于，不能构成三角形，也就不能构成平行四边形． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，构成平行四边形时要注意对角线与一组邻边能否构成三角形． 【变式2】将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是，那么拼成的平行四边形较长的对角线长是 ． 【答案】 【分析】根据题意拼图，再运用勾股定理求解即可 【详解】如图， 将直角边为的边长对齐拼成平行四边形， 它的对角线最长为：（cm）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及勾股定理的应用，能够画出正确的图形，并作简单的计算． 【变式3】平行四边形两邻边的长为3和4，两对角线长为m，n，则的值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，作平行四边形的高构造直角三角形是解题的关键． 中，，设，作，，垂足分别为，先证四边形是平行四边形得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设中，，， 作，，垂足分别为，如图所示， 在中，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：50． 【变式4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A在格点上，请在所给的网格中按下列要求画出图形．    (1)在图1中，画一条长为的线段，且点C在格点上；（只需画出一条符合条件的线段） (2)在图2中，画一个顶点都在格点上的平行四边形，使其中一条对角线长为，且面积为6．（只需画出一个符合条件的图形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理，数形结合画出图形即可； （2）根据题目要求利用数形结合画出图形． 【详解】（1）解：如图1中，    ∵， ∴线段即为所求； （2）解：如图2中，    ∵， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合解决问题． 题型10 平行四边形的性质与判定求周长 【典例1】如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，连接，，，那么四边形的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，然后根据等式的性质可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后根据等量代换可得四边形的周长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长 ， 故选：B． 【变式2】如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【变式3】如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，先证明四边形是平行四边形，可得，，再根据垂直平分线性质得，最后根据得出答案. 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是：． 故答案为：10． 【变式4】如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型11 平行四边形的性质与判定求面积 【典例1】某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 【变式1】如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积问题，平行线间的距离，等底等高的两个三角形面积相等，证明四边形和四边形均为平行四边形，根据平行四边形的对角线，将平行四边形分得的两个三角形面积相等解答即可．特别是平行四边形的对角线，将平行四边形分得的两个三角形面积相等是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中与阴影部分面积相等的三角形共有共6个， 故选：A． 【变式2】如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 【变式3】如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图，以的边为边向外作等腰和，其中分别为的中点，连接．已知． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长至点，使，连接、，延长交于点，则四边形是平行四边形，得，，证，得，，再证，得，进而证，设，则，然后由勾股定理求出，则，求出，的长，最后根据即可解决问题； （2）由（1）可知，，，，求出，再根据求解即可． ． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使，连接、，延长交于点， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 又， ∴， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ，是的中点， ， ， ， ； （2）由（1）可知，，，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型12 母子平行四边形求解 【典例1】如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可判断结论①正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论②和④正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论③正确． 【详解】解：∵，， ∴和都是直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，即，结论①正确； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，结论②和④都正确； 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的个数有4个， 故选：D． 【变式1】如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明 ． 证明，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形；得到，进一步推出是平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， 又， ∴， ∴；故①正确； ∴， ∴四边形是平行四边形；故④正确； ∴， ∴即：；故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故③正确； 综上，正确的有4个； 故选：D 【变式2】如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，． （1）过点作于，则 ； （2）四边形的面积为 ． 【答案】 4 24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求出，最后根据勾股定理，即可解答； （2）连接，先求出，则，通过证明，则，再证明四边形是平行四边形，则四边形的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：4； （2）连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点、分别为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线 ∴，则， ∵点、分别为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，则， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积， 故答案为：24． 【变式3】如图，在中，，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：；；；．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 即， ∴四边形是平行四边形； ③， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形； ④， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 又， ∴四边形是平行四边形； ②，不能判定， 不能判定四边形是平行四边形； 一定能判定四边形是平行四边形的是①③④， 故答案为：①③④． 【变式4】在中，相交于点，分别过点作于点，于点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理得，， ． 1．给出下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．其中，错误的说法是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故④符合题意； 故选：D． 2．在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行线平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据平行四边形判定定理进行判断． 【详解】解：如图， A、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； C、， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 4．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 6．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键． 7．如图，在中，分别以为边向外作等边和等边，求证：和互相平分． 【答案】见解析 【分析】连接，根据平行四边形的性质可得，，然后再证明，，进而可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得和互相平分． 【详解】证明：连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分． 8．实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）； (2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、作图—平移变换、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握用无刻度直尺作图． （1）按照题目要求找到点和点平移后对应的格点后相连即可求解； （2）根据题目要求，连接、后，利用平行四边形的性质找到平行四边形的对角线交点与点相连即可．． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接、后，连接点和、交点即可得到符合条件的直线： 根据平移的性质，且， 四边形是平行四边形， 则根据平行四边形的性质可得，过对角线交点的直线能够平分该平行四边形面积， 点和对角线交点所在直线即为符合条件的直线． 9．在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定；平行四边形的性质与判定；根据题意用尺规作的平分线交于，作的平分线交于，进而根据全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定定理完成填空，即可求解． 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点，      ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为的中点， 又∵是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③；④互相平分． 10．在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：如图，是平行四边形的对角 线，， 将沿折叠，使A 点落在上的点G 处，将边沿折 叠，使点C 落在上的点H 处，求证：四边形是平行四边形．小丽选择了先证明，再证明， 进而得到四边形是平行四边形，小明向老师提出 了另一种证明方法． (1)小丽证明四边形是平行四边形的依据是______； (2)按小明的想法写出证明过程； (3)当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接，，若，，试求四边形的周长． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据平行四边形的性质、折叠的性质可得出，根据平行线的判定得出，然后根据平行四边形的定义即可得证； （3）根据勾股定理求出，结合折叠可求出，在中，根据勾股定理可求出，在中，根据勾股定理可求出，同理求出，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：在平行四边形中，，， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在平行四边形中，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长为． 2 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2 平行四边形的判定 课程标准 学习目标 ①平行四边形的判定方法 ②平行四边形的性质与判定求解 1. 掌握平行四边形的判定，并用边、角、对角线进行证明； 2. 掌握平行四边形性质和判定的同时并对线段、角的等求解． 知识点 平行四边形的判定 一、定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 二、边的判定 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 三、角的判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（需证）。 四、对角线的判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 题型01 平行四边形的判定——两组对边分别平行 【典例1】如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和 【变式2】如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为 ．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【变式3】“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ． 【变式4】已知：如图，，．求证：． 题型02 平行四边形的判定——两组对边分别相等 【典例1】已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1】在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【变式3】如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．    【变式4】如图点是直线外一点，在上取两点，，使得，，分别以点，为圆心，作，交于点，连接，，四边形的是平行四边形吗？请说明理由． 题型03 平行四边形的判定———组对边平行且相等 【典例1】如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【变式1】已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【变式3】在四边形中，如果且，，那么 ． 【变式4】如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．求证：四边形是平行四边形； 题型04 平行四边形的判定——对角线互相平分 【典例1】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 【变式1】如图，在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式2】请写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题： ，此逆命题是 （“真”“假”）命题． 【变式3】若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【变式4】如图，平行四边形的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．    题型05 平行四边形的判定——两组对角分别相等(补充需证) 【典例1】下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边相等 B．一组对角相等 C．两条对角线相等 D．两组对角相等 【变式1】一个四边形的四个内角的度数依次为，，，，我们判定其为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【变式2】下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ． 【变式3】命题“平行四边形的两组对角分别相等”的逆命题是 命题．（填入“真”或“假”） 【变式4】类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题： 从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形．张老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在张老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，4个已经被证明的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究． (1)数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明．如图1，在四边形中，，求证：四边形是平行四边形． (2)小振和小涵研究后发现命题：“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题．他们先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） (3)数学课代表小骆想到了一个命题：“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线”，需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）． 题型06 平行四边形的判定——平行线之间的传递性(补充需证) 【典例1】如图，四边形和都是平行四边形，过点作直线交边于点，交边于点，连接，．若和的面积分别为4和6，则的面积为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【变式1】如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列选项中错误的是（   ） A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【变式2】如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是 （填序号）． 【变式3】如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是 ，理由 ． 【变式4】如图，四边形和都是平行四边形，求证：四边形是平行四边形． 题型07 平行四边形的性质与判定求边 【典例1】如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，在四边形中，，，且，，点在边上，点关于直线的对称点为，的延长线交边于点，如果，那么线段的长为 ．    【变式3】如图，在中，对角线交于点，过点作于点，交于点，若面积是，，则的长为 ．    【变式4】在中，，点D是线段上的动点，交于点E，分别交射线、射线于点F、G，连结． (1)如图1，若点G恰好平分，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，设的长为x，的面积为y，求出y关于x的函数关系式； (3)当时，求的长． 题型08 平行四边形的性质与判定求角 【典例1】在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】如图，在四边形中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 【变式3】如图，在平行四边形中，点分别在边上，且．若，则的度数是 ． 【变式4】在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 题型09 平行四边形的性质与判定求对角线 【典例1】若平行四边形的一边长为，则它的两条对角线长可以是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】根据下列条件，能作出平行四边形的是（   ） A．相邻两边长分别是3cm和7cm，夹角为 B．相邻两边的边长分别是2cm和4cm，一条对角线长是7cm C．一条对角线长为6cm，另一条对角线长为10cm，一条边长为8cm D．一条边长为7cm，两条对角线长为6cm和8cm 【变式2】将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是，那么拼成的平行四边形较长的对角线长是 ． 【变式3】平行四边形两邻边的长为3和4，两对角线长为m，n，则的值为 ． 【变式4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A在格点上，请在所给的网格中按下列要求画出图形．    (1)在图1中，画一条长为的线段，且点C在格点上；（只需画出一条符合条件的线段） (2)在图2中，画一个顶点都在格点上的平行四边形，使其中一条对角线长为，且面积为6．（只需画出一个符合条件的图形） 题型10 平行四边形的性质与判定求周长 【典例1】如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【变式1】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，连接，，，那么四边形的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2】如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【变式3】如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是 ． 【变式4】如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 题型11 平行四边形的性质与判定求面积 【典例1】某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【变式1】如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2】如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【变式3】如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 【变式4】如图，以的边为边向外作等腰和，其中分别为的中点，连接．已知． (1)求的面积； (2)求的长． 题型12 母子平行四边形求解 【典例1】如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，． （1）过点作于，则 ； （2）四边形的面积为 ． 【变式3】如图，在中，，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：；；；．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ． 【变式4】在中，相交于点，分别过点作于点，于点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 1．给出下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．其中，错误的说法是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ． 5．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 6．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    7．如图，在中，分别以为边向外作等边和等边，求证：和互相平分． 8．实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）； (2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹． 9．在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 10．在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：如图，是平行四边形的对角 线，， 将沿折叠，使A 点落在上的点G 处，将边沿折 叠，使点C 落在上的点H 处，求证：四边形是平行四边形．小丽选择了先证明，再证明， 进而得到四边形是平行四边形，小明向老师提出 了另一种证明方法． (1)小丽证明四边形是平行四边形的依据是______； (2)按小明的想法写出证明过程； (3)当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接，，若，，试求四边形的周长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$