18.1 平行四边形的性质-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

18.1 平行四边形的性质 课程标准 学习目标 ①平行四边形的性质求解 ②平行四边形的性质证明 1. 掌握平行四边形的性质，并对边、角、对角线进行求解； 2. 掌握平行四边形性质的同时并证明线段、角的等量关系． 知识点 平行四边形的性质 一、边的性质 对边平行且相等：平行四边形的两组对边分别平行且长度相等。 二、角的性质 对角相等：平行四边形的两组对角分别相等。 邻角互补：平行四边形的任意两个相邻角之和为180度，即它们是互补的。 三、对角线的性质 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线相交于它们的中点，即每条对角线被另一条对角线平分成两段相等的部分。同时，对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形。 在特殊的平行四边形中，如矩形和菱形，其对角线长度相等。 四、面积性质 平行四边形的面积等于底边长度乘以高，其中高是指从底边到对边的垂直距离。 题型01 平行四边形中作图 【典例1】如图，在中，，，根据作图痕迹可知的长是（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【变式1】如图所示，在中，按以下步骤作图∶①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点Q．若，，则的周长为（   ）    A．10 B．12 C．15 D．20 【变式2】如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线，交于点E，交于点F，连接．则的周长为 【变式3】如图，在中，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③连接并延长交于点若，，，则的周长等于 ． 【变式4】作图：如图，在平行四边形中， (1)根据要求作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点； ②作直线． (2)若直线恰好经过点A，当，时，则平行四边形的面积是多少？ 题型02 平行四边形的性质求边 【典例1】如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则的长为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【变式1】如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为(    ) A．12 B．15 C．24 D．30 【变式2】已知平行四边形周长为，相邻两边的差是则较长边的长为 ． 【变式3】如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交延长线于点，若，则 ． 【变式4】如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 题型03 平行四边形的性质求角 【典例1】在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，于，则 ． 【变式3】在四边形中，已知，，且，则的度数是 ． 【变式4】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 题型04 平行四边形的性质求对角线 【典例1】若平行四边形的一条边长为7，则它的两条对角线的长可以是（    ） A．10和12 B．6和8 C．3和8 D．6和20 【变式1】如图，中，，连接，以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线，交CD于G，交于点H，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ． 【变式3】已知中，，与的角平分线分别交边于点，，且，则边的长为 ． 【变式4】如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 题型05 平行四边形的性质求周长 【典例1】如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，对角线与相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是 ． 【变式3】如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的的周长为 ． 【变式4】【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点O． 求证：，． (1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【性质应用】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E，F．求证：． (3)【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是 ． 题型06 平行四边形的性质求面积 【典例1】一个平行四边形两条邻边的长度分别是和，量得它的高是，则它的面积是（   ） A． B． C． 或 D．无法确定 【变式1】中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点．已知的面积是，则点的坐标为 ． 【变式3】如图是一个平行四边形，，点F是的中点，三角形的面积是6平方厘米，则三角形的面积是 平方厘米． 【变式4】已知：如图，在中，点E为边的中点，连接、，过点B作交的延长线于点F．且． (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 题型07 平行四边形的性质证边相等 【典例1】在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 【变式3】如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 【变式4】如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 题型08 平行四边形的性质证角相等 【典例1】为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③ 【变式1】如图，在中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中，一定正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③．④．其中正确的结论有 ．（填所有正确结论的序号） 【变式3】如图，在平行四边形，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论：①；②；③；④，一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）    【变式4】如图，在平行四边形中，点E，F在边上，且． 求证：． 题型09 平行四边形的性质证对角线互相平分 【典例1】如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（   ） A．与一定相等 B．与一定相等 C．四边形与四边形一定全等 D．平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 【变式1】如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【变式3】如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，添加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【变式4】如图，四边形中，，，点、分别是、上的点，且，连接交对角线于点．求证：与互相平分． 题型10 平行线之间距离处处相等 【典例1】如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 【变式1】如图，在平行四边形中，， ，，则与间的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】平行四边形的周长为，对边的距离分别为和，则这个平行四边形的面积为 ． 【变式3】如图，在平行四边形中，，E为上一点，连接，将沿翻折得到，交于点G，若，，则A到的距离为 ． 【变式4】如图，正方形网格中，均为格点，小正方形的边长为1．请利用正方形网格及无刻度直尺分别画出符合条件的图形． （1）以为中心对称点，画一个平行四边形． （2）画平行四边形，使点到平行四边形一组邻边的距离相等． （3）过点画的平行线，并求两平行线之间的距离． 1．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将绕顶点A顺时针旋转，使点B，C，D分别落在E，F，G处，且B，E，D，F在同一条直线上，若E恰好是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．在中，已知，则 °． 5．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 6．如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是 ． 7．如图，在6×6的网格中，请用无刻度的直尺完成画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．    (1)在图1中，作中边上的中线； (2)在图2中，作中边上的高； (3)在图3中，找一个格点D，使以为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出D点，并写出所有符合条件的D点坐标_________． 8．如图，在中，，，，求的长度． 9．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 10．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1 平行四边形的性质 课程标准 学习目标 ①平行四边形的性质求解 ②平行四边形的性质证明 1. 掌握平行四边形的性质，并对边、角、对角线进行求解； 2. 掌握平行四边形性质的同时并证明线段、角的等量关系． 知识点 平行四边形的性质 一、边的性质 对边平行且相等：平行四边形的两组对边分别平行且长度相等。 二、角的性质 对角相等：平行四边形的两组对角分别相等。 邻角互补：平行四边形的任意两个相邻角之和为180度，即它们是互补的。 三、对角线的性质 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线相交于它们的中点，即每条对角线被另一条对角线平分成两段相等的部分。同时，对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形。 在特殊的平行四边形中，如矩形和菱形，其对角线长度相等。 四、面积性质 平行四边形的面积等于底边长度乘以高，其中高是指从底边到对边的垂直距离。 题型01 平行四边形中作图 【典例1】如图，在中，，，根据作图痕迹可知的长是（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义，连接，与相交于O点，由作图可知，是的平分线，证明出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：连接，与相交于O点，    由作图可知，是的平分线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【变式1】如图所示，在中，按以下步骤作图∶①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点Q．若，，则的周长为（   ）    A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，涉及角平分线的性质、平行四边形的性质和等腰三角形的性质判定，解决本题的关键是理解基本作图方法．根据作图过程可得平分，再根据平行四边形的性质可得，继而可得，，所以，进而可得的长．即可求的周长． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， ， 在中，， ， ， ， ∵， ， ， ． 则的周长为， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线，交于点E，交于点F，连接．则的周长为 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质．由作图知直线是线段的垂直平分线，再证明是等边三角形，利用平行四边形的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：由作图知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 【变式3】如图，在中，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③连接并延长交于点若，，，则的周长等于 ． 【答案】28 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．首先证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 是等边三角形， ， ，， 四边形的周长为， 故答案为：． 【变式4】作图：如图，在平行四边形中， (1)根据要求作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点； ②作直线． (2)若直线恰好经过点A，当，时，则平行四边形的面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作图要求的步骤进行作图即可； （2）如图，设交于点．结合平行四边形的性质，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图，设交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴． 题型02 平行四边形的性质求边 【典例1】如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则的长为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的性质熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据角平分线的定义得，平行四边形的性质得，可证，进而求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 【变式1】如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为(    ) A．12 B．15 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 由翻折可得，进而可得，结合的周长为的周长为42，可得，即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为12， ， 又∵的周长为42， ， ， 解得：． 故选：B． 【变式2】已知平行四边形周长为，相邻两边的差是则较长边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，二元一次方程组，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形周长求出相邻两边的和，列出方程组进行计算即可． 【详解】解：设平行四边形相邻两边长为和， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交延长线于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查作图一基本作图、平行四边形的性质、角平分线的定义； 由作图过程可知，射线为的平分线，则，根据平行四边形的性质可得，可得，则，即． 【详解】由作图过程可知，射线为的平分线 ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：4 ． 【变式4】如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 题型03 平行四边形的性质求角 【典例1】在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 【变式1】如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，于，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质，三角形内角和定理，利用等腰三角形性质得到，进而利用平行四边形性质得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 于， ， ， 故答案为：． 【变式3】在四边形中，已知，，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，四边形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键； 在四边形中，构造等边，连接，根据等边三角形的性质，，，进而得到，证明四边形为平行四边形，进而求得的度数，进而求解； 【详解】解：在四边形中，构造等边，连接， 时等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为： 【变式4】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 题型04 平行四边形的性质求对角线 【典例1】若平行四边形的一条边长为7，则它的两条对角线的长可以是（    ） A．10和12 B．6和8 C．3和8 D．6和20 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质与三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 由平行四边形的对角线互相平分与三角形的三边关系分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：如图：四边形是平行四边形，， A、∵，， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，故本选项符合题意； B、∵，， ∴，， ∵， ∴不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴，， ∵， ∴不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴，， ∵， ∴不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】如图，中，，连接，以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线，交CD于G，交于点H，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理．先证，推出，根据等腰三角形三线合一的性质，可得，，设，则，，利用勾股定理解和，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接，，， 由作图知，， 又， ， ， 又， ，， ， ， 设，则，， 中，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故选A． 【变式2】如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查基础作图的方法，平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图作角平分线的方法，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，根据平行四边形的性质得到， ，利用勾股定理逆定理求得为直角三角形，证明，进而求解； 【详解】解：根据作法可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 在中，， 故答案为： 【变式3】已知中，，与的角平分线分别交边于点，，且，则边的长为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；由平行四边形的性质和角平分线的定义证出，得出，同理：，再分两种情况计算即可． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 同理：， 分两种情况： ①如图所示： ， ； ②如图2所示： ，， ， ； 综上所述：的长为或． 故答案为：或6 【变式4】如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得的长，；由角平分线性质得，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． 题型05 平行四边形的性质求周长 【典例1】如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】VC 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而由的周长为即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，在中，，，对角线与相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记各性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，由于，根据线段垂直平分线的性质，可知，则的周长为与之和，即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 为的垂直平分线， ， 的周长 ， 故选：． 【变式2】在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是 ． 【答案】34或38 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出．分类讨论． 由平行四边形推出，由已知得到，推出，分两种情况（1）当时，；（2）当时，求． 【详解】解：∵平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，平行四边形的周长是, 当时，平行四边形的周长是, ∴平行四边形的周长是34或38． 故答案为：34或38． 【变式3】如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的的周长为 ． 【答案】/16厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到，求出，再结合即可解答． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴的的周长为， 故答案为：． 【变式4】【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点O． 求证：，． (1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【性质应用】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E，F．求证：． (3)【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)18． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识， （1）由平行四边形的性质得出，则，再由证得，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，则，再由证得，即可得出结论； （3）由，得出，得出，则，推出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果； 熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 在和中， ∴， ∴； （2）∵四边形 是平行四边形， ， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）如图 2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的周长， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， 故答案为：18． 题型06 平行四边形的性质求面积 【典例1】一个平行四边形两条邻边的长度分别是和，量得它的高是，则它的面积是（   ） A． B． C． 或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了构成的三角形的条件，平行四边形的面积，根据三角形的条件可得某条边上的高小于该边的邻边的长，据此可知的高对应的底边长是，利用平行四边形的面积底高就能求出这个平行四边形的面积． 【详解】解：平行四边形某条边上的高小于该边的邻边的长，据此可知的高对应的底边长是， 面积是：， 故选：B． 【变式1】中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系等知识．熟练掌握平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系是解题的关键． 设，，，，如图，则，，得，，则，，由，可得，由，，可得，即，，可求，则，，然后求面积比即可． 【详解】解：设，，，， 如图， ∵， ∴，， 得，， ∴，， 由题意知，，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，整理得，， 解得，，（舍去）， ∴，， ∴、、、的面积比为， 故选：B． 【变式2】如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点．已知的面积是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合问题，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．根据题意首先求出反比例函数的解析式，以及直线OD的解析式，通过设B点的坐标推出C的坐标，然后利用的面积是，建立方程求出B点的坐标即可． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线OD经过原点， ∴设直线OD的解析式为， 将代入得：， ∴直线OD的解析式为：， 由题意得：∥x轴， ∴B，C的纵坐标相等， 设，则C的纵坐标为， 代入反比例函数解析式得，C的横坐标为， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴，即：， 解得：， ∵B点在第二象限， ∴， 将代入B点坐标得， 故答案为：． 【变式3】如图是一个平行四边形，，点F是的中点，三角形的面积是6平方厘米，则三角形的面积是 平方厘米． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．连接，根据平行四边形的性质可得，再由，可得平方厘米，然后根据点F是的中点，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，三角形的面积是6平方厘米， ∴平方厘米， ∵点F是的中点， ∴平方厘米． 故答案为：9 【变式4】已知：如图，在中，点E为边的中点，连接、，过点B作交的延长线于点F．且． (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质，结合已知，等量代换，计算的度数即可． （2）根据平行四边形的面积计算公式，计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的面积，熟练掌握性质和面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）过点B 作于点G， ∵， 点E为边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ． 题型07 平行四边形的性质证边相等 【典例1】在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，牢记平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 故选项符合题意， 与不一定相等，与不一定相等，与不一定相等， 故选项，，不符合题意， 故选：． 【变式1】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质依次验证即可． 【详解】解：A.四边形平行四边形， ， ，故选项正确，不符合题意； B.四边形平行四边形， ，故选项正确，不符合题意； C.四边形平行四边形， ， 与的高相等， ，故选项正确，不符合题意； D.四边形平行四边形， 与不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 【变式3】如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质可判断①；结合图形可判断②；利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，对顶角的性质可判断③；利用平行四边形的性质及三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意综合运用这些知识点是解题关键． 【变式4】如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵且交的延长线于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型08 平行四边形的性质证角相等 【典例1】为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，结合对角对等边以及同角的余角相等，判断②，证明，判断①③，求出的度数，判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中，一定正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得①；分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， 若成立，则应当有，从现有条件无法得出这个结论， 故③错误； ④设，则， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：C 【变式2】如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③．④．其中正确的结论有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】②④/④② 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ，故①错误； ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 【变式3】如图，在平行四边形，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论：①；②；③；④，一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）    【答案】①②③ 【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断； ②延长EF，交CD延长线于点M，首先根据平行四边形的性质证明，得出，进而得出，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断； ③由，得出，从而可判断正误； ④设，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE和∠AEF，从而判断正误． 【详解】①∵点F是的中点， ∴ ， ∵在平行四边形中，， ， ， ， ∴，故①正确； ②延长，交延长线于点M，    ∵四边形是平行四边形， ， ， ∵点F是的中点， ∴ ， 在和中， ． ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ，故③正确； ④设，则， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键． 【变式4】如图，在平行四边形中，点E，F在边上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 题型09 平行四边形的性质证对角线互相平分 【典例1】如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（   ） A．与一定相等 B．与一定相等 C．四边形与四边形一定全等 D．平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定等，利用平行四边形的性质及平行线的性质证明，推出，，进而判断选项A，B，再根据全等四边形的判定方法判断选项C，D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 又点O为对角线的中点， ， ， ，， 故选项A叙述正确，不合题意； 与不一定相等，，， 与不一定相等， 故选项B叙述错误，符合题意； ，， ， 四边形与四边形中，，，，，，，， 四边形与四边形一定全等， 故选项C叙述正确，不合题意； 梯形与梯形中，，，，，，，， 梯形与梯形一定全等， 平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 故选项D叙述正确，不合题意； 故选B． 【变式1】如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形．熟知平行四边形的性质是解题的关键．平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等． 根据平行四边形性质逐一判断，即得． 【详解】A．； ∵中，， ∴A选项不正确； B．； ∵中，， ∴B选项正确； C．； ∵中，， ∴， ∴C选项不正确； D．； ∵中，， ∴D选项不正确． 故选：B． 【变式2】如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，添加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定．由平行四边形的性质得到，又，结合三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】添加条件：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【变式4】如图，四边形中，，，点、分别是、上的点，且，连接交对角线于点．求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．欲证明与互相平分，利用证明即可解决问题． 【详解】证明：∵，， 为平行四边形， ∴， ， 与于点， ， 又， ， ，． ∴与互相平分． 题型10 平行线之间距离处处相等 【典例1】如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点运动，可得， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得， 故选：A． 【变式1】如图，在平行四边形中，， ，，则与间的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．先求出，利用30度角的性质求出，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式2】平行四边形的周长为，对边的距离分别为和，则这个平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，即．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．设平行四边形的面积为，根据对边的距离分别为和，得出平行四边形的两条邻边长分别为：和，根据平行四边形的周长列出方程，解方程即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为， ∵对边的距离分别为和， ∴平行四边形的两条邻边长分别为：和， ∵平行四边形的周长为， ∴， 解得：， 即平行四边形的面积为：． 故答案为：． 【变式3】如图，在平行四边形中，，E为上一点，连接，将沿翻折得到，交于点G，若，，则A到的距离为 ． 【答案】 【分析】过点F作于点H，过点作，易得，由平行四边形得，由，可设，故，由求出，由折叠的性质可得，，进而求出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理求出，故，在中，根据勾股定理求出，由等面积法即可得出的长，即可得解． 【详解】解：如图，过点F作于点H，过点作于M， ∵翻折， ∴， ∵交于点G，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． ∴，即：A到的距离为； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和、三角形外角的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 【变式4】如图，正方形网格中，均为格点，小正方形的边长为1．请利用正方形网格及无刻度直尺分别画出符合条件的图形． （1）以为中心对称点，画一个平行四边形． （2）画平行四边形，使点到平行四边形一组邻边的距离相等． （3）过点画的平行线，并求两平行线之间的距离． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析， 【分析】（1）分别连接AP、BP并延长，使AP=PM，BP=PN，再依次连接即可； （2）画AH=AB，使点P在∠BAH的平分线上，再得到点G，依次连接即可； （3）根据平行线的定义画出CD，再利用三角形的面积求出点P到AB的距离，从而得到结果． 【详解】解：（1）如图，四边形ABMN即为所画； （2）如图，四边形ABGH即为所画； （3）如图，CD即为所画； AB=，BP=2， 设点P到AB的距离为h，在△ABP中， ， ∴点P到AB的距离为h==． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积，平行线之间的距离，解题的关键是理解题意，综合运用相应知识，画出图形． 1．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 又， ． 故选：C． 2．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和平行四边形的综合题，根据题意得出点的纵坐标相同，表示出的值是解题的关键． 根据题意得出点的纵坐标相同，设点的纵坐标为，即可得到点的横坐标，进而得出的值，再利用平行四边形面积公式计算即可求解． 【详解】解：轴， 点的纵坐标相同， 设点的纵坐标为， ， 即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， ， ， 故选：B ． 3．如图，将绕顶点A顺时针旋转，使点B，C，D分别落在E，F，G处，且B，E，D，F在同一条直线上，若E恰好是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质与旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，过点作于点，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后利用勾股定理分别求出的长，由此即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， 设， 恰好是的中点， ， 如图，过点作于点， （等腰三角形的三线合一）， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的判定与性质是解题关键． 4．在中，已知，则 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的邻角互补作答． 【详解】在中，，，则． 故答案为：60． 5．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由，可知，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6．如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】连接，由，得，根据反比例函数的性质，得，结合函数图象在第一象限，确定k值即可． 【详解】解：连接， 由四边形是平行四边形，平行四边形的面积为4， 得，， 故， 根据反比例函数的性质，得， 由函数图象在第一象限， 得． 故答案为：． 7．如图，在6×6的网格中，请用无刻度的直尺完成画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．    (1)在图1中，作中边上的中线； (2)在图2中，作中边上的高； (3)在图3中，找一个格点D，使以为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出D点，并写出所有符合条件的D点坐标_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）借助矩形的对角线互相平分即可找到的中点，即可完成作图； （2）根据“一线三垂直”的全等模型可作出过点且垂直的线段，再过点作平行线即可； （3）分类讨论当以作为平行四边形的对角线、当以作为平行四边形的对角线、当以作为平行四边形的对角线即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求：    （2）解：如图，即为所求：    （3）解：如图所示：    设点 当以作为平行四边形的对角线时： 有 解得： ∴ 当以作为平行四边形的对角线时： 有 解得： ∴ 当以作为平行四边形的对角线时： 有 解得： ∴ 故答案为：或或 【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质．掌握相关结论即可． 8．如图，在中，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形是性质，勾股定理；由平行四边形的性质得，，，由勾股定理得，，即可求解；掌握平行四边形是性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴， 在中， ， ． 9．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． 10．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可； ②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）如图1， 取的中点P，连接， 则， ∵M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的度数为； （2） ①依题意补全图形如图2， ②，证明如下： 如图3， 如图 3，过点作于点，过作于点， 则， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 2 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$