9.2.2 向量的数乘 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

9.2.2　向量的数乘 一、基础达标练 1.(2023靖江月考)下列说法中正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数) B.若a,b共线,则b=λa(λ为实数) C.若|b|=2|a|,则b=±2a D.若b=±2a,则|b|=2|a| 2.化简的结果是(　　) A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 3.(2023新高考1卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 4.(多选题)已知e1,e2是不共线的向量,则下列向量a,b共线的有(　　) A.a=e1,b=-2e2 B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2 C.a=3e1-e2,b=2e1-e2 D.a=e1+e2,b=e1-3e2 5.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于　　　　　.  6.已知P,A,B,C是平面内四点,且,则下列向量一定共线的是　　　　　.(填序号)  ①;②;③;④. 7.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　.  8.设不共线,且=a+b(a,b∈R). (1)若a=,b=,求证:A,B,C三点共线; (2)若A,B,C三点共线,则a+b是否为定值?并说明理由. 二、能力提升练 9.在△ABC中,=2=2,若=λ+μ,则λ-μ=(　　) A. B.- C. D.- 10.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若=a,=b,=3,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 11.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 12.在△ABC中,P是AB上一点,且,又=t,则实数t的值为(　　) A. B. C. D. 13.(多选题)已知点P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　) A.向量可能平行 B.向量可能垂直 C.点P在线段EF上 D.PE∶PF=1∶2 14.(2023如皋月考)如图,正五角星中,A,B,C,D,E是正五边形的五个顶点,且,若=a,则=　　　　(用a表示). 15.已知两个非零向量a与b不共线,=2a-b,=a+3b,=ka+5b. (1)若2=0,求k的值; (2)若A,B,C三点共线,求k的值. 16.(2023淮阴调研)如图,在△ABC中,D是BC边上一点,G是线段AD上一点,且=2,过点G作直线与AB,AC分别交于点E,F. (1)用向量表示; (2)是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 三、拓展探究练 17.(2023泰兴月考)古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形ABCDEFGH中,若=x+y(x,y∈R),则x+y=　　　　.  图1 图2 18.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线?请证明你的结论. 参考答案 1.D　显然当b=±2a时,必有|b|=2|a|.故选D. 2.B　原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=2b-a. 3.B　因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即=2(),所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B. 4.BC　因为e1,e2是不共线的向量,所以e1,e2都不是零向量.对于A,若a与b共线,则e1,e2共线,这与已知矛盾,所以a与b不共线;对于B,因为b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a,所以a与b共线;对于C,因为b=2e1-e2=a,所以a与b共线;对于D,若a与b共线,则存在实数λ∈R,使a=λb,即e1+e2=λ(e1-3e2),所以(1-λ)e1+(1+3λ)e2=0.因为e1,e2是不共线向量,所以显然λ不存在,所以a与b不共线.故选BC. 5.-　因为b=λa,所以|b|=|λ||a|.又因为a与b反向,所以λ=-.故答案为-. 6.②　因为,所以=0,即-2,所以共线.故答案为②. 7.等腰梯形　由已知得=-, 因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形. 又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.故答案为等腰梯形. 8.(1)证明 　当a=,b=时,, 所以)=), 即2,所以共线. 又有公共点C,所以A,B,C三点共线. (2)解a+b为定值1.理由如下:因为A,B,C三点共线,所以, 不妨设=λ(λ∈R),所以=λ(),即=(1-λ)+λ, 又=a+b,且不共线, 则所以a+b=1(定值). 9.B　∵=2,∴,则)=.又∵=2,∴,即λ=,μ=,∴λ-μ==-.故选B. 10.D　由题意知)=, ∴,∴. ∴a+b,故选D. 11.D　因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k.因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].因为a与b不共线,所以解得λ=2或λ=-1.故选D. 12.A　由题意可得)=,又=t,∴t=.故选A. 13.BC　∵+2+3=0,∴+2()=0.∵E为AC的中点,F为BC的中点,∴2+4=0,∴=-2,∴P为FE的三等分点(靠近点F),即PE∶PF=2∶1,故C正确,D错误;向量不可能平行,故A错误;当||=2||=|=|时,向量垂直,故B正确.故选BC. 14.a　由已知,结合正五角星的图形,有 , ∵方向相同,, ∴a.故答案为a. 15.解 (1)∵2=2(2a-b)-a-3b+ka+5b =(k+3)a=0,∴k=-3. (2)由=-a+4b, =(k-2)a+6b, 又∵A,B,C三点共线,∴=λ, 即(k-2)a+6b=-λa+4λb, 解得k=. 16.解 (1))=. (2)是定值,设=λ=μ,则=λ+2μ, ∵=2,∴, ∴=1,即λ+2μ=,故(定值). 17.+2　如图,连接CH,则AB∥CH, 不妨设AB=2,则CH=2+2,即=(+1), ∴=(+1),则x=+1,y=1,故x+y=+2. 18.解 b与a+c共线.证明如下: ∵a+b与c共线, ∴存在唯一实数λ,使得a+b=λc.① ∵b+c与a共线, ∴存在唯一实数μ,使得b+c=μa.② 由①-②得,a-c=λc-μa.∴(1+μ)a=(1+λ)c. 又a与c不共线,∴1+μ=0,1+λ=0, ∴μ=-1,λ=-1,∴a+b=-c, 即a+b+c=0,∴a+c=-b. 故b与a+c共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$