1.2反比例函数的图像与性质（2）课件-2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

1.2 反比例函数的图像与性质(2) 鲁教版初中数学九年级上册 1.2 反比例函数的图像与性质 （第二课时） 学习目标： 1、能进一步理解和掌握反比例函数图像及性质； 2、熟练应用反比例函数图像的性质解决问题； 3、探索与反比例函数的图像有关的图形的面积，体 会数形结合及其转化的数学思想。 知识回顾： 1、什么是反比例函数？ 2、反比例函数的图像是什么？有哪些性质？ 探究活动一：分别观察下列函数的图像，回答问题。 第一组：当k=2、4、6时，函数的图像如下图所示 第二组：当k=-2、-4、-6时，函数的图像如下图所示 问题： （1）函数图像分别位于哪几个象限？ （2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？你能说明是为什么吗？ （3）反比例函数的图像能与x轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？ 观察 的列表及图像，探究：随着x值的增大，y的值是怎样变化的？ x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 … X X变大 X变大 y变小 X变大 y变小 y变小 y y变小 x y O A x1 y1 B x2 y2 当 x1 < x2 时，y1 > y2 当k >0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 如图1 x2＜X1＜0， 则y1＜y2 X4＞x3＞0， 则y4＜y3 如图2 X1＞x2＞0，则y1＞y2 X4＜x3＜0，则y4＜y3 归纳总结一： 反比例函数 图像的性质： 增减性： 当k >0时，在每一象限内， y的值随x值的增大而减小； 当k <0时，在每一象限内， y的值随x值的增大而增大。 当x值的绝对值无限增大时，反比例函数图像 的两个分支都无限接近x轴； 当x值的绝对值无限接近于零时，反比例函数图像的两个分支都无限接近y轴。 但永远不会与x轴和y轴相交。 x y x y 注意： 回味无穷 反比例函数的性质： 1、反比例函数的图像 2、象限问题 3、增减性 4、对称性 5、趋向性 6、图像离原点的远近 例1 若反比例函数的图像经过点A(-3,6). 解： （1）设反比例函数的关系式为 将A（-3,6）的坐标代入 中，得 解得 k=-18. 所以这个反比例函数的表达式为 （2）因为k<0， 所以在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。 又 a>b>0 所以 m>n （1）求这个反比例函数的表达式； （2）在这个函数的图像上任取点A（a，m）和点B（b，n），若a>b>0, 那么m和n有怎样的大小关系？ 变式训练： 若把例1中的第二问的条件a＞b＞0改为：1、a＜b＜0，m和n的关系又怎样呢？ 2、a＞0＞b，m和n的关系又怎样呢？（小组之间讨论，总结规律） 典例解析一 例1 若反比例函数的图像经过点A(-3,6). 解： （1）设反比例函数的关系式为 将A（-3,6）的坐标代入 中，得 解得 k=-18. 所以这个反比例函数的表达式为 （1）求这个反比例函数的表达式； （2）在这个函数的图像上任取点A（a，m）和点B（b，n），若 那么m和n有怎样的大小关系？ a>b>0， a<b<0, a>0>b, （2）因为k<0， 所以在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。 又 a<b<0 所以 m<n x y A（a，m） B（b，n） n > m 典例引领 规律总结一： 对于反比例函数的图像上有两点，A（a，m）、B（b，n）在a、b不同的取值下，m、n大小的比较方法： （1）利用性质： k＞0，在每个向象限内，y的值随x值的增大而减小； k＜0，在每个向象限内，y的值随x值的增大而增大。 （前面例题已经举例） （2）利用特殊值法： 在a、b的取值范围内，取一个特殊值，代入表 达式，分别计算出 m、n的值再比较大小。 （3）利用图像法： 如下图， 反比例函数的图像 （当k＞0时） 反比例函数的图像 （当k＜0 时） 如图1 X2＜x1＜0， 则y1＜y2 X4＞x3＞0， 则y4＜y3 如图2 X1＞x2＞0，则y1＞y2 X4＜x3＜0，则y4＜y3 下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_______________；在其图象所在象限内，y值随x值的增大而增大的有_______. （1）y＝ (2）y＝ （3）y＝ （4）y＝ . （1）（3） （2）（4） 新知应用一： 2、函数 的图象在第 象限内，在每个象限内，y随x的增大而 。 3、若双曲线 ， 若y随x的增大而增大，则k 。 一、三 减小 <0 1.反比例函数y= （ x<0）的图象位于_______象限，y随x增大而________. 三 增大 2.函数 , y 随 x 的减小而增 大，则m= ____. y =(2m+1)xm +2m-16 2 3 3.反比例函数y= 经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0<x2时,有y1>y2,则m的取值范围是________ m<-1 拓展提升一： 图中反比例函数为： 1、图中四个矩形的面积为______, 你是怎样得到的?说说你的想法，与同伴交流。 2、若把函数改为： ，则图中四个矩形的面积为 ________. 3、如果把函数改为： ， 呢？说说你的想法。 探究活动二：与反比例函数的图像有关的图形面积 （k的几何意义） P Q S1 S2 反比例函数 R S3 想一想： 在双曲线上任取两个点P、Q，过每个点分别向x、y轴作垂线，与坐标轴围城矩形的面积S1、S2，则S1、S2有什么关系？为什么？ （a，b） S3矩形=OM×ON M N =|a|×|b| =|a×b| O =|k| 思考1： 如何表示矩形的面积S呢？ Q S1 S2 S3 反比例函数图像上任取一点向X或Y坐标轴作垂线，连接该点、原点与垂足，得到的三角形面积为 。 思考2： 如何表示三角形的面积S呢？ 想一想： 在双曲线上任取一个点，过每个点分别向x或y轴作垂线，与坐标轴围成形的的三角形面积有什么关系？为什么？ P 过双曲线上任意一点作x轴和y轴的垂线，所 得矩形面积为 ；过双曲线上任意一点作x轴 或y轴的垂线，连接该点、原点与垂足，所得三 角形面积为 . 规律总结二： 典例解析二 1.如图1:A、C是函数 的图象上任意两点，过A点作x轴的垂线，垂足为B，过C点作y轴的垂线。垂足为D，Rt△AOB的面积为S1，Rt△OCD的面积为S2，则______. A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定. A B o y x C D D S1 S2 2.如图2,点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 . P D o y x 3.如图3,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 . x y o M N P 新知应用二： 图1 图3 图2 拓展提升二： 【分析】将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数表达式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数表达式； 直击中考 通过本节课的学习， 我知道了…… 我学会了…… 盘点收获 1、反比例函数的图象和性质 k＞0 图象在第一和第三象限，每个象限内y随x的增大而减小。 k＜0 图象在第二和第四象限，每个象限内y 随x的增大而增大。 2、K的几何意义 S四边形= S三角形= 3、数学思想: 数形结合、转化、分类讨论的思想 1．【中考·赤峰】点A(1，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，则y1，y2的大小关系是(　　) A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定． 2【中考·衡阳】对于反比例函数 ，下列说法不正确的是(　　) A．图象分布在第二、四象限 B．当x>0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点(1，－2) D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1<x2，则y1<y2 3．【中考·毕节】如图，点A为反比例函数 图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 4．【中考·广州】将直线y＝3x＋1向下平移1个单位长度，得到直线y＝3x＋m.若反比例函数y＝的图象与直线y＝3x＋m相交于点A，且点A的纵坐标是3. (1)求m和k的值； (2)结合图象求不等式3x＋m＞的解集. 达标检测： 直击中考 一节课的时间过得真快， 能与同学们一起探究、一起发现， 老师感到很幸福， 希望今天的学习会帮助你。 同学们，再见！ $$