2025年九年级中考数学解答题复习训练 《解答题之一次函数》

第 1页（共 71页） 解析答案 解答题 1．已知 y+3与 x成正比例，当 x＝2时，y＝7． （1）求 y与 x的函数表达式； （2）当 x=− 12时，求 y的值． 【解答】解：（1）设 y+3＝kx， 把 x＝2，y＝7代入得 2k＝7+3，解得 k＝5， 所以 y+3＝5x， 所以 y与 x的函数表达式为 y＝5x﹣3； （2）当 x=− 12时，y＝5×（− 1 2）﹣3=− 11 2 ． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时， 先设 y＝kx+b；再将自变量 x的值及与它对应的函数值 y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的 方程或方程组； 然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 2．一次函数 y＝﹣3x+b的图象经过点（﹣1，2）． （1）求这个一次函数表达式； （2）判断点（3，﹣8）在此函数图象上吗？ （3）若点 A（2m，y1），B（m﹣1，y2）在该一次函数的图象上，且 y1＜y2，求实数 m的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数 y＝﹣3x+b的图象经过点（﹣1，2）， ∴（﹣3）×（﹣1）+b＝2， 解得 b＝﹣1， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣3x﹣1； （2）∵当 x＝3时，y＝﹣3×3﹣1＝﹣10≠﹣8， ∴点（3，﹣8）不在此函数图象上； （3）由（1）知，一次函数的解析式为 y＝﹣3x﹣1， ∵k＝﹣3＜0， ∴y随 x的增大而减小， ∵点 A（2m，y1），B（m﹣1，y2）在该一次函数的图象上，且 y1＜y2， 第 2页（共 71页） ∴2m＞m﹣1， 解得 m＞﹣1． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识 是解题的关键． 3．如图，直线 y＝3x+6与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B． （1）求 A，B两点的坐标； （2）求△ABO的面积． 【解答】解：（1）在 y＝3x+6中， 当 y＝0时，则 x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）； 当 x＝0时，则 y＝6， ∴B（0，6）． （2）由条件可知 OA＝2，OB＝6， ∴�△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 × 2 × 6 = 6． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握 求一次函数与坐标轴交点坐标的方法与技巧是解决问题的关键． 4．如图，经过点（3，0）的一次函数 y＝﹣x+b与正比例函数 y＝ax交于点 P（m，2）． （1）求 a，b，m的值； （2）请直接写出不等式组 ax≥﹣x+b＞0的解集． 第 3页（共 71页） 【解答】解：（1）∵经过点（3，0）的一次函数 y＝﹣x+b与正比例函数 y＝ax交于点 P（m，2）． ∴﹣3+b＝0， ∴b＝3， ∴y＝﹣x+3， ∴2＝﹣m+3， ∴m＝1， ∴P（1，2）， ∴a＝2． （2）观察图象得：不等式组 ax≥﹣x+b＞0的解集为 1≤x＜3． 【点评】考查了一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不 大． 5．已知如图，AE∥x轴，OA平分∠EOC，点 A（2，2），点 B（0，﹣2），AB交 x轴于点 D，AC⊥AB交 x轴于点 C，且 AB＝AC． （1）求线段 AB所在直线解析式； （2）点 P为折线 B﹣O﹣C上一动点，点 P由点 B出发向终点 C以一个单位每秒的速度运动，设运动 时间为 t，△ACP的面积为 S，用含 t的式子表示面积 S，并直接写出 t的取值范围； （3）在②的条件下，是否存在时间 t使得△OAP为直角三角形？若存在请求出 t值，若不存在请说明 理由． 【解答】解： （1）设直线 AB解析式为 y＝kx+b， 把 A、B坐标代入可得 −2 = �2� + � = 2，解得 � = 2 � =− 2， ∴直线 AB解析式为 y＝2x﹣2； （2）过 A作 AF⊥x轴于点 F，如图 1， 第 4页（共 71页） ∵A点坐标为（2，2）， ∴AE＝AF＝2，且 AB＝AC， 在 Rt△ABE和 Rt△ACF中 �� = �� �� = �� ∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL）， ∴CF＝BE＝4， ∴OC＝OF+CF＝2+4＝6， 又 B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∴OB+OC＝2+6＝8， ∴t的取值范围为 0≤t≤8， 当 0≤t＜2时，即点 P在线段 OB上时，连接 AP交 x轴于点 G，如图 2， 则 PB＝t，且 OB＝2， ∴OP＝2﹣t， ∴P（0，t﹣2）， 设直线 AP解析式为 y＝mx+n， 把 A、P坐标代入可得 � − 2 = �2 = 2� + �，解得 � = 4−�2 � = � − 2 ， 第 5页（共 71页） ∴直线 AP解析式为 y= (4−�)�2 +t﹣2， 令 y＝0，可解得 x= 4−2�4−�， ∴OG= 4−2�4−� ， ∴CG＝OC﹣OG＝6− 4−2�4−� = 20−4� 4−� ， ∴S＝S△ACP＝S△AGC+S△PGC= 1 2CG•OE+ 1 2CG•OP= 1 2 × 20−4� 4−� ×（2+2﹣t）＝10﹣2t； 当 2≤t≤8时，即点 P在线段 OC上时，如图 3， 则 OB+OP＝t， ∴PC＝8﹣t， ∴S＝S△ACP= 1 2PC•OE= 1 2 ×（8﹣t）×2＝8﹣t； 综上可知 S= 10 − 2�(0 ≤ �＜2) 8 − �(2 ≤ � ≤ 8) ，其中 t的取值范围为 0≤t≤8； （3）∵∠AOB＞90°， ∴当点 P在线段 OB上时， ∴当△AOP为直角三角形时，则点 P在线段 OC上， 分∠OPA＝90°和∠OAP＝90°两种情况： ①当∠OPA＝90°时，连接 AP，如图 4， 第 6页（共 71页） ∵A点坐标为（2，2）， ∴OP＝AP＝2， ∴t＝OB+OP＝2+2＝4； ②当∠OAP＝90°，连接 AP，过 A作 AH⊥x轴于点 H，如图 5， 同①可知 AH＝OH＝2， ∴∠AOP＝45°， ∴AO＝AP＝2 2， ∴OP＝4， ∴t＝OB+OP＝2+4＝6； 综上可知当 t为 4s或 6s时，△OAP为直角三角形． 【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面 积和勾股定理等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中分两种情况，分别用 t表示 出△ACP的底是解题的关键，在（3）中分两种情况分别求得 OP的长是解题的关键．本题涉及知识点 较多，综合性较强，难度较大． 6．如图，过点 A的一次函数的图象与正比例函数 y＝2x图象相交于点 B． （1）求该一次函数的解析式； （2）如果点 C（m，﹣2）在该一次函数的图象上，请求 m的值； （3）若该一次函数的图象与 x轴交于 D点，求△BOD的面积． 第 7页（共 71页） 【解答】解：（1）把 x＝1代入 y＝2x得 y＝2， ∴直线经过点 B（1，2）， 设直线 AB的解析式为：y＝kx+b， ∴ � + � = 2 � = 3 ， ∴ � =− 1 � = 3 ， ∴该一次函数的解析式为 y＝﹣x+3； （2）∵点 C（m，﹣2）在该一次函数的图象上， ∴﹣2＝﹣m+3， ∴m＝5； （3）当 y＝0时，x＝3， ∴D（3，0）， ∴OD＝3， ∴△BOD的面积= 12 ×3×2＝3． 【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直 线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝kx﹣1与 y轴交于点 B，与 x轴交于点 C，直线 l2：y＝x+1与 y轴交于点 D．直线 l1和直线 l2相交于点 A，已知 A点纵坐标为 2． （1）求点 A的横坐标及 k的值． （2）点 M在直线 l2上，MN∥y轴，交 x轴于点 N，若 MN＝2BD，求点 M的坐标． 【解答】解：（1）∵直线 l1和直线 l2相交于点 A，A点纵坐标为 2， ∴x+1＝2，解得 x＝1， ∴A（1，2）， 代入 y＝kx﹣1得， 第 8页（共 71页） ∴2＝k﹣1，解得 k＝3， ∴A（1，2），k＝3； （2）∵k＝3， ∴直线 l1：y＝3x﹣1， 直线 l1：y＝3x﹣1和直线 l2：y＝x+1中，令 x＝0，则 y＝﹣1与 y＝1， ∴B（0，﹣1），D（0，1）， ∴BD＝2， 设 M（a，a+1），由 MN∥y轴，得 N（a，0）， MN＝|a+1|＝2BD＝4， 解得 a＝3或 a＝﹣5， ∴M（3，4）或 M（﹣5，﹣4）． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的 关键． 8．如图，已知直线 l1：y＝x﹣4与直线 l2：y＝﹣2x交于点 A，且直线 l1分别与 x轴，y轴交于点 C，点 B． （1）求点 A，B，C的坐标． （2）若点 P在直线 l1上，且 S△BOP＝2S△POC，求点 P的横坐标． 【解答】解：（1） � = � − 4 � =− 2� ， 解得： � = 43 � =− 83 ， ∴�( 43， − 8 3 )， ∵直线 l1：y＝x﹣4分别与 x轴，y轴交于点 C，点 B． 当 x＝0时，y＝﹣4，当 y＝0时，x＝4， ∴B（0，﹣4），C（4，0）； （2）设 P（m，m﹣4）， 第 9页（共 71页） ∵S△BOP＝2S△POC， ∴ 1 2 × �� × |�| = 2 × 1 2 × �� × |� − 4|， 即 1 2 × 4 × |�| = 4 × |� − 4|， 解得：m＝8或� = 83， ∴点 P的横坐标为 8或 8 3 ． 【点评】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题，解题的关键是沾我先关知识的灵活运用． 9．如图，一次函数 y＝ax+b的图象与坐标轴交于 A、B两点，且 OA＝2OB＝4，与正比例函数 y＝kx的图 象交于点 C，若 S△AOB＝2S△COB； （1）求一次函数 y＝ax+b和正比例函数 y＝kx的表达式； （2）结合图象直接写出不等式 ax+b＞kx的解集． 【解答】解：（1）∵OA＝2OB＝4， ∴OB＝2， ∴A（0，4），B（2，0）， ∵一次函数 y＝ax+b的图象与坐标轴交于 A、B两点， ∴ 4 = � 0 = 2� + �， 解得 � =− 2 � = 4 ， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+4， ∵S△AOB＝2S△COB， ∴|��| = 1 2�� = 2， 将 y＝2代入：y＝﹣2x+4，中得 x＝1， ∴C（1，2）代入 y＝kx中得 k＝2， ∴y＝2x； 第 10页（共 71页） （2）由图可得不等式：ax+b＞kx的解集为 x＜1． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正 比例函数的解析式，三角形的面积，熟知以上知识是解题的关键． 10．一次函数 y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数 y1＝ax+b还经过（2，3）点，求 y1的表达式； （2）若有另一个一次函数 y2＝bx+a． ①点 A（m，p）和点 B（n，p）分别在一次函数 y1和 y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数 y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数 y有最大值 6，求 a的值． 【解答】（1）解：∵一次函数 y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3）， ∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3， ∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3； （2）①证明：∵一次函数 y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a， ∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a， ∵y2＝bx+a， ∴y2＝﹣ax+a， ∵点 A（m，p）在一次函数 y1＝ax﹣a的图象上， ∴p＝ma﹣a， ∵点 B（n，p）在一次函数 y2＝﹣ax+a的图象上， ∴p＝﹣na+a， ∴ma﹣a＝﹣na+a， 即 ma+na＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2； ②解：由①得 y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a， ∵y＝y1﹣y2， ∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a， ∵a≠0， ∴有以下两种情况： 第 11页（共 71页） （ⅰ）当 a＜0时， 对于 y＝2ax﹣2a，y随 x的增大而减小， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当 x＝﹣2时，y为最大， ∴2a×（﹣2）﹣2a＝6， 解得：a＝﹣1 （ⅱ）当 a＞0时， 对于 y＝2ax﹣2a，y随 x的增大而增大， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当 x＝4时，y为最大， ∴2a×4﹣2a＝6， 解得：a＝1， 综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数 y有最大值 6，a的值为﹣1或 1． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上的点，熟练掌握待定系数法求一次函 数的解析式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 11．如图，直线 l1：y＝2x+1与直线 l2：y＝mx+4相交于点 P（1，b）． （1）求 b，m的值； （2）直接写出关于 x的不等式 2x+1＜mx+4的解集； （3）垂直于 x轴的直线 x＝a与直线 l1，l2分别交于点 C，D．若线段 CD长为 2，求 a的值． 【解答】解：（1）∵点 P（1，b）在直线 l1：y＝2x+1上， ∴b＝2×1+1＝3； ∵点 P（1，3）在直线 l2：y＝mx+4上， ∴m+4＝3， ∴m＝﹣1． 故 b＝3，m＝﹣1． 第 12页（共 71页） （2）由（1）可知：l1：y＝2x+1，l2：y＝﹣x+4， 要使不等式 2x+1＜mx+4，则 l1的函数图象在 l2函数图象的下面， 结合函数图象可知此时 x＜1， 故不等式 2x+1＜mx+4的解集为：x＜1． （3）当 x＝a时，yC＝2a+1； 当 x＝a时，yD＝4﹣a． ∵CD＝2， ∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2， 解得：� = 13或� = 5 3． ∴a的值为 1 3 或 5 3 ． 【点评】本题主要考查了根据一次函数的性质求一次函数解析式，结合函数图象判断不等式的解集，两 点之间的距离等知识． 12．如图，正比例函数 y＝﹣3x的图象与一次函数 y＝kx+b的图象交于点 P（m，3），一次函数图象经过点 B（1，1），与 y轴的交点为 D，与 x轴的交点为 C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）直接写出不等式 kx+b≥﹣3x的解集： x≥﹣1 ． 【解答】解：（1）把点 P（m，3）代入 y＝﹣3x中得：3＝﹣3m， 解得：m＝﹣1， ∴点 P（﹣1，3）， 把 P（﹣1，3），点 B（1，1）代入 y＝kx+b中得： 3 =− � + � 1 = � + � ， 解得： � =− 1 � = 2 ， ∴y＝﹣x+2； 第 13页（共 71页） （2）把 y＝0代入 y＝﹣x+2中得：0＝﹣x+2， 解得：x＝2， ∴点 C（2，0）， ∵点 P（﹣1，3）， ∴△COP的面积= 12OC•yP= 1 2 ×2×3＝3； （3）由题意得：﹣x+2≥﹣3x， ﹣x+3x≥﹣2， 2x≥﹣2， x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，准确 熟练地进行计算是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系内，点 A的坐标为（0，24），经过原点的直线 l1与经过点 A的直线 l2相交于 点 B，点 B的坐标为（18，6）． （1）求直线 l1，l2对应的函数表达式； （2）点 C为线段 OB上一动点（点 C不与点 O，B重合），作 CD∥y轴交直线 l2于点 D，设点 C的纵 坐标为 a，求点 D的坐标（用含 a的代数式表示） 【解答】解：（1）设直线 l1对应的函数表达式为 y＝k1x， 把点（18，6）代入得 18k1＝6， 解得 k1= 1 3， ∴直线 l1对应的函数表达式为 y= 1 3x； 设直线 l2对应的函数表达式为 y＝k2x+b， 第 14页（共 71页） 把点 A（0，24），B（18，6）代入得 � = 2418�2 + � = 6 解得 k2＝﹣1，b＝24， ∴直线 l2对应的函数表达式为 y＝﹣x+24 （2）∵点 C在直线 l1上，且点 C的纵坐标为 a， ∴a= 13x． ∴x＝3a， ∴点 C的坐标为（3a，a）． ∵CD∥y轴， ∴点 D的横坐标为 3a． ∵点 D在直线 l2上， ∴y＝﹣3a+24， ∴点 D的坐标为（3a，﹣3a+24）． 【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握 待定系数法是解本题的关键． 14．如图，一次函数� = 12 � + 1 与 x轴，y轴分别相交于点 A和点 B． （1）求点 A和点 B的坐标； （2）在 y轴上有一动点 P，若△ABP的面积为 3，请求出点 P的坐标； （3）在 x轴上是否存在点 Q，使得△ABQ是以 AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点 Q的 坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由� = 12 � + 1 得， 当 x＝0时 y＝1；当 y＝0时，x＝﹣2， ∴点 A的坐标为（﹣2，0），点 B的坐标为（0，1）； （2）设 P（0，b）， 第 15页（共 71页） 由（1）得点 A的坐标为（﹣2，0），点 B的坐标为（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， ∴PB＝|b﹣1|， ∵△ABP的面积为 3， ∴ 1 2 �� × �� = 3，即 1 2 |� − 1| × 2 = 3， ∴|b﹣1|＝3， 解得：b＝4或 b＝﹣2， ∴点 P的坐标为（0，4）或（0，﹣2）； （3）存在，理由：如图， ∵点 A的坐标为（﹣2，0），点 B的坐标为（0，1）， ∴�� = 5， ①当�� = ��1 = ��2 = 5时， ∴Q1的坐标为( − 5 − 2，0)，Q2的坐标为( 5 − 2，0)， ②当 AB＝BQ3时， ∴OQ3＝OA＝2， ∴Q3的坐标为（2，0）． 综上分析，存在，点 Q的坐标为（2，0）或( 5 − 2，0)或( − 5 − 2，0)． 【点评】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用及分类讨论 思想是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1＝kx+b的图象与坐标轴分别交于点 A，B，与正比例函数 y2 ＝﹣1.5x的图象交于点 C．已知点 B的坐标为（0，3），点 C的纵坐标为 6． （1）求一次函数 y1＝kx+b的表达式； （2）当 y1＞y2＞0时，直接写出自变量 x的取值范围． 第 16页（共 71页） 【解答】解：（1）当 y＝6时，﹣1.5x＝6， 解得：x＝﹣4， ∴C（﹣4，6）， ∵y1＝kx+b的图象经过点 C（﹣4，6）和 B（0，3）， ∴﹣4k+3＝6， 解得：k=− 34， ∴一次函数的表达式为：y1=− 3 4x+3； （2）由图象得：y1＞y2＞0时，自变量 x的取值范围为：﹣4＜x＜0． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数� = 23 � + 2 的图象与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，且与正 比例函数� = 43 �的图象交点为 C． （1）点 B的坐标为 （0，2） ； （2）求△BOC的面积； （3）在 y轴上求一点 P，使△POC是以 OC为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点 P的坐 标 （0，5）或（0，﹣5）或（0，8） ． 【解答】解：（1）对于� = 23 � + 2，当 x＝0时，y＝2，即点 B（0，2）， 故答案为：（0，2）； （2）联立两个函数表达式得： 2 3 x+2= 43x，则 x＝3，即点 C（3，4）， 第 17页（共 71页） 则△BOC的面积= 12 ×OB×xC= 1 2 ×2×3＝3； （3）设点 P（0，y）， 由点 P、O、C的坐标得，PO2＝y2，PC2＝9+（y﹣4）2，CO2＝25， 则 PO＝CO或 PC＝OC， 即 25＝9+（y﹣4）2或 y2＝25，则 y＝±5或 0（舍去）或 8， 即点 P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数、等腰三角形的性质、面积的计算等，学会分类讨论的数学思 想是正确解题的关键． 17．在平面直角坐标系 xOy中，直线 l过原点且经过第三、第一象限，l与 x轴所夹锐角为 n°．对于点 P 和 x轴上的两点 M，N，给出如下定义：记点 P关于直线 l的对称点为 Q，若点 Q的纵坐标为正数，且 △MNQ为等边三角形，则称点 P为 M，N的 n°点． （1）如图 1，若点 M（2，0），N（4，0），点 P为 M，N的 45°点，连接 OP，OQ． ①∠POQ＝ 30 °； ②求点 P的纵坐标； （2）已知点 M（m，0），N（m+t，0）． ①当 t＝2时，点 P为 M，N的 60°点，且点 P的横坐标为﹣2，则 m＝ 6 ； ②当 m＝﹣2时，点 P为 M，N的 30°点，且点 P的横坐标为 2，则 t＝ 3或﹣6 ． 【解答】解：（1）①如图 1，过点 Q作 QE⊥x轴于 E，过点 P作 PF⊥y轴于 F， ∵M（2，0），N（4，0）， 第 18页（共 71页） ∴MN＝2，OM＝2， ∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN， ∴QM＝MN＝2，ME= 12MN＝1，∠QMN＝60°， ∴QE= ��2 −��2 = 22 − 12 = 3，OE＝OM+ME＝2+1＝3， ∵OM＝QM， ∴∠QOM＝∠OQM＝30°， ∵点 P为 M，N的 45°点， ∴l与 x轴所夹锐角为 45°， ∵点 P关于直线 l的对称点为 Q， ∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°， 故答案为：30． ②在△POF和△QOE中， ∠��� = ∠��� = 90° ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△POF≌△QOE（AAS）， ∴OF＝OE＝3，PF＝QE= 3， ∴P（ 3，3）； （2）①∵M（m，0），N（m+t，0）， ∴MN＝m+t﹣m＝t， ∴当 t＝2时，MN＝2， 如图 2，过点 Q作 QE⊥x轴于 E，过点 P作 PF⊥y轴于 F，作 PK∥y轴交直线 l于 K，交 x轴于 T，连 接 KQ交 x轴于 W，连接 PQ交直线 l于 L， 第 19页（共 71页） ∵点 P为 M，N的 60°点， ∴QE= 3，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°， ∴∠PKO＝30°， ∵P、Q关于直线 l对称， ∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°， ∴OK＝4， ∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°， ∴∠OWK＝∠QKL， ∴OW＝OK＝4， ∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3， 在 Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN， ∴WQ＝2QE＝2 3， ∴WE= ��2 − ��2 = (2 3)2 − ( 3)2 =3， ∴m﹣3＝3， ∴m＝6， 故答案为：6． ②∵m＝﹣2， ∴M（﹣2，0）， 如图，分两种情况：当 t＞0时，点 N1在点 M的右侧， 第 20页（共 71页） ∵x＝2与 l的夹角为 60°， ∴x＝2关于 l的对称线和 l的夹角也为 60°， ∴∠HTK＝60°， ∴△TOK是等腰三角形， ∴HK＝OH＝2， ∴∠Q1KM＝30°， ∵∠Q1MK＝60°， ∴Q1M⊥Q1K， ∴MK＝2Q1M，即 6＝2t， ∴t＝3； 当 t＜0时，点 N2在点 M的左侧， 同理可得：KN2＝2Q2N2，即 6﹣t＝﹣2t， ∴t＝﹣6； 综上所述，t＝3或﹣6， 故答案为：3或﹣6． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图 象和性质等，理解并运用新定义是解题关键． 18．如图，已知函数 y= 12x+3与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，点 C与点 A关于 y轴对称． （1）求直线 BC的函数解析式； （2）设点 M是 x轴上的一个动点，过点 M作 y轴的平行线，交直线 AB于点 P，交直线 BC于点 Q． ①若△PQB的面积为 2，求点 P的坐标； ②点 M在线段 AC上运动的过程中，连接 BM，若∠BMP＝∠BAC，求点 Q的坐标． 第 21页（共 71页） 【解答】解：（1）令 x＝0，则 y＝3， ∴B（0，3）， 令 y＝0，则 x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点 C与点 A关于 y轴对称， ∴C（6，0）， 设直线 BC的解析式为 y＝kx+b， ∴ � = 3 6� + � = 0， 解得 � = 3 � =− 12 ， ∴y=− 12x+3； （2）①设 M（m，0）， ∵PQ⊥x中轴， ∴P（m， 1 2 m+3），Q（m，− 12m+3）， ∴PQ＝| 1 2 m+3+ 12m﹣3|＝|m|， ∴S△PQB= 1 2 ×|m|×|m|＝2， 解得 m＝±2， ∴P（2，4）或（﹣2，2）； ②∵点 M在线段 AC上运动， ∴﹣6≤m≤6， 如图 1，当点 M在线段 AO上时， ∵点 C与点 A关于 y轴对称， 第 22页（共 71页） ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BMP＝∠BAC， ∴∠BMP＝∠BCA， ∵∠BMP+∠BMC＝90°， ∴∠BMC+∠BCA＝90°， ∴∠MBC＝90°， ∴BM2+BC2＝MC2， ∴MC2＝（6﹣m）2，BM2＝m2+9，BC2＝45， ∴m2+9+45＝（6﹣m）2， 解得 m=− 32， ∴Q（− 32， 15 4 ）； 如图 2，当点 M在线段 OC上时，同理可得 Q（ 3 2 ， 9 4 ）， 综上所述：点 Q的坐标为（− 32， 15 4 ）或（ 3 2 ， 9 4 ）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理， 分类讨论是解题的关键． 19．如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y1＝﹣2x+6的图象与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，点 C 在 x轴上，OB＝2OC，一次函数 y2＝kx+b（k≠0）的图象经过点 C，且与 y1＝﹣2x+6 的图象交于点 D （m，4），连接 BC． （1）求 y2的解析式； （2）求△BCD的面积； 第 23页（共 71页） （3）如图 2，直线 CD交 y轴于点 E，作直线 AE，点 P为直线 AE上一动点，当∠ECP+∠ABE＝∠BED 时，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标． 【解答】解：（1）一次函数 y1＝﹣2x+6的图象与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，则点 A、B坐标分别 为：（3，0）、（0，6）， 则 OB＝6＝2OC，则点 C（﹣3，0）， 将点 D的坐标代入 y1＝﹣2x+6得：4＝﹣2m+6，则 m＝1，即点 D（1，4）； 由点 C、D的坐标得，y2的解析式为 y2＝x+3； （2）如图 2，由（1）知 y2＝x+3，则点 E（0，3）， 则△BCD的面积= 12BE×（xD﹣xC）= 1 2 ×（6﹣3）×（1+3）＝6； （3）由（1）知，直线 BC、AB关于 y轴对称，则∠OBA＝∠OBC， 过点 E作 EH∥BC交 CP于点 H，则∠CEH＝∠CBO＝∠OBA， 则∠BED＝∠CEO＝∠CEH+∠HEO＝∠CBO+∠HEO， ∵∠ECP+∠ABE＝∠BED，则∠CEH＝∠HCE，则 HE＝HC， 由点 B、C的坐标得，直线 BC的表达式为：y＝2x+6，而 EH∥BC， 则直线 EH的表达式为：y＝2x+3， 第 24页（共 71页） 设点 H（m，2m+3）， ∵HE＝HC，则（m+3）2+（2m+3）2＝m2+（m+3﹣3）2，则 m＝﹣1， 即点 H（﹣1，1）， 由点 C、H的坐标得，直线 CP的表达式为：y= 12（x+3）， 联立 CH和 AE的表达式得：﹣x+3= 12（x+3），则 x＝1， 即点 P（1，2）； 当点 P（P′）在 CE上方时， 同理可得：直线 CP′的表达式为：y＝2（x+3）， 联立上式和 AE的表达式得：2（x+3）＝﹣x+3，则 x＝﹣1，即点 P（﹣1，4）； 综上，点 P（1，2）或（﹣1，4）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的 关键． 20．已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点 A（3，4），且 OA＝OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在 x轴上存在一点 p，使△AOP是等腰三角形，直接写出所有符合要求的点 P的坐标． 【解答】解：（1）设直线 OA为 y＝kx． ∵A（3，4）， ∴OA= 32 + 42 =5， ∵OA＝OB， 第 25页（共 71页） ∴B（0，﹣5）， ∵y＝kx经过点（3，4）， ∴3k＝4，k= 43， ∴y= 43x． 设直线 AB为 y＝ax+b， ∵y＝ax+b经过 A（3，4），B（0，﹣5）， ∴ � =− 5 3� + � = 4， 解得 � = 3 � =− 5， ∴y＝3x﹣5； （2）∵直线 y＝3x﹣5与 x轴交于 C（ 5 3 ，0）， S△AOC= 1 2|OC|×4= 1 2 × 5 3 ×4= 10 3 ； （3）把（3，4）代入 y1＝k1x得到：3k1＝4， 解得：k1= 4 3， 当 OA是底边时，OA的中点是（ 3 2 ，2），设过 OA的中点且与 OA垂直的直线的解析式是：y=− 34x+b， 根据题意得：b= 258 ， 直线的解析式是：y=− 34x+ 25 8， 当 y＝0时，x= 256 ， 则 P的坐标是（ 25 6 ，0）； 当 OA是腰，O是顶角的顶点时，OP＝OA＝5，则 P的坐标是（5，0）或（﹣5，0）； 当 OA是腰，A是顶角的顶点时，AP＝AO，则 P与 O关于 x＝3对称，则 P的坐标是（6，0）． 则 P的坐标是：（ 25 6 ，0）或（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了用待定系数法解函数解析式和一次函数图象的性质以及等 腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分类讨论得出是解题关键． 21．如图，已知点 A的坐标为（24，0），直线 l经过原点 O，与 x轴正半轴的夹角为 30°．B为直线 l上 一动点，C为平面内一点．若△ABC为等边三角形（点 A、B、C逆时针排列），则称 C为点 B的“伴 第 26页（共 71页） 随点”． （1）若 AB⊥l，则点 B的“伴随点”C的坐标为 （12，0） ； （2）若 AB＝13，求点 B的“伴随点”C的坐标； （3）连接 OC，延长 AC交 y轴于点 D．若△ODC为直角三角形，求线段 AB的长． 【解答】解：（1）当 AB⊥l时，则∠ABO＝90°， ∵∠AOB＝30°，OA＝24， ∴∠AOB＝60°，AB= 12�� =12， ∵△ABC是等边三角形， ∴此时点 C在 x轴上， ∴OC＝12，即 C（12，0）， 故答案为：（12，0）． （2）由（1）可知，点 C在 x轴上方或下方． ①当点 C在 x轴上方时，过点 A、C分别作 AP⊥OB，CH⊥OA，垂足分别为 P、H． ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠1+∠2＝60°，AC＝AB． ∵∠BOA＝30°，AP⊥OB， ∴∠PAO＝∠2+∠3＝60°， ∴∠1＝∠3， 在△ABP 和△ACH中， ∠��� = ∠��� ∠1 = ∠3 �� = �� ， 第 27页（共 71页） ∴△ABP≌△ACH（AAS）， ∴BP＝CH，AP＝AH， ∵∠BOA＝30°，AP⊥OB， ∴AP= 12OA＝12， ∵AB＝13，AP⊥OB， ∴BP＝5， ∴CH＝BP＝5，AH＝AP＝12， ∴点 C的坐标为（12，5）； ②当点 C在 x轴下方时，同理可得点 C的坐标为（12，﹣5）； ∴点 C的坐标为（12，5）或（12，﹣5）． （3）根据题意，得点 C在 x轴上方或下方．①当点 C在 x轴上方时，由（2）可知：AH＝AP= 12OA ＝12，则 CH垂直平分 OA， ∴CO＝CA， ∴∠COA＝∠3， ∵∠COA+∠COD＝90°，∠3+∠CDO＝90°， ∴∠COD＝∠CDO， ∴CO＝CD， ∵△ODC为直角三角形， ∴∠CDO＝∠COD＝45°， ∴∠3＝45°， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝12 2； ②当点 C在 x轴下方时，同理可得 AB＝12 2； ∴AB的长为 12 2． 第 28页（共 71页） 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、新定义 等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．综合与探究： 如图 1，平面直角坐标系中，一次函数 y= 12x+3 图象分别交 x轴、y轴于点 A，B，一次函数 y＝﹣x+b 的图象经过点 B，并与 x轴交于点 C点 P是直线 AB上的一个动点． （1）求 A，B两点的坐标； （2）求直线 BC的表达式，并直接写出点 C的坐标； （3）试探究直线 AB上是否存在点 P，使以 A，C，P为顶点的三角形的面积为 18？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）当 x＝0时，y= 12x+3＝3， ∴点 B坐标为（0，3）， 当 y= 12x+3＝0时，x＝﹣6， ∴点 A坐标为（﹣6，0）； （2）将点 B坐标代入 y＝﹣x+b， 得 b＝3， ∴直线 BC的表达式：y＝﹣x+3， 当 y＝﹣x+3＝0时，x＝3， ∴点 C（3，0）； （3）存在以 A，C，P为顶点的三角形的面积为 18， ∵A（﹣6，0），点 C（3，0）， ∴AC＝9， ∴ 1 2 ⋅ �� ⋅ |��| =18， ∴|Py|＝4， 第 29页（共 71页） 当 y= 12x+3＝4时，x＝2， ∴点 P坐标为（2，4）， 当 y= 12x+3＝﹣4时，x＝﹣14， ∴点 P坐标为（﹣14，﹣4）， 综上，满足条件的点 P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征， 三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，已知 A（4，3）、B（0，3）、C（3，0）． （1）求过原点和点 A（4，3）的直线 L1的表达式； （2）小明学习函数图象表示法后推测：如果能找到一个二元方程，直线或曲线 L上每一个点的坐标都 是该二元方程的解，而以该二元方程的解为坐标的点都在直线或曲线 L上，那么也可以把直线或曲线 L 看作该二元方程的图象，把该二元方程称作直线或曲线 L的表达式．小明尝试用这个方法研究到点 B （0，3）的距离等于 3的点的轨迹 L的表达式，方法如下： 设 L上任意一点的坐标为 P（x，y），那么 PB＝3，也就是 PB2＝32，根据两点的距离公式，x2+（y﹣3） 2＝32，经过化简，也就是方程：x2+y2﹣6y＝0那么到点 B（0，3）的距离等于 3的点的轨迹的表达式就 是方程 x2+y2﹣6y＝0． 参考小明的方法求到点 B（0，3）和点 C（3，0）距离相等的点的轨迹 L2的表达式； （3）沿 OA方向平移△OAB，平移后点 O、A、B分别落在点 D、E、F，直线 DF交直线 L2与点 G，当 △DEG是以 DE为腰的等腰三角形时，直接写出点 D的坐标． 【解答】解：（1）设函数的表达式为：y＝kx， 将点 A的坐标代入上式得：3＝4k，则 k= 34， 则直线 L1的表达式为 y= 3 4x； 第 30页（共 71页） （2）设点 P（x，y）在 L2上， 则 PB＝PC，即（y﹣3）2+x2＝（x﹣3）2+y2， 即 y＝x， 即 L2的表达式为 y＝x； （3）设△OAB向右平移了 4m、向上平移了 3m个单位， 则点 D、E、G的坐标分别为：（4m，3m）、（4m+4，3m+3）、（4m，4m）， 由点 D、G、E的坐标得，DE2＝25，DG2＝m2，GE2＝16+（m﹣3）2， 当△DEG是以 DE为腰的等腰三角形时，则 DE＝DG或 DE＝GE， 即 25＝m2或 25＝16+（m﹣3）2， 解得：m＝5或 6， 即点 D（20，15）或（24，18）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图象的平移、等腰三角形的性质，分类求解是解题的 关键． 24．如图，直线 l1与 x轴、y轴分别交于点 A、点 B（0，1），直线 l2：y＝﹣x+4与 x轴、y轴分别交于点 C、点 D，直线 l1与 l2交于点 E（2，m）． （1）求 m的值和直线 l1的表达式； （2）点 G是 x轴上的一个动点，连接 GB，GE，求 GB+GE的最小值和此时点 G的坐标； （3）在直线 CD上是否存在一点 P，使得△BEP的面积等于 5，若存在，请求出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由． 中考数学第一轮复习 解答题练习 解答题之一次函数 解答题： 1．已知y+3与x成正比例，当x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x时，求y的值． 2．一次函数y＝﹣3x+b的图象经过点（﹣1，2）． （1）求这个一次函数表达式； （2）判断点（3，﹣8）在此函数图象上吗？ （3）若点A（2m，y1），B（m﹣1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＜y2，求实数m的取值范围． 3．如图，直线y＝3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△ABO的面积． 4．如图，经过点（3，0）的一次函数y＝﹣x+b与正比例函数y＝ax交于点P（m，2）． （1）求a，b，m的值； （2）请直接写出不等式组ax≥﹣x+b＞0的解集． 5．已知如图，AE∥x轴，OA平分∠EOC，点A（2，2），点B（0，﹣2），AB交x轴于点D，AC⊥AB交x轴于点C，且AB＝AC． （1）求线段AB所在直线解析式； （2）点P为折线B﹣O﹣C上一动点，点P由点B出发向终点C以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为t，△ACP的面积为S，用含t的式子表示面积S，并直接写出t的取值范围； （3）在②的条件下，是否存在时间t使得△OAP为直角三角形？若存在请求出t值，若不存在请说明理由． 6．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x图象相交于点B． （1）求该一次函数的解析式； （2）如果点C（m，﹣2）在该一次函数的图象上，请求m的值； （3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2． （1）求点A的横坐标及k的值． （2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标． 8．如图，已知直线l1：y＝x﹣4与直线l2：y＝﹣2x交于点A，且直线l1分别与x轴，y轴交于点C，点B． （1）求点A，B，C的坐标． （2）若点P在直线l1上，且S△BOP＝2S△POC，求点P的横坐标． 9．如图，一次函数y＝ax+b的图象与坐标轴交于A、B两点，且OA＝2OB＝4，与正比例函数y＝kx的图象交于点C，若S△AOB＝2S△COB； （1）求一次函数y＝ax+b和正比例函数y＝kx的表达式； （2）结合图象直接写出不等式ax+b＞kx的解集． 10．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值． 11．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值； （2）直接写出关于x的不等式2x+1＜mx+4的解集； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D．若线段CD长为2，求a的值． 12．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：　 　． 13．如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B的坐标为（18，6）． （1）求直线l1，l2对应的函数表达式； （2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示） 14．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标； （3）在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数y2＝﹣1.5x的图象交于点C．已知点B的坐标为（0，3），点C的纵坐标为6． （1）求一次函数y1＝kx+b的表达式； （2）当y1＞y2＞0时，直接写出自变量x的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C． （1）点B的坐标为 　 　； （2）求△BOC的面积； （3）在y轴上求一点P，使△POC是以OC为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标 　 　． 17．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点． （1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ． ①∠POQ＝　 　°； ②求点P的纵坐标； （2）已知点M（m，0），N（m+t，0）． ①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　 　； ②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　 　． 18．如图，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为2，求点P的坐标； ②点M在线段AC上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点Q的坐标． 19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在x轴上，OB＝2OC，一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象经过点C，且与y1＝﹣2x+6的图象交于点D（m，4），连接BC． （1）求y2的解析式； （2）求△BCD的面积； （3）如图2，直线CD交y轴于点E，作直线AE，点P为直线AE上一动点，当∠ECP+∠ABE＝∠BED时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 20．已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且OA＝OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上存在一点p，使△AOP是等腰三角形，直接写出所有符合要求的点P的坐标． 21．如图，已知点A的坐标为（24，0），直线l经过原点O，与x轴正半轴的夹角为30°．B为直线l上一动点，C为平面内一点．若△ABC为等边三角形（点A、B、C逆时针排列），则称C为点B的“伴随点”． （1）若AB⊥l，则点B的“伴随点”C的坐标为　 　； （2）若AB＝13，求点B的“伴随点”C的坐标； （3）连接OC，延长AC交y轴于点D．若△ODC为直角三角形，求线段AB的长． 22．综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数yx+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标； （3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 23．在平面直角坐标系中，已知A（4，3）、B（0，3）、C（3，0）． （1）求过原点和点A（4，3）的直线L1的表达式； （2）小明学习函数图象表示法后推测：如果能找到一个二元方程，直线或曲线L上每一个点的坐标都是该二元方程的解，而以该二元方程的解为坐标的点都在直线或曲线L上，那么也可以把直线或曲线L看作该二元方程的图象，把该二元方程称作直线或曲线L的表达式．小明尝试用这个方法研究到点B（0，3）的距离等于3的点的轨迹L的表达式，方法如下： 设L上任意一点的坐标为P（x，y），那么PB＝3，也就是PB2＝32，根据两点的距离公式，x2+（y﹣3）2＝32，经过化简，也就是方程：x2+y2﹣6y＝0那么到点B（0，3）的距离等于3的点的轨迹的表达式就是方程x2+y2﹣6y＝0． 参考小明的方法求到点B（0，3）和点C（3，0）距离相等的点的轨迹L2的表达式； （3）沿OA方向平移△OAB，平移后点O、A、B分别落在点D、E、F，直线DF交直线L2与点G，当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 24．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，1），直线l2：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l1与l2交于点E（2，m）． （1）求m的值和直线l1的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+GE的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与y轴交于点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值； （2）连接AB，求△ABC的面积； （3）平面内是否存在一点，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 26．综合与实践 【模型呈现】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，过点B作BD⊥m于点D，过点C作CE⊥m于点E，试说明：△ABD≌△CAE． 【模型应用】如图2，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线AC的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C′是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线AD上一个动点，若△C′PQ是以点C′为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 27．如图．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（﹣4，0），B两点，与直线l2：y＝5x交于点C，点C的横坐标为1，点D（m，n）为直线l1上一动点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）若△COD的面积为6，求线段AD的长； （3）直线l3：y＝mx+2n﹣2与x轴交于点E，当点B到直线l3距离最大时，求点D到BE的距离． 28．如图1，已知直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，直线与直线l1相交于点，与y轴交于点C． （1）求m的值及l2的函数表达式； （2）在x轴负半轴上有一个点E，当△BDE的面积为时，求点E坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连结点E与y轴正半轴上的一个动点F（0，n），将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG． ①点G的坐标为　 　：（用含有n的代数式表示） ②在点F运动的过程中，若线段EG与△BCD的边只有一个交点，求n的取值范围． 29．定义：一次函数y＝kx+b（k≠0且b≠0）和一次函数y＝﹣bx﹣k为“逆反函数”，如y＝3x+2和y＝﹣2x﹣3为“逆反函数”．如图1，一次函数l1：y＝x﹣2的图象分别交x轴、y轴于点A、B． （1）请写出一次函数l1的“逆反函数”l2的解析式 　 　；点C（a，0）在l2的函数图象上，则a的值是 　 　． （2）一次函数l1图象上一点D（m，n）又是它的“逆反函数”l2图象上的点， ①求出D点坐标； ②求出△ACD的面积． （3）如图2，过点D作y轴的垂线段DE，垂足为E，M为y轴上的一点，且∠MDE＝∠CDA，请直接写出直线DM的解析式． 30．菲菲同学在数学兴趣小组中探究了这样一个折叠问题： （1）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B（0，4）分别是坐标轴上的两点，当∠BAO＝30°时，将△AOB沿边AB翻折得到△ABC，点O的对应点为C，则点C的坐标为 　 　； （2）如图②，点E为平面直角坐标系内一点，过E作ED⊥x轴于点D，点B为y轴上一点，点A为线段OD上一动点，将△AOB沿AB翻折得到△ABC，且E（16，17），B（0，5），当点C落在BE的连线上时，试求AE所在直线的函数表达式； （3）如图③，菲菲同学来到一家工厂，恰逢工厂师傅正在进行某一零件的剪裁，正好遇到了一个问题需要她的帮助：四边形OBED是该零件平面示意图的一部分，A，C分别是OD，BE上两点，且∠AOB＝∠ACB＝∠ODE＝90°，OB＝BC＝2dm，OD＝DE＝8dm，现准备在DE边上确定一点F，画出一条分割线CF，使得CF平分四边形ADEC的面积，若存在点F，请求出EF的长度，若不存在，请说明理由． 31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B两点，一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，两直线相交于点C，已知AD＝4OD，OA＝2OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图2，过点（﹣3，m）作平行于y轴的直线交直线AB于点F，交直线CD于点G，连接BG，DF． ①点P是直线CD上一动点，设△CFP的面积为S1，△BCG的面积为S2，若S1＝S2，求出点P的坐标； ②点Q是直线FD上一动点，是否存在动点Q，使得∠CGQ+∠BAO＝∠ADC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 32．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB． （1）如图2，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，已知点A的坐标为（2，1），求点B的坐标； （2）如图3，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°，求直线BC的表达式； （3）在（2）的条件下，若点Q是直线AC上且位于第三象限的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 33．阅读材料：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ABC的直角顶点B作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADB≅△BEC． 问题解决：如图2，已知直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），点C坐标为（1，﹣1）， （1）求直线AB的表达式； （2）以BC为直角边作等腰直角△BCD（B、C、D三点按照顺时针顺序排列），且∠BCD＝90°，BC＝CD，求点D的坐标，并判断点D是否在直线AB上； （3）在（2）的条件下，点M是线段BD上一个动点，以CM为直角边作等腰直角△CMN（C、M、N三点按照顺时针顺序排列），且∠CMN＝90°，CM＝MN． ①在点M运动的过程中，△CDN的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由； ②在点M从点B运动到点D的过程中，点N的运动路径长为 　 　． 34．如图，直线y＝kx﹣6k（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线AB，以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC，S△AOB＝18． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①若点D是线段OB的中点，求点E坐标； ②若点D是线段OB上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由； ③若点D（2，0），∠CAO＝∠CBO＝90°，另一动点H在直线BE上且满足∠HAC＝∠OAD，请求出点H的坐标． 35．【模型呈现】 （1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为（﹣1，2），则点A的坐标是 　 　； （3）如图3，直线l：y＝﹣2x+2分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转45°得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为（﹣2，0），点D为直线l上一动点，连接DC，将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，请直接写出线段OE长度的最小值． 36．如图，平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点C（2，0），点D在y轴正半轴上，且OD＝4OC，直线BC与直线AD相交于点E． （1）请求出直线BC的解析式； （2）如图2，在第一象限中的直线l1上有一点M使得S△AEB＝S△MEB，若线段EB在直线BC上移动，且点E、B移动后的对应点为E1B1，请求出MB1+B1E1+E1D的最小值； （3）如图3，将直线AB绕点O逆时针旋转90°得到直线l2，线段AB沿直线BC平移得到A'B'，当点A′刚好落在直线l2上，此时在x轴上是否存在点P，使得以点A′、B′、P为顶点构成的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． （1）求点C的坐标； （2）若S△BOC＝S△BCP，求点P的坐标； （3）若点E是直线上的一个动点，当△APE是以∠APE为直角的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且满足3OC＝2OB． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，过点A的直线交线段BC于点D，且满足2S△ABD＝S△ACD，点Q为y轴上一动点，求出点D的坐标及|AQ﹣DQ|的最大值； （3）在（2）的条件下，将点D沿射线AB方向平移单位长度得到D′，若点N是直线BC上一动点，当∠BD′N＝45°时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点． （1）如图1，求直线BC的解析式； （2）如图1，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出CE+EF的最小值． （3）如图2，已知点D（0，﹣2），在x轴上是否存在点P，使得∠PDO＝2∠PBO，若存在，请直接写出点P的坐标． 40．已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（7，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D．点D的横坐标为12，直线CD与y轴相交于点E． （1）直线CD的函数表达式为　 　； （2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ． ①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 熊生泉数学试卷 参考答案与试题解析 一、解答题（本大题共40小题，总分40.0分） 1．已知y+3与x成正比例，当x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x时，求y的值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【解答】解：（1）设y+3＝kx， 把x＝2，y＝7代入得2k＝7+3，解得k＝5， 所以y+3＝5x， 所以y与x的函数表达式为y＝5x﹣3； （2）当x时，y＝5×（）﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； 然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 2．一次函数y＝﹣3x+b的图象经过点（﹣1，2）． （1）求这个一次函数表达式； （2）判断点（3，﹣8）在此函数图象上吗？ （3）若点A（2m，y1），B（m﹣1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＜y2，求实数m的取值范围． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣3x+b的图象经过点（﹣1，2）， ∴（﹣3）×（﹣1）+b＝2， 解得b＝﹣1， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x﹣1； （2）∵当x＝3时，y＝﹣3×3﹣1＝﹣10≠﹣8， ∴点（3，﹣8）不在此函数图象上； （3）由（1）知，一次函数的解析式为y＝﹣3x﹣1， ∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点A（2m，y1），B（m﹣1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＜y2， ∴2m＞m﹣1， 解得m＞﹣1． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 3．如图，直线y＝3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△ABO的面积． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【解答】解：（1）在y＝3x+6中， 当y＝0时，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）； 当x＝0时，则y＝6， ∴B（0，6）． （2）由条件可知OA＝2，OB＝6， ∴． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点坐标的方法与技巧是解决问题的关键． 4．如图，经过点（3，0）的一次函数y＝﹣x+b与正比例函数y＝ax交于点P（m，2）． （1）求a，b，m的值； （2）请直接写出不等式组ax≥﹣x+b＞0的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．版权所有 【解答】解：（1）∵经过点（3，0）的一次函数y＝﹣x+b与正比例函数y＝ax交于点P（m，2）． ∴﹣3+b＝0， ∴b＝3， ∴y＝﹣x+3， ∴2＝﹣m+3， ∴m＝1， ∴P（1，2）， ∴a＝2． （2）观察图象得：不等式组ax≥﹣x+b＞0的解集为1≤x＜3． 【点评】考查了一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． 5．已知如图，AE∥x轴，OA平分∠EOC，点A（2，2），点B（0，﹣2），AB交x轴于点D，AC⊥AB交x轴于点C，且AB＝AC． （1）求线段AB所在直线解析式； （2）点P为折线B﹣O﹣C上一动点，点P由点B出发向终点C以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为t，△ACP的面积为S，用含t的式子表示面积S，并直接写出t的取值范围； （3）在②的条件下，是否存在时间t使得△OAP为直角三角形？若存在请求出t值，若不存在请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解： （1）设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A、B坐标代入可得，解得， ∴直线AB解析式为y＝2x﹣2； （2）过A作AF⊥x轴于点F，如图1， ∵A点坐标为（2，2）， ∴AE＝AF＝2，且AB＝AC， 在Rt△ABE和Rt△ACF中 ∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL）， ∴CF＝BE＝4， ∴OC＝OF+CF＝2+4＝6， 又B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∴OB+OC＝2+6＝8， ∴t的取值范围为0≤t≤8， 当0≤t＜2时，即点P在线段OB上时，连接AP交x轴于点G，如图2， 则PB＝t，且OB＝2， ∴OP＝2﹣t， ∴P（0，t﹣2）， 设直线AP解析式为y＝mx+n， 把A、P坐标代入可得，解得， ∴直线AP解析式为yt﹣2， 令y＝0，可解得x， ∴OG， ∴CG＝OC﹣OG＝6， ∴S＝S△ACP＝S△AGC+S△PGCCG•OECG•OP（2+2﹣t）＝10﹣2t； 当2≤t≤8时，即点P在线段OC上时，如图3， 则OB+OP＝t， ∴PC＝8﹣t， ∴S＝S△ACPPC•OE（8﹣t）×2＝8﹣t； 综上可知S，其中t的取值范围为0≤t≤8； （3）∵∠AOB＞90°， ∴当点P在线段OB上时， ∴当△AOP为直角三角形时，则点P在线段OC上， 分∠OPA＝90°和∠OAP＝90°两种情况： ①当∠OPA＝90°时，连接AP，如图4， ∵A点坐标为（2，2）， ∴OP＝AP＝2， ∴t＝OB+OP＝2+2＝4； ②当∠OAP＝90°，连接AP，过A作AH⊥x轴于点H，如图5， 同①可知AH＝OH＝2， ∴∠AOP＝45°， ∴AO＝AP＝2， ∴OP＝4， ∴t＝OB+OP＝2+4＝6； 综上可知当t为4s或6s时，△OAP为直角三角形． 【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积和勾股定理等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中分两种情况，分别用t表示出△ACP的底是解题的关键，在（3）中分两种情况分别求得OP的长是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大． 6．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x图象相交于点B． （1）求该一次函数的解析式； （2）如果点C（m，﹣2）在该一次函数的图象上，请求m的值； （3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【解答】解：（1）把x＝1代入y＝2x得y＝2， ∴直线经过点B（1，2）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴该一次函数的解析式为y＝﹣x+3； （2）∵点C（m，﹣2）在该一次函数的图象上， ∴﹣2＝﹣m+3， ∴m＝5； （3）当y＝0时，x＝3， ∴D（3，0）， ∴OD＝3， ∴△BOD的面积3×2＝3． 【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2． （1）求点A的横坐标及k的值． （2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．版权所有 【解答】解：（1）∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2， ∴x+1＝2，解得x＝1， ∴A（1，2）， 代入y＝kx﹣1得， ∴2＝k﹣1，解得k＝3， ∴A（1，2），k＝3； （2）∵k＝3， ∴直线l1：y＝3x﹣1， 直线l1：y＝3x﹣1和直线l2：y＝x+1中，令x＝0，则y＝﹣1与y＝1， ∴B（0，﹣1），D（0，1）， ∴BD＝2， 设M（a，a+1），由MN∥y轴，得N（a，0）， MN＝|a+1|＝2BD＝4， 解得a＝3或a＝﹣5， ∴M（3，4）或M（﹣5，﹣4）． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键． 8．如图，已知直线l1：y＝x﹣4与直线l2：y＝﹣2x交于点A，且直线l1分别与x轴，y轴交于点C，点B． （1）求点A，B，C的坐标． （2）若点P在直线l1上，且S△BOP＝2S△POC，求点P的横坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题．版权所有 【解答】解：（1）， 解得：， ∴， ∵直线l1：y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点C，点B． 当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4， ∴B（0，﹣4），C（4，0）； （2）设P（m，m﹣4）， ∵S△BOP＝2S△POC， ∴， 即， 解得：m＝8或， ∴点P的横坐标为8或． 【点评】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题，解题的关键是沾我先关知识的灵活运用． 9．如图，一次函数y＝ax+b的图象与坐标轴交于A、B两点，且OA＝2OB＝4，与正比例函数y＝kx的图象交于点C，若S△AOB＝2S△COB； （1）求一次函数y＝ax+b和正比例函数y＝kx的表达式； （2）结合图象直接写出不等式ax+b＞kx的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式．版权所有 【解答】解：（1）∵OA＝2OB＝4， ∴OB＝2， ∴A（0，4），B（2，0）， ∵一次函数y＝ax+b的图象与坐标轴交于A、B两点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+4， ∵S△AOB＝2S△COB， ∴， 将y＝2代入：y＝﹣2x+4，中得x＝1， ∴C（1，2）代入y＝kx中得k＝2， ∴y＝2x； （2）由图可得不等式：ax+b＞kx的解集为x＜1． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知以上知识是解题的关键． 10．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3）， ∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3， ∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3； （2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a， ∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a， ∵y2＝bx+a， ∴y2＝﹣ax+a， ∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上， ∴p＝ma﹣a， ∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上， ∴p＝﹣na+a， ∴ma﹣a＝﹣na+a， 即ma+na＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2； ②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a， ∵y＝y1﹣y2， ∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a， ∵a≠0， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当a＜0时， 对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝﹣2时，y为最大， ∴2a×（﹣2）﹣2a＝6， 解得：a＝﹣1 （ⅱ）当a＞0时， 对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝4时，y为最大， ∴2a×4﹣2a＝6， 解得：a＝1， 综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上的点，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 11．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值； （2）直接写出关于x的不等式2x+1＜mx+4的解集； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D．若线段CD长为2，求a的值． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．版权所有 【解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上， ∴b＝2×1+1＝3； ∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上， ∴m+4＝3， ∴m＝﹣1． 故b＝3，m＝﹣1． （2）由（1）可知：l1：y＝2x+1，l2：y＝﹣x+4， 要使不等式2x+1＜mx+4，则l1的函数图象在l2函数图象的下面， 结合函数图象可知此时x＜1， 故不等式2x+1＜mx+4的解集为：x＜1． （3）当x＝a时，yC＝2a+1； 当x＝a时，yD＝4﹣a． ∵CD＝2， ∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2， 解得：或． ∴a的值为或． 【点评】本题主要考查了根据一次函数的性质求一次函数解析式，结合函数图象判断不等式的解集，两点之间的距离等知识． 12．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：　x≥﹣1　． 【考点】一次函数与一元一次不等式；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【解答】解：（1）把点P（m，3）代入y＝﹣3x中得：3＝﹣3m， 解得：m＝﹣1， ∴点P（﹣1，3）， 把P（﹣1，3），点B（1，1）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝﹣x+2； （2）把y＝0代入y＝﹣x+2中得：0＝﹣x+2， 解得：x＝2， ∴点C（2，0）， ∵点P（﹣1，3）， ∴△COP的面积OC•yP2×3＝3； （3）由题意得：﹣x+2≥﹣3x， ﹣x+3x≥﹣2， 2x≥﹣2， x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B的坐标为（18，6）． （1）求直线l1，l2对应的函数表达式； （2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示） 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【解答】解：（1）设直线l1对应的函数表达式为y＝k1x， 把点（18，6）代入得18k1＝6， 解得k1， ∴直线l1对应的函数表达式为yx； 设直线l2对应的函数表达式为y＝k2x+b， 把点A（0，24），B（18，6）代入得 解得k2＝﹣1，b＝24， ∴直线l2对应的函数表达式为y＝﹣x+24 （2）∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a， ∴ax． ∴x＝3a， ∴点C的坐标为（3a，a）． ∵CD∥y轴， ∴点D的横坐标为3a． ∵点D在直线l2上， ∴y＝﹣3a+24， ∴点D的坐标为（3a，﹣3a+24）． 【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 14．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标； （3）在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）由得， 当x＝0时y＝1；当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1）； （2）设P（0，b）， 由（1）得点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， ∴PB＝|b﹣1|， ∵△ABP的面积为3， ∴，即 ， ∴|b﹣1|＝3， 解得：b＝4或b＝﹣2， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣2）； （3）存在，理由：如图， ∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴， ①当时， ∴Q1的坐标为，Q2的坐标为， ②当AB＝BQ3时， ∴OQ3＝OA＝2， ∴Q3的坐标为（2，0）． 综上分析，存在，点Q的坐标为（2，0）或或． 【点评】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数y2＝﹣1.5x的图象交于点C．已知点B的坐标为（0，3），点C的纵坐标为6． （1）求一次函数y1＝kx+b的表达式； （2）当y1＞y2＞0时，直接写出自变量x的取值范围． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【解答】解：（1）当y＝6时，﹣1.5x＝6， 解得：x＝﹣4， ∴C（﹣4，6）， ∵y1＝kx+b的图象经过点C（﹣4，6）和B（0，3）， ∴﹣4k+3＝6， 解得：k， ∴一次函数的表达式为：y1x+3； （2）由图象得：y1＞y2＞0时，自变量x的取值范围为：﹣4＜x＜0． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C． （1）点B的坐标为 　（0，2）　； （2）求△BOC的面积； （3）在y轴上求一点P，使△POC是以OC为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标 　（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）　． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝2，即点B（0，2）， 故答案为：（0，2）； （2）联立两个函数表达式得：x+2x，则x＝3，即点C（3，4）， 则△BOC的面积OB×xC2×3＝3； （3）设点P（0，y）， 由点P、O、C的坐标得，PO2＝y2，PC2＝9+（y﹣4）2，CO2＝25， 则PO＝CO或PC＝OC， 即25＝9+（y﹣4）2或y2＝25，则y＝±5或0（舍去）或8， 即点P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数、等腰三角形的性质、面积的计算等，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键． 17．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点． （1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ． ①∠POQ＝　30　°； ②求点P的纵坐标； （2）已知点M（m，0），N（m+t，0）． ①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　6　； ②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　3或﹣6　． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F， ∵M（2，0），N（4，0）， ∴MN＝2，OM＝2， ∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN， ∴QM＝MN＝2，MEMN＝1，∠QMN＝60°， ∴QE，OE＝OM+ME＝2+1＝3， ∵OM＝QM， ∴∠QOM＝∠OQM＝30°， ∵点P为M，N的45°点， ∴l与x轴所夹锐角为45°， ∵点P关于直线l的对称点为Q， ∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°， 故答案为：30． ②在△POF和△QOE中， ， ∴△POF≌△QOE（AAS）， ∴OF＝OE＝3，PF＝QE， ∴P（，3）； （2）①∵M（m，0），N（m+t，0）， ∴MN＝m+t﹣m＝t， ∴当t＝2时，MN＝2， 如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L， ∵点P为M，N的60°点， ∴QE，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°， ∴∠PKO＝30°， ∵P、Q关于直线l对称， ∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°， ∴OK＝4， ∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°， ∴∠OWK＝∠QKL， ∴OW＝OK＝4， ∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3， 在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN， ∴WQ＝2QE＝2， ∴WE3， ∴m﹣3＝3， ∴m＝6， 故答案为：6． ②∵m＝﹣2， ∴M（﹣2，0）， 如图，分两种情况：当t＞0时，点N1在点M的右侧， ∵x＝2与l的夹角为60°， ∴x＝2关于l的对称线和l的夹角也为60°， ∴∠HTK＝60°， ∴△TOK是等腰三角形， ∴HK＝OH＝2， ∴∠Q1KM＝30°， ∵∠Q1MK＝60°， ∴Q1M⊥Q1K， ∴MK＝2Q1M，即6＝2t， ∴t＝3； 当t＜0时，点N2在点M的左侧， 同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t， ∴t＝﹣6； 综上所述，t＝3或﹣6， 故答案为：3或﹣6． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键． 18．如图，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为2，求点P的坐标； ②点M在线段AC上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点Q的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴C（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+3； （2）①设M（m，0）， ∵PQ⊥x中轴， ∴P（m，m+3），Q（m，m+3）， ∴PQ＝|m+3m﹣3|＝|m|， ∴S△PQB|m|×|m|＝2， 解得m＝±2， ∴P（2，4）或（﹣2，2）； ②∵点M在线段AC上运动， ∴﹣6≤m≤6， 如图1，当点M在线段AO上时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BMP＝∠BAC， ∴∠BMP＝∠BCA， ∵∠BMP+∠BMC＝90°， ∴∠BMC+∠BCA＝90°， ∴∠MBC＝90°， ∴BM2+BC2＝MC2， ∴MC2＝（6﹣m）2，BM2＝m2+9，BC2＝45， ∴m2+9+45＝（6﹣m）2， 解得m， ∴Q（，）； 如图2，当点M在线段OC上时，同理可得Q（，）， 综上所述：点Q的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，分类讨论是解题的关键． 19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在x轴上，OB＝2OC，一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象经过点C，且与y1＝﹣2x+6的图象交于点D（m，4），连接BC． （1）求y2的解析式； （2）求△BCD的面积； （3）如图2，直线CD交y轴于点E，作直线AE，点P为直线AE上一动点，当∠ECP+∠ABE＝∠BED时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）一次函数y1＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，则点A、B坐标分别为：（3，0）、（0，6）， 则OB＝6＝2OC，则点C（﹣3，0）， 将点D的坐标代入y1＝﹣2x+6得：4＝﹣2m+6，则m＝1，即点D（1，4）； 由点C、D的坐标得，y2的解析式为y2＝x+3； （2）如图2，由（1）知y2＝x+3，则点E（0，3）， 则△BCD的面积BE×（xD﹣xC）（6﹣3）×（1+3）＝6； （3）由（1）知，直线BC、AB关于y轴对称，则∠OBA＝∠OBC， 过点E作EH∥BC交CP于点H，则∠CEH＝∠CBO＝∠OBA， 则∠BED＝∠CEO＝∠CEH+∠HEO＝∠CBO+∠HEO， ∵∠ECP+∠ABE＝∠BED，则∠CEH＝∠HCE，则HE＝HC， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2x+6，而EH∥BC， 则直线EH的表达式为：y＝2x+3， 设点H（m，2m+3）， ∵HE＝HC，则（m+3）2+（2m+3）2＝m2+（m+3﹣3）2，则m＝﹣1， 即点H（﹣1，1）， 由点C、H的坐标得，直线CP的表达式为：y（x+3）， 联立CH和AE的表达式得：﹣x+3（x+3），则x＝1， 即点P（1，2）； 当点P（P′）在CE上方时， 同理可得：直线CP′的表达式为：y＝2（x+3）， 联立上式和AE的表达式得：2（x+3）＝﹣x+3，则x＝﹣1，即点P（﹣1，4）； 综上，点P（1，2）或（﹣1，4）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键． 20．已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且OA＝OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上存在一点p，使△AOP是等腰三角形，直接写出所有符合要求的点P的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）设直线OA为y＝kx． ∵A（3，4）， ∴OA5， ∵OA＝OB， ∴B（0，﹣5）， ∵y＝kx经过点（3，4）， ∴3k＝4，k， ∴yx． 设直线AB为y＝ax+b， ∵y＝ax+b经过A（3，4），B（0，﹣5）， ∴， 解得， ∴y＝3x﹣5； （2）∵直线y＝3x﹣5与x轴交于C（，0）， S△AOC|OC|×44； （3）把（3，4）代入y1＝k1x得到：3k1＝4， 解得：k1， 当OA是底边时，OA的中点是（，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：yx+b， 根据题意得：b， 直线的解析式是：yx， 当y＝0时，x， 则P的坐标是（，0）； 当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP＝OA＝5，则P的坐标是（5，0）或（﹣5，0）； 当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP＝AO，则P与O关于x＝3对称，则P的坐标是（6，0）． 则P的坐标是：（，0）或（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了用待定系数法解函数解析式和一次函数图象的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分类讨论得出是解题关键． 21．如图，已知点A的坐标为（24，0），直线l经过原点O，与x轴正半轴的夹角为30°．B为直线l上一动点，C为平面内一点．若△ABC为等边三角形（点A、B、C逆时针排列），则称C为点B的“伴随点”． （1）若AB⊥l，则点B的“伴随点”C的坐标为　（12，0）　； （2）若AB＝13，求点B的“伴随点”C的坐标； （3）连接OC，延长AC交y轴于点D．若△ODC为直角三角形，求线段AB的长． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）当AB⊥l时，则∠ABO＝90°， ∵∠AOB＝30°，OA＝24， ∴∠AOB＝60°，AB12， ∵△ABC是等边三角形， ∴此时点C在x轴上， ∴OC＝12，即C（12，0）， 故答案为：（12，0）． （2）由（1）可知，点C在x轴上方或下方． ①当点C在x轴上方时，过点A、C分别作 AP⊥OB，CH⊥OA，垂足分别为P、H． ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠1+∠2＝60°，AC＝AB． ∵∠BOA＝30°，AP⊥OB， ∴∠PAO＝∠2+∠3＝60°， ∴∠1＝∠3， 在△ABP 和△ACH中， ， ∴△ABP≌△ACH（AAS）， ∴BP＝CH，AP＝AH， ∵∠BOA＝30°，AP⊥OB， ∴APOA＝12， ∵AB＝13，AP⊥OB， ∴BP＝5， ∴CH＝BP＝5，AH＝AP＝12， ∴点C的坐标为（12，5）； ②当点C在x轴下方时，同理可得点C的坐标为（12，﹣5）； ∴点C的坐标为（12，5）或（12，﹣5）． （3）根据题意，得点C在x轴上方或下方．①当点C在x轴上方时，由（2）可知：AH＝APOA＝12，则CH垂直平分OA， ∴CO＝CA， ∴∠COA＝∠3， ∵∠COA+∠COD＝90°，∠3+∠CDO＝90°， ∴∠COD＝∠CDO， ∴CO＝CD， ∵△ODC为直角三角形， ∴∠CDO＝∠COD＝45°， ∴∠3＝45°， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝12； ②当点C在x轴下方时，同理可得AB＝12； ∴AB的长为12． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数yx+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标； （3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）当x＝0时，yx+3＝3， ∴点B坐标为（0，3）， 当yx+3＝0时，x＝﹣6， ∴点A坐标为（﹣6，0）； （2）将点B坐标代入y＝﹣x+b， 得b＝3， ∴直线BC的表达式：y＝﹣x+3， 当y＝﹣x+3＝0时，x＝3， ∴点C（3，0）； （3）存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18， ∵A（﹣6，0），点C（3，0）， ∴AC＝9， ∴18， ∴|Py|＝4， 当yx+3＝4时，x＝2， ∴点P坐标为（2，4）， 当yx+3＝﹣4时，x＝﹣14， ∴点P坐标为（﹣14，﹣4）， 综上，满足条件的点P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，已知A（4，3）、B（0，3）、C（3，0）． （1）求过原点和点A（4，3）的直线L1的表达式； （2）小明学习函数图象表示法后推测：如果能找到一个二元方程，直线或曲线L上每一个点的坐标都是该二元方程的解，而以该二元方程的解为坐标的点都在直线或曲线L上，那么也可以把直线或曲线L看作该二元方程的图象，把该二元方程称作直线或曲线L的表达式．小明尝试用这个方法研究到点B（0，3）的距离等于3的点的轨迹L的表达式，方法如下： 设L上任意一点的坐标为P（x，y），那么PB＝3，也就是PB2＝32，根据两点的距离公式，x2+（y﹣3）2＝32，经过化简，也就是方程：x2+y2﹣6y＝0那么到点B（0，3）的距离等于3的点的轨迹的表达式就是方程x2+y2﹣6y＝0． 参考小明的方法求到点B（0，3）和点C（3，0）距离相等的点的轨迹L2的表达式； （3）沿OA方向平移△OAB，平移后点O、A、B分别落在点D、E、F，直线DF交直线L2与点G，当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）设函数的表达式为：y＝kx， 将点A的坐标代入上式得：3＝4k，则k， 则直线L1的表达式为yx； （2）设点P（x，y）在L2上， 则PB＝PC，即（y﹣3）2+x2＝（x﹣3）2+y2， 即y＝x， 即L2的表达式为y＝x； （3）设△OAB向右平移了4m、向上平移了3m个单位， 则点D、E、G的坐标分别为：（4m，3m）、（4m+4，3m+3）、（4m，4m）， 由点D、G、E的坐标得，DE2＝25，DG2＝m2，GE2＝16+（m﹣3）2， 当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，则DE＝DG或DE＝GE， 即25＝m2或25＝16+（m﹣3）2， 解得：m＝5或6， 即点D（20，15）或（24，18）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图象的平移、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 24．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，1），直线l2：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l1与l2交于点E（2，m）． （1）求m的值和直线l1的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+GE的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）把点E（2，m）代入y＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2， ∴点E（2，2）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴yx+1； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于G， 则此时GB+GE的值最小， ∵B（0，1）， ∴F（0，﹣1）， 设直线EF的解析式为y＝ax+c， ∴， 解得， ∴直线EF的解析式为yx﹣1， 当y＝0时，x， ∴G（，0）， ∴EF， 故GB+GE的最小值为； （3）存在， 当点P在y轴的左侧时，如图， ∴S△BEP﹣S△BED＝S△BDP＝53×2＝2， ∵BD＝3， ∴xP， 把xP代入y＝﹣x+4得，yP， ∴P（，）， 当点P在y轴的右侧时，同理可得P（，）， 综上所述，存在，点P的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称﹣最短路径问题，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 25．如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与y轴交于点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值； （2）连接AB，求△ABC的面积； （3）平面内是否存在一点，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【考点】两条直线相交或平行问题．版权所有 【解答】解：（1）∵C点坐标为（﹣8，m），点C在直线y2＝2x+8上， ∴m＝2×（﹣8）+8＝﹣8，即C（﹣8，﹣8）， ∵点C在直线y1＝kx﹣4上， ∴﹣8＝﹣8k﹣4， 解得：k； （2）如图所示：l1交y轴于点H， ∵k， ∴l1：y1x﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝8， ∴H（0，﹣4），A（8，0）， 在l2：y2＝2x+8中，当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8）， ∴BH＝8﹣（﹣4）＝12， ∴S△ABC＝S△ABH+S△CBH＝BH•（xA﹣xC）12×（8+8）12×16＝96． （3）平面内存在一点，使得△BCP与Δ△ABC面积相等；a的值为或；理由如下： E点为l2与y轴交点，可求得E点坐标为（﹣4，0）， ∴AE＝12， ∴在点E左侧x轴上取点M，使AE＝EM＝12， ∴M（﹣16，0）， 过点A、M分别作AP1∥BC，MP2∥BC， ∴P1、P2，到BC的距离与点A到BC的距离相等， ∴△BCP与△ABC面积相等， ∵AP1∥BC，直线BC的解析式为y1＝2x+8， ∴设直线AP1的解析式为y＝2x+b1 把A（8，0）代入得：b1＝﹣16， ∴y＝2x﹣16， 把P（a，a）代入得：a＝2a﹣16， 解得：a， 同理可得：直线MP2的解析式为y＝2x+b2 把M（﹣16，0）代入得：b2＝32， ∴y＝2x+32， 把P（a，a）代入得：a＝2a+32， 解得：a， 综上所述：平面内存在一点，使得△BCD与△ABC面积相等；a的值为或． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． 26．综合与实践 【模型呈现】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，过点B作BD⊥m于点D，过点C作CE⊥m于点E，试说明：△ABD≌△CAE． 【模型应用】如图2，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线AC的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C′是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线AD上一个动点，若△C′PQ是以点C′为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】【模型呈现】证明：∵∠BAD+∠CAE＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE， ∵∠ADB＝∠CEA＝90°，AB＝AC， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； 【模型应用】解：①对于y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1， 则点A、B的坐标分别为：（0，3）、（1，0）， ②由模型知，△AOB≌△BEC， 则BE＝AO＝3，CE＝OB＝1， 则点C（4，1）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+3； 【模型迁移】解：点C（4，1），则点C′（﹣4，1），设点Q（x，0）、P（m，m+3）， 过点C′作x轴的垂线交x轴于点N，交过点P和x轴的平行线于点M， 由模型知，△C′MP≌△QNC′， 则CM＝QN，MP＝C′N， 即|x+4|m+3﹣1且|m+4|＝1， 解得：x或， 即点Q（，0）或（，0）． 【点评】本题考查了一次函数的综合运用、全等三角形的判定和性质和方程的思想，构造全等三角形是解题的关键． 27．如图．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（﹣4，0），B两点，与直线l2：y＝5x交于点C，点C的横坐标为1，点D（m，n）为直线l1上一动点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）若△COD的面积为6，求线段AD的长； （3）直线l3：y＝mx+2n﹣2与x轴交于点E，当点B到直线l3距离最大时，求点D到BE的距离． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）∵点C在直线l2：y＝5x上， ∴点C（1，5）， 将A（﹣4，0）和C（1，5）代入直线l1：y＝kx+b， 得：， 解得， ∴直线l1的函数表达式为：y＝x+4； （2）∵A（﹣4，0）和C（1，5）， ∴， ∴点D在线段AB或者线段AB的延长线上， ①若点D在线段AB上， ∵S△COD＝6， ∴S△AOD＝10﹣6＝4， ∴， ∴yD＝2， ∴D（﹣2，2）， ∴； ②若点D线段AB的延长线上， ∵S△COD＝6， ∴S△AOD＝10+6＝16， ∴， ∴yD＝8， ∴D（4，8）， ∴； 综上所述，线段或； （3）∵点D（m，n）在直线l1：y＝x+4上， ∴m+4＝n， ∴直线l3：y＝mx+2m+6＝m（x+2）+6， ∴直线l3过定点H（﹣2，6）， 当点B到直线l3距离最大时，BH⊥l3，如图， ∵点B（0，4），点H（﹣2，6）， ∴过BH的直线表达式为：y＝﹣x+4， 设直线BH与x轴交于点F，则点F（4，0）， ∴OB＝OF＝4， ∴∠BFO＝45°， ∵BH⊥l3， ∴△EFH 为等腰直角三角形， ∵， ∴EF＝12， ∴E（﹣8，0）， ∵l3过点E（﹣8，0）和点H（﹣2，6）， ∴l3：y＝x+8， ∴m＝1，n＝5， ∴点D（1，5）， ∵l3：y＝x+8和l1：y＝x+4， ∴l3∥l1， ∴， ∵OB＝4，OE＝8， ∴， 设点D到直线BE的距离为h， ∴， ∴， 点D到直线BE的距离为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一次函数点的坐标特征、平行线等距、等面积法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．如图1，已知直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，直线与直线l1相交于点，与y轴交于点C． （1）求m的值及l2的函数表达式； （2）在x轴负半轴上有一个点E，当△BDE的面积为时，求点E坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连结点E与y轴正半轴上的一个动点F（0，n），将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG． ①点G的坐标为　（n﹣1，﹣1）　：（用含有n的代数式表示） ②在点F运动的过程中，若线段EG与△BCD的边只有一个交点，求n的取值范围． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，3）， 将点D的坐标代入y＝﹣x+3并解得：m，即点D（，）， 将点D的坐标代入并解得：b＝﹣2， 则直线l2的表达式为：yx﹣2； （2）设点E（m，0）， 由点D、E的坐标得，直线DE的表达式为：y（x﹣m），设该直线和y轴的交点为H，则H（0，）， 则△BDE的面积BH×（xD﹣xE）（3）×（m），则m＝﹣1， 即点E（﹣1，0）； （3）①将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG，则△EFG为等腰直角三角形， 过点G作GT⊥x轴于点T， ∵∠FEO+∠TEG＝90°，∠TEG+∠EGT＝90°， ∴∠FEO＝∠EGT， ∵∠FOE＝∠ETC＝90°，EF＝EG， ∴△FOE≌△ETC（AAS）， ∴OF＝ET＝n，OE＝TG＝1， 即点G（n﹣1，﹣1）， 故答案为：（n﹣1，﹣1）； ②由点G（n﹣1，﹣1）知，点G在y＝﹣1上运动， 当点G在BC上时，即n﹣1＝0，则n＝1； 当G在CD上时，即﹣1（n﹣1）﹣2，则n＝3， 当点G在AB上时，即﹣1＝﹣（n﹣1）+3，则n＝5， 如图所示若线段EG与△BCD的边只有一个交点，求n的取值范围为：1≤n＜3． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、动点的轨迹、面积的计算等，数形结合是解题的关键． 29．定义：一次函数y＝kx+b（k≠0且b≠0）和一次函数y＝﹣bx﹣k为“逆反函数”，如y＝3x+2和y＝﹣2x﹣3为“逆反函数”．如图1，一次函数l1：y＝x﹣2的图象分别交x轴、y轴于点A、B． （1）请写出一次函数l1的“逆反函数”l2的解析式 　y＝2x﹣1　；点C（a，0）在l2的函数图象上，则a的值是 　　． （2）一次函数l1图象上一点D（m，n）又是它的“逆反函数”l2图象上的点， ①求出D点坐标； ②求出△ACD的面积． （3）如图2，过点D作y轴的垂线段DE，垂足为E，M为y轴上的一点，且∠MDE＝∠CDA，请直接写出直线DM的解析式． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）由新定义知，l2的解析式 y＝2x﹣1， 把点C的坐标代入上式得：2a﹣1＝0，则a， 故答案为：y＝2x﹣1，； （2）①∵一次函数l1图象上一点D（m，n）又是它的“逆反函数”l2图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即2x﹣1＝x﹣2，则x＝﹣1，即点D（﹣1，﹣3）； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：（，0）、（2，0），则AC， 则△ACD的面积AC×|yD|3； （3）设直线CD交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作KN⊥DM交AM的延长线于点N，过点N作y轴的平行线GH， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点DE的延长线于点H， 由直线AB的表达式知，∠BDE＝45°，即∠BDM+∠DAE＝45°， ∵∠MDE＝∠CDA， 则∠BDM+∠KDB＝45°，则△KDN为等腰直角三角形，设点N（x，y）， ∵∠KNG+∠DNH＝90°，∠DNH+∠NDH＝90°， ∴∠KNG＝∠NDH， ∵∠DHN＝∠NGK＝90°，NK＝ND， ∴△DHN≌△NGK（AAS）， ∴KG＝NH，DH＝GN，即x+1＝﹣y﹣1且x＝y+3， 解得：x，y，即点N（，）， 由点D、N的坐标得，直线DM的表达式为：y（x+1）﹣3x， 当M（M′）在E下方时， 则直线M′D和MD关于DE对称，则MD′的表达式为：y（x+1）﹣3x， 综上，或yx． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． 30．菲菲同学在数学兴趣小组中探究了这样一个折叠问题： （1）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B（0，4）分别是坐标轴上的两点，当∠BAO＝30°时，将△AOB沿边AB翻折得到△ABC，点O的对应点为C，则点C的坐标为 　（2，6）　； （2）如图②，点E为平面直角坐标系内一点，过E作ED⊥x轴于点D，点B为y轴上一点，点A为线段OD上一动点，将△AOB沿AB翻折得到△ABC，且E（16，17），B（0，5），当点C落在BE的连线上时，试求AE所在直线的函数表达式； （3）如图③，菲菲同学来到一家工厂，恰逢工厂师傅正在进行某一零件的剪裁，正好遇到了一个问题需要她的帮助：四边形OBED是该零件平面示意图的一部分，A，C分别是OD，BE上两点，且∠AOB＝∠ACB＝∠ODE＝90°，OB＝BC＝2dm，OD＝DE＝8dm，现准备在DE边上确定一点F，画出一条分割线CF，使得CF平分四边形ADEC的面积，若存在点F，请求出EF的长度，若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）如图所示，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵B（0，4），∠BAO＝30°， ∴OB＝4，AB＝2OB＝8， 在Rt△AOB中，， ∵∠BAO＝30°，将△AOB沿边AB翻折得到△ABC，点O的对应点为C， ∴AC＝AO，∠OAC＝2∠BAO＝60°， ∴△AOC是等边三角形， 则OC＝OA＝4， ∵CD⊥AO， ∴ODOA＝2， ∴CD6， ∴C（2，6）， 故答案为：（2，6）； （2）如图所示，过点E作y轴的垂线，垂足为F， ∵E（16，17），B（0，5）， ∴OF＝DE＝17，OD＝EF＝16，BO＝5， ∴BF＝OF﹣BO＝17﹣5＝12， 在Rt△BEF 中，， 设A（a，0），则OA＝a，AD＝OD﹣OA＝16﹣a， 根据折叠可得 AC＝AO＝a，BO＝BC＝5，∠ECA＝∠ACB＝∠AOB＝90°， ∴EC＝BE﹣BC＝20﹣5＝15， 在Rt△ACE 中，AE2＝EC2+AC2＝152+a2， 在Rt△AED中，AE2＝AD2+ED2＝（16﹣a）2+172， ∴152+a2＝（16﹣a）2+17， 解得：a＝10， ∴A（10，0）， 设过点A（10，0），E（16，17）的直线AE的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴AE所在直线的函数表达式为； （3）如图所示，过点B作BG⊥ED交ED于点G，连接AE， ∵∠AOB＝∠ACB＝90°，OB＝BC，AB＝AB， ∴Rt△AOB≌Rt△ACB（HL） ∴AC＝AO， ∵∠ODE＝90°，则OD⊥DE， ∴BG∥OD， 又∵∠BOA＝∠ADE＝90°， ∴BO∥DG，BO⊥OD，GD⊥OD， ∴GD＝BO＝2，BG＝OD＝8， ∴EG＝ED﹣GD＝8﹣2＝6， 在Rt△BEG中，， ∴EC＝BE﹣BC＝10﹣2＝8， ∴EC＝ED， 在Rt△ACE和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴AC＝AD， ∵AC＝AO， ∴， ∴， 则S四边形ADEC＝16×2＝32， 如图所示，连接BF， ∵CF平分四边形ADEC的面积， ∴S△CEFS四边形ADEC＝16， ∵4，则S△BCF＝4， ∴S△BEF＝SS△BCF＝16+4＝20， 又∵S△BEF4EF＝20， ∴EF＝5dm． 【点评】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称图形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B两点，一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，两直线相交于点C，已知AD＝4OD，OA＝2OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图2，过点（﹣3，m）作平行于y轴的直线交直线AB于点F，交直线CD于点G，连接BG，DF． ①点P是直线CD上一动点，设△CFP的面积为S1，△BCG的面积为S2，若S1＝S2，求出点P的坐标； ②点Q是直线FD上一动点，是否存在动点Q，使得∠CGQ+∠BAO＝∠ADC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）一次函数y＝x﹣1与x轴，y轴分别交于点D，E两点，则点D、E的坐标分别为：（1，0）、（0，﹣1）， ∵AD＝4OD＝4，则点A（5，0）， ∵OA＝2OB，则点B（0，2.5）， 由点A、B的坐标得，直线BA的表达式为：yx； （2）①当x＝﹣3时，yx4，即点F（﹣3，4），当x＝﹣3时，y＝x﹣1＝﹣4，即点G（﹣3，﹣4）， 则点G、F关于x轴对称， ∵∠ODE＝45°，则∠DO＝45°，即∠FDG＝90°， 联立DE和AB的表达式得：x﹣1x，则x，即xC， 若S1＝S2，即S△FGC﹣S△FGPFG×|xC﹣xP|＝S2BE×（xC﹣xG），即（4+4）×|xP|＝（1）×（3）， 解得：xP＝0或， 即点P（0，﹣1）或（，）； ②存在，理由： 连接AG，交DF的延长线于点Q，则点Q为所求点，理由： 由点G、F的坐标知，∠CAD＝∠DAG， ∵∠CGQ+∠BAO＝∠ADC，即∠CDA＝∠DAG+∠DGQ， 由点A、G的坐标得，直线AG的表达式为：y（x﹣5）， 同理可得，直线DF的表达式为：y＝﹣x+1， 联立上式和DF的表达式得：（x﹣5）﹣x+1，则x， 即点Q（，）， 当点Q（Q′）在CD的上方时， ∵DF⊥CD，则Q、Q关于点D对称， 由中点坐标公式得：Q′（，）， 综上，Q（，）或（，）． 【点评】本题为一次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，面积的计算，分类求解是解题的关键． 32．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB． （1）如图2，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，已知点A的坐标为（2，1），求点B的坐标； （2）如图3，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°，求直线BC的表达式； （3）在（2）的条件下，若点Q是直线AC上且位于第三象限的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）如图2，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴∠BFO＝∠AOB＝∠AEO＝90°， ∴∠OBF+∠BOF＝∠BOF+∠AOE＝90°， ∴∠OBF＝∠AOE， ∵OB＝OA， ∴△OBF≌△AOE（AAS）， ∴AE＝OF，OE＝BF， ∵点A的坐标为（2，1）， ∴AE＝1，OE＝2， ∴OF＝1，BF＝2， ∴点B的坐标为（﹣1，2）； （2）∵直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C， ∴A（﹣1，0），C（0，2）， ∵∠CBA＝45°． ∴OB＝OC＝2， ∴B（2，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2； （3）设点M（0，m），点Q（n，2n+2）， ①如图4，当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方）， 分别过点Q、B作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H， 由（1）的模型可得：△MHB≌△QGM（AAS）， ∴GQ＝MH，BH＝GM， 即：m＝﹣n，m﹣2n﹣2＝2， 解得m，n； 故点Q（，）； 同理当点M在x轴下方时， ∴2n+2﹣m＝2，﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）； ②当∠MQB＝90°时，如图5， 同理可得：﹣n＝﹣2n﹣2，2n+2﹣m＝2﹣n， 解得：m＝﹣6，n＝﹣2， ∴Q（﹣2，﹣2）； ③当∠QBM＝90°时，如图5， 同理可得：﹣2n﹣2＝2，m＝2﹣n， 解得：m＝4，n＝﹣2， ∴Q（﹣2，﹣2）； 综上，Q（，）；Q（﹣2，﹣2）；Q（﹣2，﹣2）． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 33．阅读材料：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ABC的直角顶点B作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADB≅△BEC． 问题解决：如图2，已知直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），点C坐标为（1，﹣1）， （1）求直线AB的表达式； （2）以BC为直角边作等腰直角△BCD（B、C、D三点按照顺时针顺序排列），且∠BCD＝90°，BC＝CD，求点D的坐标，并判断点D是否在直线AB上； （3）在（2）的条件下，点M是线段BD上一个动点，以CM为直角边作等腰直角△CMN（C、M、N三点按照顺时针顺序排列），且∠CMN＝90°，CM＝MN． ①在点M运动的过程中，△CDN的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由； ②在点M从点B运动到点D的过程中，点N的运动路径长为 　2　． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+2，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣k+1，则k＝2，则直线AB的表达式为：y＝2x+2； （2）D在直线AB上，理由： 过点C作y轴的平行线GH，交过点B和x轴的平行线于点G，交过点D和x轴的平行线于点H， ∵△ABD为等腰直角三角形， 由题干知：△CGB≌△DHC（AAS）， 则CG＝2+1＝3＝DH，BG＝1＝CH，则点D（﹣2，﹣2）， 当x＝﹣2时，y＝2x+2＝﹣2，即点D在AB上； （3）①面积不变为3，理由： 设点M（m，2m+2）， 如下图，过点M作y轴的平行线RT，交过点N和x轴的平行线于点R，交过点C和x轴的平行线于点T， ∵△MNC为等腰直角三角形， 同理可得：△NRM≌△MTC（AAS）， 则MT＝2m+3＝RN，TC＝1﹣m＝RM， 则点N（3m+3，m+3），则点N在直线yx+2，该直线和y轴的交点为B（0，2）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y（x﹣1）﹣1， 故上述两条直线平行，设CD交y轴于点H（0，）， 则△CDN的面积HB×（xC﹣xD）（2）×（1+2）＝5； ②当点M在点B时，即m＝0，则点N（3，3），当点M在点D时，即m＝﹣2，则点N′（﹣3，1）， 则N的运动路径长为2， 故答案为：2． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质、定点的轨迹等，数形结合是解题的关键． 34．如图，直线y＝kx﹣6k（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线AB，以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC，S△AOB＝18． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①若点D是线段OB的中点，求点E坐标； ②若点D是线段OB上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由； ③若点D（2，0），∠CAO＝∠CBO＝90°，另一动点H在直线BE上且满足∠HAC＝∠OAD，请求出点H的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）在直线y＝kx﹣6k（k≠0）中， 当x＝0时，y＝﹣6k；当y＝0时，x＝6， ∴A（0，﹣6k），B（6，0）， ∵S△AOB＝18， ∴，解得k＝﹣1， ∴A（0，6），B（6，0）； （2）①如图，作EF⊥x轴，垂足为点F， 在△AOD和△DFE中， ， ∴△AOD≌△DFE（AAS）， ∴AO＝DF，OD＝EF， ∵点D是线段OB的中点，A（0，6），B（6，0）； ∴OD＝EF＝3，AO＝DF＝6， ∴OF＝OD+DF＝6+3＝9， ∴E（9，3）； ②点E在定直线y＝x﹣6上，理由如下： 如图，作EF⊥x轴，垂足为点F， 由①可知△AOD≌△DFE（AAS）， ∴AO＝DF，OD＝EF， 设点E（x，y），则D（y，0），F（x，0）， ∵OF＝OD+DF＝OD+OA＝y+6， ∴E（y+6，y），即y＝x﹣6， ∴点E在定直线y＝x﹣6上； ③∵A（0，6），B（6，0）；∠CAO＝∠CBO＝90°， ∴四边形OACB是边长为6的正方形， 如图，当AH在AC下方时，交BC于点M，则∠MAC＝∠DAO，点H为直线AM与BE的交点， ∵AC＝OA，∠AOD＝∠ACM， ∴△AOD≌△ACM（ASA）， ∴CM＝OD＝2，BM＝6﹣2＝4， ∴M（6，4）， 设直线AM的解析式为y＝kx+6，代入点M坐标得：6k+6＝4，解得k， ∴直线AM的解析式为y， 联立方程组得，解得， ∴H（9，3）， 当AH在AC上方时，作点M关于AC的对称点N， ∴N（6，8）， 设直线AN的解析式为y＝mx+6，代入点N（6，8）得：8＝6m+6，解得m， ∴直线AN的解析式为y， 联立方程组，解得． ∴H（18，12）， 综上分析，满足条件的H点坐标为（9，3）或（18，12）． 【点评】本题考查了一次函数的综合，熟练掌握全等三角形的判定与性质及分类讨论是关键． 35．【模型呈现】 （1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为（﹣1，2），则点A的坐标是 　（2，1）　； （3）如图3，直线l：y＝﹣2x+2分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转45°得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为（﹣2，0），点D为直线l上一动点，连接DC，将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，请直接写出线段OE长度的最小值． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】（1）证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∵∠BEC＝∠ADA＝90°，AC＝BC， ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：由（1）知，△BEC≌△CDA， 则AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，则点A（2，1）， 故答案为：（2，1）； （3）解：①过点B作BH⊥m于点H，过点H作作MN∥y轴交过点B和x轴的平行线于点M，交x轴于点N， 设点H（x，y）， 由（1）知：△ANH≌△HMB， 则MH＝AN且MB＝HN，即﹣x＝y且1﹣x＝2﹣y， 解得：xy，即点H（，）， 由点A、H的坐标得，直线m的表达式为：yx； ②设点D（t，﹣2t+2）， 过点D作DM⊥x轴于点M，作EN⊥x轴于点N， 由（1）知，△DMC≌△CAE， 则DM＝AC＝﹣2t+2且CM＝AE＝t+1， 则点E（﹣2t，﹣t﹣2）， 则OE2＝4t2+（﹣t﹣2）2＝5（t）2， 即OE的最大值为． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 36．如图，平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点C（2，0），点D在y轴正半轴上，且OD＝4OC，直线BC与直线AD相交于点E． （1）请求出直线BC的解析式； （2）如图2，在第一象限中的直线l1上有一点M使得S△AEB＝S△MEB，若线段EB在直线BC上移动，且点E、B移动后的对应点为E1B1，请求出MB1+B1E1+E1D的最小值； （3）如图3，将直线AB绕点O逆时针旋转90°得到直线l2，线段AB沿直线BC平移得到A'B'，当点A′刚好落在直线l2上，此时在x轴上是否存在点P，使得以点A′、B′、P为顶点构成的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）当x＝0时，y2， ∴B（0，2）， 设BC的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴y＝﹣x+2； （2）如图1， 当y＝0时，0， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∵OD＝4OC＝8， ∴D（0，8）， ∴直线BD的解析式为：y＝2x+8， 由2x+8＝﹣x+2得， x＝﹣2， ∴﹣（﹣2）+2＝4， ∴E（﹣2，4）， ∵S△AEB＝S△MEB， ∴AB＝BM， ∵A（﹣4，0），B（0，2）， ∴M（4，4）， 作点M关于BC的对称点M′（﹣4，﹣4），将点M′延CB的方向平移BE个单位至M″（﹣6，﹣2），连接M″D，交BC于E1，截取E1B1＝EB， 此时MB1+B1E1+E1D的最小， ∵DM′′2，EB2， ∴（MB1+B1E1+E1D）最小＝2； （3）如图2， 连接AA1， ∵线AB绕点O逆时针旋转90°得到直线l2，A（﹣4，0），B（0，2）， ∴A点的对应点A″（0，﹣4），B点的对应点B″（﹣2，0）， ∴直线l2的解析式为：y＝﹣2x﹣4， ∵线段AB沿直线BC平移得到A'B'， ∴AA′∥BC， ∴直线AA′的解析式为：y＝﹣x﹣4， 由得， ， ∴A′（0，﹣4），B′（4，﹣2）， 连接OB′，此时OB＝A′B′， ∴P1（0，0）， 当PB′＝A′B′时，点P在A′B′的延长线，点P舍去， 当PA′＝BP′时（图形P2）， 设点P2（a，0）， ∴42+a2＝（a﹣4）2+22， ∴a， ∴， 综上所述：P（0，0）或（）． 【点评】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的交点与方程组的关系，旋转的性质，平移的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 37．已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． （1）求点C的坐标； （2）若S△BOC＝S△BCP，求点P的坐标； （3）若点E是直线上的一个动点，当△APE是以∠APE为直角的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）令x＝0， 解得y＝6， 令y＝0， 解得x＝8， ∴点A（8，0），点B（0，6）． 联立两个函数表达式得：xx+6， 解得：x＝3， ∴C为（3，）； （2）∵S△BOCBO×39， ∴S△BCPBP×（yP﹣yC）BP×（6）＝9， 解得：BP＝8， ∴P为（8，6）或（﹣8，6）； （3）存在． 设点E（m，m），点P（n，6）， 当四边形APEF是正方形时，∠EPA＝90°， ①点P在点E的左侧时， 如图，过P作MN⊥x轴于N，过E作EM⊥MN于M， ∴∠MEP+∠MPE＝90°， ∴∠NPA+∠MPE＝90°， ∴∠MEP＝∠NPA， ∵PE＝PA，∠M＝∠ANP＝90° ∴△EMP≌△PNA（AAS）， ∴ME＝PN＝6，MP＝AN， 即m﹣n＝6且m﹣6＝8﹣n， 解得：m，n， ∴E的坐标为（，）； ②当点P在点E的右侧时， 如图，同理可得△AMP≌△PNE（AAS）， ∴NE＝PM＝6，NP＝AM， 即m+6＝n且m﹣6＝n﹣8， 解得：m＝16，n＝20， ∴E为（16，20）， 综上，点E的坐标为：（，）或（16，20）． 【点评】本题考查了一次函数的综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且满足3OC＝2OB． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，过点A的直线交线段BC于点D，且满足2S△ABD＝S△ACD，点Q为y轴上一动点，求出点D的坐标及|AQ﹣DQ|的最大值； （3）在（2）的条件下，将点D沿射线AB方向平移单位长度得到D′，若点N是直线BC上一动点，当∠BD′N＝45°时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）直线y＝x+3分别与坐标轴交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）， ∵3OC＝2OB，则OC＝2，即点C（2，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3； （2）设直线AD交y轴于点E，设点D（m，﹣m+3）， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y（x+3），则点E（0，）， 则BE＝3， ∵2S△ABD＝S△ACD，即AC×yD＝BE×（xD﹣xA），即（m+3）， 解得：m，即点D（，2）； ∵|AQ﹣DQ|≤AD，故|AQ﹣DQ|的最大值为AD； （3）点D沿射线AB方向平移单位长度，相当于向右向上分别平移了2个单位，则D′（，4）， 当点N在点B的下方时， 过点B作BT⊥D′N于点T，则△BD′T为等腰直角三角形， 过点T作x轴的平行线交y轴于点G，交过点D′和y轴的平行线于点M，设点T（x，y）， ∵∠D′TM+∠BTG＝90°，∠BTG+∠GBT＝90°， ∴GBT＝∠D′TM， ∵∠TGB＝∠D′MT＝90°，BT＝D′T， ∴△TGB≌△D′MT（AAS）， 则GT＝DM且BG＝TM，即3﹣yx且x＝4﹣y， 解得：，即点T（，）， 由点D′T的坐标得，直线DT的表达式为：y（x）+4， 当点N（N′）在点B的上方时， ∵∠BD′N＝45°，则DN⊥DN， 则直线D′N′的表达式为：y（x）+4， 分别联立D′N（D′N′）和BC的表达式得：x+3（x）+4或x+3（x）+4， 解得：x或， 即点N的坐标为：（，）或（，）． 【点评】本题考查了一次函数的解析式的求法，以及两直线平行k相等，同时利用两直线联立求交点坐标的知识，掌握一次函数的性质是解题关键． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点． （1）如图1，求直线BC的解析式； （2）如图1，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出CE+EF的最小值． （3）如图2，已知点D（0，﹣2），在x轴上是否存在点P，使得∠PDO＝2∠PBO，若存在，请直接写出点P的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B． ∴令x＝0，得y＝9． ∴点B的坐标为（0，9）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b． 代入点B（0，9）和点． 得． 解得， ∴直线BC的解析式为yx+9． （2）过点M分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴和y轴于点G和点H． ∵点B（0，9）和点． ∴OB＝9，OC， ∵△ABM与△ACM的面积比为4：5， ∴， 根据平行线成比例线段可得， 即， 解得OH＝5． 同理可得OG＝2， ∴点M的坐标为（2，5）， ∵点A是直线yx+9与x轴的交点， ∴令y＝0，解得x＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0）， 又∵点M（2，5），点． ∴直线AB的与x轴的交点为（﹣3，0）， AC， ∴∠BAC＝60°，∠MAC＝30°， ∴∠BAE＝∠MAC， 在射线AB上取点C′，使得AC′＝AC，连接C′E，过点C′作x轴的垂线，交x轴于点I， 在△C′AE和△CAE中． ， ∴△C′AE≌△CAE（SAS）． ∴C′E＝CE，C′A＝CA． 由三角函数可得，sin∠BACsin60°， 解得：C′I， ∴CE+EF＝C′E+EF≥C′I， 故CE+EF的最小值为． （3）在x轴上存在点P，使∠PDO＝2∠PBO；理由如下： ∵直线y＝﹣x+8交y轴于点B， ∴B（0，8）， ∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点D， ∵D（0，﹣3）， ∴OB＝8，OD＝3． （3）如图3，在y轴负半轴上取一点Q，使OQ＝OD＝2， ∵∠POB＝90°，OQ＝OD， ∴PQ＝PD， ∴∠PDO＝∠PQO＝∠PBO+∠BPQ， ∵∠PDO＝2∠PBO， ∴∠PBO＝∠BPQ， ∴PQ＝BQ＝BO﹣OQ＝7， ∴OP3， ∴P（3，0）或（﹣3，0）， 综上，在x轴上存在点P，使∠PDO＝2∠PBO，P（3，0）或（﹣3，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 40．已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（7，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D．点D的横坐标为12，直线CD与y轴相交于点E． （1）直线CD的函数表达式为　y＝2x﹣14　； （2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ． ①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【解答】解：（1）一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（﹣12，0）、（0，5）， 当x＝12时，10，即点D（12，10）， 设直线CD的表达式为：y＝k（x﹣7）， 将点D的坐标代入上式得：10＝k（12﹣7），则k＝2， 故直线的表达式为：y＝2x﹣14； （2）①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分， ∴S△BEQS△BDE或S△BEQS△BDE， 由（1）知，B（0，2），D（3，4）， 由函数的表达式知，E（0，﹣2）， ∴BE＝19， 如图，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝12， ∴S△BDEBE•DH19×12＝114， ∴S△BEQ114＝38或S△BEQ114＝76， 设Q（t，2t﹣14），由题意知t＞0， 过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t， ∴19×t＝38或19×t＝76， 解得t＝2或4， ∴Q的坐标为（2，﹣10）或（4，﹣6）； ②当点D落在x轴正半轴上（记为点D1）时，如图， ∵B（0，15），D（12，10）， ∴BH＝BO＝2． 由翻折得BD＝BD1． 在△Rt△DHB和Rt△D1OB中， ， ∴Rt△DHB≌Rt△D1OB（HL）， ∴∠DBH＝∠D1BO， 由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ， ∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°， ∴BQ∥x轴， ∴点Q的纵坐标为5． 在y＝2x﹣14中，当y＝5时，x． ∴Q（，5）， 当点D落在y轴负半轴上（记为点D2）时，如图， 过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N， 由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ， ∴QM＝QN， 由（2）①知S△BDE＝114，即S△BQD+S△BQE＝114， ∴BD•QMBE•QN＝114， 在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD13， ∴13•QN19•QN＝114， 解得QN， ∴Q（，）． 综合知，点Q的坐标为Q（，5）或（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/6 9:58:31；用户：唐小梅；邮箱：XFS-7843226939192240.42133300；学号：62314683 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$