2025年九年级中考数学解答题复习训练 《解答题之几何证明题》

第 1页（共 48页） 解析答案 解答题 1．已知：如图，点 C，D在 AB上，∠A＝∠B，∠F＝∠E，DF＝CE． 求证：AC＝DB． 【解答】证明：在△ADF和△BCE中， ∠� = ∠� ∠� = ∠� �� = �� ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC， ∴AD﹣CD＝BC﹣CD， 即 AC＝DB． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 2．如图，已知 AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，且点 B，E、C、F在同一条直线上．求证：∠ACB＝∠DFE． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即 BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， 第 2页（共 48页） �� = �� ∠� = ∠��� �� = �� ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用 SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键． 3．如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边 AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形 ABCD 是矩形． 【解答】解：证明： ∵O是边 AB的中点， ∴OA＝OB， 在△AOD和△BOC中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠� = ∠� ， ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴DA＝CB， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴DA∥CB， ∴四边形 ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴四边形 ABCD是矩形． 【点评】本题考查矩形的判断，掌握矩形的判断方法是解题的关键． 4．如图，已知 OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：∠B＝∠D． 【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD， 第 3页（共 48页） ∴∠AOB＝∠COD， 在△AOB与△COD中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴∠B＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．如图，点 A为△ABC和△ADE的公共顶点，已知∠C＝∠E，AC＝AE，请你添加一个条件，使得 AB＝ AD．（不再添加其他线条和字母） （1）你添加的条件是 ∠CAD＝∠EAB ； （2）根据你添加的条件，写出证明过程． 【解答】解：（1）∠CAD＝∠EAB． （2）证明：∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD+∠BAD＝∠EAB+∠BAD， 即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠� = ∠� ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AB＝AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB． （1）求证：△ABC≌△BAD； （2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ 20 °． 第 4页（共 48页） 【解答】（1）证明：在△ABC和△BAD中， ∠� = ∠� = 90° ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ABC≌△BAD（AAS）； （2）解：∵∠DAB＝70°，∠D＝90°， ∴∠DBA＝90°﹣70°＝20°， 由（1）知△ABC≌△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA＝20°， 故答案为：20． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7．如图，在菱形 ABCD中，AC，BD相交于点 O，过点 C作 CE∥BD，使�� = 12��，连接 DE． （1）求证：四边形 DOCE是矩形； （2）若 AB＝AC＝6，求点 E到线段 CD的距离． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，�� = 12��， ∴∠DOC＝90°， ∵�� = 12��， ∴CE＝OD， ∵CE∥BD， ∴四边形 DOCE是平行四边形， ∵∠DOC＝90°， ∴四边形 DOCE是矩形； 第 5页（共 48页） （2）解：过点 E作 EF⊥CD于点 F，则∠CFE＝90°，线段 EF即为点 E到线段 CD的距离， 由（1）知，四边形 DOCE是矩形， ∴∠DEC＝90°， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ADC，∠��� = 12∠���， ∵AB＝AC＝6， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°， ∴∠��� = 12 × 60° = 30°， ∵CE∥BD， ∴∠DCE＝∠BDC＝30°， 在 Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠DCE＝30°，DC＝6， ∴DE＝3， ∴�� = ��2 − ��2 = 62 − 32 = 3 3， ∵∠CED＝∠CFE＝90°，∠ECD＝∠FCE， ∴Rt△CED∽Rt△CFE， ∴ �� �� = �� �� ，即 3 �� = 6 3 3 ， 解得�� = 3 32 ， ∴点 E到线段 CD的距离为 3 3 2 ． 【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题 的关键． 第 6页（共 48页） 8．如图，在矩形 ABCO中，延长 AO到 D，使 DO＝AO，延长 CO到 E，使 EO＝CO，连接 AE、ED、DC、 AC． （1）求证：四边形 AEDC是菱形； （2）连接 EB，若 AE＝4，∠AED＝60°，求 EB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCO是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∴AO⊥OC，即 AD⊥EC， ∵DO＝AO，EO＝CO， ∴四边形 AEDC是平行四边形， ∴平行四边形 AEDC是菱形． （2）解：连接 EB，如图： ∵四边形 AEDC是菱形，∠AED＝60°， ∴∠AEO＝30°， ∵∠AOE＝90°，AE＝4， ∴�� = 12�� = 2， ∴�� = ��2 − ��2 = 42 − 22 = 2 3， ∴�� = 2�� = 4 3， ∵四边形 ABCO是矩形， ∴BC＝OA＝2，∠BCE＝90°， ∴�� = ��2 + ��2 = 22 + (4 3)2 = 2 13． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第 7页（共 48页） 9．如图，延长平行四边形 ABCD的边 AD，AB．作 CE⊥AB交 AB的延长线于点 E，作 CF⊥AD交 AD的 延长线于点 F，若 CE＝CF． 求证：四边形 ABCD是菱形． 【解答】证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CBE＝∠A，∠CDF＝∠A， ∴∠CBE＝∠CDF， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠CEB＝∠CFD， 在△CBE与△CDF中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△CBE≌△CDF， ∴CB＝CD， ∴四边形 ABCD是菱形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握 一组邻边相等的平行四边形是菱形的知识点． 10．综合探究 素材：一张矩形纸片 ABCD，AD＝6，AB＝8． 操作：在边 CD上取一点 E，把△ADE沿 AE折叠，使点 D的对应点 D′落在矩形纸片 ABCD的内部． 第 8页（共 48页） （1）如图 1，将矩形纸片对折，使 DC与 AB重合，得折痕 MN，当 D′落在 MN上，求∠DAE的度数； （2）如图 2，当 D′落在对角线 BD上时，求 DE的长； （3）连接 CD′，矩形纸片 ABCD在折叠的过程中，线段 CD′的长度是否有最小值？若有，请描述线 段 CD′长度最小时点 D′的位置，并求出此时 DE的长． 【解答】解：（1）连接 DD′，如图 1， 由折叠得：AD＝AD′，MN垂直平分 AD．∠DAE＝∠D′AE， ∵D′在 MN上， ∴D′A＝D′D， ∴D′A＝D′D＝AD， ∴△ADD′是等边三角形． ∴∠DAD′＝60°， ∵∠DAE＝∠D′AE， ∴∠DAE＝30°． （2）依题意得，AE⊥DD′， ∴∠EDD′+∠ADD′＝∠EAD+∠ADD′＝90°， ∴∠EDD′＝∠EAD， ∴���∠���′ = ���∠��� = ���� = 3 4， ∴�� = 34�� = 3 4 × 6 = 9 2． （3）矩形纸片 ABCD在折叠的过程中，线段 CD′的长度有最小值；点 D′落在对角线 AC上时，线段 CD′长度最小，此时 DE的长为 3．理由如下： 由三角形三边关系可得，CD′≥AC﹣AD′，只有当 A、C、D′三点共线时，线段 CD′长度最小，即 当点 D′落在对角线 AC上时，线段 CD′长度最小，如图 2， 第 9页（共 48页） 在 Rt△ADC中，�� = ��2 + ��2 = 10， 由折叠得：ED＝ED′，∠AD′E＝90°，AD＝AD′＝6， 设 DE＝x，则 EC＝8﹣x，D′C＝10﹣6＝4， 根据勾股定理得，DE′2+CD′2＝CE2， 则 x2+42＝（8﹣x）2， 解得 x＝3， ∴线段 CD′长度最小时 DE的长为 3． 【点评】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟 练掌握折叠的性质是解题的关键． 11．如图，在▱ ABCD中，点 E，F分别在 AD，BC上，且 AE＝CF，EF，BD相交于点 O，求证：OE＝ OF． 【解答】证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF，∠ODE＝∠OBF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DOE≌△BOF是本题的关 键． 12．如图，菱形 ABCD的对角线 AC和 BD交于点 O，分别过点 C、D作 CE∥BD，DE∥AC，CE和 DE 第 10页（共 48页） 交于点 E． （1）求证：四边形 ODEC是矩形； （2）当∠ADB＝60，�� = 2 3时，求 tan∠CAE的值． 【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形 ODEC是平行四边形． 又∵菱形 ABCD， ∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°． ∴四边形 ODEC是矩形． （2）如图，过点 E作 EF⊥AD，交 AD的延长线于 F． ∵AC⊥BD，∠ADB＝60°，AD＝2 3， ∴OD= 3，AO＝OC＝3，AC＝6， ∵四边形 ODEC是矩形， ∴EC＝OD= 3，∠ODE＝90°． ∴tan∠CAE= ���� = 3 6． 【点评】本题考查了解直角三角形，菱形是性质以及矩形的判定与性质． 总结：判断一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： ①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； ②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 13．如图，在▱ ABCD中，点 O是对角线 AC，BD的交点，EF过点 O且垂直于 AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若 S▱ ABCD＝63，OE＝3.5，求 AD的长． 第 11页（共 48页） 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO，（ASA） ∴OE＝OF； （2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5， ∴EF＝2OE＝7， 又∵EF⊥AD， ∴S▱ ABCD＝AD×EF＝63， ∴AD＝9． 【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等， 平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS等，本题主要考查了学 生运用定理进行推理的能力． 14．如图，已知矩形 ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于 BC边上一点 E．点 F为矩形外一点，四 边形 AEDF为平行四边形．求证：四边形 AEDF是正方形． 【解答】证明：∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∵AE，DE平分∠BAD 与∠CDA， 第 12页（共 48页） ∴∠��� = 12∠��� = 45°，∠��� = 1 2∠��� = 45°， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°， ∴▱ AEDF是正方形． 【点评】此题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 15．在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为 AD的中点，过点 A作 AF∥BC与 CE的延长线相交于点 F， 连接 BF． （1）如图 1，求证：四边形 BDAF是平行四边形； （2）如图 2，若∠ACD＝90°，请写出图中所有的等腰三角形． 【解答】（1）证明：∵E是 AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE， 在△AEF和△DEC中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴AF＝BD， 又∵AF∥BC，即 AF∥BD， ∴四边形 BDAF是平行四边形； （2）解：∵∠ACD＝90°，E是 AD的中点， 第 13页（共 48页） ∴CE= 12AD＝AE＝DE， ∴△ACE和△CDE是等腰三角形， 由（1）得：△AEF≌△DEC， ∴FE＝CE， ∴CE= 12AD＝AE＝DE＝FE， ∴BF＝CF， ∴△BCF、△AEF是等腰三角形， 综上所述：图中所有的等腰三角形为△ACE、△CDE、△BCF、△AEF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及直角 三角形的性质；证明四边形是平行四边形和三角形全等是关键． 16．如图，在矩形 ABCD中，M为 AD的中点，连接 MB，MC． （1）求证：∠ABM＝∠DCM； （2）若∠BMC＝70°，求∠ABM的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°， ∵M为 AD的中点， ∴AM＝DM， 在△ABM与△DCM中， �� = �� ∠� = ∠� = 90° �� = �� ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠ABM＝∠DCM； （2）解：∵△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM， 第 14页（共 48页） ∴∠MBC＝∠MCB， ∵∠BMC＝70°， ∴∠MBC= 12 ×（180°﹣70°）＝55°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝35°， 故∠ABM的度数为 35°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质 是解题的关键． 17．如图，△ABC和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点 F． （1）求证：DE＝BC； （2）若点 B是 CE的中点，DE＝10，求 AE的长． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD， ∴∠FAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠DCB+∠ACF＝90°， ∴∠FAC＝∠DCB， 在△CDE和△ABC中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� = 90° ， ∴△CDE≌△ABC（ASA）， ∴DE＝BC； （2）解：∵△CDE≌△ABC， ∴DE＝BC＝10， ∵点 B是 EC的中点， ∴EC＝2BC＝20， 第 15页（共 48页） ∴AC＝EC＝20， 在 Rt△AEC中，根据勾股定理，得 AE= ��2 + ��2 =20 2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与 性质． 18．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为 AB的中点，连接 CD，过点 A作 AG∥DC，过点 C作 CG ∥DA，AG与 CG相交于点 G． （1）求证：四边形 ADCG是菱形； （2）若 AB＝10，tan∠CAG= 34，求 BC的长． 【解答】（1）证明：∵AG∥DC，CG∥DA， ∴四边形 ADCG是平行四边形， ∵在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为 AB边的中点， ∴AD＝CD= 12AB， ∴四边形 ADCG是菱形； （2）解：∵CG∥DA， ∴∠BAC＝∠ACG， ∴tan∠CAG＝tan∠BAC= ���� = 3 4， ∴设 BC＝3x，AC＝4x， ∴AB＝5x＝10， ∴x＝2， ∴BC＝3x＝6． 【点评】本题考查了菱形的判定，三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解 题的关键． 19．如图，E，F是▱ ABCD的对角线 AC上两点，AF＝CE，AC与 BD相交于点 O．求证：BE＝DF． 第 16页（共 48页） 菁优网版权所有 【解答】证明：连接 BF，DE，如图： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AF＝CE， ∴AF﹣OA＝CE﹣OC，即 OF＝OE， ∴四边形 DEBF是平行四边形， ∴BE＝DF． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理． 20．如图，在菱形 ABCD中，点 E，F分别在边 BC和 CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 【解答】证明：∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 在△ABE和△ADF 中， ∠� = ∠�， ∠��� = ∠���， �� = ��， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF． 第 17页（共 48页） 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABE≌△ADF． 21．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点 D在线段 BC上，连 接 CE． （1）求证：△ABD≌ACE； （2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数． 【解答】（1）证明：∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴△ABD和△ADE均为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠AED＝45°， ∵∠CED＝25°， ∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝45°+25°＝70°， 由（1）可知：△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣（∠ADB+∠B）＝180°﹣（70°+45°）＝65°． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，理 解等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为 BC边的中点，以 AB、BD为邻边作▱ ABDE，连接 AD，EC．求 证：四边形 ADCE是矩形． 第 18页（共 48页） 【解答】证明：∵AB＝AC，D为 BC边的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴∠ADC＝90°， ∵四边形 ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD，AE＝BD， ∴AE∥CD，AE＝CD， ∴四边形 ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形 ADCE是矩形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形 的性质和平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 23．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB， ∴∠DCG＝∠BCG= 12∠ACB＝45°， ∵AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∴∠DCG＝∠A， 在△AFD和△CGD中， ∠� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△AFD≌△CGD（ASA）； （2）证明：∵△AFD≌△CGD， ∴AF＝CG， 在△ACF和△CBG中， �� = �� ∠� = ∠��� �� = �� ， ∴△ACF≌△CBG（SAS）， 第 19页（共 48页） ∴∠ACF＝∠CBG， ∵∠ACF+∠BCE＝∠ACB＝90°， ∴∠CBG+∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BD⊥FC； （3）解：∵△ACF≌△CBG，BG＝10， ∴CF＝BG＝10， ∵BD⊥CF，DE＝3， ∴S△FDC= 1 2CF•DE= 1 2 ×10×3＝15． 【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与 性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 24．如图，在△ABC中，点 F是 BC的中点，点 E是线段 AB的延长线上的一动点，连接 EF，过点 C作 CD∥AB，与线段 EF的延长线交于点 D，连接 CE，BD． （1）求证：四边形 DBEC是平行四边形； （2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，在点 E的运动过程中，当 BE＝ 4 时，四边形 DBEC是菱形． 【解答】解：（1）∵点 F是 BC的中点， ∴BF＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠BEF，∠DCF＝∠EBF， ∴△DCF≌△EBF（AAS）， ∴CD＝BE， 又∵CD∥BE， ∴四边形 DBEC是平行四边形； （2）解：∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝60°， 第 20页（共 48页） ∵四边形 DBEC是菱形， ∴BE＝CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE＝BC＝4， ∴当 BE＝4时，四边形 DBEC是菱形， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，菱形的性质，等边三角形的性 质与判定等等，熟知菱形的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 25．如图，在▱ ABCD中，点 E、F在 BD上，AE⊥AD，CF⊥BC． 求证：（1）△EAD≌△FCB； （2）AE∥CF． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠DAE＝∠BCF＝90°， 在△EAD和△FCB中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△EAD≌△FCB（ASA）． （2）由（1）得△EAD≌△FCB， ∴∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，推 导出∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF，进而证明△EAD≌△FCB是解题的关键． 26．如图，点 A，B，C，D在同一条直线上，点 E，F分别在直线 AB的两侧，且 AE＝BF，AE∥BF，AC 第 21页（共 48页） ＝BD． 求证：DE＝CF． 【解答】证明：∵点 A，B，C，D在同一条直线上，AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， ∴AD＝BC， ∵AE∥BF， ∴∠A＝∠B， 在△ADE和△BCF中， �� = �� ∠� = ∠� �� = �� ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出 AD＝BC，∠A＝∠B， 进而证明△ADE≌△BCF是解题的关键． 27．如图，四边形 ABCD为菱形，点 E为 CD边上一点，连接 BE，点 F为 AD延长线上一点，连接 CF， 若∠DEB＝∠FCB，求证：BE＝CF． 【解答】证明：∵四边形 ABCD是菱形， ∴BC＝CD，AF∥BC， ∴∠F+∠FCB＝180°， ∵∠DEB+∠BEC＝180°，∠DEB＝∠FCB， 第 22页（共 48页） ∴∠BEC＝∠F， ∵∠DEB＝∠CBE+∠BCD，∠FCB＝∠DCF+∠BCD， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ∠��� = ∠� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝CF． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质 是解题的关键． 28．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后， 老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边 AB和 AC长 度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点 D作 AC的垂线，垂足为点 E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以 下作图与填空： （1）尺规作图：过点 D作 AC的垂线，交 AC于点 E（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴① ∠CAD＝∠BAD ． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠B＝90°． 又② AD＝AD ， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴③ DE＝BD ． ∵S△ABD= 1 2AB•DB，S△ACD= 1 2AC•DE， ∴ �△��� �△��� = �� �� ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请 你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对 应的两边长度的比值④ 相等 ． 第 23页（共 48页） 【解答】（1）解：如图所示：DE⊥AC； （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠B＝90°， 又 AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴DE＝BD． S△ABD= 1 2AB•DB，S△ACD= 1 2AC•DE，∴ �△��� �△��� = �� �� ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论， 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对 应的两边长度的比值相等． 故答案为：∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等． 【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作图﹣复制作图，关键是 掌握尺规作图：过直线外一点作已知直线的方法，判定△ABD≌△AED（AAS），推出 DE＝BD． 29．在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形 ABCD，作线段 AC的垂直平 分线，分别交 AD，AC，BC于点 M，O，N，连接 AN，CM，得到四边形 ANCM． （1）请你判断四边形 ANCM的形状，并说明理由． （2）若∠ACB＝60°，AC＝4cm，则四边形 AMCN的面积为 8 3cm2 ． 第 24页（共 48页） 【解答】解：（1）四边形 ANCM是菱形，理由如下： ∵MN垂直平分 AC， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， 又∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MAO＝∠NCO， 在△AOM和△CON中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴AM＝CN， 又∵AM∥CN， ∴四边形 ANCM为平行四边形， ∵MN⊥AC， ∴平行四边形 ANCM为菱形； （2）由（1）得：AO＝CO= 12AC＝2cm，四边形 ANCM为菱形， ∴AN＝CN，ON＝OM= 12NM， ∵∠ACB＝60°， ∴△ACN是等边三角形， ∴CN＝AC＝4cm， 在 Rt△CON中，由勾股定理得：ON= ��2 − ��2 = 42 − 22 =2 3（cm）， ∴NM＝2ON＝2×2 3 =4 3（cm）， ∴菱形 ANCM的面积= 12AC•NM= 1 2 ×4×4 3 =8 3（cm 2）， 故答案为：8 3cm2． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边 第 25页（共 48页） 形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形 ABCD是菱形； （2）已知菱形 ABCD的对角线 AC＝24，点 E、F分别是菱形的边 CD、BC的中点，连接 EF，若 EF ＝5，求菱形的周长． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形 ABCD是菱形． （2）连接 BD，交 AC于点 O，如图： ∵点 E、F分别是边 CD、BC的中点， ∴BD＝2EF＝10， ∵AC、BD是菱形的对角线，且 AC＝24，BD＝10， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝12，OB＝OD＝5． 在 Rt△AOD中． ∵OA＝12，OD＝5． ∴�� = 122 + 52 = 13， ∴菱形的周长为：4AD＝4×13＝52． 【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、三角形的中位线的判定及性质以及 勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第 26页（共 48页） 31．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点 E在 AD上，求证：EB＝EC． 【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC， ∴AD是线段 BC的垂直平分线， ∵点 E在 AD上， ∴EB＝EC． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 32．在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，P是线段 OC上一个动点（不与点 O、点 C重合）， 过点 P分别作 AD、CD的平行线，交 CD于点 E，交 BC、BD于点 F、G，联结 EG． （1）如图 1，如果 PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图 2，如果∠ABC＝90°， �� �� = 2 3 ，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求 �� �� 的值； （3）如图 3，如果 BA＝BG＝BC，且射线 EG过点 A．请补全图形，并求∠ABC的度数． 【解答】（1）证明：∵PC＝2PO，PG∥CD， ∴ �� �� = �� �� = 1 3 ， 在平行四边形 ABCD中，OA＝OC， ∴ �� �� = �� 2�� = 1 3 ， 又∵PE∥AD， 第 27页（共 48页） ∴ �� �� = �� �� = 1 3 ， ∴ �� �� = �� �� ， ∴EG∥OC； （2）解：如图 2， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形 ABCD为矩形． ∴OC＝OD， ∴∠GDE＝∠PCE＝∠CPF， 又∵∠CFP＝∠ABC＝90°，且∠DEG＜90°， ∴只能∠DGE＝90°，∠DEG＝∠PGE＝∠PCF． ∴此时有：△DGE∽△PFC∽△ABC， 设 CE＝4k，那么 PE＝6k，PG＝9k， ∴EG= ��2 + ��2 =3 13k，DE＝13k． ∴ �� �� = �� �� = 9 17 ， ∴ �� �� = 9 8 ； （3）解：补全图形如下， ∵BA＝BC， ∴平行四边形 ABCD为菱形． 第 28页（共 48页） 设 FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b， ∴GP＝a﹣b． ∵GP∥CE， ∴ �� �� = �� �� = �� �� ， ∴ �−� � = � �+� ， ∴a2﹣ab﹣b2＝0， ∴( �� ) 2 − �� − 1 = 0， ∴ � � = 5+1 2 （负根已舍）． ∴ �� �� = � � = 5−1 2 ， ∴ �� �� = �� �� = 5−1 2 ， ∴ �� �� = �� �� ， 又∵∠ADG＝∠BDA， ∴△DGA∽△DAB． ∴设∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，那么∠BAG＝∠BGA＝2α． ∴5α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠ABC＝72°． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 33．综合与探究 问题情境：如图 1，四边形 ABCD是菱形，过点 A作 AE⊥BC于点 E，过点 C作 CF⊥AD于点 F． （1）猜想证明：判断四边形 AECF的形状，并说明理由； 第 29页（共 48页） （2）深入探究：将图 1中的△ABE绕点 A逆时针旋转，得到△AHG，点 E，B的对应点分别为点 G， H． ①如图 2，当线段 AH经过点 C时，GH所在直线分别与线段 AD，CD交于点 M，N．猜想线段 CH与 MD的数量关系，并说明理由； ②当直线 GH与直线 CD垂直时，直线 GH分别与直线 AD，CD交于点 M，N，直线 AH与线段 CD交 于点 Q．若 AB＝10，BE＝8，画出相应图形并直接写出四边形 AMNQ的面积． 【解答】解：（1）四边形 AECF为矩形．理由如下： ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90° ∴四边形 AECF为矩形． （2）①CH＝MD．理由如下： ∵四边形 ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． ∵△ABE旋转得到△AHG， ∴AB＝AH，∠B＝∠H． ∴AH＝AD，∠H＝∠D． ∵∠HAM＝∠DAC， ∴△HAM≌△DAC（ASA）， ∴AM＝AC， ∴AH﹣AC＝AD﹣AM， ∴CH＝MD． ②情况一：如图，当点 G旋转至 BA的延长线上时，GH⊥CD，此时 S 四边形 AMNQ＝9． 第 30页（共 48页） ∵AB＝10，BE＝8， ∴由勾股定理可得 AE＝6， ∵△ABE旋转到△AHG， ∴AG＝AE＝6，GH＝BE＝8，∠H＝∠B， ∵GN⊥CD， ∴GN＝AE＝6， ∴NH＝2， ∵AD∥BC， ∴∠GAM＝∠B， ∴tan∠GAM＝tan∠B，即 �� �� = �� �� ， 解得 GM= 92，则 MH= 7 2， ∵tan∠H＝tan∠B， ∴在 Rt△QNH中，QN= 32， ∴S 四边形 AMNQ＝S△AMH﹣S△QNH= 1 2MH•AG− 1 2NH•QN＝9． 情况二：如图，当点 G旋转至 BA上时，GH⊥CD，此时 S 四边形 AMNQ＝63． 同第一种情况的计算思路可得：NH＝14，QN＝21，AG＝6，MH= 72， 中考数学第一轮复习 解答题练习 解答题之几何证明题 解答题： 1．已知：如图，点C，D在AB上，∠A＝∠B，∠F＝∠E，DF＝CE． 求证：AC＝DB． 2．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，且点B，E、C、F在同一条直线上．求证：∠ACB＝∠DFE． 3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 4．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：∠B＝∠D． 5．如图，点A为△ABC和△ADE的公共顶点，已知∠C＝∠E，AC＝AE，请你添加一个条件，使得AB＝AD．（不再添加其他线条和字母） （1）你添加的条件是 　 　； （2）根据你添加的条件，写出证明过程． 6．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB． （1）求证：△ABC≌△BAD； （2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝　 　°． 7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，使，连接DE． （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若AB＝AC＝6，求点E到线段CD的距离． 8．如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC． （1）求证：四边形AEDC是菱形； （2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求EB的长． 9．如图，延长平行四边形ABCD的边AD，AB．作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF． 求证：四边形ABCD是菱形． 10．综合探究 素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8． 操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D′落在矩形纸片ABCD的内部． （1）如图1，将矩形纸片对折，使DC与AB重合，得折痕MN，当D′落在MN上，求∠DAE的度数； （2）如图2，当D′落在对角线BD上时，求DE的长； （3）连接CD′，矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD′的长度是否有最小值？若有，请描述线段CD′长度最小时点D′的位置，并求出此时DE的长． 11．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF． 12．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E． （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB＝60，时，求tan∠CAE的值． 13．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 14．如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形． 15．在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）如图1，求证：四边形BDAF是平行四边形； （2）如图2，若∠ACD＝90°，请写出图中所有的等腰三角形． 16．如图，在矩形ABCD中，M为AD的中点，连接MB，MC． （1）求证：∠ABM＝∠DCM； （2）若∠BMC＝70°，求∠ABM的度数． 17．如图，△ABC和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F． （1）求证：DE＝BC； （2）若点B是CE的中点，DE＝10，求AE的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G． （1）求证：四边形ADCG是菱形； （2）若AB＝10，tan∠CAG，求BC的长． 19．如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，AC与BD相交于点O．求证：BE＝DF． 20．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 21．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连接CE． （1）求证：△ABD≌ACE； （2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形． 23．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AD＝CD，∠ACB的角平分线CG交BD于点G，作∠FDA＝∠BDC． （1）求证：△AFD≌△CGD； （2）如图2，连接CF交BD于E．求证：BD⊥FC； （3）若BG＝10，DE＝3，求△FDC的面积． 24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形； （2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，在点E的运动过程中，当BE＝　 　时，四边形DBEC是菱形． 25．如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，AE⊥AD，CF⊥BC． 求证：（1）△EAD≌△FCB； （2）AE∥CF． 26．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，AC＝BD． 求证：DE＝CF． 27．如图，四边形ABCD为菱形，点E为CD边上一点，连接BE，点F为AD延长线上一点，连接CF，若∠DEB＝∠FCB，求证：BE＝CF． 28．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作AC的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴①　 　． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠B＝90°． 又②　 　， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴③　 　． ∵S△ABDAB•DB，S△ACDAC•DE， ∴． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④　 　． 29．在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABCD，作线段AC的垂直平分线，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，得到四边形ANCM． （1）请你判断四边形ANCM的形状，并说明理由． （2）若∠ACB＝60°，AC＝4cm，则四边形AMCN的面积为 　 　． 30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）已知菱形ABCD的对角线AC＝24，点E、F分别是菱形的边CD、BC的中点，连接EF，若EF＝5，求菱形的周长． 31．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC． 32．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG． （1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数． 33．综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F． （1）猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）深入探究：将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q．若AB＝10，BE＝8，画出相应图形并直接写出出四边形AMNQ的面积． 34．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，AD是对⻆线，∠BAC＝60°，∠B+∠C+∠ADB＝4∠BAC， （1）求∠ADC的度数； （2）若AD＝BD+CD，求证：AD平分∠BDC； （3）在（2）的条件下，E、F分别在AC、AB上，连接BE、CF，交于点P，使得∠BPC＝∠BDC，若BD＝EF＝7，AD＝15，求△EFP的面积． 35．已知E是矩形ABCD的边BC上的一点． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，BF⊥AE交CD于点F，求证；AE＝BF； （2）已知AB＝4，BC＝6，GH⊥AE分别交AB，CD于G，H两点，且GH平分矩形ABCD的面积． ①如图2，若BG＝1，求AE的长； ②如图3，AE与GH交于点P，连接BP，求出线段BP长的最小值． 36．课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC＝BD． 求证：平行四边形ABCD是矩形． 知识应用 如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （2）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． （3）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝3，求AE的长． 37．在▱ABCD中，点E是BC边的中点，点F在BA延长线上，连接FC，FD，FE，且FC＝FD． （1）如图1，求证∠BFD+∠FCD＝180°； （2）如图1，探索EF与BD的数量关系，并证明； （3）如图2，若AB＝2AF，AF＝3，AD＝10，求EF的长． 38．正方形ABCD和正方形AEFG如图1摆放，且B，A，G三点共线． （1）正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，a＞b．当a+b＝6，ab＝6时，四边形BCEG的面积＝　 　； （2）若正方形AEFG可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于90°． ①如图2，连接BE，DG，探究DG，BE的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接DE，BG，在旋转过程中，若点P为BG的中点，连接AP，试判断AP和DE的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若某时刻S△ABG＝9，请直接写出△AED的面积． 39．综合与探究 问题情境： 在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B′CE，点B的对应点B′落在正方形ABCD内． 猜想证明： （1）如图1，连接BB′并延长，交AD边于点F．求证：BF＝CE． （2）如图2，当E是AB边的中点时，连接AB′并延长，交CD边于点H，将△ADH沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点D′处，AD′交B′E于点M，D′H交B′C于点N．试判断四边形B′MD′N的形状，并说明理由． 问题解决： （3）在（2）的条件下，若AB＝4，请直接写出四边形B′MD′N的面积． 40．【问题背景】 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α（0°＜α≤45°），点D，E分别在线段BC，AC上，将线段DE绕点D逆时针旋转180°﹣2α得到线段DF，点F落在线段AB上． 【问题初探】 （1）如图1，当α＝45°，点E与点C重合时，求证：FB＝FA； 【问题提升】 （2）如图2，当α＝45°，点E在线段AC上时，过点E作EG∥BC，交线段AB于点G，猜想线段AG与线段BF之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当α≠45°，点E在线段AC上时，过点E作FG∥BC，交线段AB于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$