精品解析：辽宁省点石联考2025届高三下学期3月联合考试数学试题

2025届高三年级3月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合，再根据交集的定义求出. 【详解】由题意得且,即且，所以． 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数的运算法则及共轭复数和模的定义计算即可得. 【详解】，所以，所以． 故选：C. 3. 探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（ ） A. B. 0.2 C. D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据回归直线计算，再根据残差公式计算即可. 【详解】令，得，则所求残差为． 故选：D. 4. 已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，．命题，为等差数列；命题，为递增数列，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，可得，则为真命题；设的项数为，要使为递增数列，可得，则为真命题． 【详解】有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，， 则，，，， 所以为等差数列，则为真命题； 当时，为递减数列，设的项数为，要使为递增数列，只需， 即，所以，则为真命题． 故选：A. 5. 已知的最小正周期为，且，，则与无关的是（ ） A. B. C. D. 在上的零点个数 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性可得，，或，，，即可求B，根据周期性即可求AD，求导即可求解C. 【详解】记，，其中，，，， 由可知，应在同一个单调区间内，即，，或，，， 故或， 由三角函数的对称性知，故B正确． A选项，故其会发生改变， C选项, ，则，故亦会发生变化， D选项会随着周期的变化而变化． 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为．已知是椭圆上一动点，动点的轨迹为，设的离心率为，的离心率为，则下列选项中满足的是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据选项得到与的关系，逐项判断可得答案. 【详解】由题意得，，. 椭圆中，，故. 设点的坐标为，则． A.由，得或，故， 此时轨迹的方程为，离心率． B.由得，故， 此时轨迹的方程为，离心率． C.由得，故，所以， 此时轨迹的方程为，离心率． D.由得，，得，故， 此时轨迹的方程为，离心率． 故选：C. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，高为，母线与下底面所成的角为，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据几何性质建立方程，求得半径的和与积，利用圆台的体积公式，可得答案. 【详解】设上、下底面的动点分别为，．过点作下底面的垂线，垂足为，作图如下： 有， 由几何关系可知当，位于圆台轴截面上下底边相对的顶点时，距离最大． 因此，由已知可得方程组，解得， 则圆台的体积． 故选：A. 8. 若函数，其中．若只有一个零点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先通过求解函数的零点，根据只有一个零点得出与的关系.然后将转化为点到点的距离的平方，再利用导数求出函数在某点处的切线，结合几何关系求出距离平方的最小值. 【详解】令，得或， 因为只有一个零点，所以， 如图，在坐标系中，可以看成到的距离的平方， 而到的距离为，且函数，求导得到， 在处的切线斜率为，则方程为，斜率为，则与线段垂直， 由于函数的图象在直线的下方，可以知道的最小值为5． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的待0分） 9. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若存在，使得，则 C. 若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D. 若与内任意直线所成的角均相等，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量与空间线面的位置关系可判断AB选项；利用直线到平面的距离为直线到平面内所有直线距离的最小值可判断C选项；利用直线与平面所成角为直线与平面内任意直线所成角的最小值可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则或，A错； 对于B选项，若存在，使得，则，B对； 对于C选项，到的距离应为到内任意直线的距离的最小值，C错； 对于D选项，设直线与平面所成角为，则， 因为为直线与平面内任意直线所成角的最小值， 且直线与平面内任意直线所成角的最大值为， 因为与内任意直线所成的角均相等，则，即，D对. 故选：BD. 10. 已知抛物线，焦点，，动点满足，则（ ） A. B. 若在上，则是等腰直角三角形 C. D. 的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据焦点坐标得选项A正确；利用抛物线的定义转化条件可得选项B正确；根据条件可求得点的轨迹方程，利用的关系可得选项C正确；根据点的轨迹可得选项D错误. 【详解】A.由题意得，故，抛物线的方程为，A正确． B.由选项A得抛物线准线为直线，过点向准线作垂线，垂足为，则，故，， 不妨设点在第一象限，则，直线的方程为，与联立得， ∴轴，故是等腰直角三角形，B正确. C.由得，整理得， ∴，C正确． D.由得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故轨迹长度为，D错误． 故选：ABC. 11. 函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】A.若是上的函数，则有，. 设，则， 由得，， ∴，∴为上的函数，故A正确． B.由题意得，， ∵对，，∴，即， ∴，是上的函数，故B正确． C.若，则恒成立，即是函数，故C错误． D. 由是上的函数， 得在上恒成立， 当时，，时，， 故时，，时，， 根据二次函数的性质可知，是函数的零点， 即，故． 记，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数， 故，即，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，可得，，，利用两角和与两角差的余弦公式作差可得，由两角差的正弦公式可得，则由即可求得答案． 【详解】由，知，，． 又，则，． 由两角和与两角差的余弦公式可得 ， ， 两式作差可得． 又由两角差的正弦公式得 ， 则， 因此． 故答案为：. 13. 为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》，鼓励学生多读书、品经典，社区举办了“图书在哪”的抽奖活动．如图，在一个的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书．则在所有可能的情况中，能抽中的图书数目最多为________，所有可能的图书排列方式总数为________． 【答案】 ①. 11 ②. 192 【解析】 【分析】根据数字的约束，确定哪些方格可以放置图书，通过分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目，使用排列组合的方法，计算所有满足条件的图书放置方式的总数. 【详解】如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书．类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾！故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中本书． 接下来求所有可能的方法数． 情形一： 如图所示，？处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书，则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定，此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾！所以中间数字3右侧必有图书． 此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书．若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定，则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形． 若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置，若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意，4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种；若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意，3周围还应有一本图书，共有两种选择． 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有种可能． 情形二： 如图所示，？处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2），故4周围的图书排列方式被固定，所以3周围还应有一本图书，共有两种选择． 故情形二共有2种可能．所以共有种． 故答案为：①11；②192. 【点睛】关键点点睛：分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 记的内角，，的对边分别，，，已知． （1）求； （2）设是边中点，若，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解. （2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得，又， 则，而， 化简得，即，而，因此， 所以. 【小问2详解】 在中，由，得，， 由正弦定理，得，由是边中点，得， 则，因此， 在中，由正弦定理，得. 15. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，是棱上一点，且二面角为直二面角． （1）证明：是中点； （2）若，且二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得线线垂直，由面面垂直的定义与性质定理，可得线面垂直，结合等腰三角形的性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：由已知可得，则， 由二面角为直二面角，则平面平面， 因为平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，又，所以． 又，由等腰三角形的性质，知是中点． 【小问2详解】 由已知和（1），以为原点，，，分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 故平面的一个法向量． 设平面的法向量为，设， 由已知可得， ， 所以，，， 所以，， 由，可得， 取， 所以， 化简得， 解得（舍）或，所以 又是中点，所以，即长为4． 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）利用导数求得的单调性和极值，由的极小值小于0的充要条件为极小值点，再由得，分析可得，可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 的定义域为，且有， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增． 而，， 又的图象在上连续不断， 故存在，使得， 又在上单调递增， 故是在上的唯一零点． 则的单调性如下表： - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为， 又， 故， 令，在上恒成立， 故在上单调递减， 又，故的充要条件为， 故，所以的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用导数求得的单调性和极值，由的极小值小于0的充要条件为极小值点，分析可得的取值范围. 17. 现有一个质地均匀的骰子，按照下述规则从左到右依次记录字符：抛掷骰子，点数为1，2，3时，记录字符AA；点数为4时记录字符B，点数为5时记录字符C，点数为6时记录字符D．继续投掷骰子，按照相同的规则向右记录AA，B，C，D的字符．例如抛掷5次骰子得到的点数依次是5，6，2，3，4，则记录的字符为CDAAAAB，共7个字符，其中从左向右第4个字符为A，第7个字符为B． （1）抛掷3次骰子，并记录字符．记字符中A的个数为，求； （2）抛掷若干次骰子，并记录字符．记第个字符为的概率为． （i）求证：是常数列； （ii）求的前项和． 【答案】（1）3 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可得离散型随机变量的所有可能值，利用概率的乘法公式与组合数，结合数学期望的公式，可得答案； （2）（i）分情况由概率的乘法公式求概率，利用概率的加法公式求得递推公式，可得答案；（ii）由题意求数列的前两项，由（i）的常数列求得递推公式，利用构造法求得通项，根据等比数列求和，可得答案. 【小问1详解】 由题意知，的所有可能取值为0，2，4，6． 则，， ，， 故． 【小问2详解】 （i）将第个字符为分为两种情形讨论． ①第一次抛掷的结果为1，2或3， 则最左边的两个字符为AA，剩下的个字符中，第个字符为的概率为； ②第一次抛掷的结果为4，5或6， 则在剩下的个字符中，第个字符为的概率为． 综上：． 故， 即是一个常数列． （ii）容易计算，，故． 故， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故， 故的前项和为 ． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）若过点的直线交于，两点（异于，两点），直线，交于，两点（异于点），过作，垂足为．求证：存在定点，使得为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知顶点得出，再结合离心率计算求出即可得出椭圆方程； （2）先设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用数量积变式垂直关系，再设直线的方程为，得出定点，最后计算可解． 【小问1详解】 由题意知，， 解得， 因此双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线，，，，， 将椭圆方程与直线方程联立，得 消去得，显然，则，是该方程的两根， 则，， 则 ， 故． 设直线的方程为， 将与双曲线的方程联立， 得 消去，得， 即，显然， 则，是该方程两根， 因此，， 由 ， 化简得， 解得或， 若，则过点，舍去， 因此， 此时，过定点． 取为的中点，即，此时． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出直线的定点，结合定点即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级3月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（ ） A. B. 0.2 C. D. 0.1 4. 已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，．命题，为等差数列；命题，为递增数列，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 5. 已知的最小正周期为，且，，则与无关的是（ ） A. B. C. D. 在上的零点个数 6. 在平面直角坐标系中，轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为．已知是椭圆上一动点，动点的轨迹为，设的离心率为，的离心率为，则下列选项中满足的是（ ） A. 且 B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，高为，母线与下底面所成的角为，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，其中．若只有一个零点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的待0分） 9. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若存在，使得，则 C. 若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D. 若与内任意直线所成的角均相等，则 10. 已知抛物线，焦点，，动点满足，则（ ） A. B. 若在上，则是等腰直角三角形 C. D. 的轨迹长度为 11. 函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，，则的值为________． 13. 为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》，鼓励学生多读书、品经典，社区举办了“图书在哪”的抽奖活动．如图，在一个的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书．则在所有可能的情况中，能抽中的图书数目最多为________，所有可能的图书排列方式总数为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 记的内角，，的对边分别，，，已知． （1）求； （2）设是边中点，若，求． 15. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，是棱上一点，且二面角为直二面角． （1）证明：是中点； （2）若，且二面角的余弦值为，求的长． 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于0，求的取值范围． 17. 现有一个质地均匀的骰子，按照下述规则从左到右依次记录字符：抛掷骰子，点数为1，2，3时，记录字符AA；点数为4时记录字符B，点数为5时记录字符C，点数为6时记录字符D．继续投掷骰子，按照相同的规则向右记录AA，B，C，D的字符．例如抛掷5次骰子得到的点数依次是5，6，2，3，4，则记录的字符为CDAAAAB，共7个字符，其中从左向右第4个字符为A，第7个字符为B． （1）抛掷3次骰子，并记录字符．记字符中A的个数为，求； （2）抛掷若干次骰子，并记录字符．记第个字符为的概率为． （i）求证：是常数列； （ii）求的前项和． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）若过点的直线交于，两点（异于，两点），直线，交于，两点（异于点），过作，垂足为．求证：存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $