第一章《三角形的证明》复习巩固卷（1） 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第一章《三角形的证明》 复习巩固卷（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15 2．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠B＝35°，则∠CAD＝（　　） A．32° B．33° C．34° D．35° 6．小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若EF＝1，GH＝7，则正方形ABCD的周长为（　　） A．14 B．17 C．20 D．24 7．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 8．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（　　） A．45° B．30° C．60° D．75° 9．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 10．如图，在等腰△ABC中AB＝AC，AD，BD、CD分别平分∠EAC，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为　 　． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 　 　． 13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，则BC的长为 　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则．其中，正确的是　 　．（只填写序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．在△ABC中，AC，BC＝2，AB＝3，求证：∠ACB＝90°． 17．如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数． 18．如图，已知直线l，AB⊥l于点B，C是直线l上一动点，且点C在点B右侧，点A、D在直线l同侧，若AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，请你探索当BC的长为多少时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？ 19．为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是多少千米？（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）． 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD． （1）若∠A＝24°，求∠DBC的度数； （2）若BC＝4，求BD的长． 23．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，连接DF． （1）△ADF是等边三角形吗？为什么？ （2）若MF的长为1，求AB的长． 25．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D D C D A C D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．14． 12．6． 13．10． 14．20°． 15．①②③④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．证明：在△ABC中，AC，BC＝2，AB＝3， ∴AC2＝5，BC2＝4，AB2＝9， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴∠ACB＝90°． 17．解：∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝72°， ∴∠DBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°． 18．解：设当BC的长为x cm时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形，则∠CAD＝90°，CD＝（34﹣x） cm， ∵AB⊥l， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2＝36+x2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得36+x2＝（34﹣x）2﹣242， 解得x＝8， 答：当BC的长为8cm时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形． 19．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图： 在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°，，， ∴AD＝AC•cos∠CAB＝6cos60°＝3（千米），（千米）， 在Rt△CDB中，∠CBA＝37°，，， ∴（千米）， ∴（千米）． 答：改造后公路AB的长是9.9千米． 故答案为：9.9． 20．解：（1）∠ABC的平分线如图所示． （2）作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABDBC•CDAB•DH3BC3AB（BC+AB）3×16＝24． 21．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 22．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝24°， ∴∠ABC＝90°﹣24°＝66°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝24°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝42°； （2）∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， 设BD＝x， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5， ∴BD＝5． 23．解：（1）∵AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2， 同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2， ∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5， ∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29； （2）由（1）得： BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2） ＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2） ＝AB2+CD2， 即：BC2+AD2＝AB2+CD2， ∵AB＝6，CD＝10， ∴BC2+AD2＝62+102＝136； （3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等． 24．解：（1）△ADF是等边三角形， 理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠B30°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠DAC∠BAC＝60°，∠ADC＝90°， ∵FM是CD的垂直平分线， ∴∠FMC＝90°，FD＝FC， ∴∠FDC＝∠C＝30°， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠FDC＝60°， ∴∠AFD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADF＝60°， ∴△ADF是等边三角形； （2）在Rt△FMC中，∠C＝30°，FM＝1， ∴CF＝2FM＝2， ∵CF＝DF， ∴CF＝DF＝2， ∵△ADF是等边三角形， ∴AF＝DF＝2， ∴AC＝AF+CF＝4， ∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝4． 25．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C， 在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°， 由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$