5.1.2导数的概念及其几何意义(第1课时)导数的概念-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

5.1.2 第1课时 导数的概念 第1页 1.了解导数概念的实际背景. 2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. 3.理解并能正确描述导数在实际问题中的意义. 学习目标 第1页 同学们，回顾上节课的内容，我们已经将物理中的平均速度和瞬时速度与几何中的割线斜率和切线斜率联系起来。在解决问题时，我们都运用了“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法。比如，当大家经过红绿灯路口时，测速探头会在极短的时间内拍摄两次，通过计算这两次拍摄之间的位移来判断车速，其原理正是基于无限逼近的思想。今天，我们将继续运用这种思想方法，研究更一般的问题。 导 语 第1页 课内导航 导数的概念 导数定义的应用 1 2 导数公式的形式化计算 导数在实际问题中的意义 3 4 书读百遍 其义自现 5 第1页 一 导数的概念 第1页 瞬时变化率的几何意义是什么？ 问题 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率. 第页 第1页 1.平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值，即=_________________叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 第页 第1页 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x0处 ，并把这个确定的值叫做y=f(x)在 处的 (也称为瞬时变化率)，记作 或_________，即f'(x0)==_________________. 注意：(1)曲线切线的斜率即函数y=f(x)在x=x0处的导数； (2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价. 可导 x=x0 导数 f'(x0) y' 第页 第1页 题型一　平均变化率 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 第页 第1页 二 导数定义的应用 第1页 题型二　导数定义的直接应用 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 √ 第页 第1页 三 导数公式的形式化计算 第1页 ` 题型三　导数公式的形式化计算 √ 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 四 导数在实际问题中的意义 第1页 题型四　导数在实际问题中的意义 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 第页 第1页 五 书读百遍 其义自现 第1页 第页 第1页 可导 x＝x0 导数 f′(x0) y′|x＝x0 第页 第1页 f(x0＋Δx)－f(x0) 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，若Δx都取eq \f(1,3)，哪一点附近的平均变化率最大？ 【解析】　　在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \f(（1＋Δx）2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq \f(（2＋Δx）2－22,Δx)＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq \f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝eq \f(（3＋Δx）2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq \f(1,3)，则k1＝2＋eq \f(1,3)＝eq \f(7,3)，k2＝4＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,3)，k3＝6＋eq \f(1,3)＝eq \f(19,3). 由于k1<k2<k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大． 关于函数的平均变化率，注意以下四点：①函数f(x)在x1处有定义；②x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但可正可负；③注意变量的对应：若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；④平均变化率可正可负，也可以为零． 思考题1　求函数f(x)＝x3在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 【解析】　　函数f(x)＝x3在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \f(（x0＋Δx）3－x03,Δx)＝eq \f(x03＋3x02·Δx＋3x0·（Δx）2＋（Δx）3－x03,Δx)＝3x02＋3x0·Δx＋(Δx)2. 例2　(1)求函数y＝x2在x＝3处的导数． 【解析】　　取Δx≠0，则Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2. 所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(6Δx＋（Δx）2,Δx)＝6＋Δx. eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (6＋Δx)＝6. ∴y′|x＝3＝6. (2)求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数． 【解析】　取Δx≠0，∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)， ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)， ∴eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2. 从而y′|x＝1＝2. 根据导数的定义，求函数在x＝x0处的导数，分三个步骤(口诀：一差二比三极限)： (1)求函数的变化量． (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx). (3)求极限eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). 思考题2　(1)已知y＝eq \r(x)，则y′|x＝1＝________. eq \f(1,2) 【解析】　取Δx≠0，则Δy＝eq \r(1＋Δx)－1， ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \f(Δx,Δx（\r(1＋Δx)＋1）)＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1). ∴eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2). (2)已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于(　　) A．－4　　　 B．2　　　 C．－2　　　 D．±2 【解析】　取Δx≠0，则Δy＝eq \f(2,Δx＋m)－eq \f(2,m)＝eq \f(－2Δx,m（Δx＋m）)，∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－2,m（Δx＋m）)，∴eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(－2,m（Δx＋m）)＝－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，故m2＝4，即m＝±2. 例3　若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)等于(　　) A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0 【思路分析】　本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求解，需明确Δx，Δy的含义． 【解析】　方法一：eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＋eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＋eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋（－Δx））－f（x0）,－Δx)＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)． 方法二：eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx))) ＝2eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝2f′(x0)． 导数的形式化计算的本质就是对导数概念f′(x0)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \o(lim,\s\do5(x→x0)) eq \f(f（x）－f（x0）,x－x0)的理解．需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． 瞬时变化率的常见变形形式： f′(x0)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0))eq \f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋nΔx）－f（x0）,nΔx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx). 思考题3　(1)设f(x)是可导函数，且eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝－2，则f′(x0)＝(　　) A．2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．－2 【解析】　f′(x0)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－2Δx）,2Δx)＝－eq \f(1,2)×eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq \f(1,2)×(－2)＝1. (2)若f′(x0)＝2，求eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(k→0)) eq \f(f（x0－k）－f（x0）,2k)的值． 【解析】　令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0. 则原式可变形为eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,－2Δx) ＝－eq \f(1,2) eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) ＝－eq \f(1,2)f′(x0)＝－eq \f(1,2)×2＝－1. 例4　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义． 【解析】　令x＝1时产量的改变量为Δx， 则eq \f(Δc,Δx)＝eq \f(c（1＋Δx）－c（1）,Δx)＝eq \f(－2（Δx）2＋3Δx,Δx) ＝－2Δx＋3， c′(1)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δc,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (－2Δx＋3)＝3， 令x＝2时产量的改变量为Δx， 则eq \f(Δc,Δx)＝eq \f(c（2＋Δx）－c（2）,Δx)＝eq \f(－2（Δx）2－Δx,Δx)＝－2Δx－1， c′(2)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δc,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (－2Δx－1)＝－1. c′(1)的实际意义：当产量为1千台时，多生产1千台旋切机可多获利3万元； c′(2)的实际意义：当产量为2千台时，多生产1千台旋切机少获利1万元． 函数在一点处的导数的意义： 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 思考题4　一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 【解析】　根据导数的定义， 得eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(f（2＋Δt）－f（2）,Δt)＝eq \f(3（2＋Δt）－3×2,Δt)＝3. ∴f′(2)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝3. f′(2)的实际意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即此时刻，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3. 要点1　平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx) －f(x0)．我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝________________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 要点2　导数(瞬时变化率) 如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处_______，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在_______处的______ (也称为瞬时变化率)，记作_________或__________，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝______________________________． eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 要点3　求导数的步骤 由导数的定义，我们可以得到求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤： (1)求函数的变化量Δy＝____________________； (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)； (3)取极限得导数f′(x0)＝____________________． eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) 1．平均变化率的概念中符号Δx，Δy各表示什么？它们的值能否为0？平均变化率的几何意义是什么？ 答：Δx，Δy表示x，y的变化量．如图所示，Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)或Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x或y相乘． Δx的值可正、可负，但不能为0；Δy的值可正、可负，可为0.例如，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0. 利用函数y＝f(x)的图象，得到平均变化率的几何意义是函数图象上过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的割线AB的斜率． 2．对导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)存在，则称f(x)在x＝x0处可导，并且导数即为极限eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x）－f（x0）,x－x0)，与概念中的f′(x0)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)意义相同． 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)＝(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(2×12－4) ＝[2(Δx)2＋4Δx－2]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx. ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2（Δx）2＋4Δx,Δx)＝2Δx＋4. 2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图象是(　　) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝eq \f(3,2)处的瞬时变化率是(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析　因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),Δx)＝－Δx－3，所以eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝－3. 4．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)＝(　　) A．11 B．－11 C.eq \f(1,11) D．－eq \f(1,11) 解析　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则 eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx) ＝－f′(x0)＝－11. 故选B. 5．已知球的体积V与半径r的函数关系式为V＝eq \f(4,3)πr3，用定义求V在r＝5处的导数，并对V′(5)的实际意义进行解释． 解析　由导数定义可得eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δr→0)) eq \f(\f(4,3)π（5＋Δr）3－\f(4,3)π×53,Δr) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δr→0)) eq \f(\f(4,3)π[（Δr）3＋15（Δr）2＋75Δr],Δr) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δr→0)) eq \f(4,3)π[(Δr)2＋15Δr＋75]＝eq \f(4,3)π·75＝100π. 故V在r＝5处的导数为100π，V′(5)的实际意义为r＝5时球的表面积． $$