4.3.1等比数列的概念(第2课时)等比数列的判定与性质-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

4.3.1等比数列的概念(第2课时)等比数列的判定与性质 第1页 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 第1页 在学习等比数列的过程中，我们发现它与等差数列有许多相似之处。这实际上体现了我们在两类数列之间无形中运用了类比思想。类比的前提通常是为结论提供线索，它能够将人的认知从一个领域延伸到另一个具有共性的领域，并由此推测另一个对象也具有类似的其他特定属性。今天，我们就借助类比的思想来研究等比数列的性质。 导 语 第1页 课内导航 等比数列的判定与证明 等比数列的性质 1 2 灵活设元求解等比数列 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 一 等比数列的判定与证明 第1页 若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 问题1 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. 第页 第1页 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：= (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：= (n∈N*且n≥2，an≠0). (3)通项公式法：an= =·qn=A·qn(A≠0). q an-1an+1 a1qn-1 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 第页 第1页 二 等比数列的性质 第1页 你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 问题2 提示　类比可得an=amqn-m；由等比数列的定义可知an=a1qn-1，am=a1qm-1，两式相除可得==q(n-1)-(m-1)=qn-m，即an=amqn-m. 第页 第1页 结合上面的类比，你能把等差数列里面的am+an=ak+al(m+n=k+l，m，n，k，l∈N*)类比出等比数列中相似的性质吗？ 问题2 提示　类比可得aman=akal，其中m+n=k+l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am=a1qm-1，an=a1qn-1，ak=a1qk-1，al=a1ql-1， 所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2，akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2， 因为m+n=k+l，所以有aman=akal. 第页 第1页 1.等比数列通项公式的推广和变形an= . 2.设数列{an}为等比数列，则： (1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则 . (2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列. amqn-m ak·al=am·an am，ap，an 知识梳理 第页 第1页 注意： (1)性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 三 灵活设项求解等比数列 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 4，8，16或16，8，4 第页 第1页 45 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 第页 第1页 qn－m am·an 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 an＝5－2n或an＝2n－3 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； 【解析】　(1)由S1＝eq \f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq \f(1,3)(a1－1)， ∴a1＝－eq \f(1,2).又S2＝eq \f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝eq \f(1,3)(a2－1)，得a2＝eq \f(1,4). (2)求证：数列{an}是等比数列． 【解析】　(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)(an－1)－eq \f(1,3)(an－1－1)，即2an＝－an－1，又a1＝－eq \f(1,2)≠0，∴an－1≠0，得eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2). 所以{an}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列． 数列{an}为等比数列的前提是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≠0，,q≠0，))即各项均不为零且公比不为零．等比数列的证明可以用等比数列的定义或等比中项的性质，注意由数列递推关系式的整式形式变为定义中分式的形式的时候，必须说明即将作分母的数不等于0. 思考题1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{bn}是等比数列； 【解析】　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn. ∵b1＝a1＋1＝2≠0，∴bn≠0. ∴eq \f(bn＋1,bn)＝2，∴{bn}是等比数列． (2)求{an}的通项公式． 【解析】　(2)由(1)知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1. 例2　已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝eq \f(1,2)，求a1a32a5； 【解析】　(1)在等比数列{an}中，∵a2a4＝eq \f(1,2)，∴a32＝a1a5＝a2a4＝eq \f(1,2)， ∴a1a32a5＝eq \f(1,4). (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； 【解析】　(2)由等比中项的性质，得a62＋2a6a8＋a82＝49， 即(a6＋a8)2＝49，∵an>0，∴a6＋a8＝7. (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 【解析】　(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 灵活应用性质，能极大地提高我们的计算速度，当然本题也可采用基本量法求解． 思考题2　(1)已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80＝(　　) A．32　　　　　　 　 B．64 C．256 D．±64 【解析】　∵a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a1＋a99＝10，a1a99＝16，又∵在等比数列{an}中a1a99＝a502，an＞0， ∴a50＝4，a20·a50·a80＝a503＝64.故选B. (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5eq \r(2) B．7 C．6 D．±5eq \r(2) 【解析】　方法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a23＝5，a7a8a9＝a83＝10，所以a2a8＝50eq \s\up6(\f(1,3))，又an＞0，所以a4a5a6＝a53＝(eq \r(a2a8))3＝(50eq \s\up6(\f(1,6)))3＝5eq \r(2). 方法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±eq \r(5×10)＝±5eq \r(2).又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5eq \r(2). (3)在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝(　　) A.eq \f(b9,a8)　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq \s\up22(9)　 C.eq \f(b10,a9)　 　 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq \s\up22(10) 【解析】　∵数列{an}为等比数列，∴a9＋a10，a19＋a20，a29＋a30，…，a99＋a100成等比数列，首项为a9＋a10＝a，公比为eq \f(a19＋a20,a9＋a10)＝eq \f(b,a). ∴a99＋a100＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq \s\up22(9)＝eq \f(b9,a8). (4)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 【解析】　方法一：由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝a12q2n－2＝22n，所以(a1qn－1)2＝(2n)2. 又an>0，所以a1qn－1＝2n. 故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(a1nq2＋4＋…＋2n－2)＝log2[a1nqn(n－1)]＝log2(a1qn－1)n＝log2(2n)n＝n2. 方法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n. 于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 方法三：a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝(an)2＝22n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…(a2n－1a1)]eq \s\up6(\f(1,2))＝log22n2＝n2. 例3　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． 【解析】　方法一：设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，因此，这四个数分别为a，b，18－b，21－a， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（18－b）＝b2，,b＋21－a＝2（18－b），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(75,4)，,b＝\f(45,4).)) ∴这四个数分别为3，6，12，18或eq \f(75,4)，eq \f(45,4)，eq \f(27,4)，eq \f(9,4). 方法二：设前三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，q≠0，则第四个数为2aq－a.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)＋2aq－a＝21，,a＋aq＝18，))解得q＝2或q＝eq \f(3,5). 当q＝2时，a＝6，这四个数分别为3，6，12，18； 当q＝eq \f(3,5)时，a＝eq \f(45,4)，这四个数分别为eq \f(75,4)，eq \f(45,4)，eq \f(27,4)，eq \f(9,4). 方法三：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，a≠0，则第一个数为eq \f(（a－q）2,a).由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(（a－d）2,a)＋a＋d＝21，,a－d＋a＝18，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝12，,d＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,4)，,d＝－\f(9,2).)) ∴这四个数分别为3，6，12，18或eq \f(75,4)，eq \f(45,4)，eq \f(27,4)，eq \f(9,4). 以上三种方法，都仅使用了两个字母表示未知量，这种方法比设这四个数分别为a，b，c，d简单多了．在这三种方法中，方法一中不出现分式，此法最简捷．合理地设出所求数中的三个，根据题意表示出另一个是解决这类问题的关键．一般来说，三个数成等比数列时，可设这三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq；三个数成等差数列时，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，但当四个数成等比数列时，不能设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，这样隐含了公比q2>0这一条件，可能会产生失根． 思考题3　(1)已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，则这个数列为______________________． 【解析】　设这个数列为eq \f(a,q)，a，aq，q≠0， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)＋a＋aq＝28①，,\f(a,q)·a·aq＝512②.)) 由②式，得a＝8. 把a＝8代入①式，得eq \f(2,q)＋2q＝5，解得q＝2或eq \f(1,2). ∴这个数列为4，8，16或16，8，4. (2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是________． 要点1　等比数列的判定方法 (1)定义法：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； (2)等比中项法：an2＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 要点2　等比数列的性质 性质1 通项公式的推广：an＝am·_______ (n，m∈N*) 性质2 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝_______． 特别地，当n＝m时，k＋l＝2m(k，l，m∈N*)，则ak·al＝am2. 常见形式：an－1·an＋1＝an2，an－k·an＋k＝an2，an·an＋2＝an＋12 性质3 若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，且λ是不等于0的常数，则{λan}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an2}，{anan＋1an＋2}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列 性质4 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… 性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列，即am，am＋k，am＋2k，…(k，m∈N*)是公比为qk的等比数列 1．在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al(m，n，k，l∈N*)，则m＋n＝k＋l成立吗？ 答：由通项公式可得am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1·ql－1. 不难发现am·an＝a12qm＋n－2，ak·al＝a12qk＋l－2. 若q≠1，则m＋n＝k＋l，若q＝1，则不一定． 2．(1)数列{an}为各项均为正数的等比数列，则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．证明如下：当n≥2时，lg an－lg an－1＝lgeq \f(an,an－1)＝lg q(与n无关)． (2)数列{an}为等差数列，则{ban}为等比数列．证明如下：当n≥2时，eq \f(ban,ban－1)＝ban－an－1＝bd(与n无关)． 1．【多选题】对任意等比数列{an}，下列判断一定正确的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))成等比数列 B．{an＋2}成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析　设an＝a1qn－1，a1≠0，q≠0，eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1qn－1)，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(a1qn－1,a1qn)＝eq \f(1,q)，故A正确；eq \f(an＋1＋2,an＋2)＝eq \f(anq＋2,an＋2)，不是常数，故B错误；a42－a2a8＝a12q6(1－q2)＝0不一定成立，故C错误；a62－a3a9＝a12q10－a12q10＝0，故D正确． 2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2 解析　因为a3·a9＝2a52，则由等比数列的性质有a3·a9＝a62＝2a52，所以eq \f(a62,a52)＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a6,a5)))eq \s\up22(2)＝q2＝2，因为公比为正数，故q＝eq \r(2).又因为a2＝1，所以a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). 3．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　) A．6 B．2 C．2或6 D．－2 解析　等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根， ∴a2·a18＝4，且a2＋a18＝－6，∴a2<0，且a18<0， ∴a10<0，∴a4a16＝a2·a18＝4，a102＝a2·a18＝4，∴a10＝－2， ∴a4a16＋a10＝4－2＝2.故选B. 4．设数列{an}是等差数列，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(an)，已知b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1·b2·b3＝eq \f(1,8)，则数列{an}的通项公式为_____________________． 解析　设数列{an}的公差为d，则eq \f(bn＋1,bn)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up22(d). ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(d)为非零常数，∴数列{bn}是等比数列，公比q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(d). ∵b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1·b2·b3＝eq \f(1,8)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b2,q)＋b2＋b2q＝\f(21,8)，,b23＝\f(1,8)，)) 解得b2＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,4)或q＝4. 当q＝4时，b1＝eq \f(1,8)，bn＝b1·qn－1＝eq \f(1,8)×4n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(5－2n). 又bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(an)，∴an＝5－2n. 当q＝eq \f(1,4)时，b1＝2，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(2n－3). 又bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(an)，∴an＝2n－3. 综上可知an＝5－2n或an＝2n－3. 5．已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－eq \f(3,2)，求这个数列． 解析　设这个数列为a，aq，aq2，aq3， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4q6＝1，,aq（1＋q）＝－\f(3,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,q＝－4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝－\f(1,4)，)) 故这个数列为－eq \f(1,8)，eq \f(1,2)，－2，8或8，－2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,8). $$