4.3.1等比数列的概念(第1课时)等比数列的概念及通项公式-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

4.3.1等比数列的概念(第1课时)等比数列的概念及通项公式 第1页 课内导航 等比数列的有关概念 等比中项 1 2 等比数列的通项公式 等比数列的单调性 3 4 书读百遍 其其义自现 5 第1页 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并理解其与函数的关系. 4.正确判断并证明一个数列是等比数列. 学习目标 第1页 相传古希腊有一位国王，想要奖励一位智者。智者说：“请在一张纸上画一个正方形，然后在第一个格子里放1枚金币，第二个格子放2枚，第三个格子放4枚……每个格子的金币数是前一个格子的两倍，直到画满64个格子。”国王觉得这很简单，便答应了。然而，随着格子数的增加，金币数量呈指数级增长，国王很快发现，即使倾尽国库也无法满足智者的要求。事实上，按照智者的要求，64个格子中放的金币数可以组成一个数列：1，2，4，8，16，……，263。这个数列就是我们今天要研究的等比数列。 导 语 第1页 一 等比数列的有关概念 第1页 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； 问题1 第页 第1页 (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数： -，，-，，…， 类比等比数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 问题1 第页 第1页 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律. 对于(1)，我们发现=9，=9，=9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9； 对于(2)，=，…； 对于(3)，=-，…，也有相同的取值规律. 第页 第1页 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 2 前 比 同一个 公比 知识梳理 第页 第1页 注意： (1)定义的符号表示：=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 知识梳理 第页 第1页 10 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第1页 √ 第页 第1页 √ √ 第页 第1页 二 等比中项 第1页 任意给出两个数a，b，是否一定存在一个数G，使a，G，b成等比数列？ 问题2 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设-1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有=，即x2=-1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2；或-1，x，-4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 第1页 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，此时， . 等比中项 G2=ab 知识梳理 注意： (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 第页 第1页 18 不存在 √ 第页 第1页 反思感悟2 第1页 √ 第页 第1页 √ √ 第页 第1页 三 等比数列的通项公式 第1页 类比等比数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题3 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知=q(n∈N*且n≥2). 方法一　an=××…×××a1=q×q×…×q×q×a1=a1qn-1， 当n=1时，上式也成立. 方法二　a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3， … 由此可得an=a1qn-1(n≥2)， 当n=1时，上式也成立. 第页 第1页 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题4 提示　由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n). 第页 第1页 1.首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an= . 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即 . (2)任给函数f(x)=kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . a1qn-1 an=f(n) ka a 知识梳理 第页 第1页 26 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 等比数列的单调性 第1页 (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q=1时，数列{an}为常数列. (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 知识梳理 第页 第1页 34 √ 第页 第1页 反思感悟4 第1页 √ 第页 第1页 五 书读百遍 其义自现 第1页 2 比 等比数列 第页 第1页 a1qn－1 qn－m 第页 第1页 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，…； 【解析】　(1)不是等比数列． (2)eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up22(2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up22(3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up22(4)，…； 【解析】　 (2)是等比数列，公比为eq \f(2,3). (5)a，a，a，a，a，…. 【解析】　 (5)当a≠0时是等比数列，公比为1.当a＝0时，不是等比数列． (3)1，0，1，0，1，0，…； 【解析】　 (3)不是等比数列． (4)1，－4，16，－64，256，…； 【解析】　 (4)是等比数列，公比为－4. 如果一个数列{an}的项符合关系式eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2)，则该数列是等比数列，而只由an＋1＝qan或an＝qan－1(n≥2)成立则不能得到数列{an}一定为等比数列．因为等比数列中的任意一项均不能为0，整式变分式一定要讨论除过去的式子能否为0. 思考题1　(1)已知数列{an}为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是(　　) A．{2an}　　　　　　 B．{lg an} C．{an2} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 【解析】　设{an}的公差是d，即an＋1－an＝d， 显然2an≠0，且eq \f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an＝2d是常数，{2an}是等比数列；若an＝1，则lg an＝0，则{lg an}不是等比数列；当d≠0时，{an2}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))都不可能是等比数列，如an＝n，an2＝n2，eq \f(1,an)＝eq \f(1,n). (2)【多选题】下面四个选项中，正确的有(　　) A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，b，…，b一定为等比数列 C．等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 【解析】　当乘的常数为0时，不是等比数列，故A错误； b＝0时不是等比数列，故B错误； 由等比数列的定义，若q＝1，则eq \f(an＋1,an)＝1，即an＋1＝an，故C正确； 由等比数列的定义可得各项与公比均不能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确．故选CD. 例2　(1)①eq \r(3)＋1和eq \r(3)－1的等比中项为________； ②1＋eq \r(3)和1－eq \r(3)的等比中项为________． ±eq \r(2) (2)在等比数列{an}中，若a1＝1，a5＝4，则a3等于(　　) A．2 B．2或－2 C．－2 D.eq \r(2) 【解析】　因为在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，所以a32＝a1·a5＝4，因为a1＝1>0，所以a3>0，所以a3＝2. (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，a，b没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项(前k项)与后一项(后k项)的等比中项，所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号． 思考题2　(1)方程x2－8x＋9＝0的两根的等比中项是(　　) A．－4 B．－3和3 C．－4和4 D．3 【解析】　由韦达定理可得方程x2－8x＋9＝0的两根之积为9，而9＝(±3)2，故方程x2－8x＋9＝0的两根的等比中项是±3. (2)【多选题】已知公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9＝64，则(　　) A．a5＝4 B．当a1＝1时，q＝±eq \r(2) C．a1和a9的等比中项为4 D．a1＋a9＝8 【解析】　由等比数列性质可得a1a5a9＝a53＝64，即a5＝4，故A正确； 当a1＝1时，a5＝a1·q4＝4，所以q＝±eq \r(2)，故B正确； 因为a1a9＝a52＝16，所以a1和a9的等比中项为4或－4，故C错误； 取a1＝1，则a5＝4，a9＝16，故a1＋a9＝17，故D不正确． 故选AB. 例3　在等比数列{an}中，公比为q. (1)若a1＝1，a4＝8，求an； 【解析】　(1)因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 【解析】　(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5. (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3； 【解析】　(3)由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝15，　　　　　　①,a1q3－a1q＝6.　　　　　　②)) 由①÷②，得eq \f(q2＋1,q)＝eq \f(5,2)，所以q＝eq \f(1,2)或q＝2. 当q＝eq \f(1,2)时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. (4)若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝－32，求a6. 【解析】　(4)由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)＝4q3＝－32， 解得q＝－2，所以a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝3a1＝4，解得a1＝eq \f(4,3)， 所以a6＝a1q5＝eq \f(4,3)×(－2)5＝－eq \f(128,3). a1和q是等比数列{an}的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便都可求出来，这种解题的方法称为基本量法，解题时角标没有明显特点，不能使用性质时，就用基本量法．整体思想：根据所给条件中的角标结构特点可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 思考题3　已知等比数列{an}，公比为q. (1)若a4＝27，q＝－3，求a7的值； 【解析】　(1)方法一：由a4＝a1·q3， 得27＝a1·(－3)3，解得a1＝－1， 所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729. 方法二：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729. (2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 【解析】　(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，)) eq \a\vs4\al(①,②) 由②÷①，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32. 又an＝1， 所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up22(n－1)＝1，即26－n＝20，故n＝6. 例4　在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么对于等比数列{an}的单调性的说法正确的是(　　) A．{an}是递增数列 B．{an}是递减数列 C．{an}是常数列 D．无法确定{an}的单调性 【解析】　等比数列{(－1)n}的公比为－1，为摆动数列，不具有单调性；等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up22(n)))的公比为eq \f(1,2)，是递减数列；等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up22(n )))的公比为eq \f(1,2)，是递增数列． (1)由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，当q>0时，等比数列各项的符号相同；当q<0时，等比数列各项的符号正负交替． (2)判断等比数列{an}的单调性的方法： ①当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． ②当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． ③当q＝1时，{an}是常数列． ④当q<0时，{an}是摆动数列． 思考题4　已知数列{an}是等比数列，且公比q大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立， 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件． 要点1　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的____都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 要点2　等比中项 (1)定义：如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a与b的等比中项． (2)关系式：G2＝ab，即G＝_______． ±eq \r(ab) 要点3　等比数列的通项公式 (1)等比数列的通项公式：an＝_______． (2)公式的推广：an＝am·______． 要点4　等比数列与指数函数的关系 (1)用函数思想理解等比数列的通项公式： 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可以改写为an＝eq \f(a1,q)·qn.当q>0且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，y＝eq \f(a1,q)·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图象上一系列离散的点． (2)等比数列的单调性： ①当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，等比数列{an}为递增数列； ②当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，等比数列{an}为递减数列； ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； ④当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)． (3)命题p：a，G，b成等比数列，命题q：G2＝ab成立，p是q的充要条件吗？ 答：(3)不是，p是q的充分不必要条件． 1．(1)等比数列中是否有等于0的项？公比是否能为0? 答：(1)没有；不能． (2)2和8的等比中项是4吗？ 答：(2)不一定是4，还可能是－4. ` (4)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ 答：(4)任意两个数不一定有等比中项，当两个数中有一个为0，或是两个数一正一负时没有等比中项，只有两个不为0的数同号时才有等比中项． (5)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 答：(5)存在．当数列{an}为非零常数列时，它既是等差数列又是等比数列．对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列．因此，常数列必是等差数列，但不一定是等比数列． 2．课本中得到等比数列通项公式的方法是什么？你还有其他的方法吗？ 答：课本中用的方法是归纳法； 我们还可以用累乘法得到等比数列的通项公式． 当n≥2时，eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝q·q·q·…·q⇒eq \f(an,a1)＝qn－1⇒an＝a1qn－1(n≥2)； 当n＝1时，a1＝a1q0＝a1q1－1，∴当n＝1时，an＝a1qn－1也成立，即an＝a1qn－1(n∈N*)． 3．比较等差数列和等比数列的定义、通项公式、中项性质等方面在运算律上的关系？ 答：定义中“差”变为了“比”，中项性质中A＝eq \f(a＋b,2)变为G＝±eq \r(ab)，其中a，b两项的“和”变为了“积”，“除以2”变为了“开2次方”，通项公式中“公差d的(n－1)倍”变为了“公比q的(n－1)次方”，实现了运算律的升级． 4．我国古算经《孙子算经》里有一个有趣的题目“出门望九堤”：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”你能回答这个问题吗？ 答：这是一个等比数列题目，所求各数构成了一个以9为首项，9为公比的等比数列，堤为9，木为92＝81，枝为93＝729，巢为94＝6 561，禽为95＝59 049，雏为96＝531 441，毛为97＝4 782 969，色为98＝43 046 721. 1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为(　　) A．108　　　　　　　　 B．54 C．36 D．18 解析　由题意得eq \f(an＋1,an)＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列，所以a4＝a1q3＝2×33＝54.故选B. 2．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 解析　由于x，3x＋3，6x＋6是等比数列的前三项， 故有(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3， 故此等比数列的前三项分别为－3，－6，－12， 故此等比数列的公比为2，故第4项为－24. 故选A. 3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　) A．6 B．－6 C．±6 D．±12 解析　依题意知2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，解得a＝eq \f(3,2)，b＝±4，∴ab＝±6. 4．在等比数列{an}中，a7＋a9＝3，a9＋a11＝12，则a11＋a13＝(　　) A．12 B．24 C．48 D．96 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a9＋a11＝q2(a7＋a9)＝3q2＝12，可得q2＝4， 故a11＋a13＝q2(a9＋a11)＝4×12＝48.故选C. 5．若一数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2 022是这个数列的(　　) A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项 解析　记此数列为{bn}，则它是首项为a－6，公比为a6的等比数列， 于是得数列{bn}通项为bn＝a－6·(a6)n－1＝a6n－12，由6n－12＝2 022得n＝339， 所以a2 022是这个数列的第339项．故选D. $$