第12章 证明（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第十二章 证明（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 2．有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 4．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 6．对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，已知，直线与直线有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（    ） A． B． C． D． 8．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 9．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．下列命题： ①若，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若不论x取何值，恒成立，则； ④若x，y满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．把命题“邻补角是互补的角”写成“如果…那么…”的形式是： ． 12．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 13．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 14．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 15．下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 16．用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 17．下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 18．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 20．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 21．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 22．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 23．如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 24．（1）如图，，，求证：； （2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．    25．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 26．已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 27．如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 28．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 证明（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题主要考查角的比较与运算，还考查命题的知识点，不是很难．答题时首先知道命题是由题设和结论构成，然后判断． 【详解】解：锐角小于钝角，对顶角相等，三角形的内角和等于都是命题， 作的垂直平分线不是命题，没有结论， 故选：B． 2．有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据定义和性质，逐一判断后解答即可． 本题考查了基本概念和性质，熟练掌握关联定义和性质是解题的关键． 【详解】解：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，原说法错误； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定相等，原说法错误； ③在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ④对顶角相等，正确； ⑤在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误． 故选A． 3．下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意； C、直角都相等，不是定义，不符合题意； D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意； 故选：D． 4．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题； ②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题； ③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题； ④原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，如，则，故命题的逆命题是假命题， 故选：B． 5．命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，假命题，反例等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 先写出逆命题，再举反例说明即可. 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”是假命题， 可以取，说明． 故选：B． 6．对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，已知，直线与直线有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角的概念、平行线的性质对每个选项进行一一判断即可． 【详解】A．∵， ∴， ∴此命题不符合题意； B．∵与虽然是内错角，但与不平行， ∴． ∴此命题符合题意； C．∵与是同旁内角，不是内错角， ∴此命题不符合题意； D．∵与是同旁内角，不是内错角， ∴此命题不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了内错角、平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 8．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 9．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 10．下列命题： ①若，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若不论x取何值，恒成立，则； ④若x，y满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①解绝对值的方程即可；②根据一元一次方程的解解答即可；③根据与x的取值无关求解；④分类讨论即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． 故①不正确； ②把代入，得 ， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵若不论x取何值，恒成立， ∴， ∴ ∴， ∴． 故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴若x，y满足，则的最小值为4， 故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．也考查了绝对值方程，一元一次方程的解，绝对值的意义等知识． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．把命题“邻补角是互补的角”写成“如果…那么…”的形式是： ． 【答案】如果两个角是邻补角，那么它们互补 【分析】本题主要考查了命题的定义，分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“邻补角是互补的角”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角，那么它们（这两个角）互补． 故答案为：如果两个角是邻补角，那么它们互补． 12．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，，而， 故答案为：假． 13．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 14．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了命题真假的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定与性质可判定①与②的真假，根据对顶角的性质可判断③的真假，根据立方根的定义可判断④的真假． 【详解】一般情况下，同旁内角不一定互补，命题①是假命题； “平行于同一条直线的两条直线可能平行，也可能共线”，命题②是假命题； 相等的角不一定是对顶角，命题③是假命题； “正数的立方根是正数”，命题④是真命题． 所以是真命题的有1个． 故答案为：1． 15．下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 【答案】1 【分析】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 【详解】解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【点睛】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 3 4 【分析】此题考查了举反例和不等式的性质，真假命题，根据题意举出反例即可． 【详解】解：当时，满足，但是，， ∴“如果，那么”是假命题，这组值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 17．下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】逐个判断各个命题的真假即可． 【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意； ④若，则，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 18．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ． 【答案】三角形三个内角都大于60 °． 【分析】写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °． 故答案为：三角形三个内角都大于60 °． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 20．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，清楚命题的题设与结论是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如果两直线平行，那么内错角相等； （2）解：如果一个角是三角形的外角，那么它等于它不相邻的两个内角的和； （3）解：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等． 21．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 22．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 23．如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 【答案】(1)真 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质，角平分线的性质， （1）根据命题的真假即可判断； （2）根据得，根据平分得，根据平分得，根据可得，等量代换，进行计算即可得； 掌握命题，平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题， 故答案为：真； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ， ， ． 24．（1）如图，，，求证：； （2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．    【答案】（1） （2）真命题 【详解】（1）证明： 又 ． （2）真命题，理由如下： ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，真命题的定义，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． 25．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 26．已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （4）根据结果得出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 理由：∵，， ∴，， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴； （4）解：通过上面（1）、（2）、（3），可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补． 【点睛】本题考查命题与定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 27．如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】①②，③，证明过程见解析；或①③，②，证明过程见解析；或②③，①，证明过程见解析 【分析】三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；命题一证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题二证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题三证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出． 【详解】命题一：如图，已知①②，求证：③． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 命题二：如图，已知①③，求证：②． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 命题三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③．或①③，②．或②③，①． 【点睛】本题主要考查了命题，平行线的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握命题的定义和组成，平行线的判定和性质，等量代换． 28．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$