第12章 证明（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第十二章 证明（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列语句中是定义的是（   ） A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B．四边相等的四边形是正方形 C．相等的两个角是对顶角 D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 3．下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 4．下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是（ ） A．真命题的逆命题一定还是真命题 B．“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题 C．“作线段”是真命题 D．命题“同角的余角相等”的逆命题是“相等的角是同一个角的余角” 6．在判断“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这一命题的真假时．同学们给出如下的分析，其中正确的是（   ） A．因为时，代数式的值为质数，所以该命题是真命题 B．因为，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，所以该命题是真命题 C．如果n取某一自然数时．代数式的值为合数，那么该命题是假命题 D．如果n取某一奇数时，代数式的值为质数，那么该命题是真命题 7．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 8．用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（    ） A． B． C． D． 9．下列真命题的个数是（    ） ①平移变换中，各组对应点连接而成的线段平行且相等． ②同旁内角互补． ③若两个角有公共顶点和一条公共边，并且它们的和为180°，则这两个角互为邻补角． ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 10．要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A． B． C． D． 故选：． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 12．给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 13．“偶数能被整除”的逆命题是 ． 14．下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有 ．（填序号） 15．命题“若，则”的逆命题是 ． 16．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 17．用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 18．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 20．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例． (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是内错角； (3)如果，那么； (4)两个锐角互余． 21．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 22．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 23．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 24．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 25．如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和． (1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论； (2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（                ），那么（                ）． 26．如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：    ①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 27．如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 28．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 证明（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 2．下列语句中是定义的是（   ） A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B．四边相等的四边形是正方形 C．相等的两个角是对顶角 D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 【答案】D 【分析】本题考查了定义，定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故原说法不正确，不是定义； B．四边相等并且四个角也相等的四边形是正方形，故原说法不正确，不是定义； C．相等的两个角不一定是对顶角，故原说法不正确，不是定义；     D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式，正确，是定义； 故选D． 3．下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，垂线，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据定理的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意； C、对顶角相等，是定理，故C符合题意； D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意； 故选：C． 4．下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，命题是指判断一件事情的语句，根据命题的定义依次判断即可． 【详解】解：命题是指判断一件事情的语句， ∴①④是命题，②③不是命题， 故选：B． 5．下列说法正确的是（ ） A．真命题的逆命题一定还是真命题 B．“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题 C．“作线段”是真命题 D．命题“同角的余角相等”的逆命题是“相等的角是同一个角的余角” 【答案】D 【分析】根据命题，逆命题，真假命题，结合关联知识解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真假命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，此逆命题是错误的，故此选项错误； B、“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题，故此选项错误； C、“作线段”不是判断句，故不是命题，故此选项错误； D、命题“同角的余角相等”的逆命题是“相等的角是同一个角的余角”，此选项正确，确是一个假命题； 故选D． 6．在判断“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这一命题的真假时．同学们给出如下的分析，其中正确的是（   ） A．因为时，代数式的值为质数，所以该命题是真命题 B．因为，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，所以该命题是真命题 C．如果n取某一自然数时．代数式的值为合数，那么该命题是假命题 D．如果n取某一奇数时，代数式的值为质数，那么该命题是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断方法，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键； 结合质数与合数的定义来逐一分析即可． 【详解】A． 仅当时，，是质数，但不能仅根据这一个值就判定对于任意自然数n，该代数式的值一定是质数，要证明一个命题为真命题，需要对所有符合条件的情况都进行验证，当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； B． 虽然当，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，但同样不能仅根据这有限个值就判定对于任意自然数n，该代数式的值一定是质数，当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； C． 如果能找到一个自然数n，使得代数式的值为合数，也就是除了1和它本身以外还有其他因数，那么就说明“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这个命题不成立，即该命题是假命题，当，，就是合数，故该选项说法正确，符合题意； D．当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 7．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 8．用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明：“若的周长为16，则较长边的长不小于4”， 则应先假设， 故选：C． 9．下列真命题的个数是（    ） ①平移变换中，各组对应点连接而成的线段平行且相等． ②同旁内角互补． ③若两个角有公共顶点和一条公共边，并且它们的和为180°，则这两个角互为邻补角． ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据平行线的判定与性质、平移的性质、邻补角的定义分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：①平移变换中，各组对应点连成的线段平行或在一条直线上且相等，原命题是假命题； ②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题； ③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角且不重合，则这两个角为邻补角，原命题是假命题； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； 这些命题中是真命题的个数是：0； 故选：A． 10．要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据加法法则知识进行判断即可．此题考查了命题与定理、加法法则等知识，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【分析】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如， 故选：． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 12．给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【详解】解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 13．“偶数能被整除”的逆命题是 ． 【答案】如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为모一个命题的逆命题，根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可． 【详解】解：“偶数能被整除”的逆命题是：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数， 故答案为：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 14．下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；选项正确，符合题意； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；选项错误，不符合题意； ③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；选项正确，符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．选项错误，不符合题意； 故答案为：①③ 15．命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若a<b，则-3a>-3b 【分析】根据逆命题睥定义求解即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b， 故答案为：若a<b，则-3a>-3b． 【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键． 16．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 17．用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：第一步应先假设， 故答案为：． 18．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴， ∴反例的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【分析】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【详解】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 20．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例． (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是内错角； (3)如果，那么； (4)两个锐角互余． 【答案】(1)真命题． (2)假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角．（答案不唯一） (3)假命题，反例：，但是．（答案不唯一） (4)假命题，反例：，两个锐角不互余．（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角的概念，绝对值的意义，互余的概念和真假命题的判断，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定求解即可； （2）根据内错角的概念求解即可； （3）根据绝对值的意义求解即可； （4）根据互余的概念求解即可． 【详解】（1）同位角相等，两直线平行，真命题； （2）相等的角是内错角，假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角； （3）如果，那么，假命题，反例：，但是； （4）两个锐角互余，假命题，反例：，两个锐角不互余． 21．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 22．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 23．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 25．如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和． (1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论； (2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（                ），那么（                ）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)两条直线平行，内错角的角平分线平行 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质： （1）根据平行线的性质可得，再结合角平分线的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：．证明如下： （已知） （两直线平行，内错角相等） 射线、分别平分和（已知） ，（角平分线的定义） （已证） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （2）解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线平行． 故答案为：两条直线平行，内错角的角平分线平行． 26．如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：    ①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【答案】(1)①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么． (2)三个命题都是真命题，证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据命题的定义：两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③． 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么． （2）解：以上三个命题都是真命题， 如果，，那么， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      【答案】命题见解析，证明见解析 【分析】由题意知，符合条件的真命题有三个：（1）如果，，，那么；（2）如果，，，那么；（3）如果，，，那么；证明（1），由，可得，，由，可得，即，进而可证． 【详解】解：由题意知，符合条件的真命题有三个： （1）如果，，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，，那么； 证明（1），过程如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 28．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)② 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】（1）证明：假设． 如图2，过点O作直线，使， （同位角相等，两直线平行） 又，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行； （2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 故答案为：② 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$