第11章 反比例函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第十一章 反比例函数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．若点，，均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，则下列说法正确的是（   ） A．点P到y轴的距离为2 B．当时，y随x的增大而增大 C．点也在反比例函数的图象上 D． 4．如图，点A、C是反比例函数图象上任意两点，且轴于点B，轴于点D，和面积之和为3，则k的值为（   ） A． B． C．3 D．6 5．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 10．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 12．若函数是反比例函数，则m＝ ． 13．如果一个正比例函数的图像与反比例函数的图像交于两点，那么的值为 ． 14．若反比例函数的图象经过点，则m的值为 ． 15．已知反比例函数，当时，y的取值范围为 ． 16．如图，矩形的顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为 ． 17．如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若，则 ． 18．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 20．已知直线与双曲线相交于点，求反比例函数的解析式． 21．某饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源．一段时间内，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要_____； (2)求水温下降过程中，与的函数关系式； (3)如果上午8点接通电源，请直接写出之前水温不低于的时长． 22．如图，等腰三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点为腰上的一个格点，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将等腰三角形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 23．如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． 24．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图像，请解决以下问题． (1)线段的函数表达式为 ； (2)曲线的函数表达式为 ； (3)点的坐标为 ； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，求的取值范围． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标； (2)点M是第一象限内的点，且在该反比例函数的图象上，若，求点M的坐标． 27．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 28．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 反比例函数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点P坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：， 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，即，解得：；故B不正确； ∵， ∴在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，，故C错误， 当时，，故D正确， 故选：D 2．若点，，均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数和性质是正确解答此题的关键． 先判断出反比例函数的图像所在的象限，再根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 点，，均在第三象限， ， ， 故答案为：D． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，则下列说法正确的是（   ） A．点P到y轴的距离为2 B．当时，y随x的增大而增大 C．点也在反比例函数的图象上 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出函数解析式，根据反比例的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点A，则， 反比例函数解析式为， A．点P到y轴的距离为1，该选项错误，不符合题意； B．根据函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C．当时，，则点不在反比例函数的图象上，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项正确，符合题意； 故选D． 4．如图，点A、C是反比例函数图象上任意两点，且轴于点B，轴于点D，和面积之和为3，则k的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和面积之和，即可求解． 【详解】解：点A、是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点，轴于点D， ，，，， 和面积之和为3， ， ， 故选：C． 5．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴， ． 故选：B． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，故符合题意； D、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、菱形的性质、勾股定理，理解反比例函数比例系数k的几何意义是解答的关键．先根据菱形的性质得到，轴，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而，由勾股定理得，则，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，一边在y轴上， ∴， 又∵轴 ∴轴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∵即， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：B． 8．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 9．直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先求出点，设，根据，则，求得，再分类讨论，当时，，把代入得 把代入得，得到，求解得；当时，，把代入得因为点B在第二象限内，故不符合题意，舍去．即可求解． 【详解】解：对于 ，令，则， 解得： ∴ ∴ 设， ∵直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B， ∴点B在第二象限， ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，， ∴把代入得 把代入得 ∴ 解得或（舍去）， 当时， 把代入得（不符合题意，舍去） ∴， 故选：B． 10．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 12．若函数是反比例函数，则m＝ ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据函数是反比例函数，则且求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 13．如果一个正比例函数的图像与反比例函数的图像交于两点，那么的值为 ． 【答案】36 【分析】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据题意得到两点关于原点对称，进而推出，，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵一个正比例函数的图像与反比例函数的图像交于两点， ∴两点关于原点对称 ∴，， ∴． 故答案为：． 14．若反比例函数的图象经过点，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查求反比例函数的自变量的值，根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：12． 15．已知反比例函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由可知图像分布在第一，三象限，当时，有部分图象在第一象限，有部分图象在第三象限，分别表示出的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，第三象限中；第一象限图象中，； 故答案为：或． 16．如图，矩形的顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，矩形的性质．先利用矩形的性质得到的面积，用表示的面积，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，， ∵四边形是矩形且面积为，边在上， ∴，，， ∴，，， ∵顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 17．如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键．应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知， ，， ∵， ∴， 解：． 故答案为：． 18．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式和三角形面积求法等知识，首先求出直线解析式，进而得出直线解析，再利用直线解析式与反比例函数联立求出B点坐标，进而利用，求出即可． 【详解】解：∵A在双曲线上， ∴， 故， 设方程为，将A点坐标代入得出： ，解得：， 故AO直线解析式为：， ∵， ∴直线的解析式可以假设为， 将A点坐标代入得：， 故直线的解析式为：， 将直线与反比例函数联立得出： ， 解得：，， 那么B点坐标为： ， ∵，经过B点， ∴直线解析式一次项系数为：2， 故设解析式为：， 将B点代入得出：， 故， 则直线解析式为：， 则与x轴交点D为：， 解得：， 故D点坐标为：， ∵直线的解析式为：， ∴与x轴交点坐标E为：， 则 ． 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 20．已知直线与双曲线相交于点，求反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．先根据一次函数的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：， 则点的坐标为， 将点代入反比例函数得：， 所以反比例函数的解析式为． 21．某饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源．一段时间内，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要_____； (2)求水温下降过程中，与的函数关系式； (3)如果上午8点接通电源，请直接写出之前水温不低于的时长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，解题的关键是由图像获取信息，求出函数的解析式； （1）根据温度差，再根据开机加热时水温每分钟上升结合除法运算即可求解； （2）利用待定系数法进行求解解析式即可； （3）分别求出加热和降温时，不低于的时长，再相加即可． 【详解】（1）解：根据开机加热时水温每分钟上升， 所以， 故答案为：5； （2）解：由（1）当时，则， 设水温下降过程中，与的函数关系式为：， ，解得：， ； （3）解：当加热过程中水温不低于时， 需要的时长为：， 当降温过程中水温不低于时， 当时，解得： 需要的时长为：， 水温不低于的时长为：． 22．如图，等腰三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点为腰上的一个格点，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将等腰三角形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移的性质等知识： （1）由图可知，点的坐标为，再由待定系数法求解； （2）描出两个整数点即可，根据描点、连线作图即可； （3）先设出向下平移后点的坐标为，再代入函数解析式，求出，即可确定平移距离． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 这个反比例函数的解析式为． （2）解：描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点为， 可作反比例函数的图象如图所示： （3）解：由图知，点的坐标为，设向下平移后点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． ， 将等腰三角形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 23．如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查已知函数值求自变量值，待定系数法求反比例函数解析式，函数面积结合问题等． （1）根据题意先求出，再将点的坐标代入中即可求出； （2）令时，求出点的坐标，再根据对称性求出点的坐标，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， ， ∴反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，，解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性： 点的坐标为， 24．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图像，请解决以下问题． (1)线段的函数表达式为 ； (2)曲线的函数表达式为 ； (3)点的坐标为 ； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂图像信息，利用函数解析式进行解答． （1）设线段的函数表达式为，把代入解方程得到线段的函数表达式为； （2）设曲线的函数表达式为，把代入得解方程得到曲线的函数表达式为； （3）解方程组得即可得到点的坐标为； （4）依据题意，根据题意分多种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：设曲线的函数表达式为， 把代入得，， ∴曲线的函数表达式为； 故答案为： ； （3）解方程组得或， ∴根据题意，可知点的坐标为； 故答案为：； （4）解：当时，由图像知，不合题意； 当时，， 若，则，（不合题意，舍去） 即； 当时，， 则，则； 即； 综上，的取值范围为． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法找到直线在双曲线下面的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于，两点， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴，， 把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）由图象可知，不等式的解集为：或． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标； (2)点M是第一象限内的点，且在该反比例函数的图象上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）把代入得到，再利用待定系数法代入反比例函数中即可求解； （2）先求出点C的坐标，再联立一次函数与反比例函数得到点A的坐标，进而可求出和，再根据三角形面积公式可求出点M的纵坐标，即可求解点M的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， ∴， ∴把代入得：， ∴反比例函数解析式为； 由得：， 解得，， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 27．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③，图见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【详解】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 28．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 (4)时最小值为 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点分别代入和即可得到与的值； （2）①过点作轴于点，结合点的坐标与旋转的性质证明，得，，即可得解； ②根据①的结论，将点的坐标代入求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，根据勾股定理及等积法依次求出，，，，，确定，直线的解析式为，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，根据，得，求解即可； （4）先确定点的运动路径为直线，设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点，根据对称的性质得垂直平分，，继而得到，当点、、共线时取“”，此时取得最小值，结合点的坐标及等腰三角形三线合一性质确定 ，继而得到，，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数及几何的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数图像交点的确定方法，等积法及最短路径等知识点．掌握反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，旋转及对称的性质，确定点到直线的距离是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$