第11章 反比例函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第十一章 反比例函数（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．7 C． D．6 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流与电阻是反比例函数关系：，已知时，，则时，（   ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A．该反比例函数图像经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图像经过第一、三象限 D．该反比例函数图像关于原点对称 5．如图，直线与双曲线交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线上有一点，将点A先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点，点恰好也落在双曲线上，则此双曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，双曲线经过的对角线交点，已知边在轴上，且于点，则的面积是（    ） A． B． C．3 D．6 8．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若双曲线位于第一、三象限，则任意写出一个符合要求的a的值 ． 12．已知点，在反比例函数的图像上，且，则与的大小关系是 ． 13．已知一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为 ． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 15．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 16．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点D的横坐标为3，则 ． 17．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度． 18．双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，y随x增大而增大，求m的取值范围； (2)若点均在该反比例函数的图象上； ①求m、n的值； ②当时，求y的取值范围． 20．如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． 求出一次函数和反比例函数的解析式； 观察图象，直接写出的解集； 21．在平面直角坐标系中，点． (1)若反比例函数的图象经过点和点，求和的值； (2)若反比例函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围______． 22．已知，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求与之间的函数关系式． 23．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值． 24．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． (1)分别求出当（即段）和（即段）时，y与x的函数表达式； (2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长．则这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有多长？ 25．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 27．已知反比例函数（k为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求k的值 28．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 反比例函数（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查双曲线上的点的特征．熟练掌握双曲线上的点的坐标满足反比例函数函数的解析式是解题的关键．将点代入双曲线中求解，即可解题． 【详解】解：双曲线经过点， ， 解得， 故选：A． 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．根据反比例函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随着的增大而减小， ∵和都在反比例函数图象上，且， ∴， ∵在反比例函数图象上，， ∴， ∴． 故选：D． 3．已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流与电阻是反比例函数关系：，已知时，，则时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；根据当时，时，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：将，代入可解得：， 故电流与电阻是反比例函数关系为， 将代入可得，， 故选：A． 4．关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A．该反比例函数图像经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图像经过第一、三象限 D．该反比例函数图像关于原点对称 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴该反比例函数图像不经过点，不符合题意； B、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、∵此函数是反比例函数， ∴该反比例函数图像关于原点对称，正确，符合题意． 故选：D． 5．如图，直线与双曲线交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为； 根据反比例函数的图象关于原点中心对称得到点和点关于原点中心对称，则，得到，根据反比例函数系数的几何意义即可得到． 【详解】解：直线与双曲线交于，两点， 点和点关于原点中心对称， ， ， ， ， ； 反比例函数图象在第二、四象限， ， ， 故选：A ． 6．已知双曲线上有一点，将点A先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点，点恰好也落在双曲线上，则此双曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点向左平移6个单位，再向上平移9个单位后点的坐标，再根据点A、都在双曲线上列出方程，求解即可．本题考查了坐标与图形变化-平移，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，列出关于a的方程是解题的关键． 【详解】解：∵将点先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点， ∴点，即， ∵点A、都在双曲线 ∴， 解得， ∴ ∴此双曲线的解析式为 故选：D． 7．如图，双曲线经过的对角线交点，已知边在轴上，且于点，则的面积是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，首先得到，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点D为的对角线交点，双曲线经过点D，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴的面积是． 故选C． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点求不等式解集，理解图示，掌握函数图象求不等式解集的方法是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数图象的交点，确定不等式的解集即可． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，， ∴当或时，， 故选：A ． 9．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】作轴于，轴于，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，   四边形是平行四边形， ， ∴ ， ∵轴，轴，，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ， ，， ，故①正确； ，， ， ∵由题意可得，， ，故②正确； 当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； 若四边形是菱形，则， 而， ， ， ，， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的判定性质和菱形的性质． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若双曲线位于第一、三象限，则任意写出一个符合要求的a的值 ． 【答案】2（不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；根据反比例函数的图象和性质可得，即可得解． 【详解】解：双曲线位于第一、三象限， ， ， 故答案为：2（不唯一）． 12．已知点，在反比例函数的图像上，且，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了反比例函数的图像和性质，确定该函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的图像和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第一，三象限内，且在每一项限内，y随x的增大而减小， ∵点，在反比例函数的图像上，且， ∴． 故答案为：． 13．已知一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是将点代入计算．先设反比例函数解析式为：，再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由题意得，将代入 得：， ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论. 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.    ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 15．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：由反比例函数，，且可得的最大值是，的最大值是2， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点D的横坐标为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．连接交于，设，即可得出的坐标，根据点C在反比例函数的图象上，即可得出，可得出点B的坐标为，即可得出答案． 【详解】连接交于， 在正方形中：设， ∴点D的坐标为， ∴点C的坐标为，， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 化简得：， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为， ∴， 整理得：． 故答案为：． 17．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 18．双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：2． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，y随x增大而增大，求m的取值范围； (2)若点均在该反比例函数的图象上； ①求m、n的值； ②当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 20．如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． 求出一次函数和反比例函数的解析式； 观察图象，直接写出的解集； 【答案】；． 【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据一次函数图象在反比例函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案． 【详解】（1）B（2，−3）都在反比例函数的图象上， ∴m＝2×（−3）＝−6， 则反比例函数的解析式是， 当x＝−3时，y＝n＝2， 则A的坐标是（−3，2）． 根据题意得 ， 解得： ， 则一次函数的解析式是y＝−x−1． ∴一次函数和反比例函数的解析式分别是y＝−x−1，； （2）由图像可知的解集是：−3＜x＜0或x＞2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是利用函数图象与不等式的关系解不等式． 21．在平面直角坐标系中，点． (1)若反比例函数的图象经过点和点，求和的值； (2)若反比例函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征： （1）将分别代入即可求解； （2）先确定，再求出临界状态即为经过点时的m值即可求出取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点和点，点， ∴， ∴； （2）解：∵在第四象限，反比例函数的图象与线段有交点， ∴， 当反比例函数的图象经过点时， ∴， ∴当反比例函数的图象与线段有交点时，， 故答案为：． 22．已知，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求与之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，解题的关键是能熟练地利用性质进行计算． 设，，设，根据已知得到，把，和，代入即可求出、的值，即可得到答案． 【详解】解：与成正比例，设， 与成反比例，设， ∴， 把，和，代入得： ， 解得：， ∴， 答：与之间的函数关系式是． 23．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可． 【详解】（1）设，由图象可知，当时， ； （2）当时，． 24．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． (1)分别求出当（即段）和（即段）时，y与x的函数表达式； (2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长．则这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1)（1）当时，y与x的函数表达式为；当时，y与x的函数表达式为； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数解析式即可． （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减就是结论． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线解析式为， ，在线段上， ， 解得， 当时，y与x的函数表达式为； 当时，设所在的双曲线解析式为， 在双曲线段上， ，解得， 当时，y与x的函数表达式为． （2）解：蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 即这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有． 25．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 27．已知反比例函数（k为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求k的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质． （1）根据图象在第一、三象限得到，即可求出k的取值范围； （2）把点代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（k为常数，且）的图象在第一、三象限 ∴， ∴ （2）∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得 28．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或； (3)或或或 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$