第05讲 两角和与差的正弦、正切（2个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第05讲 两角和与差的正弦、正切 课程标准 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化简求值； 2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、变形用。 1.掌握两角和与差的正弦、正切公式； 2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等； 3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用、变形用，以及角的变换的常用方法. 知识点01 两角和与差的正弦 1、公式与简记： : : 2、对两角和与差正弦公式的理解 （1）公式中的角，都是任意角； （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即； （3）注意公式的你想运用和变形运用 ①公式的逆用：如； ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用， 如；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换， 如，等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。 3、辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 【即学即练1】（24-25高一上·上海·期末）已知，且都是第二象限角，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，都是第二象限角， 得， 所以. 故答案为： 知识点02 两角和与差的正切 1、公式与简记 :. :. 注意：公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。 2、两角和与差正切公式的变形 （1） （2） 当为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1与切的乘积的和（或差）时常用变形（2） 【即学即练2】 （24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 题型01 求特殊角和与差的正弦值 【典例1】（24-25高一下·高一随堂测试）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴．故选：C 【变式1】计算（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 .故选：D． 【变式3】（（2024·山西晋城·一模）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 题型02 逆用两角和与差的正弦公式 【典例2】（24-25高一上·福建三明·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·宁夏银川·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 , 故选：D 【变式2】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值. 【详解】. 故选：C. 【变式3】（（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 题型03 利用和差正弦公式给值求值 【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）若，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和差角公式即可求解. 【详解】由于，， 所以， 则 ． 故选：B 【变式1】（2024·山西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的基本关系式与和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故选：A. 【变式2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义求出，，再利用两角和的正弦公式求出的值即可. 【详解】由角的终边上一点， 则，， 则， 故选：C. 【变式3】（24-25高一下·云南昆明·期中）角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据终边上的点求三角函数，再利用诱导公式和两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】由题意角的终边上有一点，则， 故， 故 ， 故选：A 【变式4】（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出及的值，令，按两角和的正弦公式展开求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以，因为， 所以， 所以 ． 故选：B． 【变式5】（24-25高一下·四川宜宾·期中）设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，再利用同角三角函数关系与两角差的正弦公式计算即可 【详解】因为，故，，故 故选：C 题型04 利用和差正弦公式给值求角 【典例4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 【变式1】（2024·湖南衡阳·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设条件可求的值，求出的值后可求的值. 【详解】由已知可得， 解得，∴， ∵，，.故， 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角求解. 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴ 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】先结合的范围求出. 再根据已知条件求出，再利用二倍角公式求出和，然后利用两角差公式求出，最后根据、的范围确定的值. 【详解】因为，所以. 已知， . 由两角和公式. 可得.   因为，则. 已知，可. ，. 又因为，，所以，. . 可得. 因为，，则,所以，又，所以.   故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 . 【答案】 【分析】先根据角的范围，结合平方关系求出的余弦值与的正弦值，从而可求，可得，再利用 的终边与 的终边关于 轴对称可得结果. 【详解】 ， ， . 因为 的终边与 的终边关于 轴对称， 所以， 故答案为： 题型05 辅助角公式的应用 【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由辅助角公式化简，再结合正弦型三角函数求最值即可. 【详解】由行列式运算可得 ， 当时，原式取得最大值为2． 故选：D 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简即可. 【详解】． 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·广东梅州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，即可由诱导公式求解. 【详解】由得，故， 故选：B 【变式3】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 【变式4】（23-24高一下·北京·期中）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的对称中心为，， 当可得其一个对称中心为. 故选：D 题型06 求特殊角和差的正切值 【典例6】（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和差角的正切及二倍角的正切公式计算即得. 【详解】 . 故选：A 【变式1】（2024·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用诱导公式及降幂公式计算可得；解法二：首先利用两角差的正切公式求出，即可得解. 【详解】解法一： ． 解法二： ， 则. 故选：B． 【变式2】（24-25高一下·全国·阶段测试） ． 【答案】 【解析】. 【变式3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）若，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以.故选：D 题型07 和差正切公式的逆用及变形 【典例7】（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式与和角的正切公式化简计算即得. 【详解】. 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·四川成都·期中）式子的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式来求得正确答案. 【详解】. 故选：A 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助两角和的正切公式计算即可得. 【详解】由，得， 故. 故选：B． 【变式3】（23-24高一下·江西·期末）的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据两角和的正切公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以有 ， 故选：D． 【变式4】（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可. 【详解】由两角和的正切公式得 由诱导公式得， 则原式可化为，故D正确. 故选：D. 题型08 利用和差正切公式给值求值 【典例8】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以．所以， 所以，则． 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·河南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用差角正切公式求值即可. 【详解】. 故选：D 【变式3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：B. 【变式4】（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先利用两角和与差的三角函数，将，然后两边同除以，再利用求解. 【详解】由， 得， 两边同除以， 得 所以， 故选：A． 题型09 利用和差正切公式给值求角 【典例9】（2025高三·全国·专题练习）若，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两角和正切公式计算化简得出角，计算判断即可. 【详解】由题意得， 所以， 所以的值可能为． 故选：A 【变式1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系及角的范围得到，从而利用正切和角公式得到，得到答案. 【详解】由且可知为锐角，为钝角， 故， ， ， ， . 故选：B 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 【变式3】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【详解】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 题型10 和差公式的综合应用 【典例10】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正、余弦公式，结合同角的商数关系和两角差的正切公式化简计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以． 又，即， 得，解得， 所以. 故选：D． 【变式1】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一，根据条件，通过构角，得到，即可求解；法二，利用余弦的和角公式，得到，再利用条件和平方关系，直接求出，代入即可求解. 【详解】法一：因为，所以， 整理得，所以，又， 则， 法二：，所以， 即①，又，， 解得或， 代入①式，得到，化简得， 故选：A. 【变式2】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】因为，所以， 故， 因为， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C． 【变式3】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知为第一象限角，为第三象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据两角和的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】解：法一：由题意得， 因为， 则， 又因为， 则，则， 则，联立，解得． 法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则， ， 则 ， 故选：A． 一、单选题 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以. 故选：C. 3．（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）求值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式，化简计算即可得出答案. 【详解】. 故选：A． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】设正方体边长为1，由图可得， 则且， 所以. 故选：B. 5．（2025·广东·一模）已知，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角平方和为1公式和两角差正弦公式求值即可. 【详解】因为，都是锐角，所以， 又因为 所以 则 ， 故选：C. 7．（24-25高一上·湖南长沙·期末）计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先将换成，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故选：A. 8．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC. 【详解】，则，则， 整理得到. 因此.故B错误，D正确. ，则，.则. 且.解得.同理得，则， 因此得，则.故AC错误. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据同角基本关系式求出，，从而逐项判断. 【详解】已知为第一象限角，且， 则，所以， 同理为第三象限角，则， 所以，，C正确，D错误， ，A错误； ，B正确. 故选：BC 10．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，由，得， 因为，所以， 又，其中， 若，则，则，与矛盾， 所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D正确． 故选：ACD 11．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】根据两角和与差的正弦和正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对于A，因为， 又， 所以，则，故A正确； 对于BCD，令，则， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，，，即时取等号， 所以有最大值，故C正确，BD错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分利用这一式子，结合正弦函数的和差公式得到，从而得解. 三、填空题 12．（24-25高一上·广西河池·期末）在中，若，则的值为 . 【答案】2 【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解. 【详解】在三角形ABC中，因为， 所以 . 故答案为：. 13．（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据和的范围，确定和的范围，求出和；再由，结合两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】，，，， ，， ，. . 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式得，根据同角三角函数关系得到； （2）由两角和的余弦函数公式可得. 【详解】（1）由，得，故. （2）. 16．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． (1)若，求点的坐标； (2)若，求． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）依据题意求出，再结合任意角三角函数的定义与诱导公式求解即可. （2）利用两角和差的正余弦公式求出，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】（1）因为点在单位圆上且， 所以且，解得，即， 由三角函数的定义知，， 因为，且，所以， 所以， ，故． （2）因为， ， 解得，故． 17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合周期公式以及整体代入法即可求解函数的周期和单调递增区间； （2）先求的范围，进一步即可求解函数在区间上的最值. 【详解】（1） 最小正周期， 由，， 得，， 单调递增区间为； （2），， ， 在上最大值为1（当时取到）， 最小值为（当时取到）. 18．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知. (1)求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知可得，再由商数关系得，最后应用和角正切公式、诱导公式求的值； （2）根据已知得，再由及差角正弦公式求的值. 【详解】（1）， ， ； . （2），， ， 由（1）知：，则. 19．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析，2； (2). 【分析】（1）法一：设，，，，应用和角正切公式得并变形代入的周长为化简即可证；法二：延长至点，使，连接，证明得，进而得到，即可证结论； （2）法一：由，结合，应用基本不等式及一元二次不等式的解法得，即可求最值；法二：设，，结合三角形全等有，由和角正切公式得，应用基本不等式求得，即可求最值. 【详解】（1）法一：设，，，，则，， 因为，所以，变形得①， 的周长为②， 将①变形得代入②， 所以， 又，所以， 所以的周长为定值2； 法二：延长至点，使，连接， 易得，则，，， 所以，则， 的周长为. （2）法一： ， 由①得，当且仅当时取等号③， 将③变形得，， 所以或（舍去）， 所以， 所以面积的最小值为， 法二：设，，则，， 由第一问知，， 所以， 因为，所以，展开得， 由基本不等式变形可得，解得， 所以，所以面积的最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 两角和与差的正弦、正切 课程标准 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化简求值； 2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、变形用。 1.掌握两角和与差的正弦、正切公式； 2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等； 3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用、变形用，以及角的变换的常用方法. 知识点01 两角和与差的正弦 1、公式与简记： : : 2、对两角和与差正弦公式的理解 （1）公式中的角，都是任意角； （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即； （3）注意公式的你想运用和变形运用 ①公式的逆用：如； ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用， 如；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换， 如，等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。 3、辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 【即学即练1】（24-25高一上·上海·期末）已知，且都是第二象限角，则 . 知识点02 两角和与差的正切 1、公式与简记 :. :. 注意：公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。 2、两角和与差正切公式的变形 （1） （2） 当为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1与切的乘积的和（或差）时常用变形（2） 【即学即练2】 （24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 题型01 求特殊角和与差的正弦值 【典例1】（24-25高一下·高一随堂测试）（ ） A． B． C． D． 【变式1】计算（ ） A． B． C． D． 【变式3】（（2024·山西晋城·一模）若，则（ ） A． B． C． D． 题型02 逆用两角和与差的正弦公式 【典例2】（24-25高一上·福建三明·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·宁夏银川·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（   ） A． B． C． D．1 【变式3】（（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型03 利用和差正弦公式给值求值 【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）若，且，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（2024·山西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·云南昆明·期中）角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高一下·四川宜宾·期中）设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用和差正弦公式给值求角 【典例4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖南衡阳·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ． 【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 . 题型05 辅助角公式的应用 【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·广东梅州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·北京·期中）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 题型06 求特殊角和差的正切值 【典例6】（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·全国·阶段测试） ． 题型07 和差正切公式的逆用及变形 【典例7】（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·四川成都·期中）式子的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（23-24高一下·江西·期末）的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4】（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 题型08 利用和差正切公式给值求值 【典例8】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·河南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 题型09 利用和差正切公式给值求角 【典例9】（2025高三·全国·专题练习）若，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型10 和差公式的综合应用 【典例10】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【变式1】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，则（ ） A．1 B． C． D．2 【变式3】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知为第一象限角，为第三象限角，，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）求值（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·一模）已知，则（   ） A． B． C．2 D．3 6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖南长沙·期末）计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 8．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则 A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 12．（24-25高一上·广西河池·期末）在中，若，则的值为 . 13．（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 . 14．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，，，则的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 16．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． (1)若，求点的坐标； (2)若，求． 17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 18．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知. (1)求的值； (2)若且，求的值. 19．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$