第17讲 带电粒子在立体空间中的运动 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第17讲 带电粒子在立体空间中的运动 带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。 例1 如图1所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在x轴下方有一匀强电场，电场方向竖直向上。一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v0开始运动，并以与x轴正方向成45°角的速度方向第一次进入电场，且经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直，一段时间后，粒子回到a点。 图1 (1)画出粒子从a点开始运动到再次经过a点的运动轨迹； (2)求匀强磁场磁感应强度B的大小和匀强电场电场强度E的大小； (3)若该带电粒子到达b点时，撤去竖直方向电场，同时加上垂直纸面向外的z轴正方向的电场E′＝和磁场B′＝，求经过t＝后该带电粒子的空间位置(用三维坐标表示)。 答案　(1)见解析图　(2)　 (3) 解析　(1)根据题意，分析知粒子的运动轨迹如图所示。 (2)由图可得rcos 45°＝h 粒子在磁场中做圆周运动， 由牛顿第二定律有qv0B＝ 联立可得r＝h，B＝ 粒子在电场中，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀减速直线运动，且到达b点时，竖直方向速度恰好为零，故在水平方向上有 (v0cos 45°)t1＝r＋rsin 45° 在竖直方向有qE＝ma，v0sin 45°＝at1 联立可得t1＝，E＝。 (3)根据平抛运动规律可得(v0sin 45)2＝2yOb 解得yOb＝h 粒子沿z轴做匀加速运动，故z＝··t2＝h 粒子在xOy平面内做圆周运动，由牛顿第二定律有 qvbB′＝ 其中vb＝v0cos 45°＝v0 又T＝ 联立解得r′＝＝h，ω＝＝ 故在t时刻，粒子旋转的角度为θ＝ωt＝ 因此x、y分别为x＝r′sin θ＝h y＝－yOb－r′(1－cos θ)＝－h 所以，该粒子的空间位置为。 训练1（2025·重庆·一模）如图所示直角坐标系平面内，位于点的粒子枪由粒子源和加速电场组成。粒子源C可以不断提供初速度为零、比荷（即：）为的正电粒子，粒子枪从点沿轴正方向发出粒子。区域内存在磁感应强度为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，区域内存在电场强度为、方向沿轴正方向的匀强电场，区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小仍为。不计正电粒子的重力以及它们之间的相互作用，完成下列问题： (1)当加速电场电压为时，求粒子枪射出粒子的速度； (2)调节加速电场电压，发现全部粒子第一次到达轴的位置范围为，求电压的取值范围； (3)研究其中垂直穿过轴的粒子，求该粒子最终离开磁场的位置坐标。 （粒子枪发射粒子后，不再影响粒子的运动。计算中可能用到：，，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理 得 （2）全部粒子第一次到达轴的位置范围为，粒子在I磁场中运动的半径最小为 根据几何关系有 解得 故粒子在I磁场中运动的半径最大为 故，根据牛顿第二定律 根据动能定理 联立解得 （3）垂直穿过轴粒子 根据牛顿第二定律 解得 在II区域电场中加速过程，根据动能定理 解得 在III区域运动一个半圆，根据牛顿第二定律 解得 之后将进入电场减速运动，由对称性速度变为，在I区域运动半径为 运动一个半圆穿过轴坐标为，之后重复前一过程，在II区域第二次加速，III区域运动半圆周离开磁场坐标为，进入无场区 匀速运动后，在I区域运动半径为之后在II区域第3次加速，根据动能定理 又 在II区域第4次加速后在III区域运动半径 恰好与右边界相切，在II区域第5次加速后在III区域运动半径 粒子将从右边界离开III区域磁场，由几何关系可知，粒子离开磁场的坐标为 训练2（2025·全国·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为m、带电荷量为的粒子从M点沿x轴正方向飞出，第1次经过x轴时的位置为N点，坐标为。 (1)求粒子的初速度大小； (2)如果粒子第一次经过x轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围； (3)如果粒子第一次经过x轴后能再次经过N点，求磁感应强度大小的取值及粒子连续两次经过N点的最长时间间隔。 【答案】(1) (2) (3)（其中、3、4、5）， 【详解】（1）设粒子在M点的速度为，在电场中运动的加速度为a，从M点第一次到达N点经过的时间为t，做类平抛运动由牛顿第二定律，有 沿y轴负方向做匀加速运动，有 沿x轴正方向做匀速运动，有 联立解得 （2）设粒子第一次到达N点时速度为v，方向与x轴正方向夹角为，到达N点时速度竖直分量 速度水平分量 根据平抛运动位移偏角与速度偏角的关系，有 粒子在N点速度 当磁感应强度为时，粒子在磁场中的轨迹恰与y轴相切，如图1所示，设此时轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系有 解得 则磁感应强度大小的取值范围为 （3）设粒子在磁场中的轨迹半径为时，粒子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图2所示 由几何关系，有 之后粒子还能经过点，需满足 （其中、3、4，…） 因粒子在磁场中轨迹不能到达第三象限，还需满足 解得 （其中、3、4，…） 又 可取、3、4、5 根据洛伦兹力提供向心力 可知 （其中、3、4、5） 粒子每次从磁场进入电场再进入磁场的时间间隔 设粒子在磁场中运动的周期为T，有 （其中，3，4，5） 粒子每次在磁场中运动的时间 （其中，3，4，5） 相邻两次经过N点所用的时间 （其中、3、4、5） 当时，粒子连续两次经过N点所用的时间最长，有 例2 如图2所示，在空间直角坐标系中，平行板电容器的两极板M、N都与yOz平面平行，两极板间的电场可看作匀强电场，电势差为U。将右极板N与平面P之间的空间记作Ⅰ，平面P、Q之间的空间记作Ⅱ，平面Q右侧的空间记作Ⅲ。空间Ⅰ、Ⅲ都存在匀强电场和匀强磁场，空间Ⅱ左、右边缘P、Q两平面之间的距离为L，它们之间没有电场，也没有磁场。空间Ⅰ、Ⅲ的匀强电场都沿y轴正方向，电场强度大小都与电容器两极板间的电场强度大小相等；匀强磁场的磁感应强度大小相等，Ⅰ中的磁场方向沿z轴正方向，Ⅲ中的磁场方向沿y轴正方向。某时刻一电子自电容器左极板M的中心仅在静电力作用下沿着x轴正方向做加速运动，初速度可视为0，经过时间T恰好到达右极板N上的小孔，然后继续在空间Ⅰ沿着x轴正方向运动至平面P，过平面P后又经过一段时间再次返回空间Ⅰ，直至击中空间Ⅰ中平面R上的某物体，平面R与平面xOz平行。已知电子第二次在空间Ⅰ的运动过程沿y轴负方向的位移大小为h，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力。求： 图2 (1)空间Ⅰ、Ⅲ中匀强磁场的磁感应强度大小； (2)电子离开空间Ⅲ时的速度大小； (3)电子击中平面R上物体时的动能。 答案　(1)均为　(2) (3)eU＋ 解析　(1)电子自M运动到N，由动能定理有 eU＝mv2① 电容器左、右两极板之间的距离d＝T② 电容器极板间的电场强度大小E＝③ 电子在空间Ⅰ中运动时，有eE＝evB④ 解得B＝。⑤ (2)电子在空间Ⅲ的xOz平面内做匀速圆周运动， 由洛伦兹力提供向心力得evB＝⑥ 电子在空间Ⅲ中的运动时间t＝ 电子在空间Ⅲ沿y轴负方向运动的加速度 a＝⑦ 电子离开空间Ⅲ时沿y轴负方向的速度大小vy＝at 电子离开空间Ⅲ时的速度大小v′＝⑧ 联立解得v′＝。⑨ (3)电子在空间Ⅲ时沿y轴负方向的位移大小 y1＝at2 对整个运动过程由动能定理得 eU＋eEy1＋eEh＝Ek⑪ 联立解得Ek＝(1＋π2)eU＋。⑫ 训练1（2024·甘肃·高考真题）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为（略大于），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点上。求粒子打在点的速度大小。 【答案】（1）带正电，；（2）；（3） 【详解】（1）由于粒子向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电；设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为，在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件 在加速电场中，由动能定理 联立解得，粒子的比荷为 （2）由洛伦兹力提供向心力 可得O点到P点的距离为 （3）粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力 向下的电场力 由于，且 所以通过配速法，如图所示 其中满足 则粒子在速度选择器中水平向右以速度做匀速运动的同时，竖直方向以做匀速圆周运动，当速度转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的点的要求，故此时粒子打在点的速度大小为 训练2（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。 已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律 解得氙离子在放电室内运动的加速度大小 （2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径向磁场给的洛仑兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛仑兹力提供向心力，即 ， 解得径向磁场的磁感应强度大小为 （3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设单位时间内进入放电室的电子数为，则未进入的电子数为，设单位时间内被电离的氙离子数为,则有 已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有 联立可得单位时间内被电离的氙离子数为 氙离子经电场加速，有 时间内氙离子所受到的作用力为，由动量定理有 解得 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小 则 跟踪训练 1.如图1，在空间直角坐标系O－xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场E，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： 图1 (1)电场强度E的大小； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B应多大。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子的加速度为a，沿z轴正方向看，如图所示 在界面Ⅰ、Ⅱ间，有 L＝v0t，＝at2 qE＝ma 联立方程解得E＝。 (2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴夹角为θ， 则vy＝at，tan θ＝＝1 即有θ＝45° 又v＝＝v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，运动轨迹与界面Ⅲ相切，如图所示，有qvB＝m 又根据几何关系r＋rcos 45°＝L 解得B＝。 2.如图2所示，在三维坐标系O－xyz中，0<x<d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，d<x<d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场B1(未知)，d≤x<d的空间内存在沿z轴负方向的匀强磁场(未画出)，磁感强度大小B2＝；有一荧光屏垂直x轴放置并可以沿x轴水平移动。从粒子源不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v0沿x轴正方向经过O点，经电场偏转后进入磁场，最后打在荧光屏上，已知粒子在电场空间运动过程偏转角θ＝53°，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 图2 (1)求匀强电场电场强度的大小E； (2)将荧光屏在磁场B1内沿x轴缓慢移动，屏上荧光轨迹最低点的y轴坐标值为y＝，求匀强磁场磁感强度的大小B1； (3)将荧光屏在磁场B2内沿x轴缓慢移动，求屏上荧光轨迹最下端荧光点形成时的该点坐标。 答案　(1)　(2) (3) 解析　(1)粒子在偏转电场中，沿x轴方向有d＝v0t 沿y轴方向有qE＝ma，vy＝v0tan 53°＝v0＝at 联立解得E＝。 (2)在y轴方向有y1＝t＝d 粒子做圆周运动半径r1＝y1－y＝ 由洛伦兹力提供向心力得qvyB1＝m 解得B1＝。 (3)粒子在磁场B1做圆周运动的周期为 T1＝＝ 粒子在沿x轴正方向的匀强磁场中运动时间为 t1＝＝ 则t1＝T1 故有z＝－2r1＝－d 粒子进入磁场B2的速度方向刚好在xOy平面内，与y轴负方向成37° 速度大小为v2＝＝v0 由洛伦兹力提供向心力得qv2B2＝ 解得r2＝d 根据几何关系可得 x＝d＋r2cos 37°＝d＋πd y＝d－r2(1－sin 37°)＝0 故荧光轨迹最下端荧光点形成时的坐标为。 3.如图3所示，y轴左侧区域存在沿y轴负方向的匀强电场，y轴右侧区域存在匀强磁场，第一象限磁场方向垂直纸面向外，第四象限磁场方向垂直纸面向里，且第四象限磁感应强度大小是第一象限的2倍。光滑固定竖直半圆形轨道与x轴负半轴相切于P点，在第一象限垂直x轴放置粒子吸收屏，该屏距y轴的距离为L。某时刻电荷量为q、质量为m的带正电粒子在P点获得一水平向左的初速度，经半圆轨道运动到最高点A后沿x轴正方向射出，恰好从O点进入磁场，一段时间后粒子垂直击中吸收屏。已知电场强度大小为E，粒子重力不计。 图3 (1)求粒子从A点射出时的速度大小； (2)求粒子在P点获得的初速度大小； (3)求粒子击中吸收屏的纵坐标的可能值； (4)若在第一、四象限加上沿z轴负方向的匀强电场，场强大小也为E，且磁场的磁感应强度取最小值，求粒子进入第一象限时的z轴坐标。 答案　(1)　(2) (3)y＝L(n＝0，1，2，…)　(4)－ 解析　(1)粒子由A到O做类平抛运动， 则有L＝vAt，＝，qE＝ma 联立解得vA＝。 (2)对粒子由P到A由动能定理得 －qE·＝mv－mv 解得vP＝。 (3)粒子到达O点时的竖直分速度为 vOy＝at＝vA＝ 进入磁场时的速度为v＝vA＝ 速度方向与x轴正方向成45°角向右下；设粒子在第四象限做匀速圆周运动的半径为r1，在第一象限做匀速圆周运动的半径为r2，第一象限磁感应强度大小为B，第四象限磁感应强度大小为2B，则有 qv·2B＝ qvB＝ 解得r2＝2r1＝ 根据粒子在磁场中做圆周运动的周期性得 L＝n(r1＋r2)＋r1＋(n＝0，1，2，…) 粒子击中吸收屏的纵坐标y＝r2－r2 联立解得y＝L(n＝0，1，2，…)。 (4)由(3)得B最小时，有r2＝，r1＝ 粒子在第四象限做匀速圆周运动的周期为 T＝＝ 粒子经t＝进入第一象限，该段时间内粒子沿z轴负方向做匀加速直线运动，所以粒子进入第一象限时的z轴坐标为z＝－at2 qE＝ma 解得z＝－。 4.如图4所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为(－d，0，0)的M点发射一质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧。其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足＝，不计粒子的重力。求： 图4 (1)粒子在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r1； (2)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标； (4)粒子第2、第3两次经过yOz平面的位置间的距离。 答案　(1)d　(2)2v0 (3)　(4)d 解析　(1)根据几何关系有r1sin 60 °＝d 解得r1＝d。 (2)粒子第1次经过yOz平面右侧，沿y轴负方向做匀加速直线运动，在xOz平面内做匀速圆周运动， 根据运动的合成有 v＝ v1＝a，qE＝ma 根据洛伦兹力提供向心力有 qv0B＝m，T＝ 解得v＝2v0。 (3)在yOz平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍然为r1，粒子第2次经过yOz平面时的坐标 ，Δy＝a 由于＝ 解得Δy＝πd 粒子第2次经过yOz平面时的坐标 。 (4)粒子再次进入yOz平面左侧，速度大小变为2v0， 则有q·2v0B＝m 根据几何关系，粒子第2、第3两次经过yOz平面的交点间的距离为l＝2r2cos 60° 解得l＝d。 5.（2023·辽宁·高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 （1）求金属板间电势差U； （2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； （3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）设板间距离为，则板长为，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为 根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度 解得 设粒子在平板间的运动时间为，根据类平抛运动的运动规律得 ， 联立解得 （2）设粒子出电场时与水平方向夹角为，则有 故 则出电场时粒子的速度为 粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需的向心力得 解得 已知圆形磁场区域半径为，故 粒子沿方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为，由几何关系可得 故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为或；    （3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为，根据几何关系可知，带电粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M的位置如图所示： 6.（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。 （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求： ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 【答案】（1）L；（2）①；②；（3）， 【详解】（1）对a离子根据动能定理得 a离子在匀强磁场中做匀速圆周运动 a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置，联立解得 （2）①要使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，只能经电压为U的电场加速后再经第一象限匀强磁场偏转一次打在P板上方任意处，则 结合（1）中分析得 即 即 ②b离子经过电压为U的电场加速后在磁场中第一次偏转打在x轴上的位置坐标为 代入得 故可知b离子能从栅极板（坐标范围为）任意位置经电压为的电场减速射入虚线下方的磁场，此时 b离子先经过电压为U的电场加速再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后再经过电压为的电场减速，因为根据动能定理得 同时有 ， 当时，b离子从栅极板左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离为 当时，b离子从栅极板右端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离为 故b离子落在喷镀板P下表面的区域长度为 （3）要求a离子落在喷镀板中点Q，由（1）可知 故可得 则b离子从处经过栅极板，若b离子减速一次恰好打在P板下方中央处，设，则同理可知 联立解得 则可得 当减速n次 联立得 当减速n次恰好打在P板下方中央处，可得 即 解得 即，n取整数，故可得，故可得 7.（2023·广东广州·二模）如图，“凹”形区域，各边长已在图中标示，L为已知量。在该区域内有正交的匀强电场和匀强磁场，与ab平行的虚线为电场的等势线；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。容器A中质量为m、带电量为e的电子经小孔S1不断飘入加速电场，其初速度几乎为0，电子经加速电场加速后由小孔S2离开，接着从O点进入场区，沿Oc 做直线运动经c点离开场区。若仅撤去磁场，电子从b点离开场区。 （1）求加速电场的电压和“凹”形区域的电场强度； （2）若仅撤去“凹”形区域中电场，求电子离开“凹”形区域时的位置与O点的距离； （3）若撤去“凹”形区域中电场，改变加速电场的电压，使得电子在“凹”形区域内的运动时间均相等，求加速电场电压的取值范围。 【答案】（1），，沿着方向；（2）；（3）见解析 【详解】（1）设加速电场的电压为，电子经加速后后获得的速度为，凹形区域的电场强度为，根据动能定理 ① 电子沿直线运动，有 ② 仅撤去磁场，电子从点离开场区，设电子在场区的运动时间为，则有 ③ ④ 联立①②③④可得 ⑤ ⑥ 方向沿着方向； （2）若仅撤去电场，则电子在磁场中做匀速圆周运动，设电子的轨道半径为，则有 ⑦ 联立②③④⑦可得 ⑧ 所以电子从点离开场区，距离点的距离为； （3）依题意，要使电子在凹形区域内的运动时间均相等，则电子必须在场区内运动半周从边离开，分析可知，电子从段离开场区是满足要求的；要从段离开场区必须具备两个几何约束条件，第一、电子不能从离开场区；第二、电子不能进入区域。设加速电场的电势差为时，电子获得的速度为，其运动的轨道半径为，电子从段离开场区，依题意 ⑩ 设加速电场的电势差为时，电子获得的速度为，其运动的轨道半径为，电子从段离开场区，依题意必须满足：第一、电子不能从离开场区，电子运动轨迹如图Ⅰ，圆心为,设轨道半径为；第二、电子不能进入区域，电子运动轨迹如图Ⅱ，圆心为，设轨迹半径为，依题意 ⑪ 根据几何关系有 ⑫ 联立①⑦⑩⑪⑫并分别用、代替，、代替，、代替，求得 8.（2024·天津和平·一模）如图所示，在直角坐标系的第一象限，有方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场，在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴下方放置一长度为L的绝缘薄板PQ，挡板平面与x轴垂直且上端紧贴x轴。一质量为m，电荷量为的粒子从y轴上一点以大小为的速度水平向右射出，恰好从薄板上边缘P点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，之后粒子恰好未与薄板碰撞，不计粒子重力，求： （1）粒子在y轴上的发射位置到P点的水平距离； （2）匀强磁场磁感应强度B的大小： （3）粒子在薄板右侧运动的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意可得粒子在P点速度方向与轴的夹角为，可得粒子在P点的竖直分速度 粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向根据牛顿第二定律有 而根据速度与时间的关系可得 联立以上各式可得 （2）粒子在点的速度 粒子在磁场中做圆周运动，有 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示 根据几何关系可得 联立解得 （3）根据几何关系可知，粒子在挡板右侧磁场中运动的时间 而粒子做圆周运动的周期 解得 9.（2025·广东·模拟预测）如图所示，足够大的挡板固定在平面直角坐标系xOy中，挡板与y轴负方向的夹角，分别交x、y轴于P、Q点，OP长度为l，挡板上有一小孔K，KP的长度为。在区域内存在着垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限和第四象限中除之外的区域内在挡板两侧分别存在着平行于y轴的匀强电场，电场强度大小均为E，方向如图所示。现将质量为m、电荷量为的粒子A由点释放，该粒子恰能垂直挡板穿过小孔K。已知挡板的厚度不计，粒子可以沿任意角度穿过小孔K，碰撞挡板的粒子会被挡板吸收，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。 (1)求区域内匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)现将质量也为m、电荷量也为的粒子B由第四象限释放，该粒子能以最小速度从小孔K穿过，求粒子B释放点的坐标； (3)若上述中两粒子A、B穿过小孔K后，分别打在挡板上的M、N点，求M、N两点之间的距离d。 【答案】(1)，方向垂直于纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）根据几何知识，粒子A垂直穿过小孔K时，粒子A由OP中点射入第一象限，此时磁场中做圆周运动的半径 根据动能定理可得 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 区域内匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外； （2）粒子B从小孔K穿过时，圆周运动的最小半径 此时粒子B的速度最小，根据 解得 根据动能定理可得 解得粒子B在匀强电场中运动的竖直位移 粒子B释放点的横坐标 则粒子B释放点的坐标； （3）两粒子A、B在匀强电场中运动的加速度大小为a，则有 解得 粒子A穿过小孔K后回到挡板时，有 解得 粒子A穿过小孔K后沿挡板方向的位移 解得 粒子B穿过小孔K后回到挡板时，有 解得 粒子B穿过小孔K后沿挡板方向的位移 解得 则M、N两点之间的距离 10.（2024·湖北·模拟预测）如图所示，在的区域中，存在沿轴正方向、场强大小为的匀强电场，电场的周围分布着垂直于纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为电量为的带正电粒子从中点无初速度进入电场（不计粒子重力），粒子从上边界垂直于第一次离开电场后，垂直于再次进入电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)粒子第二次在电场中运动的位移大小； (3)粒子自点运动到第一次从边进入电场所需的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第一次离开电场后速度为，根据动能定理可得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则和圆的特点可知粒子在磁场中运动轨迹的圆心为N，所以粒子轨迹半径为；粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，则 解得 （2）粒子第二次进入电场做类平抛运动，设粒子从边离开磁场，则水平方向有 解得 在电场方向有 假设成立，则粒子第二次在电场中运动的位移大小为 （3）设带电粒子从边离开时，速度方向与y轴正向的夹角为 ， 到第一次从边进入电场，如图所示，设圆心为B，圆心在直线QN上的投影为C，有 故粒子在磁场运动的圆心角为，则全程时间为 11.（2024·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子的运动。如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（）的带正电粒子从MN上的A点射入电场，从MN上的C点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。粒子射入电场时的速度方向与MN的夹角，速度大小为，不计带电粒子受到的重力。 (1)求A、C两点间的距离L； (2)求电场强度与磁感应强度大小之比； (3)若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C点，求电场强度的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带正电粒子在电场中做类斜抛运动，则水平方向有 竖直方向 由牛顿第二定律 联立可得，A、C两点间的距离为 （2）如图 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 联立可得电场强度与磁感应强度大小之比为 （3）如图 粒子第一次从磁场返回电场时经过C点，此时电场强度最小，则电场中从A点到D点，有 由牛顿第二定律 粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径不变，则有 由几何关系 联立可得 12.（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，带电量为q的粒子由第Ⅱ象限中的点，以速度平行于x轴正方向射出，恰好由坐标原点O射入磁场。若不计粒子重力，求： (1)电场强度E的大小； (2)若粒子经过磁场偏转后，回到电场中又恰好能经过P点，求磁感应强度的大小； (3)粒子从P点出发回到P所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上有 ， 联立解得 （2）根据题意，设粒子进入磁场时速度与轴夹角为，则有 解得 则粒子进入磁场时的速度为 根据粒子在磁场中的运动规律及对称性，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系有 解得 又有 联立解得 （3）根据上述分析可知，粒子在电场中的运动时间为 粒子在磁场中的运动时间为 则粒子从P点出发回到P所用时间 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 带电粒子在立体空间中的运动 带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。 例1 如图1所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在x轴下方有一匀强电场，电场方向竖直向上。一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v0开始运动，并以与x轴正方向成45°角的速度方向第一次进入电场，且经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直，一段时间后，粒子回到a点。 图1 (1)画出粒子从a点开始运动到再次经过a点的运动轨迹； (2)求匀强磁场磁感应强度B的大小和匀强电场电场强度E的大小； (3)若该带电粒子到达b点时，撤去竖直方向电场，同时加上垂直纸面向外的z轴正方向的电场E′＝和磁场B′＝，求经过t＝后该带电粒子的空间位置(用三维坐标表示)。 训练1（2025·重庆·一模）如图所示直角坐标系平面内，位于点的粒子枪由粒子源和加速电场组成。粒子源C可以不断提供初速度为零、比荷（即：）为的正电粒子，粒子枪从点沿轴正方向发出粒子。区域内存在磁感应强度为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，区域内存在电场强度为、方向沿轴正方向的匀强电场，区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小仍为。不计正电粒子的重力以及它们之间的相互作用，完成下列问题： (1)当加速电场电压为时，求粒子枪射出粒子的速度； (2)调节加速电场电压，发现全部粒子第一次到达轴的位置范围为，求电压的取值范围； (3)研究其中垂直穿过轴的粒子，求该粒子最终离开磁场的位置坐标。 （粒子枪发射粒子后，不再影响粒子的运动。计算中可能用到：，，，，，） 训练2（2025·全国·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为m、带电荷量为的粒子从M点沿x轴正方向飞出，第1次经过x轴时的位置为N点，坐标为。 (1)求粒子的初速度大小； (2)如果粒子第一次经过x轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围； (3)如果粒子第一次经过x轴后能再次经过N点，求磁感应强度大小的取值及粒子连续两次经过N点的最长时间间隔。 例2 如图2所示，在空间直角坐标系中，平行板电容器的两极板M、N都与yOz平面平行，两极板间的电场可看作匀强电场，电势差为U。将右极板N与平面P之间的空间记作Ⅰ，平面P、Q之间的空间记作Ⅱ，平面Q右侧的空间记作Ⅲ。空间Ⅰ、Ⅲ都存在匀强电场和匀强磁场，空间Ⅱ左、右边缘P、Q两平面之间的距离为L，它们之间没有电场，也没有磁场。空间Ⅰ、Ⅲ的匀强电场都沿y轴正方向，电场强度大小都与电容器两极板间的电场强度大小相等；匀强磁场的磁感应强度大小相等，Ⅰ中的磁场方向沿z轴正方向，Ⅲ中的磁场方向沿y轴正方向。某时刻一电子自电容器左极板M的中心仅在静电力作用下沿着x轴正方向做加速运动，初速度可视为0，经过时间T恰好到达右极板N上的小孔，然后继续在空间Ⅰ沿着x轴正方向运动至平面P，过平面P后又经过一段时间再次返回空间Ⅰ，直至击中空间Ⅰ中平面R上的某物体，平面R与平面xOz平行。已知电子第二次在空间Ⅰ的运动过程沿y轴负方向的位移大小为h，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力。求： 图2 (1)空间Ⅰ、Ⅲ中匀强磁场的磁感应强度大小； (2)电子离开空间Ⅲ时的速度大小； (3)电子击中平面R上物体时的动能。 训练1（2024·甘肃·高考真题）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为（略大于），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点上。求粒子打在点的速度大小。 训练2（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。 已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 跟踪训练 1.如图1，在空间直角坐标系O－xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场E，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： 图1 (1)电场强度E的大小； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B应多大。 2.如图2所示，在三维坐标系O－xyz中，0<x<d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，d<x<d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场B1(未知)，d≤x<d的空间内存在沿z轴负方向的匀强磁场(未画出)，磁感强度大小B2＝；有一荧光屏垂直x轴放置并可以沿x轴水平移动。从粒子源不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v0沿x轴正方向经过O点，经电场偏转后进入磁场，最后打在荧光屏上，已知粒子在电场空间运动过程偏转角θ＝53°，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 图2 (1)求匀强电场电场强度的大小E； (2)将荧光屏在磁场B1内沿x轴缓慢移动，屏上荧光轨迹最低点的y轴坐标值为y＝，求匀强磁场磁感强度的大小B1； (3)将荧光屏在磁场B2内沿x轴缓慢移动，求屏上荧光轨迹最下端荧光点形成时的该点坐标。 3.如图3所示，y轴左侧区域存在沿y轴负方向的匀强电场，y轴右侧区域存在匀强磁场，第一象限磁场方向垂直纸面向外，第四象限磁场方向垂直纸面向里，且第四象限磁感应强度大小是第一象限的2倍。光滑固定竖直半圆形轨道与x轴负半轴相切于P点，在第一象限垂直x轴放置粒子吸收屏，该屏距y轴的距离为L。某时刻电荷量为q、质量为m的带正电粒子在P点获得一水平向左的初速度，经半圆轨道运动到最高点A后沿x轴正方向射出，恰好从O点进入磁场，一段时间后粒子垂直击中吸收屏。已知电场强度大小为E，粒子重力不计。 图3 (1)求粒子从A点射出时的速度大小； (2)求粒子在P点获得的初速度大小； (3)求粒子击中吸收屏的纵坐标的可能值； (4)若在第一、四象限加上沿z轴负方向的匀强电场，场强大小也为E，且磁场的磁感应强度取最小值，求粒子进入第一象限时的z轴坐标。 4.如图4所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为(－d，0，0)的M点发射一质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧。其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足＝，不计粒子的重力。求： 图4 (1)粒子在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r1； (2)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标； (4)粒子第2、第3两次经过yOz平面的位置间的距离。 5.（2023·辽宁·高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 （1）求金属板间电势差U； （2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； （3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 6.（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。 （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求： ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 7.（2023·广东广州·二模）如图，“凹”形区域，各边长已在图中标示，L为已知量。在该区域内有正交的匀强电场和匀强磁场，与ab平行的虚线为电场的等势线；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。容器A中质量为m、带电量为e的电子经小孔S1不断飘入加速电场，其初速度几乎为0，电子经加速电场加速后由小孔S2离开，接着从O点进入场区，沿Oc 做直线运动经c点离开场区。若仅撤去磁场，电子从b点离开场区。 （1）求加速电场的电压和“凹”形区域的电场强度； （2）若仅撤去“凹”形区域中电场，求电子离开“凹”形区域时的位置与O点的距离； （3）若撤去“凹”形区域中电场，改变加速电场的电压，使得电子在“凹”形区域内的运动时间均相等，求加速电场电压的取值范围。 8.（2024·天津和平·一模）如图所示，在直角坐标系的第一象限，有方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场，在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴下方放置一长度为L的绝缘薄板PQ，挡板平面与x轴垂直且上端紧贴x轴。一质量为m，电荷量为的粒子从y轴上一点以大小为的速度水平向右射出，恰好从薄板上边缘P点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，之后粒子恰好未与薄板碰撞，不计粒子重力，求： （1）粒子在y轴上的发射位置到P点的水平距离； （2）匀强磁场磁感应强度B的大小： （3）粒子在薄板右侧运动的时间t。 9.（2025·广东·模拟预测）如图所示，足够大的挡板固定在平面直角坐标系xOy中，挡板与y轴负方向的夹角，分别交x、y轴于P、Q点，OP长度为l，挡板上有一小孔K，KP的长度为。在区域内存在着垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限和第四象限中除之外的区域内在挡板两侧分别存在着平行于y轴的匀强电场，电场强度大小均为E，方向如图所示。现将质量为m、电荷量为的粒子A由点释放，该粒子恰能垂直挡板穿过小孔K。已知挡板的厚度不计，粒子可以沿任意角度穿过小孔K，碰撞挡板的粒子会被挡板吸收，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。 (1)求区域内匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)现将质量也为m、电荷量也为的粒子B由第四象限释放，该粒子能以最小速度从小孔K穿过，求粒子B释放点的坐标； (3)若上述中两粒子A、B穿过小孔K后，分别打在挡板上的M、N点，求M、N两点之间的距离d。 10.（2024·湖北·模拟预测）如图所示，在的区域中，存在沿轴正方向、场强大小为的匀强电场，电场的周围分布着垂直于纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为电量为的带正电粒子从中点无初速度进入电场（不计粒子重力），粒子从上边界垂直于第一次离开电场后，垂直于再次进入电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)粒子第二次在电场中运动的位移大小； (3)粒子自点运动到第一次从边进入电场所需的时间。 11.（2024·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子的运动。如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（）的带正电粒子从MN上的A点射入电场，从MN上的C点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。粒子射入电场时的速度方向与MN的夹角，速度大小为，不计带电粒子受到的重力。 (1)求A、C两点间的距离L； (2)求电场强度与磁感应强度大小之比； (3)若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C点，求电场强度的最小值。 12.（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，带电量为q的粒子由第Ⅱ象限中的点，以速度平行于x轴正方向射出，恰好由坐标原点O射入磁场。若不计粒子重力，求： (1)电场强度E的大小； (2)若粒子经过磁场偏转后，回到电场中又恰好能经过P点，求磁感应强度的大小； (3)粒子从P点出发回到P所用时间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$