第16讲 带电粒子在磁场中运动的动态圆模型 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第16讲　带电粒子在磁场中运动的动态圆模型 考点一 定圆旋转模型 旋转圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，半径一定，速度方向不同 应用方法 将半径为r＝的圆绕入射点进行旋转，从而找出临界条件 旋转圆的圆心在以入射点P为圆心、半径r＝的圆上 例1 (多选)如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则(　　) 图1 A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.从x轴上射出的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2 D.沿平行于x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 训练1（23-24高三上·上海崇明·阶段练习）一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B。 （2）射出点的坐标。    训练2（24-25高三上·广西·阶段练习）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（　　） A． B． C． D． 考点二 动态放缩模型 放缩圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 应用方法 以入射点P为定点，轨迹圆的圆心位于粒子处于入射点时所受洛伦兹力所在的射线PP′上，将半径放缩作轨迹圆，从而找出临界条件 例2 (多选)如图2所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(　　) 图2 A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0 训练1（2024·重庆·模拟预测）如图所示，坐标平面内存在一有界匀强磁场区域，磁场边界与轴平行，磁感应强度大小为，方向垂直坐标平面向里。一带正电粒子以初速度从点沿轴正向射入磁场，粒子的比荷为，已知粒子过轴时速度与轴正向夹角为，交点为，粒子重力不计。求： (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)之间的距离。 训练2（2024·吉林长春·一模）医院中X光检测设备的核心器件为X射线管。如图所示，在X射线管中，电子（质量为m、电荷量为-e，初速度可以忽略）经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中。磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节。电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置就会辐射出不同能量的X射线。已知水平放置的目标靶长为2L，长为L，不计电子重力、电子间相互作用力及电子高速运行中辐射的能量。 (1)求电子进入磁场的速度大小； (2)调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶上，求电子在磁场中运动的时间； (3)为使辐射出的X射线能量范围最大，求磁感应强度的大小范围。 考点三　定圆平移模型 平移圆 适用条件 粒子的入射点位置不同但在同一直线上，速度大小、方向均一定 应用方法 轨迹圆的半径相同，将半径为r＝的圆沿入射点所在的直线进行平移，从而找到临界条件 轨迹圆的所有圆心在一条直线上 例3 (多选)如图3所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg、电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO方向，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力和它们之间的相互作用力，则(　　) 图3 A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m B.C点有粒子射出 C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m D.磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射 训练1（2024·四川内江·三模）（多选）如图，在等腰梯形abcd区域内（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长，。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为（　　） A． B． C． D． 训练2（2024·海南·模拟预测）（多选）如图所示，边长为的正方形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面（所在平面）向外。边中点有一粒子源，可平行纸面向磁场内任意方向发射质量为、电荷量为的带电粒子，粒子速度大小均为，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。已知垂直边射入的粒子恰好从边中点射出磁场，下列说法中正确的是（ ） A．粒子带负电 B．磁场的磁感应强度大小为 C．从点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 D．有粒子从点射出磁场 考点四 磁聚焦与磁发散模型 磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 例4 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制造上，使芯片技术得到飞速发展。如图4所示，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) 图4 A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r 训练1（2023·全国·模拟预测）（多选）如图所示是一个圆心在O点、半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。有一个粒子源从圆上的A点沿各个方向不停地发射出不同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径为r，下列说法正确的（　　） A．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若，则粒子的出射方向均垂直OA C．若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周长 D．若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是三分之一个圆周长 训练2（2024·江西·二模）（多选）如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，质量为、电荷量为的带电粒子从点沿平行于直径的方向射入磁场，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为与间的夹角为，不计粒子重力。则（ ） A．粒子运动速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的路程为 D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于 作业练习 1.如图1所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在圆周上的P点有一个粒子源，可以在0≤θ≤60°的范围内垂直磁场方向发射速度大小相等的同种粒子。已知粒子质量为m，带电量为＋q，速度大小为v0，以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ方向射出磁场区域。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(　　) 图1 A.粒子轨迹不可能通过O点 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.粒子射出磁场边界时的速度方向不可能相同 D.粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上 2.(多选)一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图2中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(　　) 图2 A.从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B.从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C.粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D.粒子在磁场中的最长运动时间不大于 3.如图3所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) 图3 A. B. C. D. 4.(多选)如图4所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac边的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是(　　) 图4 A.粒子的入射速度为 B.粒子的入射速度为 C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 5.(多选)如图5所示，边长为L的正三角形区域内有匀强磁场，其磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。一质量为m、带电荷量为q的粒子，以一定的速度从a点沿垂直于bc边的方向进入磁场，则(　　) 图5 A.从ab边射出的粒子，在磁场中运动的时间为 B.入射速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短 C.入射速度越小，粒子在磁场中运动的时间越短 D.从ab边射出的粒子中，其速度最大为 6.(多选)如图6所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　) 图6 A.从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3∶2 B.粒子运动的速度大小为 C.粒子在磁场中运动的最长时间为 D.磁场区域中有粒子通过的面积为d2 7.(多选)如图7，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中(磁场空间足够大、图中未画出)，磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°时发射的粒子恰好经过N点，ON＝a，ON⊥MN。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则(　　) 图7 A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a C.粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的 D.挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a 8.(多选)如图8所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) 图8 A.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 B.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 C.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 D.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 9.（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面（未画出）。一群比荷为的负离子以相同速率v0（较大）由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）（　　） A．离子飞出磁场时的动能一定相等 B．离子在磁场中运动半径一定相等 C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大 10.（2024·青海·二模）如图所示，在半径为R、圆心为O的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为、质量为m的粒子（不计所受重力）从O点沿纸面各个方向射入匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是（　　）    A．粒子射入磁场时的最大速度为 B．粒子射入磁场时的最大速度为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 11.（2023·全国乙卷·高考真题）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）      A． B． C． D． 12.（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 13.（2024·福建漳州·一模）如图，在坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿轴负方向的匀强电场，场强大小为。一质量为电荷量为的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴正方向成角的方向射入磁场，恰好垂直于轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)粒子在磁场中的运动半径； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子从点射入到第二次到达轴的时间t。 14.（2023·河北·高考真题）如图1，真空中两金属板M、N平行放置，板间电压U连续可调，在金属板N的中心C处开有一小孔。F、G、H为正三角形CDE各边中点，DE与金属板平行。三角形FGH区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带电粒子从紧邻M板的P点由静止释放沿CG方向进入磁场，一段时间后沿的角平分线方向从E点离开。已知正三角形CDE的边长为a，粒子质量为m、电荷量大小为q，粒子重力不计。 （1）求板间电压U的大小； （2）若磁场区域如图2，磁感应强度不变。调整两板间电压大小，将该粒子从P点由静止释放，仍能沿的角平分线方向从E点离开，求粒子从C点运动到E点的时间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲　带电粒子在磁场中运动的动态圆模型 考点一 定圆旋转模型 旋转圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，半径一定，速度方向不同 应用方法 将半径为r＝的圆绕入射点进行旋转，从而找出临界条件 旋转圆的圆心在以入射点P为圆心、半径r＝的圆上 例1 (多选)如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则(　　) 图1 A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.从x轴上射出的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2 D.沿平行于x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 答案　AC 解析　粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其轨迹1，如图所示，可知SP为直径，由几何关系得(2r)2＝d2＋(d)2，得到r＝d，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，则v＝，故A正确；从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，运动周期T＝，由几何知识可得，在磁场中的运动时间t＝T＝，故B错误；运动时间最长的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，则t1＝T，运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，则t2＝T，所以＝，故C正确；沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点O处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。 训练1（23-24高三上·上海崇明·阶段练习）一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B。 （2）射出点的坐标。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由几何关系得粒子做圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）射出点的纵坐标为 射出点的坐标为（0，） 训练2（24-25高三上·广西·阶段练习）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知粒子恰好能从边离开磁场，可知轨迹与边相切，作出轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 故选A。 考点二 动态放缩模型 放缩圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 应用方法 以入射点P为定点，轨迹圆的圆心位于粒子处于入射点时所受洛伦兹力所在的射线PP′上，将半径放缩作轨迹圆，从而找出临界条件 例2 (多选)如图2所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(　　) 图2 A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0 答案　AD 解析　由题意可知带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则带电粒子的运动周期为T＝2t0。随粒子速度逐渐增大，运动周期不变，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA，不可能从四个顶点射出，故A项正确；从ab边射出的粒子在磁场中经历的时间小于半周期t0，从bc边射出的粒子在磁场中经历的时间小于T＝<t0，所有从cd边射出的粒子轨迹所对的圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C项错误，D项正确。 训练1（2024·重庆·模拟预测）如图所示，坐标平面内存在一有界匀强磁场区域，磁场边界与轴平行，磁感应强度大小为，方向垂直坐标平面向里。一带正电粒子以初速度从点沿轴正向射入磁场，粒子的比荷为，已知粒子过轴时速度与轴正向夹角为，交点为，粒子重力不计。求： (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)之间的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，令粒子做匀速圆周运动的圆心为 由几何关系得 解得 训练2（2024·吉林长春·一模）医院中X光检测设备的核心器件为X射线管。如图所示，在X射线管中，电子（质量为m、电荷量为-e，初速度可以忽略）经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中。磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节。电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置就会辐射出不同能量的X射线。已知水平放置的目标靶长为2L，长为L，不计电子重力、电子间相互作用力及电子高速运行中辐射的能量。 (1)求电子进入磁场的速度大小； (2)调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶上，求电子在磁场中运动的时间； (3)为使辐射出的X射线能量范围最大，求磁感应强度的大小范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）设电子垂直打在中间时，做匀速圆周运动的半径为，由几何关系得 对应的圆心角为，所以 联立以上各式解得 （3）电子在磁场中运动有 解得 设打在点时的运动半径为，依几何关系可知 联立以上各式解得磁感应强度最大值为 同理，打在N点的半径为，依几何关系可知 联立以上各式解得磁感应强度最小值为 综上所述，磁感应强度的取值范围为 （把“≤”写成“<”也给分） （注：用其他方法得到正确结果可按步骤酌情给分） 考点三　定圆平移模型 平移圆 适用条件 粒子的入射点位置不同但在同一直线上，速度大小、方向均一定 应用方法 轨迹圆的半径相同，将半径为r＝的圆沿入射点所在的直线进行平移，从而找到临界条件 轨迹圆的所有圆心在一条直线上 例3 (多选)如图3所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg、电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO方向，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力和它们之间的相互作用力，则(　　) 图3 A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m B.C点有粒子射出 C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m D.磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射 答案　ACD 解析　粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示，由图可知，能从AC边射出的粒子长度为＝r－r＝(－1) m，故A正确；粒子不可能到达C点，故B错误；在AB边界上有粒子射出的长度为BF＝r＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC相切，由图可知从底边距B点(－1) m处入射，故D正确。 训练1（2024·四川内江·三模）（多选）如图，在等腰梯形abcd区域内（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长，。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】粒子不从bc边射出，其临界分别是从b点和c点射出，其临界轨迹如图所示 当粒子从c点飞出时，由几何关系有 若粒子从b点飞出时，有几何关系有 粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，有 整理有 所以综上所述，有 或 整理有 或 故选AC。 训练2（2024·海南·模拟预测）（多选）如图所示，边长为的正方形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面（所在平面）向外。边中点有一粒子源，可平行纸面向磁场内任意方向发射质量为、电荷量为的带电粒子，粒子速度大小均为，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。已知垂直边射入的粒子恰好从边中点射出磁场，下列说法中正确的是（ ） A．粒子带负电 B．磁场的磁感应强度大小为 C．从点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 D．有粒子从点射出磁场 【答案】BC 【详解】A．根据左手定则可知粒子带正电，故A错误； B．洛伦兹力提供向心力可得 垂直边射入的粒子恰好从边中点射出磁场，则运动半径为 联立解得磁场的磁感应强度为 故B正确； C．从点射出磁场的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 则从点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为 故C正确； D．离子的运动半径为 之间距离大于，即大于轨迹直径，所以没有粒子从点射出磁场，故D错误。 故选BC。 考点四 磁聚焦与磁发散模型 磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 例4 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制造上，使芯片技术得到飞速发展。如图4所示，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) 图4 A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r 答案　BC 解析　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝，联立可得B1＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；磁场区域的最小面积为Smin＝－＝2(π－2)r，C正确，D错误。 训练1（2023·全国·模拟预测）（多选）如图所示是一个圆心在O点、半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。有一个粒子源从圆上的A点沿各个方向不停地发射出不同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径为r，下列说法正确的（　　） A．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若，则粒子的出射方向均垂直OA C．若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周长 D．若，粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是三分之一个圆周长 【答案】AB 【详解】A. 若r=2R，粒子在磁场中运动的时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图， 因为r=2R，圆心角α=60°，粒子在磁场中运动的最长时间 故A正确； B. 若，即粒子的轨迹半径等于圆形磁场的半径，轨迹“磁聚焦”原理逆向分析可知，沿着不同方向射入磁场的粒子，出磁场时的速度方向相同，均垂直于OA方向，如图所示，故B正确； C. 若，粒子沿着各个方向射入磁场，能打在整个圆周上，故C错误； D. 若，粒子打到圆周上的最远位置距离入射点为 s=2r=R 该段圆弧所对的圆心角为60°，即能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长，选项D错误。 故选AB。 训练2（2024·江西·二模）（多选）如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，质量为、电荷量为的带电粒子从点沿平行于直径的方向射入磁场，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为与间的夹角为，不计粒子重力。则（ ） A．粒子运动速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的路程为 D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于 【答案】AC 【详解】A．根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于圆形区域半径为，则点到的距离为，设粒子做圆周运动的半径为，根据几何关系有 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 A正确； BD．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹为半个圆周，粒子圆周运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间为 粒子出磁场时速度方向平行于，BD错误； C．粒子在磁场中运动的路程为 C正确。 故选AC。 作业练习 1.如图1所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在圆周上的P点有一个粒子源，可以在0≤θ≤60°的范围内垂直磁场方向发射速度大小相等的同种粒子。已知粒子质量为m，带电量为＋q，速度大小为v0，以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ方向射出磁场区域。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(　　) 图1 A.粒子轨迹不可能通过O点 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.粒子射出磁场边界时的速度方向不可能相同 D.粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上 答案　B 解析　如图，画出以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ方向射出磁场区域时的轨迹。由几何关系可得粒子运动半径为R，且刚好过O点。由qv0B＝m得B＝，当θ为锐角时，易证四边形O′P′OP为菱形，P′O∥O′P，故粒子射出磁场边界时速度方向均平行，即粒子射出磁场边界时的速度方向相同，故A、C错误；分析得当θ＝60°时，粒子在磁场中运动的时间最长，根据几何关系可知此时圆心角为θ′＝150°，由t＝，得t＝，故B正确；沿半径方向入射的粒子出射点在四分之一圆周处，以θ＝60°角射入磁场的粒子偏转最大，此时出射点位于Q点左边下方四分之一圆上，因此整个出射范围不到四分之一圆周，故D错误。 2.(多选)一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图2中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(　　) 图2 A.从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B.从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C.粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D.粒子在磁场中的最长运动时间不大于 答案　AD 解析　画出带电粒子在磁场中运动的轨迹图，如图所示，当粒子从ab边射出时，运动轨迹都是半圆，运动时间都相等，为；当粒子从bc边射出时，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，故A正确，B、C错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于，故D正确。 3.如图3所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) 图3 A. B. C. D. 答案　C 解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故C正确。 4.(多选)如图4所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac边的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是(　　) 图4 A.粒子的入射速度为 B.粒子的入射速度为 C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 答案　AC 解析　粒子进入磁场后向上做匀速圆周运动，洛伦力提供向心力，有r＝，因bc边只有一半区城有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，则粒子的入射速度v＝，A正确，B错误；粒子在磁场中运动的最长轨迹为半圆，长度为s＝πr＝，C正确；与bc边相切恰从bc边射出的粒子的对应的圆心角最大为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝，D项错误。 5.(多选)如图5所示，边长为L的正三角形区域内有匀强磁场，其磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。一质量为m、带电荷量为q的粒子，以一定的速度从a点沿垂直于bc边的方向进入磁场，则(　　) 图5 A.从ab边射出的粒子，在磁场中运动的时间为 B.入射速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短 C.入射速度越小，粒子在磁场中运动的时间越短 D.从ab边射出的粒子中，其速度最大为 答案　AD 解析　从ab边射出的粒子，其运动轨迹所对应的圆心角α为60°，运动时间为t＝T＝，选项A正确；不论粒子速度大小为多少，粒子只要从ab边射出，其运动时间一定相等，选项B、C错误；从b点射出的粒子对应的速度最大，根据几何关系可知轨迹半径r＝L，由牛顿第二定律得qvmB＝m，联立解得vm＝，选项D正确。 6.(多选)如图6所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　) 图6 A.从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3∶2 B.粒子运动的速度大小为 C.粒子在磁场中运动的最长时间为 D.磁场区域中有粒子通过的面积为d2 答案　ABD 解析　如图甲所示，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得粒子运动的速度大小为v＝，选项B正确；由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，选项C错误；由图甲可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为d2＋πd2＝d2，选项D正确；由图乙可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为90°∶60°＝3∶2，选项A正确。 　 7.(多选)如图7，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中(磁场空间足够大、图中未画出)，磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°时发射的粒子恰好经过N点，ON＝a，ON⊥MN。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则(　　) 图7 A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a C.粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的 D.挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a 答案　CD 解析　所有粒子运动的轨道半径都相等，当粒子初速度与ON夹角为60°时，粒子运动轨迹如图中1所示，由几何关系可知2rcos 30°＝a，可得r＝a，故A错误；当轨迹刚好与MN相切时，粒子能打到板上最大长度，如图轨迹2，设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系可得rsin θ＋r＝a，可得sin θ＝－1，则挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为l＝rcos θ＝a，故B错误；要使粒子打在右侧，有两个临界条件，如图中的轨迹1、3，由几何关系可知1、3的初速度夹角为α＝60°，则粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的n＝＝，故C正确；如图粒子1打在MN上的点与O1N、O1M组成顶角为60°的等腰三角形，所以由几何关系可知板的右侧被粒子击中的竖直长度为y＝r＝a，故D正确。 8.(多选)如图8所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) 图8 A.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 B.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 C.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 D.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 答案　AB 解析　若粒子速率为v＝，则轨迹半径r＝＝L，粒子运动情况如图甲所示，从P点飞出的粒子，轨迹的圆心在N点，该粒子从O点发射时的速度方向与ON垂直斜向右下，与水平方向成60°角。从N点飞出的粒子，轨迹的圆心在S点，该粒子从O点发射时的速度方向与OS垂直，水平向右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子“逃出”的概率为＝。由图可知，NP线段上各处都可能有粒子通过，故A、B正确；若粒子速率为v＝，则轨迹半径r＝＝，粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与PN相切时，切点分别为B、D，圆心分别为A、C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则粒子“逃出”的概率为>，由图可知OD<OC＋CD＝L，则D在N点下方，故线段DN间不可能有粒子通过，故C、D错误。 9.（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面（未画出）。一群比荷为的负离子以相同速率v0（较大）由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）（　　） A．离子飞出磁场时的动能一定相等 B．离子在磁场中运动半径一定相等 C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大 【答案】BC 【详解】A．射入磁场的离子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为洛伦兹力对离子不做功，故这些离子从射入到射出动能不变，故飞出磁场时的动能可能不等，A错误。 B．离子在磁场中偏转的半径为 由于比荷和速度都相等，磁感应强度B为定值，故所有离子的偏转半径都相等，B正确。 C．各离子在磁场中做圆周运动的周期 T＝ 也相等，根据几何知识，在半径相同的圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q点射出的离子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C正确。 D．沿PQ方向射入的离子不可能从Q点射出，故偏转角不是最大，D错误。 故选BC。 10.（2024·青海·二模）如图所示，在半径为R、圆心为O的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为、质量为m的粒子（不计所受重力）从O点沿纸面各个方向射入匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是（　　）    A．粒子射入磁场时的最大速度为 B．粒子射入磁场时的最大速度为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】B 【详解】如图所示    当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则有 由洛伦兹力提供向心力可得 可得粒子射入磁场时的最大速度为 粒子在磁场中运动的最长时间为 故选B。 11.（2023·全国乙卷·高考真题）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，    则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则 解得粒子做圆周运动的半径 r = 2a 则粒子做圆周运动有 则有 如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏，则有 Eq = qvB 联立有 故选A。 12.（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子运动轨迹如图所示 在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子做圆周运动的半径 根据几何关系可得P点至O点的距离 故选C。 13.（2024·福建漳州·一模）如图，在坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿轴负方向的匀强电场，场强大小为。一质量为电荷量为的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴正方向成角的方向射入磁场，恰好垂直于轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)粒子在磁场中的运动半径； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子从点射入到第二次到达轴的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示 由几何关系得 解得 （2）根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）粒子在磁场做匀速圆周运动 粒子在磁场中运动时间 粒子从轴进入电场至速度为0过程中，可得 解得 粒子从点射入到第二次到达轴的时间 解得 14.（2023·河北·高考真题）如图1，真空中两金属板M、N平行放置，板间电压U连续可调，在金属板N的中心C处开有一小孔。F、G、H为正三角形CDE各边中点，DE与金属板平行。三角形FGH区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带电粒子从紧邻M板的P点由静止释放沿CG方向进入磁场，一段时间后沿的角平分线方向从E点离开。已知正三角形CDE的边长为a，粒子质量为m、电荷量大小为q，粒子重力不计。 （1）求板间电压U的大小； （2）若磁场区域如图2，磁感应强度不变。调整两板间电压大小，将该粒子从P点由静止释放，仍能沿的角平分线方向从E点离开，求粒子从C点运动到E点的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）粒子在电场中加速，由动能定理得 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系有 解得板间电压的大小为 （2）根据题意，做出粒子的运动轨迹，如图所示。 根据几何关系有 则 粒子在磁场中的运动时间为 粒子在无磁场区域运动的时间为 粒子从C点运动到E点的时间为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$