第15讲 带电粒子在复合场中的运动 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第15讲　 带电粒子在复合场中的运动 考点一 带电粒子在组合场中的运动 例1 (2023·辽宁卷，14)如图1，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 图1 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 答案　(1)　(2)60°　(3)见解析图 解析　(1)设平行金属板间距为d，则平行金属板板长为d，粒子在两平行金属板间做类平抛运动 水平方向：d＝v0t 竖直方向：d＝t 又vy＝t 联立解得U＝。 (2)粒子进入磁场时的速度v＝＝v0 设速度与水平方向的夹角为α，有tan α＝＝， 则α＝30° 由qvB＝得 粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝＝ 已知圆形磁场半径R＝，则r＝R 作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图甲所示 粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可得tan ＝＝ 故θ＝60°。 (3)根据几何关系，磁场圆绕O′点顺时针旋转，当O点转到M点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长。作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的圆心M，如图乙所示。 方法指导 “5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 跟踪训练1如图2所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一个比荷为k的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰能到达x轴上P(－d，0)点。不计粒子重力。求： 图2 (1)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B； (2)粒子从O点射出至第四次穿过边界线OM的时间。 答案　(1)　　(2)(π＋4) 解析　由题意，可画出粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示 (1)粒子在电场中做匀减速运动，由动能定理得 －qEd＝0－mv 则E＝＝ 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有 qv0B＝m，由几何关系知r＝d 解得B＝＝。 (2)粒子在磁场中运动的周期为T＝ 粒子第一次在磁场中运动的时间为t1＝T＝ 在电场中的加速度为a＝＝ 粒子第一次在电场中来回的时间为 t2＝2×＝ 粒子第二次在磁场中运动的时间为t3＝T＝ 粒子第二次在电场中做抛体运动，有 y＝at，x＝v0t4，＝tan 45° 解得t4＝ 粒子从O点射出至第四次穿过边界线OM的时间t＝t1＋t2＋t3＋t4＝(π＋4)。 训练2 （23-24高三上·全国·期末）如图所示，在xOy坐标系所在的平面内，第一象限内有沿x轴负方向的匀强电场，第二、三象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。在x轴上C点沿y轴正方向发射一比荷为k的带正电粒子，粒子初速度为v0，C点坐标为（d，0），粒子从 y轴上的D点离开电场，D点坐标为（0，2d），粒子经磁场后再次到达y轴时刚好从坐标原点O处经过。不计粒子重力。求： （1）匀强电场的场强E的大小和匀强磁场的磁感应强度B的大小； （2）粒子从C 运动到O经历的时间。    【答案】（1），；（2） 【详解】 （1）粒子在电场中做类平抛运动，设经历时间为t1，则竖直方向 水平方向 解得 设粒子离开电场时速度大小为v，与y轴夹角为，则粒子从C到D由动能定理知 解得 ， 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则洛伦兹力提供向心力 由几何关系 解得 （2）由（1）可知 ， 所以粒子在磁场中运动的时间 解得 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 例2 如图3所示，第一象限内存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝，第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E。现有一质量为m、电荷量为－q(q>0)的带负电粒子从x轴上的A点以初速度v0垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点(图中未画出)进入第二象限。已知第二、三象限内磁场的磁感应强度大小均为B＝，A点坐标为，不计粒子重力。求： 图3 (1)P点的坐标； (2)粒子第一次进入第三象限的横坐标； (3)粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。 答案　(1)(0，L)　(2)－(＋1)L　(3)(2＋)L 解析　(1)粒子在第一象限电场中做类平抛运动 水平方向有＝t2 解得t＝ 竖直方向有yP＝v0t＝L P点的坐标为(0，L)。 (2)粒子的运动轨迹如图所示，在P点时水平方向有 vx＝t＝v0 设粒子离开电场时，速度大小为v，方向与y轴正方向夹角为θ，则速度大小 v＝＝v0 由几何关系得tan θ＝＝1 解得θ＝45° 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得qvB＝m 解得r＝L 由几何关系可知，圆心恰好在x轴上，粒子进入第三象限时的横坐标为 x＝－(r＋rcos 45°)＝－(＋1)L。 (3)粒子在第三象限做曲线运动，当竖直方向速度为0时，离x轴最远 x轴方向，根据动量定理得qBy·t＝mvx yt＝ym 其中vx和ym为轨迹最低点时x方向的速度和y方向运动的最远距离 根据动能定理得 q·E·ym＝mv－mv2 解得ym＝(2＋)L。 方法指导 “三步”解决带电粒子在叠加场中的运动问题 跟踪训练1如图4所示，在竖直平面的直角坐标系xOy中，第一象限有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x轴正方向的匀强电场，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为＋q的带电小球，从x轴上的P(－d，0)点以初速度v0沿y轴正方向射入第二象限，依次经过Q(0，3d)点和M(3d，0)点，图中M点未标出。经过Q点的速度与y轴正方向成45°，重力加速度为g，不计空气阻力，求： 图4 (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小。 答案　(1)　(2) 解析　(1)根据题意可知，粒子从P到Q的过程中，水平方向上有qE＝ma d＝at2 vx＝at 竖直方向上有3d＝v0t－gt2 vy＝v0－gt 由几何关系有vx＝vy 联立可得vx＝vy＝v0，E＝。 (2)根据题意，由(1)分析可知，粒子到达Q点的速度为v＝＝ 由于qE＝mg，所以带电小球在第一象限的运动轨迹为圆，画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示 由几何关系可知QM为直径，则有 r＝＝d 由牛顿第二定律有qvB＝m 联立可得B＝。 训练2（2023·海南·高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（ ）    A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B．小球运动过程中的速度不变 C．小球运动过程的加速度保持不变 D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功 【答案】A 【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确； BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC错误； D．洛仑兹力永不做功，D错误。 故选A。 考点三　带电粒子在交变场中的运动 例3 如图5甲所示的xOy平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴负方向为电场强度的正方向)。在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带正电粒子，粒子的比荷＝，v0、B0、E0、t0均为已知量，不计粒子受到的重力。 图5 (1)求在0～t0内粒子运动轨迹的半径； (2)求t＝2t0时，粒子的位置坐标； (3)若粒子在t＝25t0时首次回到坐标原点，求电场强度E0与磁感应强度B0的大小关系。 答案　(1)　(2)　(3)E0＝B0 解析　(1)粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 qv0B0＝，又＝ 联立解得r＝。 (2)若粒子在磁场中做完整的圆周运动，其周期 T＝ 解得T＝2t0 则在0～t0时间内，粒子在磁场中转动半周，t＝t0时粒子位置的横坐标 x＝－2r＝－ 在t0～2t0时间内，粒子在电场中沿y轴负方向做匀加速直线运动 y＝－v0t0－t 解得y＝－v0t0－ 故t＝2t0时，粒子的位置坐标为。 (3)如图所示，带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1＝r＝ 当t＝2t0时，粒子的速度大小为v＝v0＋t0 2t0～3t0时间内，粒子在x轴下方做圆周运动的轨道半径r2＝＝ 由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足 n(2r2－2r1)＝2r1(n＝1，2，3，…) 当t＝25t0＝4×6t0＋t0时，n＝6，解得E0＝B0。 方法指导 解决带电粒子在交变电磁场中运动的基本思路 跟踪训练1如图6甲所示，一对平行金属板M、N，两板长为2L，两板间距离为L，置于O1处的粒子发射源可沿两板的中线O1O发射初速度为v0、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，M、N板间加变化规律如图乙所示交变电压UMN，金属板的右边界与y轴重合，板的中心线O1O与x轴重合，y轴右侧存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。t＝0时发射的粒子1恰好贴着N板右端垂直y轴射出，时刻发射的粒子2与粒子1的运动轨迹交于磁场中的P点，已知P点的横坐标为。不计粒子重力及相互间作用力，求： 图6 (1)U0的大小； (2)磁场的磁感应强度的大小B。 答案　(1)　(2) 解析　(1)根据题意可知，t＝0时刻入射的粒子在两板间运动轨迹如图甲所示 甲 水平方向上，匀速直线运动，有2L＝v0t0 竖直方向上，匀加速直线运动，有 L＝a×2 由牛顿第二定律有q＝ma 解得U0＝。 (2)由(1)同理可知t＝时刻，入射的粒子恰好贴着M板右侧垂直y轴射入磁场，粒子2进入磁场时的x方向的速度大小v＝v0，两个粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示 乙 由几何关系可得两圆弧对应的圆心间的距离为 d＝L 且2＝d，解得r＝L 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv0B＝m 解得B＝。 训练2（2023·山东·高考真题）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。     【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会 【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图        根据几何关系可知 联立可得 （2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图         在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知 解得 所以有 ， 洛伦兹力提供向心力 带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有 再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有 沿y方向上有 其中根据牛顿第二定律有 联立以上各式解得 （ii）粒子从P到Q根据动能定理有 可得从Q射出时的速度为 此时粒子在磁场中的半径    根据其几何关系可知对应的圆心坐标为 得 ， 而圆心与P的距离为 故不会再从P点进入电场。 高考真题 1.某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV。根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10－19 J)(　　) A.3.6×106 m/s B.1.2×107 m/s C.5.4×107 m/s D.2.4×108 m/s 答案　C 解析　质子在回旋加速器的磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，质子加速后获得的最大动能为Ek＝mv2，解得最大速率约为v＝5.4×107 m/s，故C正确。 2.(多选)如图7所示，质量为m，带电荷量为＋q的带电粒子，从坐标原点O以初速度v0沿x轴方向射入第一象限内的电、磁场区域，在0<y<y0、0<x<x0(x0、y0为已知量)区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，控制电场强度E(E值有多种可能)，可让粒子从NP射入磁场后偏转打到足够长的接收器MN上，不计带电粒子的重力，则(　　) 图7 A.粒子从NP中点射入磁场，电场强度E＝ B.粒子从NP中点射入磁场时的速度v＝v0 C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D.粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 答案　AD 解析　若粒子从NP中点射入磁场，如图所示，在电场中，沿x轴方向有x0＝v0t，y轴方向有＝·t2，解得E＝，A正确；粒子在电场中运动时，由动能定理得qE·＝mv2－mv，整理得v＝v0，B错误；粒子出电场时，y轴方向有vy＝·，粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，则r＝。设粒子从电场中射出时的速度方向与y轴正方向的夹角为θ，根据几何关系可知，圆心到MN的距离为s＝rcos θ＝＝，C错误；由r＝知进入磁场的速度越大，在磁场中运动的圆周半径越大，粒子从N点进入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径最大。在电场中运动时，x轴方向有x0＝v0t，y轴方向有y0＝t2，由动能定理有qEmy0＝mv－mv，粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有qvmB＝m，联立解得rm＝，D正确。 3.(2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图8所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 图8 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 答案　(1)Bv0　(2)　(3)90% 解析　(1)电子沿x轴正方向做直线运动，则电子受平衡力的作用，即 eE＝ev0B 解得E＝Bv0。 (2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由到的过程中，由动能定理得 eEy1＝m－m 解得y1＝。 (3)设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则 电子在最低点的合力为F1＝eE－ev1B 电子在最高点的合力为F2＝ev2B－eE 由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等， 即F2＝F1 整理得v1＋v2＝2v0 电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得 eEy2＝mv－mv 整理得v2－v1＝ 解得v1＝v0 又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到y2＝的位置的电子数占总电子数的比例为 η＝＝×100% 解得η＝90%。 4.(2023·山东卷，17)如图9所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m、电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力)。 图9 (1)若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； (2)若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场，离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 (i)求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0； (ii)通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。 答案　(1)6　(2)(i)36E　9 (ii)不能 解析　(1)由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有qE·2d＝mv2 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m 粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图甲所示 甲 根据几何关系可知r＝ 联立可得B＝6。 (2)(i)由题意作出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图乙所示，设粒子第二次进入电场时速度方向与竖直方向的夹角为θ 乙 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知 r＝(2d)2＋(r1－d)2 解得r1＝d 所以sin θ＝＝0.8，则θ＝53° 根据洛伦兹力提供向心力qv1B＝m 带电粒子从A点第一次进入电场后做匀加速直线运动，根据动能定理有 qE′·2d＝mv－mv 粒子第二次进入电场后做类斜抛运动，沿x轴负方向有2d＝v1sin θ·t 沿y轴正方向上有2d＝v1cos θ·t＋at2 根据牛顿第二定律有qE′＝ma 联立以上各式解得 v1＝15，v0＝9，E′＝36E。 (ii)设粒子第二次出电场时的速度大小为v2，粒子从P到Q根据动能定理有 qE′·2d＝mv－mv 可得从Q射出时的速度为v2＝3 此后粒子在磁场中运动的半径r2＝＝d 设粒子第二次出电场时，速度方向与竖直方向的夹角为β，如图丙所示， 丙 sin β＝＝ 则cos β＝ 根据几何关系可知对应的圆心坐标为 x＝r2cos β＝d，y＝r2sin β＋2d＝4d 而圆心与P点的距离为 l＝＝d≠r2 故不能再从P点进入电场。 5.（2024·新疆河南·高考真题）一质量为m、电荷量为的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内，一个点表示，、分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的圆弧移动至点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求 （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期； （2）电场强度的大小； （3）P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动时的速度为 根据洛伦兹力提供向心力 解得做圆周运动的半径为 周期为 （2）根据题意，已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的为速度相应的曲线，根据可知任意点的加速度大小相等，故可得 解得 （3）根据题意分析可知从b点到c点粒子在磁场中转过的角度为，绕一圈的过程中两次在电场中运动，根据对称性可知粒子的运动轨迹如图，角为两次粒子在电场中运动时初末位置间的位移与x轴方向的夹角，从a到b过程中粒子做类平抛运动，得 故可得该段时间内沿y方向位移为 根据几何知识可得 由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移的大小为 联立解得 6.（2023·江苏·高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。      【答案】（1）v0B；（2）；（3）90% 【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动则有 Ee = ev0B 解得 E = v0B （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 F合 = evmB－eE 在最低点有 F合 = eE－evB 联立有      要让电子达纵坐标位置，即 y ≥ y2 解得 则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的90%。 作业练习 基础练习 1.(2023·新课标卷，18)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图1所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(　　) 图1 A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里 B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外 C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里 D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外 答案　C 解析　假设电子打在a点，即其所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，故eE＝evB，由于α粒子的速度v′小于电子的速度v，所以2eE>2ev′B，α粒子经过电、磁叠加场后向右偏转，即其所受合力方向向右，由于α粒子带正电，所以电场方向水平向右，A、B错误；电子所受电场力水平向左，则其所受洛伦兹力水平向右，则磁场方向垂直纸面向里，D错误，C正确；假设α粒子打在a点，同样可以得出C正确。 2.磁流体发电机的原理如图2所示，燃烧室在3 000 K的高温下将气体全部电离成高温等离子体。等离子体经喷管提速后以速度v进入矩形发电通道，发电通道中有垂直于喷射速度方向的匀强磁场。已知磁感应强度大小为B，发电通道长为l，宽为b，高为a，高温等离子体的电阻率为ρ，外部电路连接一阻值为R的电阻，导线电阻不计。当开关S闭合后，下列说法正确的是(　　) 图2 A.外部电路中的电流方向为N→R→M B.回路电流I＝ C.发电机的输出功率P＝R D.为维持等离子体匀速流动，矩形发电通道左右端的压强差Δp＝·ab 答案　C 解析　由左手定则可知，发电通道的上极板为电源的正极，下极板为负极，则外部电路中的电流方向为M→R→N，选项A错误；稳定时，洛伦兹力等于电场力，即qvB＝q，所以发电机产生的电动势为E＝U＝Bav，根据闭合电路欧姆定律可得回路中的电流为I＝＝，选项B错误；发电机的输出功率为P出＝I2R＝R，选项C正确；矩形发电通道左右端的压强差为Δp＝＝＝，选项D错误。 3.如图3所示，在宽为L、长为2L的矩形区域abcd内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场的等势线如图中虚线所示，磁场方向垂直纸面向里。不计重力的带电粒子从O点沿等势线射入场区，恰能沿直线经过p点射出场区。若仅撤去磁场，粒子从c点射出；若仅撤去电场，粒子将(　　) 图3 A.从a点射出 B.从b点射出 C.从d点射出 D.从b、p之间射出 答案　A 解析　由于仅撤去磁场，粒子从c点射出，说明粒子所受的电场力水平向右，又粒子在电磁复合场中沿直线从p点射出，由力的平衡条件可知粒子在正交电磁场中所受的洛伦兹力水平向左。粒子从O到p，由力的平衡条件知qvB＝qE，撤去磁场后，竖直方向L＝vt，水平方向L＝at2、qE＝ma，撤去电场后，粒子做匀速圆周运动，有qvB＝，整理得r＝，故从a点射出，A正确，B、C、D错误。 4.(多选)某学习小组设计了如图4所示的简易粒子加速器，两水平平行虚线上、下两侧有垂直纸面且范围足够大的匀强磁场，平行板电容器两极板上有正对着的小孔，两极板都恰好处于磁场的水平虚线边界。平行板电容器接通电源后两极板间的电压大小恒为U，将质量为m、带电荷量为－q的带电粒子自静止开始释放，释放位置在电容器的上极板小孔正下方，且紧靠上极板小孔，此后粒子经过多次加速，当动能达到所需要的Ek后立即将磁场撤去。已知两虚线间的距离为d，粒子始终没碰到电容器极板，不计粒子重力和两极板的厚度，以下说法正确的是(　　) 图4 A.平行板电容器必须接交流电源 B.平行虚线两侧磁场的磁感应强度必须相同 C.粒子转过的圈数至少为－1 D.粒子在电容器中运动的总时间为 答案　BD 解析　由题意可知粒子每次都需要进入上极板小孔同一位置进行加速，在上下两侧的磁场中进行回旋，因而平行板电容器需要接直流电源，故A错误；由于粒子的回旋每次都需要回到上极板的小孔，因而粒子在上下两侧的磁场中做圆周运动的半径需相同，即平行虚线两侧磁场的磁感应强度必须相同，故B正确；每转过一圈粒子加速一次，则转过的圈数比加速的次数少一次，即n＝－1，Ek0＝qU，解得n＝－1，故C错误；粒子在电容器中做匀加速直线运动，且每次出下极板的末速度都是下一次加速的初速度，则s＝d，s＝at2，a＝，解得t＝，故D正确。 5.如图5所示，平面直角坐标系中存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，圆心与原点重合，磁感应强度B＝ T，方向垂直纸面向外。y≤－0.2 m区域有电场强度大小为E的匀强电场，方向沿y轴正方向。现从坐标为(0.2 m，－0.3 m)的P点以速度大小v0＝5.0×103 m/s沿x轴负方向发射出质量m＝2.0×10－9 kg、带电荷量q＝5.0×10－5 C的带正电粒子，射入匀强电场后恰从圆形磁场区域的最低点进入磁场(粒子重力不计)。 图5 (1)求该匀强电场E的大小： (2)求带电粒子在匀强磁场B中做圆周运动的半径r。 答案　(1)5×103 N/C　(2)0.2 m 解析　(1)粒子在匀强电场中做类平抛运动，其水平位移为0.2 m，则有x＝v0t 竖直方向有y＝at2 其中y＝0.3 m－0.2 m＝0.1 m 根据牛顿第二定律有qE＝ma 解得E＝5×103 N/C。 (2)设带电粒子进入磁场时，速度方向与x轴负方向的夹角为θ，如图所示，则tan θ＝ 由于vy＝at 解得θ＝45° 所以进入磁场的速度v＝ 解得v＝5×103 m/s 在磁场中有qvB＝m 解得r＝0.2 m。 6.（2024·贵州毕节·二模）如图，纸面内存在上、下宽度均为的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为。现有一质量为、带电荷量为的粒子，从电场的上边界点由静止释放，进入磁场后，其运动轨迹与下边界相切于点，不计粒子重力。求： （1）匀强电场的场强大小？ （2）带电粒子从点运动到点的时间？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）带点粒子在电场中的运动过程，由动能定理得 进入磁场中，粒子做圆周运动，由几何关系得 由牛顿第二定律得 联立得 （2）带点粒子在电场中运动的时间为，由前面式子得 得 带点粒子在磁场中运动到P点的时间为，得 带电粒子从点运动到点的时间为 7.（2024·贵州贵阳·一模）如图所示，竖直挡板左边有电场强度为E的匀强电场，方向水平向左。挡板右边有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一带负电的粒子从S点由静止开始仅在电场力的作用下加速运动，垂直于挡板经过小孔A射入磁场中，一段时间后垂直打在挡板上A'点。粒子的电荷量为q、质量为m，S、A两点的距离为d。不计粒子的重力，求： （1）粒子从S点到A点的时间； （2）A、A'两点间的距离以及粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）粒子在电场中运动，根据牛顿第二定律 根据运动学 解得 （2）由题意可知，为粒子在磁场中圆周运动的直径，粒子进入磁场时的速度为 粒子在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力 解得 则之间的距离为 粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的时间为 8.（2024·青海·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，在第四象限存在与y轴正方向成37°角的匀强电场。一质量为m、带电荷量为q的粒子（不计重力）从y轴负半轴上的M点以某一速度进入第三象限，经x轴负半轴上的N点进入磁场，经过一段时间，粒子运动到x轴正半轴上的P点，然后逆着电场线运动到M点，且到达M点时速度刚好为0，已知M、P两点间的电势差为U，粒子从P点运动到M点的时间为，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）粒子在P点时的速度大小以及M、P两点间的距离； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M点出发到回到M点的时间。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）粒子从P点运动到M点，由动能定理有 解得 由匀变速直线运动的规律可知，M、P两点间的距离 解得 （2）由几何关系可知，粒子在P点的速度与x轴的负方向成53°角，根据圆周运动的对称性，粒子在N点的速度与x轴的负方向成53°角，△MNO与△MPO是全等直角三角形 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有 解得 由洛伦兹力充当向心力，有 解得 （3）粒子从M点运动到N点的时间 粒子从N点运动到P点的时间 粒子从M点出发再回到M点的时间 解得 提升练习 9.建立如图6所示的坐标系xOy，x轴紧挨着光滑绝缘的水平地面。在x≥0且0≤y≤a区域内存在着彼此垂直的匀强电场与匀强磁场，匀强电场平行y轴向上，匀强磁场垂直纸面向里。质量为m且带电荷量为q的小球(视为点电荷)从坐标原点以速度v0沿x轴射入该区域，小球在复合场中做匀速圆周运动，并恰好从坐标为(0，a)的点飞离复合场。忽略空气阻力，小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g，试求： 图6 (1)匀强电场E及匀强磁场B的大小； (2)小球落地时的坐标； (3)若小球从坐标原点以速度2v0第1次沿x轴射入该区域，此后经多长时间第5次进入复合场，并确定进入点的坐标。 答案　(1)　　(2) (3)＋　(7a，a) 解析　(1)小球在复合场中做匀速圆周运动，故静电力与重力平衡，洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有 mg＝qE 解得E＝ 小球恰好从坐标为(0，a)的点飞离复合场，由几何关系 得r＝ 洛伦兹力提供向心力qv0B＝m 联立解得B＝。 (2)小球飞离复合场后做平抛运动，则有 a＝gt2，x＝v0t 解得x＝v0 故小球落地时的坐标为。 (3)若小球从坐标原点以速度2v0沿x轴射入该区域， 小球在磁场中运动的轨迹半径为r′，有 q·2v0B＝m 解得r′＝2r＝a 根据几何关系可知，小球在磁场中运动四分之一圆弧后垂直于磁场边界方向即竖直向上做竖直上抛运动，再竖直进入磁场做周期性运动，第5次进入复合场时经历了四次竖直上抛的往复运动时长为 t1＝4×＝ 小球在磁场中做匀速圆周运动的周期为 T＝＝ 在磁场中偏转的时间为t2＝7×＝ 故第5次进入复合场的时间为 t＝t1＋t2＝＋ 第5次进入复合场的横坐标为x′＝r′＋3×2r′＝7a 故进入点的坐标为(7a，a)。 10.如图7甲所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1，第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的磁场B1，已知E2＝0.25 N/C，磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示，其中B0＝0.25 T，t0＝ s，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为m＝2.5×10－6 kg、电荷量为q＝1×10－4 C的带正电液滴从P点以速度v0＝ 4 m/s沿x轴负方向入射，经t1＝0.5 s恰好以沿y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域。已知t＝0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10 m/s2。求： 图7 (1)电场强度E1的大小及液滴第一次到达O点时速度v的大小； (2)液滴在0～ s内的路程； (3)若在t＝ s时撤去电场E1、E2和磁场B1，同时在整个空间区域加竖直向上的磁感应强度大小为B2＝0.5 T的匀强磁场(未画出)，从此时刻起，再经过t′＝ s，液滴距O点的距离(π2≈10)。 答案　(1)0.2 N/C　5 m/s　(2) m　(3) m 解析　(1)对带电液滴由动量定理可知，水平方向 －qE1t1＝0－mv0 解得E1＝0.2 N/C 竖直方向有mgt1＝mv－0 解得v＝5 m/s。 (2)液滴通过O点后，由于qE2＝mg，可知液滴将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由 qvB＝m，T＝ 解得磁感应强度为B0时T1＝ s，r1＝0.5 m 磁感应强度为2B0时T2＝ s，r2＝0.25 m 0～ s内运动轨迹如图所示， 则s＝3××2πr1＋2× ×2πr2 解得s＝ m。 (3)只有磁场B2存在时，液滴在水平面内做匀速圆周运动，则 周期T3＝＝ s 半径r3＝＝0.25 m 液滴在竖直方向做自由落体运动，经过t′＝ s 沿y轴下落高度为y＝gt′2 经过t′＝ s后距O点的距离为s＝ 解得s≈ m。 11.（2024·安徽·高考真题）（多选）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　） A．油滴a带负电，所带电量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【答案】ABD 【详解】A．油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有 解得 故A正确； B．根据洛伦兹力提供向心力 得 解得油滴a做圆周运动的速度大小为 故B正确； C．设小油滴Ⅰ的速度大小为，得 解得 周期为 故C错误； D．带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得 解得 由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 故选ABD。 12.（2023·重庆万州·模拟预测）如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场垂直电场向外，带电量为q的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球必须带正电 B．小球的质量为 C．小球做匀速圆周运动的周期为 D．若仅把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为 【答案】C 【详解】A．小球受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，小球做圆周运动，则电场力与重力平衡，可知，电场力竖直向上，电场力方向与电场强度方向相反，则小球带负电，A错误； B．根据上述有 解得 B错误； C．小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则有 ， 结合上述解得 C正确； D．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，根据平衡条件有 结合上述解得 D错误。 故选C。 13.（2024·河北·二模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。一带正电的小球P从x轴上的A点以某一速度沿AK方向做直线运动，AK与x轴正方向的夹角θ=60°，从K点进入第一象限后小球P恰好做匀速圆周运动，经过x轴时竖直向下击中紧贴x轴上方静止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M从y轴上的F点离开第四象限，第四象限存在匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q带电荷量均为q、质量均为m，不计空气阻力。 （1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比； （2）求小球Q静止的位置距O点的距离； （3）若结合体M进入第四象限时的速度为v，M在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v时，结合体M距x轴的距离是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球P沿AK方向做直线运动，由于洛伦兹力与速度有关，可知其一定做匀速直线运动，受力如图所示 根据几何关系可得 小球Q静止在第一象限，则 联立可得 （2）小球竖直向下击中Q，轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 粒子在第二象限中有 联立解得 （3）结合体在第四象限中只有重力做功，根据动能定理可得 解得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲　 带电粒子在复合场中的运动 考点一 带电粒子在组合场中的运动 例1 (2023·辽宁卷，14)如图1，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 图1 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 跟踪训练1如图2所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一个比荷为k的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰能到达x轴上P(－d，0)点。不计粒子重力。求： 图2 (1)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B； (2)粒子从O点射出至第四次穿过边界线OM的时间。 训练2 （23-24高三上·全国·期末）如图所示，在xOy坐标系所在的平面内，第一象限内有沿x轴负方向的匀强电场，第二、三象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。在x轴上C点沿y轴正方向发射一比荷为k的带正电粒子，粒子初速度为v0，C点坐标为（d，0），粒子从 y轴上的D点离开电场，D点坐标为（0，2d），粒子经磁场后再次到达y轴时刚好从坐标原点O处经过。不计粒子重力。求： （1）匀强电场的场强E的大小和匀强磁场的磁感应强度B的大小； （2）粒子从C 运动到O经历的时间。    考点二 带电粒子在叠加场中的运动 例2 如图3所示，第一象限内存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝，第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E。现有一质量为m、电荷量为－q(q>0)的带负电粒子从x轴上的A点以初速度v0垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点(图中未画出)进入第二象限。已知第二、三象限内磁场的磁感应强度大小均为B＝，A点坐标为，不计粒子重力。求： 图3 (1)P点的坐标； (2)粒子第一次进入第三象限的横坐标； (3)粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。 跟踪训练1如图4所示，在竖直平面的直角坐标系xOy中，第一象限有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x轴正方向的匀强电场，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为＋q的带电小球，从x轴上的P(－d，0)点以初速度v0沿y轴正方向射入第二象限，依次经过Q(0，3d)点和M(3d，0)点，图中M点未标出。经过Q点的速度与y轴正方向成45°，重力加速度为g，不计空气阻力，求： 图4 (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小。 训练2（2023·海南·高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（ ）    A． 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B． 小球运动过程中的速度不变 C． 小球运动过程的加速度保持不变 D． 小球受到的洛伦兹力对小球做正功 考点三　带电粒子在交变场中的运动 例3 如图5甲所示的xOy平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴负方向为电场强度的正方向)。在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带正电粒子，粒子的比荷＝，v0、B0、E0、t0均为已知量，不计粒子受到的重力。 图5 (1)求在0～t0内粒子运动轨迹的半径； (2)求t＝2t0时，粒子的位置坐标； (3)若粒子在t＝25t0时首次回到坐标原点，求电场强度E0与磁感应强度B0的大小关系。 跟踪训练1如图6甲所示，一对平行金属板M、N，两板长为2L，两板间距离为L，置于O1处的粒子发射源可沿两板的中线O1O发射初速度为v0、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，M、N板间加变化规律如图乙所示交变电压UMN，金属板的右边界与y轴重合，板的中心线O1O与x轴重合，y轴右侧存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。t＝0时发射的粒子1恰好贴着N板右端垂直y轴射出，时刻发射的粒子2与粒子1的运动轨迹交于磁场中的P点，已知P点的横坐标为。不计粒子重力及相互间作用力，求： 图6 (1)U0的大小； (2)磁场的磁感应强度的大小B。 训练2（2023·山东·高考真题）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。     高考真题 1.某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV。根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10－19 J)(　　) A.3.6×106 m/s B.1.2×107 m/s C.5.4×107 m/s D.2.4×108 m/s 2.(多选)如图7所示，质量为m，带电荷量为＋q的带电粒子，从坐标原点O以初速度v0沿x轴方向射入第一象限内的电、磁场区域，在0<y<y0、0<x<x0(x0、y0为已知量)区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，控制电场强度E(E值有多种可能)，可让粒子从NP射入磁场后偏转打到足够长的接收器MN上，不计带电粒子的重力，则(　　) 图7 A.粒子从NP中点射入磁场，电场强度E＝ B.粒子从NP中点射入磁场时的速度v＝v0 C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D.粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 3.(2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图8所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 图8 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 4.(2023·山东卷，17)如图9所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m、电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力)。 图9 (1)若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； (2)若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场，离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 (i)求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0； (ii)通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。 5.（2024·新疆河南·高考真题）一质量为m、电荷量为的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内，一个点表示，、分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的圆弧移动至点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求 （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期； （2）电场强度的大小； （3）P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。 6.（2023·江苏·高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。      作业练习 基础练习 1.(2023·新课标卷，18)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图1所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(　　) 图1 A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里 B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外 C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里 D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外 2.磁流体发电机的原理如图2所示，燃烧室在3 000 K的高温下将气体全部电离成高温等离子体。等离子体经喷管提速后以速度v进入矩形发电通道，发电通道中有垂直于喷射速度方向的匀强磁场。已知磁感应强度大小为B，发电通道长为l，宽为b，高为a，高温等离子体的电阻率为ρ，外部电路连接一阻值为R的电阻，导线电阻不计。当开关S闭合后，下列说法正确的是(　　) 图2 A.外部电路中的电流方向为N→R→M B.回路电流I＝ C.发电机的输出功率P＝R D.为维持等离子体匀速流动，矩形发电通道左右端的压强差Δp＝·ab 3.如图3所示，在宽为L、长为2L的矩形区域abcd内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场的等势线如图中虚线所示，磁场方向垂直纸面向里。不计重力的带电粒子从O点沿等势线射入场区，恰能沿直线经过p点射出场区。若仅撤去磁场，粒子从c点射出；若仅撤去电场，粒子将(　　) 图3 A.从a点射出 B.从b点射出 C.从d点射出 D.从b、p之间射出 4.(多选)某学习小组设计了如图4所示的简易粒子加速器，两水平平行虚线上、下两侧有垂直纸面且范围足够大的匀强磁场，平行板电容器两极板上有正对着的小孔，两极板都恰好处于磁场的水平虚线边界。平行板电容器接通电源后两极板间的电压大小恒为U，将质量为m、带电荷量为－q的带电粒子自静止开始释放，释放位置在电容器的上极板小孔正下方，且紧靠上极板小孔，此后粒子经过多次加速，当动能达到所需要的Ek后立即将磁场撤去。已知两虚线间的距离为d，粒子始终没碰到电容器极板，不计粒子重力和两极板的厚度，以下说法正确的是(　　) 图4 A.平行板电容器必须接交流电源 B.平行虚线两侧磁场的磁感应强度必须相同 C.粒子转过的圈数至少为－1 D.粒子在电容器中运动的总时间为 5.如图5所示，平面直角坐标系中存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，圆心与原点重合，磁感应强度B＝ T，方向垂直纸面向外。y≤－0.2 m区域有电场强度大小为E的匀强电场，方向沿y轴正方向。现从坐标为(0.2 m，－0.3 m)的P点以速度大小v0＝5.0×103 m/s沿x轴负方向发射出质量m＝2.0×10－9 kg、带电荷量q＝5.0×10－5 C的带正电粒子，射入匀强电场后恰从圆形磁场区域的最低点进入磁场(粒子重力不计)。 图5 (1)求该匀强电场E的大小： (2)求带电粒子在匀强磁场B中做圆周运动的半径r。 6.（2024·贵州毕节·二模）如图，纸面内存在上、下宽度均为的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为。现有一质量为、带电荷量为的粒子，从电场的上边界点由静止释放，进入磁场后，其运动轨迹与下边界相切于点，不计粒子重力。求： （1）匀强电场的场强大小？ （2）带电粒子从点运动到点的时间？ 7.（2024·贵州贵阳·一模）如图所示，竖直挡板左边有电场强度为E的匀强电场，方向水平向左。挡板右边有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一带负电的粒子从S点由静止开始仅在电场力的作用下加速运动，垂直于挡板经过小孔A射入磁场中，一段时间后垂直打在挡板上A'点。粒子的电荷量为q、质量为m，S、A两点的距离为d。不计粒子的重力，求： （1）粒子从S点到A点的时间； （2）A、A'两点间的距离以及粒子在磁场中运动的时间。 8.（2024·青海·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，在第四象限存在与y轴正方向成37°角的匀强电场。一质量为m、带电荷量为q的粒子（不计重力）从y轴负半轴上的M点以某一速度进入第三象限，经x轴负半轴上的N点进入磁场，经过一段时间，粒子运动到x轴正半轴上的P点，然后逆着电场线运动到M点，且到达M点时速度刚好为0，已知M、P两点间的电势差为U，粒子从P点运动到M点的时间为，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）粒子在P点时的速度大小以及M、P两点间的距离； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M点出发到回到M点的时间。 提升练习 9.建立如图6所示的坐标系xOy，x轴紧挨着光滑绝缘的水平地面。在x≥0且0≤y≤a区域内存在着彼此垂直的匀强电场与匀强磁场，匀强电场平行y轴向上，匀强磁场垂直纸面向里。质量为m且带电荷量为q的小球(视为点电荷)从坐标原点以速度v0沿x轴射入该区域，小球在复合场中做匀速圆周运动，并恰好从坐标为(0，a)的点飞离复合场。忽略空气阻力，小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g，试求： 图6 (1)匀强电场E及匀强磁场B的大小； (2)小球落地时的坐标； (3)若小球从坐标原点以速度2v0第1次沿x轴射入该区域，此后经多长时间第5次进入复合场，并确定进入点的坐标。 10.如图7甲所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1，第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的磁场B1，已知E2＝0.25 N/C，磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示，其中B0＝0.25 T，t0＝ s，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为m＝2.5×10－6 kg、电荷量为q＝1×10－4 C的带正电液滴从P点以速度v0＝ 4 m/s沿x轴负方向入射，经t1＝0.5 s恰好以沿y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域。已知t＝0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10 m/s2。求： 图7 (1)电场强度E1的大小及液滴第一次到达O点时速度v的大小； (2)液滴在0～ s内的路程； (3)若在t＝ s时撤去电场E1、E2和磁场B1，同时在整个空间区域加竖直向上的磁感应强度大小为B2＝0.5 T的匀强磁场(未画出)，从此时刻起，再经过t′＝ s，液滴距O点的距离(π2≈10)。 11.（2024·安徽·高考真题）（多选）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　） A．油滴a带负电，所带电量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 12.（2023·重庆万州·模拟预测）如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场垂直电场向外，带电量为q的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球必须带正电 B．小球的质量为 C．小球做匀速圆周运动的周期为 D．若仅把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为 13.（2024·河北·二模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。一带正电的小球P从x轴上的A点以某一速度沿AK方向做直线运动，AK与x轴正方向的夹角θ=60°，从K点进入第一象限后小球P恰好做匀速圆周运动，经过x轴时竖直向下击中紧贴x轴上方静止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M从y轴上的F点离开第四象限，第四象限存在匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q带电荷量均为q、质量均为m，不计空气阻力。 （1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比； （2）求小球Q静止的位置距O点的距离； （3）若结合体M进入第四象限时的速度为v，M在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v时，结合体M距x轴的距离是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$