第14讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第14讲　磁场及带电粒子在磁场中的运动 热点一　磁场的基本性质　安培力 1.磁场叠加问题的解题思路 (1)确定磁场场源，如通电导线。 (2)定位空间中需求解磁场的点，确定各个场源在这一点产生磁场的磁感应强度的大小和方向。 (3)应用平行四边形定则进行合成。 2.用准“两个定则” (1)对电流的磁场用安培定则(右手螺旋定则)，并注意磁场的叠加。 (2)对通电导线在磁场中所受的安培力用左手定则。 3.熟悉“两个等效模型” (1)变曲为直：图1甲所示的通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。 图1 (2)化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示。 例1 如图2甲所示为安装在某特高压输电线路上的一个六分导线间隔棒，图乙为其截面图。间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点a、b、c、d、e、f上，O为正六边形的中心。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比。某瞬时，6条输电导线中均通过垂直纸面向外、大小相等的电流，其中a导线中的电流对b导线中电流的安培力大小为F，该时刻(　　) 图2 A.O点的磁感应强度方向垂直于cf向下 B.b、c、d、e、f处5根导线在a处产生磁场的磁感应强度方向沿aO，由a指向O C.c导线所受安培力方向沿Oc指向c D.a导线所受安培力为2.5F 答案　D 解析　根据安培定则，a、d两条导线在O点的磁感应强度等大反向，b、e两条导线在O点的磁感应强度等大反向，c、f两条导线在O点的磁感应强度等大反向，所以O点的磁感应强度为零，A错误；根据安培定则，b、c、d、e、f处5根导线在a处产生磁场的磁感应强度方向如图所示，设b在a处产生的磁感应强度大小为B，则f在a处磁感应强度大小也为B，c、e在a处磁感应强度大小为，d在a处产生的磁感应强度大小为，根据磁感应强度的叠加可知，b、c、d、e、f处5根导线在a处产生磁场的磁感应强度方向垂直于aO斜向左下，合磁感应强度大小为2.5B，方向垂直aO；根据左手定则和安培力公式可知，a受安培力方向为沿aO，由a指向O，大小为2.5F，B错误，D正确；同理可得c导线所受安培力方向沿Oc，由c指向O，C错误。 训练1（2024·甘肃·高考真题）如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为（　　） A．，方向向左 B．，方向向右 C．，方向向左 D．，方向向右 【答案】A 【详解】导体棒ab切割磁感线在电路部分得有效长度为d，故感应电动势为 回路中感应电流为 根据右手定则，判断电流方向为b流向a。故导体棒ab所受的安培力为 方向向左。 故选A。 跟踪训练2 如图4所示，一宽为L的平行金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，在导轨上端接入电源和滑动变阻器R，电源电动势为E、内阻为r，一质量为m的金属棒ab静止在导轨上，与两导轨垂直并接触良好，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于斜面向上的匀强磁场中，金属棒的电阻为R0，导轨电阻不计。金属导轨与金属棒之间的最大静摩擦力为Ffm，重力加速度为g。闭合开关后，下列判断正确的是(　　) 图4 A.金属棒受到的安培力方向沿斜面向上 B.金属棒受到的摩擦力方向可能沿斜面向下 C.若金属棒恰好不运动，则滑动变阻器的阻值为－r－R0 D.要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器R接入电路中的最小阻值为－r－R0 答案　C 解析　根据左手定则可知，金属棒受到的安培力方向沿斜面向下，由于金属棒的重力分力也沿斜面向下，则金属棒受到的静摩擦力方向一定沿斜面向上，故A、B错误；若金属棒恰好不运动，金属棒受到的静摩擦力达到最大，此时金属棒在导轨上静止受到的安培力最大，根据受力平衡条件可得mgsin θ＋F安＝Ffm，又 F安＝BIL＝BL，联立可得R＝－r－R0，故C正确；要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器R接入电路中的最小阻值为－r－R0，故D错误。 考点二　带电粒子在各种边界磁场中的运动 1.基本思路 2.轨迹圆的几个基本特点 (1)带电粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图5甲所示，θ3＝θ2＝θ1)。 (2)带电粒子经过匀强磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角(如图甲所示，α1＝α2)。 (3)沿半径方向射入圆形匀强磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙所示(两侧关于圆心连线OO′对称)。 图5 3.半径确定的两种方法 方法一：由物理公式求。由于qvB＝，所以半径r＝。 方法二：由几何关系求。一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定。 4.时间确定的两种方法 方法一：由圆心角求，t＝T。 方法二：由弧长求，t＝。 例2 如图6，半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一不计重力的带电粒子从图中A点以速度v0垂直磁场射入，速度方向与半径方向成45°角，当该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了180°，下列说法正确的是(　　) 图6 A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子出磁场时速度方向的反向延长线通过O点 D.该粒子在磁场中的运动时间为 答案　D 解析　由题意知该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了180°，粒子一定向下偏转，由左手定则可知粒子带负电，A错误；粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径为r＝R，结合qv0B＝m，解得＝，B错误；由运动轨迹可知，该粒子出磁场时速度方向的反向延长线不通过O点，C错误；该粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝，D正确。 训练1（2024·四川泸州·二模）如图所示，在半径的圆形区域内分布着磁感应强度的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向四周发射速率大小的同种粒子，已知在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远且，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： （1）粒子的比荷； （2）从N处离开磁场的粒子，在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据几何关系可知MN距离为 在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远说明MN为粒子做圆周运动的轨迹圆的直径，则轨迹圆半径 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，即 解得粒子的比荷 （2）根据圆周运动规律可知 从N处离开磁场的粒子，时间 方程联立解得 训练2（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场，磁场半径为L，方向垂直纸面向外，离开圆形磁场时速度方向与水平向右方向夹角为60º，求： （1）粒子射入磁场的速度大小； （2）粒子在矩形磁场中运动的时间； （3）圆形磁场的磁感应强度。    【答案】（1）；（2）；（3）B 【详解】画出轨迹图如下图    （1）在矩形磁场区域，根据几何关系 求得 根据解得 （2）粒子在矩形磁场区域内，粒子转过的圆心角为，粒子在矩形磁场中运动的时间 求得 （3）粒子在圆形磁场区域内，根据几何关系得 解得粒子在圆形磁场的半径为，根据解得 例3 如图7所示，边长为L的正三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。D为BC的中点，有一群带电量为＋q、质量为m的粒子从D点以不同速率沿与BC成30°角的方向射入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，求： 图7 (1)粒子在磁场中运动的最长时间t； (2)从AC边射出的粒子的速度取值范围。 答案　(1)　(2)v> 解析　(1)粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，有 qvB＝ T＝ 设粒子在磁场中圆周运动的圆心角为θ，则有 t＝T＝ 可知，粒子做圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，由题意分析可得，粒子从BC边射出时在磁场中运动的时间最长，此过程中粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为，故最长时间t＝。 (2)粒子恰好不从AC边射出时，轨迹与AC边相切，运动轨迹如图所示。 根据图中几何条件分析可知 r＝Lsin 60° 粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，有 qv0B＝ 联立解得v0＝ 则从AC边射出的粒子的速度取值范围为v>。 训练1 如图8所示，边长为a＝0.4 m正方形区域ABCD内无磁场，正方形中线PQ将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为B＝0.2 T的匀强磁场区域，PQ右侧磁场方向垂直于纸面向外，PQ左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为m＝1×10－8 kg、电荷量为q＝2×10－6 C的正粒子从AB中点以某一速率垂直于AB射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是(　　) 图8 A.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的最大速度为12 m/s B.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为10 m/s C.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 m/s D.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为2 m/s 答案　C 解析　根据题意可知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得v＝，若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得(2n＋1)r＝(n＝0，1，2，…)，解得v＝(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，速度最大为vmax＝8 m/s，当n＝1时，v＝ m/s，当n＝2时，v＝ m/s，则粒子的速度不可能为2 m/s，故C正确，A、B、D错误。 跟踪训练2 (多选)如图9所示，虚线MN右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个带同种电荷的带电粒子从虚线上同一点A分别以速度v1、v2与MN成相同角度θ垂直磁场方向射入匀强磁场，结果两粒子在边界上B点相遇。不考虑粒子间的相互作用力，不计两粒子的重力。则(　　) 图9 A.若两粒子的比荷相等，则v1＝v2 B.若两粒子的比荷相等，则＝ C.若两粒子同时从A点射入，则∶＝ D.若两粒子同时从A点射入，则∶＝1 答案　AC 解析　两粒子的运动轨迹如图，由几何关系可知r1＝r2，粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得r＝，若两粒子的比荷相等，则＝，故v1＝v2，A正确，B错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，故∶＝T2∶T1，在磁场中两粒子的运动时间分别为t1＝T1＝T1，t2＝T2＝T2，若两粒子同时从A点射入，则两粒子相遇时运动时间相等，有t1＝t2，故＝，联立可得∶＝，C正确，D错误。 高考真题 1.(2023·江苏卷，2)如图10所示，匀强磁场的磁感应强度为B，L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中。已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行。该导线受到的安培力为(　　) 图10 A.0 B.BIl C.2BIl D.BIl 答案　C 解析　bc边与磁场方向平行，不受安培力，ab边与磁场方向垂直，受安培力，则F安＝BI·2l＝2BIl，C正确，A、B、D错误。 2.(2023·全国乙卷，18)如图11，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面(xOy平面)向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点，SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为(　　) 图11 A. B. C. D. 答案　A 解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 3.(多选)(2023·全国甲卷，20)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图12所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是(　　) 图12 A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 答案　BD 解析　带电粒子从P点沿圆筒的半径进入磁场区域，若以O1为圆心做圆周运动，在A点与筒壁发生碰撞，则运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知∠OAO1＝90°，所以粒子一定会沿圆筒的半径方向离开磁场，与筒壁碰撞后依然沿圆筒的半径方向，所以粒子不可能通过圆心O，且每次碰撞后瞬间，粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，故A错误，D正确；由对称性可知，粒子至少需要碰撞2次才能从P点离开，如图甲所示，B正确；设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，圆筒的半径为R，粒子在磁场中做圆周运动，有qvB＝m，设∠POA＝α，由几何关系有tan ＝＝，若粒子恰好运动一周从P点离开，则粒子在磁场中运动的时间t＝×T＝，则粒子的速度越大，α越大，粒子在磁场中运动的时间越短，若粒子运动一周不能从P点离开，如图乙所示，则运动时间无法确定，故C错误。 4（2024·辽宁辽阳·一模）（多选）如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（ ） A． 粒子在磁场中运动的半径为 B． A点到CD的距离为 C． 粒子在磁场中运动的位移大小为 D． D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】BC 【详解】A．粒子在磁场中运动的半径为 选项A错误； B．由几何关系可知，A点到CD的距离为 选项B正确； C．粒子在磁场中运动的位移大小为 选项C正确； D．粒子在磁场中运动的时间为 选项D错误。 故选BC。 5（2023·福建·高考真题）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两个氖离子在O处以相同速度v垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M和N处。已知某次实验中，，落在M处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为；P、O、M、N、P'在同一直线上；离子重力不计。 （1）求OM的长度； （2）若ON的长度是OM的1.1倍，求落在N处氖离子的比荷。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）粒子进入磁场，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有 整理得 OM的长度为 （2）若ON的长度是OM的1.1倍，则ON运动轨迹半径为OM运动轨迹半径1.1倍，根据洛伦兹力提供向心力得 整理得 作业练习 基础练习 1.如图1，匀强磁场的磁感应强度大小为B0、方向垂直于纸面向里，无限长通电直导线位于纸面内，在纸面内的M、N位于导线两侧，其连线与导线垂直，且M、N两点到导线的距离之比为6∶5。经测量，N点的磁感应强度大小是M点磁感应强度大小的2倍，且方向相同。已知无限长通电直导线在真空中某点产生的磁感应强度大小为B＝k，其中k为常量，I为通电直导线中的电流，r为该点到导线的距离，则无限长通电直导线在M点产生的磁感应强度大小为(　　) 图1 A.B0 B.B0 C.B0 D.B0 答案　A 解析　设通电长直导线在M点产生的磁感应强度大小等于B，根据B＝k可知通电长直导线在N点产生的磁感应强度大小等于B。根据安培定则可知通电长直导线在M点产生的磁场方向向外，在N点产生的磁场方向向里，由BN＝2BM得B＋B0＝2(B0－B)，解得B＝B0，故A正确。 2.在光滑水平桌面上将长为πl的软导线两端固定，固定点的距离为2l，导线通有电流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(　　) A.IlB B.2IlB C.πIlB D.2πIlB 答案　A 解析　从上向下看导线的图形如图所示，导线的有效长度为2l，则所受的安培力大小为F安＝2IlB，以导线整体为研究对象，F安＝2F，固定点对导线的作用力F＝，设导线中的张力为FT，则FT＝F＝，解得FT＝IlB，故A正确，B、C、D错误。 3.(2023·广东卷，5)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV。根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10－19 J)(　　) A.3.6×106 m/s B.1.2×107 m/s C.5.4×107 m/s D.2.4×108 m/s 答案　C 解析　质子在回旋加速器的磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，质子加速后获得的最大动能为Ek＝mv2，解得最大速率约为v＝5.4×107 m/s，故C正确。 4.电磁炮的原理如图2所示，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，导轨平面内具有垂直于导轨平面的匀强磁场，带有炮弹的金属框架垂直放在导轨上，且始终与导轨保持良好接触。已知磁场的磁感应强度大小为B，电源的内阻为r，两导轨间距为L，金属框架和炮弹的总质量为m，金属框架的电阻为R。通电后，炮弹随金属框架滑行距离s后获得的发射速度为v。不计空气阻力、金属框架与导轨间的摩擦和导轨电阻，不考虑金属框架切割磁感线产生的感应电动势，下列说法正确的是(　　) 图2 A.匀强磁场的方向竖直向下 B.金属框架受到的安培力大小为F＝ C.通过金属框架的电流为I＝ D.电源的电动势为E＝ 答案　D 解析　炮弹所受安培力方向向右，由左手定则可知，匀强磁场的方向竖直向上，故A错误；由动能定理有Fs＝mv2，解得金属框架受到的安培力大小为F＝，故B错误；根据安培力F＝BIL，可得通过金属框架的电流为I＝，故C错误；根据E＝I(R＋r)，可知电源的电动势为E＝，故D正确。 5.(多选)如图3所示，O点为两个半圆的圆心，两个半圆间的区域内(含边界)有垂直纸面向外的磁场(图中没有画出)，磁感应强度大小与到圆心O的距离成反比。粒子a、b从左边入口进入，分别沿着内半圆和外半圆做匀速圆周运动。已知内、外半圆的半径之比为1∶2，粒子a、b的质量之比为1∶2，电量之比为1∶2，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是(　　) 图3 A.粒子a、b的速度大小之比为1∶1 B.粒子a、b的速度大小之比为1∶2 C.粒子a、b在磁场中运动时间之比为1∶1 D.粒子a、b在磁场中运动时间之比为2∶1 答案　AD 解析　由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，得v＝，代入已知量r内∶r外＝1∶2，B内∶B外＝2∶1，ma∶mb＝1∶2，qa∶qb＝1∶2，得粒子a、b的速度大小之比为1∶1，A正确，B错误；粒子在磁场中运动时间t＝，则粒子a、b在磁场中运动时间之比为2∶1，C错误，D正确。 6.(多选)如图4所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P(a>0，b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是(　　) 图4 A.t1<t2 B.t1> t2 C.Ek1<Ek2 D.Ek1>Ek2 答案　AD 解析　当该过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现时，粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分速度在减小，根据t＝可知t1<t2，故A正确，B错误；当该过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现时，粒子做类平抛运动，到达P点时速度大于v0，当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，粒子做匀速圆周运动，到达P点时速度等于v0，根据Ek＝mv2可知Ek1>Ek2，故C错误，D正确。 7.(多选)如图5，圆心在O点、半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一电荷量为＋q、质量为m的粒子垂直射入磁场区域，O到入射速度所在直线的距离为，已知粒子射出磁场时的方向与射入时的方向垂直，不计重力，则下列说法正确的是(　　) 图5 A.粒子在磁场中运动的时间t＝ B.粒子在磁场中运动的时间t＝ C.粒子在磁场中的速率v＝ D.粒子在磁场中的速率v＝ 答案　AC 解析　过入射点和出射点，分别作入射速度和出射速度的垂线，交点即粒子做圆周运动轨迹的圆心O1，如图所示，在直角三角形OMP中，根据勾股定理可得PM＝＝R，又因为O1PNQ为正方形，所以∠ONM＝45°，三角形ONM为等腰直角三角形，所以MN＝OM＝，则粒子做圆周运动的半径为r＝PM＋MN＝R，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得v＝，选项C正确，D错误；粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝×＝，选项A正确，B错误。 8.(多选)如图6区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，CD和MN是两平行边界，区域宽度为d。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同速率、沿纸面内各个方向，由边界CD上的O点射入磁场，入射速度大小为。不考虑粒子间相互影响，不计粒子重力，磁场区域足够长，则(　　) 图6 A.粒子在磁场区域中运动的最长时间为 B.粒子在磁场区域中运动的最长时间为 C.粒子在磁场区域中运动的最短时间为 D.粒子在磁场区域中运动的最短时间为 答案　AD 解析　粒子在磁场中做圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得r＝＝·＝d，周期T＝＝，如图甲所示。 甲 由几何关系可知，当粒子在O点的速度方向垂直CD边界时，粒子轨迹恰好与MN相切，此时轨迹对应的圆心角最大，为180°，粒子恰好在磁场中运动半个周期，粒子运动时间最长，最长时间tmax＝＝，A正确，B错误；粒子在磁场区域中运动的时间最短时轨迹如图乙所示， 乙 由几何关系可知θ＝60°，故粒子在磁场中运动的最短时间tmin＝＝，C错误，D正确。 9.如图7所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子(重力不计)以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径分别为r1、r2，运动时间分别为t1、t2。下列说法正确的是(　　) 图7 A.粒子带正电 B.r1∶r2＝2∶1 C.v1∶v2＝3∶1 D.t1∶t2＝1∶4 答案　C 解析　由左手定则可知粒子带负电，故A错误；根据题意作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由图中几何关系可得r1＝r2＋＝3r2，可知粒子在磁场中运动的半径之比r1∶r2＝3∶1，故B错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，有v＝，由此可知v1∶v2＝r1∶r2＝3∶1，故C正确；根据粒子在磁场中运动轨迹可知，在磁场中运动偏转角度分别为30°和180°，在磁场中运动的周期T＝相同，由t＝T知t1∶t2＝30°∶180°＝1∶6，故D错误。 10 （2023高三·全国·专题练习）如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（　　） A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等 B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长 C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度 【答案】B 【详解】ABC．电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式 可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据 可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误； D．从bc边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式 可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。 本题选错误的，故选B。 11（2023·河南开封·模拟预测）虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚线OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带负电的粒子沿纸面以大小为v的速度从O点右侧距离为L的A点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计重力。则粒子在磁场中做圆周运动的半径为（　　） A． B． C．2L D．3L 【答案】A 【详解】 轨迹与相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于 故为等边三角形，则 而 则 故为一直线，则 解得 故A正确，BCD错误。 故选A。 12（2023·广东茂名·一模）半导体有着广泛的应用，人们通过离子注入的方式优化半导体以满足不同的需求。离子注入系统的原理简化如图所示。质量为m、电荷量为q的正离子经电场加速后从中点P垂直OE射入四分之一环形匀强磁场，环形磁场圆心为O，内环半径，外环半径，磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度为时，离子恰好垂直边界从中点Q射出。不考虑离子重力以及离子间的相互作用。求： （1）加速电场M、N两板间的电压； （2）为使离子能够到达面，环形区域内磁场的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当磁感应强度为时，离子恰好垂直边界从中点Q射出，根据几何关系可知，圆周运动半径 且 解得 电场中 解得 （2）若磁感应强度为B1时，粒子恰好能打在G1位置，轨迹半径为r1，根据几何关系 解得 且 解得 若磁感应强度为B2时，粒子恰好能打在G位置，轨迹半径为r2，根据几何关系 解得 同理解得 为使离子能够到达面，环形区域内磁场的取值范围 提升练习 13.如图8所示，MN是一圆的直径，在圆形区域内，MN的左、右两侧存在方向分别垂直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B、2B。将由三段粗细相同的同一材料的导体所构成的正三角形abc置于圆形平面内，其中c与M重合、N为圆与ab边相切的切点。再将正三角形的a、c两点接入电路，电路中的电流由a流入三角形、由c流出，大小为I。已知正三角形的边长为L，则正三角形abc受到的安培力大小为(　　) 图8 A.BIL B.BIL C.BIL D.BIL 答案　B 解析　正三角形abc中，ac、bc在磁场中受安培力的作用，ab不在磁场中而不受安培力的作用，ac在磁场中的有效长度为Lac＝Lcos 30°·cos 30°＝L，ac中的电流为Iac＝I，则ac所受安培力的大小为Fac＝B·I·L＝BIL；同理，bc所受安培力的大小为Fbc＝2B·I·L＝BIL，ac、bc所受安培力的大小相等，夹角为120°，故正三角形abc受到的安培力大小为F＝Fac＝BIL，故B正确。 14.(多选)如图9，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) 图9 A.粒子一定带负电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L D.粒子入射速率为 答案　CD 解析　由题意知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲所示。 甲 粒子运动的轨迹半径r＝＝2L 洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 解得粒子入射速率为v＝，故D正确； 若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙所示。 乙 根据几何关系可知粒子离开磁场时速度方向与x轴不垂直，故B错误；粒子离开磁场距离O点最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙所示。 丙 根据几何关系可得(2r)2＝(L)2＋x，解得xm＝3L，故C正确。 15.如图10所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面入射，不计粒子重力，重力加速度为g。 图10 (1)若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A(a，0)点，求粒子速度v0的大小； (2)若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t＝恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标。 答案　(1)　(2)g－ 解析　(1)由题意可知，粒子在x轴下方的轨迹为半圆，轨道半径r1＝ 洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m 解得v0＝。 (2)若粒子以速度v沿y轴负方向进入磁场，有 qvB＝m 解得r2＝ 粒子做匀速圆周运动的周期为T 有T＝＝ 则相遇时间为t＝＝T 在这段时间内粒子转动的圆心角为θ，有 θ＝×360°＝150° 如图所示，相遇点的纵坐标绝对值为r2sin 30°＝ 小球抛出点的纵坐标为 y＝g－。 16.(多选)地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图11所示，O为地球球心，R为地球半径。地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是(　　) 图11 A.若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可以到达地面 B.若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均无法到达地面 C.若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 D.若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面 答案　BD 解析　若粒子的速率为，粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，若粒子的射入方向在正对O处以上，根据左手定则可知，其粒子的轨迹为向上偏转，则入射到磁场的粒子均不可能到达地面，故A错误，B正确；若粒子的速率为，由qvB＝m，解得r＝R，若粒子正对着O处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如图所示。设该轨迹半径为r1，由几何关系可得－r1＝R，解得r1＝R≠r，故C错误；若粒子速率为，由qv2B＝m，解得r2＝＝r1，由C项的分析可知，此时若粒子正对着O处入射，则恰好可以到达地面；而在对着O处以上的方向入射的粒子，因为向上偏转，均不能到达地面；而在对着O处以下的方向入射的粒子均会达到地面。综上所述，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面，故D正确。 17（2023·全国甲卷·高考真题）（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）    A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 【答案】BD 【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图，为圆周运动的圆心    由几何关系可知为直角，即粒子此时的速度方向为，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性在其它点撞击同理，D正确； A．假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误； B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示    即撞击两次，B正确； C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C错误。 故选BD。 18（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知 可得 且 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有 当有最大值时，最大，R最大，此时，又 ， 联立可得 ， （3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有 由牛顿第二定律知 又 联立得 19（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经边的中点速度水平向右，设粒子到达边的中点速度大小为，带电荷量为，质量为，由平衡条件则有 解得 （2）粒子从b点到边的中点的运动，可逆向看做从边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为，加速度大小为，由牛顿第二定律可得 由类平抛运动规律可得 联立解得粒子的电荷量与质量之比 （3）粒子从中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为，由几何关系可知 可得 则有 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲　磁场及带电粒子在磁场中的运动 热点一　磁场的基本性质　安培力 1.磁场叠加问题的解题思路 (1)确定磁场场源，如通电导线。 (2)定位空间中需求解磁场的点，确定各个场源在这一点产生磁场的磁感应强度的大小和方向。 (3)应用平行四边形定则进行合成。 2.用准“两个定则” (1)对电流的磁场用安培定则(右手螺旋定则)，并注意磁场的叠加。 (2)对通电导线在磁场中所受的安培力用左手定则。 3.熟悉“两个等效模型” (1)变曲为直：图1甲所示的通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。 图1 (2)化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示。 例1 如图2甲所示为安装在某特高压输电线路上的一个六分导线间隔棒，图乙为其截面图。间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点a、b、c、d、e、f上，O为正六边形的中心。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比。某瞬时，6条输电导线中均通过垂直纸面向外、大小相等的电流，其中a导线中的电流对b导线中电流的安培力大小为F，该时刻(　　) 图2 A.O点的磁感应强度方向垂直于cf向下 B.b、c、d、e、f处5根导线在a处产生磁场的磁感应强度方向沿aO，由a指向O C.c导线所受安培力方向沿Oc指向c D.a导线所受安培力为2.5F 训练1（2024·甘肃·高考真题）如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为（　　） A．，方向向左 B．，方向向右 C．，方向向左 D．，方向向右 跟踪训练2 如图4所示，一宽为L的平行金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，在导轨上端接入电源和滑动变阻器R，电源电动势为E、内阻为r，一质量为m的金属棒ab静止在导轨上，与两导轨垂直并接触良好，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于斜面向上的匀强磁场中，金属棒的电阻为R0，导轨电阻不计。金属导轨与金属棒之间的最大静摩擦力为Ffm，重力加速度为g。闭合开关后，下列判断正确的是(　　) 图4 A.金属棒受到的安培力方向沿斜面向上 B.金属棒受到的摩擦力方向可能沿斜面向下 C.若金属棒恰好不运动，则滑动变阻器的阻值为－r－R0 D.要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器R接入电路中的最小阻值为－r－R0 考点二　带电粒子在各种边界磁场中的运动 1.基本思路 2.轨迹圆的几个基本特点 (1)带电粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图5甲所示，θ3＝θ2＝θ1)。 (2)带电粒子经过匀强磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角(如图甲所示，α1＝α2)。 (3)沿半径方向射入圆形匀强磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙所示(两侧关于圆心连线OO′对称)。 图5 3.半径确定的两种方法 方法一：由物理公式求。由于qvB＝，所以半径r＝。 方法二：由几何关系求。一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定。 4.时间确定的两种方法 方法一：由圆心角求，t＝T。 方法二：由弧长求，t＝。 例2 如图6，半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一不计重力的带电粒子从图中A点以速度v0垂直磁场射入，速度方向与半径方向成45°角，当该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了180°，下列说法正确的是(　　) 图6 A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子出磁场时速度方向的反向延长线通过O点 D.该粒子在磁场中的运动时间为 训练1（2024·四川泸州·二模）如图所示，在半径的圆形区域内分布着磁感应强度的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向四周发射速率大小的同种粒子，已知在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远且，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： （1）粒子的比荷； （2）从N处离开磁场的粒子，在磁场中运动的时间。 训练2（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场，磁场半径为L，方向垂直纸面向外，离开圆形磁场时速度方向与水平向右方向夹角为60º，求： （1）粒子射入磁场的速度大小； （2）粒子在矩形磁场中运动的时间； （3）圆形磁场的磁感应强度。    例3 如图7所示，边长为L的正三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。D为BC的中点，有一群带电量为＋q、质量为m的粒子从D点以不同速率沿与BC成30°角的方向射入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，求： 图7 (1)粒子在磁场中运动的最长时间t； (2)从AC边射出的粒子的速度取值范围。 训练1 如图8所示，边长为a＝0.4 m正方形区域ABCD内无磁场，正方形中线PQ将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为B＝0.2 T的匀强磁场区域，PQ右侧磁场方向垂直于纸面向外，PQ左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为m＝1×10－8 kg、电荷量为q＝2×10－6 C的正粒子从AB中点以某一速率垂直于AB射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是(　　) 图8 A.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的最大速度为12 m/s B.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为10 m/s C.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 m/s D.若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为2 m/s 跟踪训练2 (多选)如图9所示，虚线MN右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个带同种电荷的带电粒子从虚线上同一点A分别以速度v1、v2与MN成相同角度θ垂直磁场方向射入匀强磁场，结果两粒子在边界上B点相遇。不考虑粒子间的相互作用力，不计两粒子的重力。则(　　) 图9 A.若两粒子的比荷相等，则v1＝v2 B.若两粒子的比荷相等，则＝ C.若两粒子同时从A点射入，则∶＝ D.若两粒子同时从A点射入，则∶＝1 高考真题 1.(2023·江苏卷，2)如图10所示，匀强磁场的磁感应强度为B，L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中。已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行。该导线受到的安培力为(　　) 图10 A.0 B.BIl C.2BIl D.BIl 2.(2023·全国乙卷，18)如图11，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面(xOy平面)向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点，SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为(　　) 图11 A. B. C. D. 3.(多选)(2023·全国甲卷，20)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图12所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是(　　) 图12 A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 4（2024·辽宁辽阳·一模）（多选）如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（ ） A． 粒子在磁场中运动的半径为 B． A点到CD的距离为 C． 粒子在磁场中运动的位移大小为 D． D．粒子在磁场中运动的时间为 5（2023·福建·高考真题）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两个氖离子在O处以相同速度v垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M和N处。已知某次实验中，，落在M处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为；P、O、M、N、P'在同一直线上；离子重力不计。 （1）求OM的长度； （2）若ON的长度是OM的1.1倍，求落在N处氖离子的比荷。 作业练习 基础练习 1.如图1，匀强磁场的磁感应强度大小为B0、方向垂直于纸面向里，无限长通电直导线位于纸面内，在纸面内的M、N位于导线两侧，其连线与导线垂直，且M、N两点到导线的距离之比为6∶5。经测量，N点的磁感应强度大小是M点磁感应强度大小的2倍，且方向相同。已知无限长通电直导线在真空中某点产生的磁感应强度大小为B＝k，其中k为常量，I为通电直导线中的电流，r为该点到导线的距离，则无限长通电直导线在M点产生的磁感应强度大小为(　　) 图1 A.B0 B.B0 C.B0 D.B0 2.在光滑水平桌面上将长为πl的软导线两端固定，固定点的距离为2l，导线通有电流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(　　) A.IlB B.2IlB C.πIlB D.2πIlB 3.(2023·广东卷，5)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV。根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10－19 J)(　　) A.3.6×106 m/s B.1.2×107 m/s C.5.4×107 m/s D.2.4×108 m/s 4.电磁炮的原理如图2所示，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，导轨平面内具有垂直于导轨平面的匀强磁场，带有炮弹的金属框架垂直放在导轨上，且始终与导轨保持良好接触。已知磁场的磁感应强度大小为B，电源的内阻为r，两导轨间距为L，金属框架和炮弹的总质量为m，金属框架的电阻为R。通电后，炮弹随金属框架滑行距离s后获得的发射速度为v。不计空气阻力、金属框架与导轨间的摩擦和导轨电阻，不考虑金属框架切割磁感线产生的感应电动势，下列说法正确的是(　　) 图2 A.匀强磁场的方向竖直向下 B.金属框架受到的安培力大小为F＝ C.通过金属框架的电流为I＝ D.电源的电动势为E＝ 5.(多选)如图3所示，O点为两个半圆的圆心，两个半圆间的区域内(含边界)有垂直纸面向外的磁场(图中没有画出)，磁感应强度大小与到圆心O的距离成反比。粒子a、b从左边入口进入，分别沿着内半圆和外半圆做匀速圆周运动。已知内、外半圆的半径之比为1∶2，粒子a、b的质量之比为1∶2，电量之比为1∶2，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是(　　) 图3 A.粒子a、b的速度大小之比为1∶1 B.粒子a、b的速度大小之比为1∶2 C.粒子a、b在磁场中运动时间之比为1∶1 D.粒子a、b在磁场中运动时间之比为2∶1 6.(多选)如图4所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P(a>0，b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是(　　) 图4 A.t1<t2 B.t1> t2 C.Ek1<Ek2 D.Ek1>Ek2 7.(多选)如图5，圆心在O点、半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一电荷量为＋q、质量为m的粒子垂直射入磁场区域，O到入射速度所在直线的距离为，已知粒子射出磁场时的方向与射入时的方向垂直，不计重力，则下列说法正确的是(　　) 图5 A.粒子在磁场中运动的时间t＝ B.粒子在磁场中运动的时间t＝ C.粒子在磁场中的速率v＝ D.粒子在磁场中的速率v＝ 8.(多选)如图6区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，CD和MN是两平行边界，区域宽度为d。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同速率、沿纸面内各个方向，由边界CD上的O点射入磁场，入射速度大小为。不考虑粒子间相互影响，不计粒子重力，磁场区域足够长，则(　　) 图6 A.粒子在磁场区域中运动的最长时间为 B.粒子在磁场区域中运动的最长时间为 C.粒子在磁场区域中运动的最短时间为 D.粒子在磁场区域中运动的最短时间为 9.如图7所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子(重力不计)以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径分别为r1、r2，运动时间分别为t1、t2。下列说法正确的是(　　) 图7 A.粒子带正电 B.r1∶r2＝2∶1 C.v1∶v2＝3∶1 D.t1∶t2＝1∶4 10 （2023高三·全国·专题练习）如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（　　） A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等 B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长 C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度 11（2023·河南开封·模拟预测）虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚线OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带负电的粒子沿纸面以大小为v的速度从O点右侧距离为L的A点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计重力。则粒子在磁场中做圆周运动的半径为（　　） A． B． C．2L D．3L 12（2023·广东茂名·一模）半导体有着广泛的应用，人们通过离子注入的方式优化半导体以满足不同的需求。离子注入系统的原理简化如图所示。质量为m、电荷量为q的正离子经电场加速后从中点P垂直OE射入四分之一环形匀强磁场，环形磁场圆心为O，内环半径，外环半径，磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度为时，离子恰好垂直边界从中点Q射出。不考虑离子重力以及离子间的相互作用。求： （1）加速电场M、N两板间的电压； （2）为使离子能够到达面，环形区域内磁场的取值范围。 提升练习 13.如图8所示，MN是一圆的直径，在圆形区域内，MN的左、右两侧存在方向分别垂直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B、2B。将由三段粗细相同的同一材料的导体所构成的正三角形abc置于圆形平面内，其中c与M重合、N为圆与ab边相切的切点。再将正三角形的a、c两点接入电路，电路中的电流由a流入三角形、由c流出，大小为I。已知正三角形的边长为L，则正三角形abc受到的安培力大小为(　　) 图8 A.BIL B.BIL C.BIL D.BIL 14.(多选)如图9，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) 图9 A.粒子一定带负电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L D.粒子入射速率为 15.如图10所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面入射，不计粒子重力，重力加速度为g。 图10 (1)若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A(a，0)点，求粒子速度v0的大小； (2)若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t＝恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标。 16.(多选)地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图11所示，O为地球球心，R为地球半径。地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是(　　) 图11 A.若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可以到达地面 B.若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均无法到达地面 C.若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 D.若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面 17（2023·全国甲卷·高考真题）（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）    A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 18（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 19（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$