第11讲 动力学、能量和动量的综合应用 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第11讲 动力学、能量和动量的综合应用 高考真题 例1 (2023·天津卷，11)一质量为mA＝2 kg的A物体从距地面h＝1.2 m处由静止自由下落，同时另一质量为mB＝1 kg的B物体从A物体的正下方地面上竖直向上抛出，经过t＝0.2 s两物体相遇，碰撞后立刻粘在一起运动，已知重力加速度g＝10 m/s2，碰撞时间极短，不计空气阻力。求两物体： (1)碰撞时离地面的高度x； (2)碰后瞬间的速度v； (3)碰撞过程损失的机械能ΔE。 答案　(1)1 m　(2)0　(3)12 J 解析　(1)对A物体，根据运动学公式可得 h－x＝gt2 解得x＝1 m。 (2)设B物体从地面竖直向上抛出时的速度为vB0，根据运动学公式可知 x＝vB0t－gt2 解得vB0＝6 m/s 根据运动学公式可得碰撞前瞬间A物体的速度大小为 vA＝gt＝2 m/s 方向竖直向下 碰撞前瞬间B物体的速度大小为 vB＝vB0－gt＝4 m/s 方向竖直向上 选竖直向下为正方向，由动量守恒定律可得 mAvA－mBvB＝(mA＋mB)v 解得碰后瞬间的速度v＝0。 (3)根据能量守恒定律可知碰撞过程损失的机械能为 ΔE＝mAv＋mBv－(mA＋mB)v2 解得ΔE＝12 J。 训练1（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1s后速度为 故选B。 训练2（2024·山东济南·三模）（多选）质量为的物块从距离地面高度为处自由下落，在下落到距离地面高度为时，质量为的子弹以的水平速度瞬间击中物块并留在其中。重力加速度取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．子弹击中物块后瞬间，物块水平方向的速度大小变为 B．子弹击中物块后瞬间，物块竖直方向的速度大小变为 C．物块下落的总时间为 D．物块下落的总时间为 【答案】AC 【详解】A．子弹击中物块后瞬间，水平方向动量守恒，则 解得物块水平方向的速度大小变为 选项A正确； B．子弹击中木块之前物块的竖直速度 子弹击中物块后瞬间，由竖直方向动量守恒可知 解得物块竖直方向的速度大小变为 选项B错误； CD．子弹击中木块之前物块下落的时间 被子弹击中后物块下落时，根据 解得 t2=1s （另一值舍掉），则总时间为 选项C正确，D错误。 故选AC。 例2 (2023·成都七中模拟)如图1所示，半径为R的光滑四分之一圆弧轨道AB固定在竖直面内，其B端刚好与水平面相切，水平面BD部分光滑，D点右侧部分粗糙且足够长，质量为3m的物块b放在水平面上的C点，质量为m的物块a从圆弧轨道的最高点A由静止释放，物块a沿圆弧面下滑到水平面上与物块b发生正碰。不计两个物块大小，已知重力加速度为g，物块与水平面粗糙部分的动摩擦因数为0.5，试回答下列问题： 图1 (1)a与b碰撞前的瞬间a的速度大小； (2)若a与b碰撞后粘在一起，则碰撞后a、b在粗糙水平面上滑行的距离； (3)若a与b发生弹性碰撞，求碰撞过程b对a的冲量及物块a、b最终静止在粗糙水平面上时的间距。 答案　(1)　(2)R　(3)m，方向水平向左　0 解析　(1)设a与b碰撞前的一瞬间，a的速度大小为v0，根据机械能守恒定律有mgR＝mv 解得v0＝。 (2)设碰撞后的共同速度为v，根据动量守恒定律有 mv0＝4mv 解得v＝v0 设两物块在粗糙水平面上滑动的距离为x，根据动能定理得 －μ·4mgx＝0－×4mv2 解得x＝＝R。 (3)设碰撞后一瞬间a、b的速度大小分别为v1、v2， 根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋3mv2 根据能量守恒定律有mv＝mv＋×3mv 解得v1＝－v0，v2＝v0 a、b碰撞过程，根据动量定理，b对a的冲量为 I＝mv1－mv0＝－m 即b对a的冲量大小为m，方向水平向左。 碰后a被反向弹回，滑上凹面上后返回再次进入水平面，由于a、b滑上粗糙水平面时的初速度大小相同，由动能定理可知，两物块在水平面上滑行的距离相同，即物块a、b静止在粗糙水平面上时相距的距离为0。 训练1（2024·广东·高考真题）（多选）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别从、高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止 B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度 C．乙的运动时间与无关 D．甲最终停止位置与O处相距 【答案】ABD 【详解】A．两滑块在光滑斜坡上加速度相同，同时由静止开始下滑，则相对速度为0，故A正确； B．两滑块滑到水平面后均做匀减速运动，由于两滑块质量相同，且发生弹性碰撞，可知碰后两滑块交换速度，即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度，故B正确； C．设斜面倾角为θ，乙下滑过程有 在水平面运动一段时间t2后与甲相碰，碰后以甲碰前速度做匀减速运动t3，乙运动的时间为 由于t1与有关，则总时间与有关，故C错误； D．乙下滑过程有 由于甲和乙发生弹性碰撞，交换速度，则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同；则如果不发生碰撞，乙在水平面运动到停止有 联立可得 即发生碰撞后甲最终停止位置与O处相距，故D正确。 故选ABD。 训练2（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【答案】（1）；（2）0；（3） 【详解】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有 解得      （2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有 小物块从C到D的过程中，根据动能定理有 则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有 联立解得 ，HBD = 0 （3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 S = π∙2R 解得 例3 (2023·辽宁卷，15)如图2，质量m1＝1 kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k＝20 N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2＝4 kg的小物块以水平向右的速度v0＝ m/s滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep＝kx2，取重力加速度g＝10 m/s2，结果可用根式表示。 图2 (1)求木板刚接触弹簧时速度v1的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； (2)求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； (3)已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能ΔU(用t0表示)。 答案　(1)1 m/s　0.125 m　(2)0.25 m　 m/s　(3)4(t0－2t)J 解析　(1)小物块从滑上木板到两者共速的过程，由动量守恒定律有 m2v0＝(m1＋m2)v1 解得v1＝1 m/s 两者共速前，对木板，由牛顿第二定律有 μm2g＝m1a 解得a＝4 m/s2 由运动学公式有2ax1＝v 解得x1＝0.125 m。 (2)木板与弹簧接触后，物块与木板先一起减速，当物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，两者之间即将相对滑动 对物块有μm2g＝m2a′ 对整体有kx2＝(m1＋m2)a′ 解得x2＝0.25 m 从木板接触弹簧到物块与木板之间即将相对滑动的过程，物块、木板和弹簧三者组成的系统机械能守恒，有 (m1＋m2)v＝(m1＋m2)v＋kx 解得v2＝ m/s。 (3)木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0，木板从速度为0到物块与木板加速度首次相同，弹簧又回到了物块和木板刚要相对滑动的位置，考虑到木板返回时，受力与木板压缩弹簧时相同，故木板的速度大小又变为v2＝ m/s，木板返回所用时间也为t0，在此2t0的时间内，对物块由动量定理有 －μm2g·2t0＝m2v3－m2v2 解得v3＝m/s 在此2t0的时间内，弹簧的初末弹性势能不变，木板的初末动能不变，故对系统，由能量守恒定律有 ΔU＝m2v－m2v 解得ΔU＝4(t0－2t)J。 训练1（2024·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 【答案】AD 【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为，则有 子弹和木块相互作用过程中合力都为，因此子弹和物块的加速度分别为 由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为 联立上式可得 因此木块的速度最大即取极值即可，该函数在到无穷单调递减，因此当木块的速度最大，A正确； B．则子弹穿过木块时木块的速度为 由运动学公式 可得 故B错误； C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即 故C错误； D．木块加速过程运动的距离为 故D正确。 故选AD。 训练2（2024·广东·二模）如图所示，质量为m的足够长的木板放在光滑的水平地面上，与木板右端距离为x的地面上立有一柔性挡板，木板与挡板发生连续碰撞时速度都会连续发生衰减，当木板与挡板发生第n次碰撞时，碰后瞬间的速度大小与第一次碰前瞬间的速度大小满足关系式。现有一质量为2m的物块以速度从左端冲上木板，造成了木板与柔性挡板的连续碰撞（碰撞时间均忽略不计），物块与木板间的动摩擦因数为。已知重力加速度为g，在木板停止运动前，物块都不会和木板共速。 （1）物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小； （2）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量； （3）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）对物块由牛顿第二定律有 解得 对木板由牛顿第二定律有 解得 （2）从开始运动到第一次碰撞挡板有 从木板开始运动到发生第一次碰撞时的时间为 这段时间内，物块的位移 解得 故摩擦产生的热量为 解得 （3）第一次碰撞前，木板的速度 第一次碰撞后的速度 第二次碰前的速度 故第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为 故从木板开始运动到第二次碰撞时的时间间隔为 第二次碰撞后的速度 第三次碰前的速度 故第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔为 故从木板开始运动到第三次碰撞时的时间间隔为 归纳可知，从木板开始运动到第n次碰撞时的时间间隔为 该过程中，物块始终做匀减速运动，故对物块由运动学公式有 代入数据解得 跟踪训练 1.工人使用一块长L＝4 m的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上(与平台等高)，另一端固定在地面，形成倾角θ＝37°的斜面。工人甲从木板底部推动质量M＝3 kg的小车，使小车以v0＝12 m/s的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以v1＝1.6 m/s的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零(可认为该过程动量守恒)。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为k＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，小车和货物均可视为质点，求： 图1 (1)货物抛出点距平台的高度； (2)货物的质量m。 答案　(1)0.072 m　(2)12 kg 解析　(1)由于货物落入小车时速度方向沿着斜面方向，则有 vy＝v1tan θ＝1.2 m/s 竖直方向货物做自由落体运动，则有 v＝2gh 解得h＝0.072 m。 (2)由牛顿第二定律得，小车沿斜面向上运动的加速度大小为 a1＝＝10 m/s2 根据运动学公式可得 v－v＝－2a1L 解得vt＝8 m/s 货物落入小车前瞬间的速度为v＝＝2 m/s 货物和小车碰撞瞬间沿斜面方向动量守恒，则有 mv－Mvt＝0 解得m＝12 kg。 2.如图2所示，在水平面上依次放置小物块C、A以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m＝1 kg，曲面劈B的质量M＝3 kg，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，除A、C间粗糙外，其他各接触面均光滑。已知A、C间距离为L＝2.25 m，动摩擦因数为μ＝0.2，现给C一个初速度v0＝5 m/s，与A碰撞后合成一物体AC，然后滑上B。求： 图2 (1)C与A碰撞过程中损失的机械能； (2)碰后物块AC在曲面劈B上能够达到的最大高度； (3)物块AC从曲面劈B滑离时B的速度。 答案　(1)4 J　(2)0.12 m　(3)1.6 m/s 解析　(1)设C与A碰撞前的速度为v1， 由动能定理可得－μmgL＝mv－mv 解得v1＝4 m/s 设C与A相碰后共同速度为v2，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得mv1＝(m＋m)v2 解得v2＝2 m/s 根据能量守恒定律得 mv＝(m＋m)v＋ΔE 解得ΔE＝4 J。 (2)碰后A、C一起与B作用，当碰后物块AC到达最高点时，竖直方向速度为零，水平方向动量守恒，有 2mv2＝(2m＋M)v3 解得v3＝0.8 m/s 根据能量守恒定律得 ×2mv＝(2m＋M)v＋2mgh 解得h＝0.12 m。 (3)AC与B整个作用过程动量守恒、机械能守恒，有 2mv2＝Mv4＋2mv5 ×2mv＝Mv＋×2mv 解得v4＝1.6 m/s。 3.（2023·重庆·高考真题）机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求： （1）提升高度为h时，工件的速度大小； （2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。    【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）根据匀变速直线运动位移与速度关系有 解得 （2）根据速度公式有 解得 根据动能定理有 解得 4.(2023·6月浙江选考，18)为了探究物体间碰撞特性，设计了如图4所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R＝0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数k＝100 N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m＝0.12 kg的滑块a以初速度v0＝2 m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L＝0.8 m，以v＝2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能Ep＝kx2(x为形变量)。 图4 (1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； (2)若滑块a碰后返回到B点时速度vB＝1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能ΔE； (3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。 答案　(1)10 m/s　31.2 N　(2)0　(3)0.2 m 解析　(1)滑块a以初速度v0从D处进入竖直圆弧轨道DEF运动，由动能定理有 mg·2R＝mv－mv 解得vF＝10 m/s 在最低点F，由牛顿第二定律有FN－mg＝m 解得FN＝31.2 N。 (2)碰撞后滑块a返回到B点的过程， 由动能定理有 －mg·2R－μmgL＝mv－mv 解得va＝5 m/s 滑块a、b碰撞过程，由动量守恒定律有 mvF＝－mva＋3mvb 解得vb＝5 m/s 碰撞过程中损失的机械能 ΔE＝mv－mv－×3mv＝0。 (3)滑块a碰撞b后立即被粘住，由动量守恒定律有 mvF＝(m＋3m)vab 解得vab＝2.5 m/s 滑块ab一起向右运动，压缩弹簧，ab减速运动，c加速运动，当abc三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有 (m＋3m)vab＝(m＋3m＋2m)vabc 解得vabc＝ m/s 由机械能守恒定律有 Ep1＝×4mv－×6mv 解得Ep1＝0.5 J 由Ep1＝kx解得最大压缩量x1＝0.1 m 滑块ab一起继续向右运动，弹簧弹力使c继续加速，使ab继续减速，当弹簧弹力减小到零时，c速度最大，ab速度最小；滑块ab一起再继续向右运动，弹簧弹力使c减速，ab加速，当abc三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量x2＝0.1 m 所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 Δx＝x1＋x2＝0.2 m。 5.（2024·北京房山·一模）山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动。滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为45°的斜坡，BC是半径为R = 5m的圆弧面，圆弧面和斜坡相切于B，与水平面相切于C，如图所示，AC竖直高度h1 = 10m，竖直台阶CD高度为h2 = 5m，台阶底端与水平面DE相连。运动员连同滑雪装备总质量为80kg，从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s。通过C点后落到水平面上，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）运动员经过C点时受到的支持力大小N。 （2）运动员在DE上的落点距D点的距离x。 （3）从A点运动到C点，摩擦力对运动员做的功W。 【答案】（1）3936N；（2）14m；（3）160J 【详解】（1）由题知运动员连同滑雪装备从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s，则运动员在C点有 解得 NC = 3936N （2）运动员连同滑雪装备从C点飞出做平抛运动，则有 x = vCt 联立解得 x = 14m （3）运动员连同滑雪装备从A点运动到C点右 解得 Wf = 160J 6.（2024·广东广州·二模）图（a）是水平放置的“硬币弹射器”装置简图，图（b）是其俯视图。滑槽内的撞板通过两橡皮绳与木板相连，其厚度与一个硬币的相同。滑槽出口端的“币仓”可叠放多个相同的硬币。撞板每次被拉动至同一位置后静止释放，与底层硬币发生弹性正碰；碰后，撞板立即被锁定，底层硬币被弹出，上一层硬币掉下补位。底层硬币被撞后在摩擦力作用下减速，最后平抛落到水平地面上。已知每个硬币质量为m，撞板质量为3m；每次撞板从静止释放到撞击硬币前瞬间，克服摩擦力做功为W，两橡皮绳对撞板做的总功为4W；忽略空气阻力，硬币不翻转。 （1）求撞板撞击硬币前瞬间，撞板的速度v； （2）当“币仓”中仅有一个硬币时，硬币被撞击后到抛出过程，克服摩擦力做功Wf为其初动能的，求； （3）已知“币仓”中有n（n≤10）个硬币时，底层硬币冲出滑槽过程中克服摩擦力做功为；试讨论两次“币仓”中分别叠放多少个硬币时，可使底层硬币平抛的水平射程之比为。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）对撞板与硬币构成的系统，由于发生的是弹性碰撞，则有 ， 解得 克服摩擦力做功Wf为其初动能的，则有 解得 （3）平抛运动过程有 ，， 根据题意有 底层硬币冲出滑槽过程中克服摩擦力做功为，根据动能定理有 ， 结合上述有 由于n≤10，则有 ，或，或， 7.（2024·广东·一模）如图，运动员练习单杠下杠：双手抓住单杠与肩同宽，伸展身体，其重心以单杠为轴做圆周运动，重心通过单杠正上方A点时速率，转至点时脱离单杠，重心经过最高点，最后落到地面，点为落地时的重心位置。已知运动员的质量，做圆周运动时其重心到单杠的距离；脱离单杠后运动员在空中上升与下降的时间之比为5：7，B、D两点的高度差为，重心在点时速率；g取，A、B、C、D在同一竖直平面，忽略空气阻力，不考虑体能的消耗与转化。求： （1）运动员在A点时，单杠对每只手的弹力大小和方向； （2）C、D两点间的水平距离； （3）从A点运动至B点过程中合外力对运动员做的功。 【答案】（1），方向竖直向上；（2）；（3） 【详解】（1）设单杠对每只手的弹力大小为，方向竖直向上，则运动员在A点时，由牛顿第二定律 代入数据解得 方向竖直向上。 （2）设运动员从到的时间为，从到的时间为，B、C两点的高度差设为，C、D两点的高度差设为。由合运动与分运动的关系可知，运动员从到的运动可看做是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动；从到的运动可看做是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，则 B、D两点间的高度差 C、D两点的水平距离为 联立解得C、D两点间的水平距离为 （3）设运动员在点时速度为，则 又 ， 运动员从A到点的过程中，根据动能定理可知 联立解得从A点运动至B点过程中合外力对运动员做的功为 8.（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m 【详解】（1）滑块a从D到F，由能量关系 在F点 解得 FN=31.2N （2）滑块a返回B点时的速度vB=1m/s，滑块a一直在传送带上减速，加速度大小为 根据 可得在C点的速度 vC=3m/s 则滑块a从碰撞后到到达C点 解得 v1=5m/s 因ab碰撞动量守恒，则 解得碰后b的速度 v2=5m/s 则碰撞损失的能量 （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，则ab碰后的共同速度 解得 v=2.5m/s 当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度 则 当弹簧被压缩到最短时压缩量为x1，由能量关系 解得 同理当弹簧被拉到最长时伸长量为 x2=x1 则弹簧最大长度与最小长度之差 9.（2023·山东·高考真题）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。 （1）求C下滑的高度H； （2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围； （3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W； （4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。    【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由题意可知滑块C静止滑下过程根据动能定理有 代入数据解得 （2）滑块C刚滑上B时可知C受到水平向左的摩擦力，为 木板B受到C的摩擦力水平向右，为 B受到地面的摩擦力水平向左，为 所以滑块C的加速度为 木板B的加速度为 设经过时间t1，B和C共速，有 代入数据解得 木板B的位移 共同的速度 此后B和C共同减速，加速度大小为 设再经过t2时间，物块A恰好撞上木板B，有 整理得 解得 ，（舍去） 此时B的位移 共同的速度 综上可知满足条件的s范围为 （3）由于 所以可知滑块C与木板B没有共速，对于木板B，根据运动学公式有 整理后有 解得 ，（舍去） 滑块C在这段时间的位移 所以摩擦力对C做的功 （4）因为木板B足够长，最后的状态一定会是C与B静止，物块A向左匀速运动。木板B向右运动0.48m时，有 此时A、B之间的距离为 由于B与挡板发生碰撞不损失能量，故将原速率反弹。接着B向左做匀减速运动，可得加速度大小 物块A和木板B相向运动，设经过t3时间恰好相遇，则有 整理得 解得 ，（舍去） 此时有 方向向左； 方向向右。 接着A、B发生弹性碰撞，碰前A的速度为v0=1m/s，方向向右，以水平向右为正方向，则有 代入数据解得 而此时 物块A向左的速度大于木板B和C向右的速度，由于摩擦力的作用，最后B和C静止，A向左匀速运动，系统的初动量 末动量 则整个过程动量的变化量 即大小为9.02kg⋅m/s。 10.（2023·江苏·高考真题）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）求滑雪者运动到P点的时间t； （2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v； （3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）滑雪者从A到P根据动能定理有 根据动量定理有 联立解得 （2）由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为0，所以当从A点下滑时，到达B点有 （3）当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 联立可得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 动力学、能量和动量的综合应用 高考真题 例1 (2023·天津卷，11)一质量为mA＝2 kg的A物体从距地面h＝1.2 m处由静止自由下落，同时另一质量为mB＝1 kg的B物体从A物体的正下方地面上竖直向上抛出，经过t＝0.2 s两物体相遇，碰撞后立刻粘在一起运动，已知重力加速度g＝10 m/s2，碰撞时间极短，不计空气阻力。求两物体： (1)碰撞时离地面的高度x； (2)碰后瞬间的速度v； (3)碰撞过程损失的机械能ΔE。 训练1（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　） A． B． C． D． 训练2（2024·山东济南·三模）（多选）质量为的物块从距离地面高度为处自由下落，在下落到距离地面高度为时，质量为的子弹以的水平速度瞬间击中物块并留在其中。重力加速度取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．子弹击中物块后瞬间，物块水平方向的速度大小变为 B．子弹击中物块后瞬间，物块竖直方向的速度大小变为 C．物块下落的总时间为 D．物块下落的总时间为 例2 (2023·成都七中模拟)如图1所示，半径为R的光滑四分之一圆弧轨道AB固定在竖直面内，其B端刚好与水平面相切，水平面BD部分光滑，D点右侧部分粗糙且足够长，质量为3m的物块b放在水平面上的C点，质量为m的物块a从圆弧轨道的最高点A由静止释放，物块a沿圆弧面下滑到水平面上与物块b发生正碰。不计两个物块大小，已知重力加速度为g，物块与水平面粗糙部分的动摩擦因数为0.5，试回答下列问题： 图1 (1)a与b碰撞前的瞬间a的速度大小； (2)若a与b碰撞后粘在一起，则碰撞后a、b在粗糙水平面上滑行的距离； (3)若a与b发生弹性碰撞，求碰撞过程b对a的冲量及物块a、b最终静止在粗糙水平面上时的间距。 训练1（2024·广东·高考真题）（多选）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别从、高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止 B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度 C．乙的运动时间与无关 D．甲最终停止位置与O处相距 训练2（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 例3 (2023·辽宁卷，15)如图2，质量m1＝1 kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k＝20 N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2＝4 kg的小物块以水平向右的速度v0＝ m/s滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep＝kx2，取重力加速度g＝10 m/s2，结果可用根式表示。 图2 (1)求木板刚接触弹簧时速度v1的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； (2)求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； (3)已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能ΔU(用t0表示)。 训练1（2024·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 训练2（2024·广东·二模）如图所示，质量为m的足够长的木板放在光滑的水平地面上，与木板右端距离为x的地面上立有一柔性挡板，木板与挡板发生连续碰撞时速度都会连续发生衰减，当木板与挡板发生第n次碰撞时，碰后瞬间的速度大小与第一次碰前瞬间的速度大小满足关系式。现有一质量为2m的物块以速度从左端冲上木板，造成了木板与柔性挡板的连续碰撞（碰撞时间均忽略不计），物块与木板间的动摩擦因数为。已知重力加速度为g，在木板停止运动前，物块都不会和木板共速。 （1）物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小； （2）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量； （3）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。 跟踪训练 1.工人使用一块长L＝4 m的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上(与平台等高)，另一端固定在地面，形成倾角θ＝37°的斜面。工人甲从木板底部推动质量M＝3 kg的小车，使小车以v0＝12 m/s的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以v1＝1.6 m/s的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零(可认为该过程动量守恒)。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为k＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，小车和货物均可视为质点，求： 图1 (1)货物抛出点距平台的高度； (2)货物的质量m。 2.如图2所示，在水平面上依次放置小物块C、A以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m＝1 kg，曲面劈B的质量M＝3 kg，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，除A、C间粗糙外，其他各接触面均光滑。已知A、C间距离为L＝2.25 m，动摩擦因数为μ＝0.2，现给C一个初速度v0＝5 m/s，与A碰撞后合成一物体AC，然后滑上B。求： 图2 (1)C与A碰撞过程中损失的机械能； (2)碰后物块AC在曲面劈B上能够达到的最大高度； (3)物块AC从曲面劈B滑离时B的速度。 3.（2023·重庆·高考真题）机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求： （1）提升高度为h时，工件的速度大小； （2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。    4.(2023·6月浙江选考，18)为了探究物体间碰撞特性，设计了如图4所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R＝0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数k＝100 N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m＝0.12 kg的滑块a以初速度v0＝2 m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L＝0.8 m，以v＝2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能Ep＝kx2(x为形变量)。 图4 (1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； (2)若滑块a碰后返回到B点时速度vB＝1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能ΔE； (3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。 5.（2024·北京房山·一模）山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动。滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为45°的斜坡，BC是半径为R = 5m的圆弧面，圆弧面和斜坡相切于B，与水平面相切于C，如图所示，AC竖直高度h1 = 10m，竖直台阶CD高度为h2 = 5m，台阶底端与水平面DE相连。运动员连同滑雪装备总质量为80kg，从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s。通过C点后落到水平面上，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）运动员经过C点时受到的支持力大小N。 （2）运动员在DE上的落点距D点的距离x。 （3）从A点运动到C点，摩擦力对运动员做的功W。 6.（2024·广东广州·二模）图（a）是水平放置的“硬币弹射器”装置简图，图（b）是其俯视图。滑槽内的撞板通过两橡皮绳与木板相连，其厚度与一个硬币的相同。滑槽出口端的“币仓”可叠放多个相同的硬币。撞板每次被拉动至同一位置后静止释放，与底层硬币发生弹性正碰；碰后，撞板立即被锁定，底层硬币被弹出，上一层硬币掉下补位。底层硬币被撞后在摩擦力作用下减速，最后平抛落到水平地面上。已知每个硬币质量为m，撞板质量为3m；每次撞板从静止释放到撞击硬币前瞬间，克服摩擦力做功为W，两橡皮绳对撞板做的总功为4W；忽略空气阻力，硬币不翻转。 （1）求撞板撞击硬币前瞬间，撞板的速度v； （2）当“币仓”中仅有一个硬币时，硬币被撞击后到抛出过程，克服摩擦力做功Wf为其初动能的，求； （3）已知“币仓”中有n（n≤10）个硬币时，底层硬币冲出滑槽过程中克服摩擦力做功为；试讨论两次“币仓”中分别叠放多少个硬币时，可使底层硬币平抛的水平射程之比为。 7.（2024·广东·一模）如图，运动员练习单杠下杠：双手抓住单杠与肩同宽，伸展身体，其重心以单杠为轴做圆周运动，重心通过单杠正上方A点时速率，转至点时脱离单杠，重心经过最高点，最后落到地面，点为落地时的重心位置。已知运动员的质量，做圆周运动时其重心到单杠的距离；脱离单杠后运动员在空中上升与下降的时间之比为5：7，B、D两点的高度差为，重心在点时速率；g取，A、B、C、D在同一竖直平面，忽略空气阻力，不考虑体能的消耗与转化。求： （1）运动员在A点时，单杠对每只手的弹力大小和方向； （2）C、D两点间的水平距离； （3）从A点运动至B点过程中合外力对运动员做的功。 8.（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 9.（2023·山东·高考真题）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。 （1）求C下滑的高度H； （2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围； （3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W； （4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。    10.（2023·江苏·高考真题）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）求滑雪者运动到P点的时间t； （2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v； （3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。    ( 1 ) 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