第10讲 板块模型中动力学、能量和动量的综合应用 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第10讲　 板块模型中动力学、能量和动量的综合应用 考点一 动力学和图像在板块模型中的应用 例1 (多选)如图1甲所示，小车B紧靠平台边缘静止在光滑水平面上，物体A(可视为质点)以初速度v0从光滑的平台水平滑到与平台等高的小车上(未冲出)，物体和小车的v－t图像如图乙所示，取重力加速度g＝10 m/s2，则以下说法正确的是(　　) 图1 A.物体A与小车B间的动摩擦因数为0.3 B.物体A与小车B的质量之比为1∶2 C.小车B的最小长度为2 m D.如果仅增大物体A的质量，物体A有可能冲出去 答案　AC 解析　物体A滑上小车B后做匀减速直线运动，对物体A分析有μmAg＝mAaA，由v－t图像可得aA＝＝ m/s2＝3 m/s2，联立解得μ＝0.3，故A正确；对小车B分析有μmAg＝mBaB，由v－t图像可得aB＝＝ m/s2＝1 m/s2，联立解得＝，故B错误；小车B的最小长度为物体A在小车B上的最大相对滑动位移，则有Lmin＝xA－xB＝×1 m－×1 m＝2 m，故C正确；如果仅增大物体A的质量，物体A的加速度保持不变，但是小车B的加速度增大，那么两者达到共速的时间减小，则物体A与小车B的相对滑动位移减小，所以物体A不可能冲出去，故D错误。 方法总结 用动力学解决板块模型问题的思路 训练1（2023·辽宁·三模）如图所示，光滑水平地面上并排放置着质量分别为、的木板A、B，一质量的滑块C（视为质点）以初速度从A左端滑上木板，C滑离木板A时的速度大小为，最终C与木板B相对静止，则（　　）    A．木板B与滑块C最终均静止在水平地面上 B．木板B的最大速度为2m/s C．木板A的最大速度为1m/s D．整个过程，A、B、C组成的系统机械能减少了57.5J 【答案】D 【详解】ABC．整个系统水平方向动量守恒，C滑离木板A时 解得木板A的最大速度为 滑上B后，对B、C整体水平动量守恒 解得木板B的最大速度为 并且B、C一起匀速运动，故ABC错误； D．整个过程，A、B、C组成的系统机械能减少了 故D正确。 故选D。 训练2（2023·湖北·模拟预测）如图所示，质量为m的光滑圆环套在固定的水平杆上，轻绳的另一端系着质量为M的木块.质量为的子弹以大小为的水平速度射入木块，并以速度v离开木块，子弹穿过木块的时间极短.重力加速度为g，不计木块的质量损失，下列说法正确的是（　　） A．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都守恒 B．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都不守恒 C．子弹射出木块后的瞬间，圆环对杆的压力等于 D．木块上升到最高点时，速度大小为 【答案】D 【详解】AB．根据题意可知，子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量守恒，子弹克服摩擦阻力做功，机械能不守恒，故AB错误； C．子弹射出木块后的瞬间，木块有速度，根据圆周运动的规律，环对轻杆的压力大于，故C错误； D．木块上升到最高点时，环和木块的速度相等，水平方向上系统动量守恒，由动量守恒定律有 解得 故D正确。 故选D。 考点二 能量观点在板块模型中的应用 例2 如图2所示，一倾角为θ＝37°的足够长斜面体固定在水平地面上，一质量为M＝2 kg的长木板B沿着斜面以速度v0＝9 m/s匀速下滑，现把一质量为m＝1 kg的铁块A轻轻放在长木板B的左端，铁块恰好没有从长木板右端滑下，A与B间、B与斜面间的动摩擦因数相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： 图2 (1)铁块A和长木板B共速后的速度大小； (2)长木板的长度； (3)请用数值验证，铁块刚放上长木板左端时与达到共速时系统的总能量相等。 答案　(1)6 m/s　(2)2.25 m　(3)见解析 解析　(1)根据动量守恒定律有 Mv0＝(M＋m)v 解得v＝6 m/s。 (2)根据题意可知μ＝tan θ＝0.75 对铁块A受力分析有 mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1 解得a1＝12 m/s2 对长木板受力分析有 Mgsin θ－μmgcos θ－μ(M＋m)gcos θ＝Ma2 解得a2＝－6 m/s2 经过时间t速度相等，有v＝v0＋a2t＝a1t 解得t＝0.5 s，v＝6 m/s 铁块运动位移x1＝t＝1.5 m 长木板运动位移x2＝t＝3.75 m 长木板的长度l＝x2－x1＝2.25 m。 (3)系统动能的变化量 ΔEk＝(M＋m)v2－Mv＝－27 J 铁块重力势能的变化量 ΔEp1＝－mgx1sin θ＝－9 J 长木板重力势能的变化量 ΔEp2＝－Mgx2sin θ＝－45 J 长木板与斜面之间摩擦产生的热量 Q1＝μ(M＋m)gx2cos θ＝67.5 J 铁块与长木板之间摩擦产生的热量 Q2＝μmglcos θ＝13.5 J ΔEk＋ΔEp1＋ΔEp2＋Q1＋Q2＝0 故系统能量守恒。 训练1（2024·辽宁葫芦岛·一模）“南方小土豆”来东北旅游时，滑雪是深受喜欢的运动项目之一，滑雪过程可简化为如图所示。斜面与水平面平滑连接，质量为的游客从高度为的斜坡顶端无初速度滑下，并运动到水平面上的点停下。假设游客与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，，下列说法正确的是（ ） A．游客沿斜面下滑过程中机械能守恒 B．游客沿斜面下滑过程中重力的瞬时功率大小不变 C．水平距离 D．游客下滑高度一定时，斜面倾角越大，水平距离越大 【答案】C 【详解】A．游客在下滑过程中，摩擦力做负功，机械能减少，A错误； B．游客在下滑过程中，速度越来越大，根据可知，重力的瞬时功率大小在变大，B错误； CD．滑块从开始下滑到最后停在A点，设斜面投影长度为，斜面底端到A点距离为，由能量关系可知 求得 游客下滑高度一定时，斜面倾角与水平距离无关，C正确，D错误。 故选C。 训练2（2024·江苏苏州·二模）如图所示，半径为的光滑圆弧曲面与倾角为37°足够长的固定粗糙斜面在点平滑相接，质量为的小物块B恰好静止在斜面上，此时物块B与点的距离为。另一质量为的小物块A从与圆心等高处由静止释放，通过点滑上斜面，与物块B发生弹性碰撞。已知物块A与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，两物块均可视为质点，碰撞时间极短。求： （1）物块A运动到点时对曲面的压力； （2）物块A与B碰撞前的速度； （3）从物块A与B第一次碰撞到两物块再次碰撞经历的时间。 【答案】（1），与竖直方向夹角斜向下；（2）；（3） 【详解】（1）物块A从静止开始下滑到底端的过程中，由机械能守恒得 设物块A运动到N点时受到曲面的支持力为，由牛顿第二定律得 联立解得 由牛顿第三定律得曲面受到的压力 与竖直方向夹角斜向下； （2）滑上斜面后，对物块A，设加速度为a，与物块B碰撞前速度为v，由牛顿第二定律可得 由运动运动学公式可得 联立解得 （3）物块A与物块B发生弹性碰撞，碰撞后物块A速度为，物块B速度为，满足动量守恒、动能守恒，即 联立解得 因为物块B恰好静止在斜面上，碰撞后物块B匀速运动，物块A与物块B碰后，物块A以加速度a匀加速运动，设经时间t第二次碰撞，由运动学公式可得 解得 考点三 动量观点在板块模型中的应用 例3 如图3甲所示，一右端固定有竖直挡板的质量M＝2 kg的木板静置于光滑的水平面上，另一质量m＝1 kg的物块以v0＝6 m/s的水平初速度从木板的最左端P点冲上木板，最终物块在木板上Q点(图甲中未画出)与木板保持相对静止，物块和木板的运动速度随时间变化的关系图像如图乙所示。物块可视为质点。求： 图3 (1)图乙中v1、v2和v3的大小； (2)整个过程物块与木板之间因摩擦产生的热量。 答案　(1)4 m/s　3 m/s　2 m/s　(2)12 J 解析　(1)根据题意可知，题图乙中图线a表示碰撞前物块的减速运动过程，图线b表示碰撞前木板的加速过程，图线c表示碰撞后木板的减速过程，图线d表示碰撞后物块的加速过程，物块与挡板碰撞前瞬间，物块的速度大小为v1，此时木板速度大小 v木＝1 m/s 从物块滑上木板到物块与挡板碰撞前瞬间的过程，根据系统动量守恒有 mv0＝mv1＋Mv木 解得v1＝4 m/s 物块与挡板碰撞后瞬间，物块的速度为0，木板速度大小为v2，从物块滑上木板到物块与挡板碰撞后瞬间的过程，根据系统动量守恒有mv0＝Mv2 解得v2＝3 m/s 2 s末物块与木板共同运动的速度大小为v3，从物块滑上木板到最终共同匀速运动的过程，根据系统动量守恒有mv0＝(m＋M)v3 解得v3＝2 m/s。 (2)物块与挡板碰撞前瞬间，系统的动能 Ek1＝mv＋Mv＝9 J 物块与挡板碰撞后瞬间，系统的动能 Ek2＝Mv＝9 J 故碰撞过程系统没有机械能损失，物块滑上木板时系统的动能 Ek0＝mv＝18 J 最终相对静止时系统的动能 Ek3＝(m＋M)v＝6 J 所以系统产生的热量Q＝Ek0－Ek3＝12 J。 训练1（23-24高三上·山东·阶段练习）如图所示，物块A和上表面粗糙的长木板B放在光滑水平上，物块C静止在长木板B的右端，物块A的质量为2m，长木板B的质量为m。物块A以速度向右运动，与长木板B发生弹性碰撞的时间极短，物块C始终未滑离长木板B，稳定后A、B、C恰好不再碰撞。求： （1）A、B碰撞后瞬间A的速度； （2）B、C间摩擦产生的热量。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意可知A、B发生弹性碰撞时，动量守恒，机械能守恒，有 解得 ， （2）根据稳定后A、B、C恰好不再碰撞可知稳定后三者共速，B、C到达共速的过程中动量守恒，类似于完全非弹性碰撞，再根据能量守恒定律，则有 解得 ， 训练2（2024·河北·一模）如图所示，在光滑水平面上相隔一定距离放有相同的表面平整的木板B和C，B、C的质量均为2m。质量为m、可视为质点的物块A静置在木板C的最左端，A与B、C间的动摩擦因数相同。现让木板B以大小为的初速度水平向右运动，经过一段时间后，B、C相撞，碰撞时间极短，碰后B、C粘在一起，此后A滑上B板，最终三者共速一起运动。求： （1）木板B、C碰后瞬间的速度大小v； （2）整个过程中系统因摩擦产生的热量Q。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）B、C相撞，碰后B、C粘在一起，根据动量守恒定律可得 木板B、C碰后瞬间的速度大小为 （2）A滑上B板，最终三者共速，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒可得 解得整个过程中系统因摩擦产生的热量为 作业练习 1.如图1所示，静止在水平地面上的木板(厚度不计)质量为m1＝1 kg，与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，质量为m2＝2 kg且可看成质点的小物块与木板和地面间的动摩擦因数均为μ2＝0.4，以v0＝4 m/s的水平初速度从左端滑上木板，经过t＝0.6 s滑离木板，g取10 m/s2，以下说法正确的是(　　) 图1 A.木板的长度为1.68 m B.小物块离开木板时，木板的速度为1.6 m/s C.小物块离开木板后，木板的加速度大小为2 m/s2，方向水平向右 D.小物块离开木板后，木板与小物块将发生碰撞 答案　D 解析　由于μ2m2g＞μ1(m1＋m2)g，对木板，由牛顿第二定律得μ2m2g－μ1(m1＋m2)g＝m1a1，解得a1＝2 m/s2，即物块在木板上以加速度大小a2＝μ2g＝4 m/s2向右减速滑行时，木板以加速度大小a1＝2 m/s2向右加速运动，在0.6 s时，物块的速度v2＝1.6 m/s，木板的速度v1＝1.2 m/s，B错误；物块滑离木板时，物块位移为x2＝t＝1.68 m，木板位移x1＝t＝0.36 m，两者相对位移为x＝x2－x1＝1.32 m，即木板长度为1.32 m，A错误；物块离开木板后，木板做减速运动，加速度大小为a1′＝μ1g＝2 m/s2，方向水平向左，C错误；分离后，物块在地面上的加速度大小为a2′＝μ2g＝4 m/s2，在地面上物块会滑行x2′＝＝0.32 m，木板会滑行x1′＝＝0.36 m，所以两者会相碰，D正确。 2.如图2甲所示，光滑的水平地面上放着一个足够长的长木板，t＝0时，一质量为m的滑块以初速度v0滑上长木板，两者的v－t图像如图乙所示，当地的重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) 图2 A.在0～t0时间内，滑块在长木板上滑过的位移为Δx＝v0t0 B.长木板的质量为M＝2m C.在0～t0时间内，滑块受到的摩擦力为Ff＝ D.在0～t0时间内，滑块与长木板之间因摩擦而产生的热量为Q＝ 答案　C 解析　v－t图像中图线与时间轴所围的面积表示位移，由图像可知，在0～t0时间内，滑块在长木板上滑过的位移为Δx＝t0－t0＝v0t0，A错误；由于水平地面光滑，所以滑块和木板组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v0，解得M＝m，B错误；在0～t0时间内，对木板，根据动量定理得－Fft0＝M×v0－mv0，解得Ff＝，C正确；在0～t0时间内，根据能量守恒定律得Q＝Ff·Δx＝mv，D错误。 3.(多选)(2023·全国乙卷，21)如图3，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　) 图3 A.木板的动能一定等于fl B.木板的动能一定小于fl C.物块的动能一定大于mv－fl D.物块的动能一定小于mv－fl 答案　BD 解析　物块和木板的运动示意图和v－t图像如下 根据动能定理可知 对m：－fx1＝mv－mv① 对M：fx2＝Mv② 根据v－t图像与横轴围成的面积S表示物体运动的位移可知x2＝S△COF，x1＝SABFO 根据位移关系可知l＝x1－x2＝SABCO＞x2＝S△COF 因此fl＞fx2＝Mv，即木板的动能一定小于fl， A错误，B正确； 将①②两式相加得 －fl＝mv＋Mv－mv 变形得物块离开木板时的动能mv＝mv－fl－Mv＜mv－fl，C错误，D正确。 4.如图4所示，质量为2m、长为L的木板放在光滑水平地面上，其左端放有质量为m的小物块。初始时物块和木板同时获得等大反向的初速度v0，最终物块恰好没滑离木板，重力加速度为g，求： 图4 (1)小物块与木板间的动摩擦因数； (2)小物块对地向右运动的过程，木板的位移大小。 答案　(1)　(2)L 解析　(1)小物块和木板组成的系统动量守恒，最终会共速，以向左为正方向， 由动量守恒定律得2mv0－mv0＝3mv 解得v＝ 设物块和木板间的动摩擦因数为μ，全过程根据能量守恒定律有 (2m＋m)v＝(2m＋m)v2＋μmgL 解得μ＝。 (2)对小物块和木板分别有 μmg＝ma1，μmg＝2ma2 解得a1＝μg，a2＝ 小物块的速度由v0减到0的过程，小物块相对地向右运动，时间t满足v0＝a1t 则该过程木板的位移为x＝v0t－a2t2 联立解得x＝L。 5.如图5所示，光滑水平地面上有一质量为M＝2 kg的木板，木板的左端放有一质量为m＝1 kg的小木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.1。在木板两侧地面上各有一竖直固定墙壁，起初木板靠左侧墙壁静止放置。现给木块向右的水平初速度v0＝3 m/s，在此后运动过程中木板与墙壁碰撞前木块和木板均已相对静止，木块始终没有从木板上掉下。设木板与墙壁碰撞时间极短且无机械能损失，取g＝10 m/s2，求： 图5 (1)第一次碰撞墙壁对木板的冲量大小I； (2)木板的最短长度L； (3)木块与木板发生相对滑动的时间总和t。 答案　(1)4 N·s　(2)3 m　(3)4 s 解析　(1)取水平向右为正方向，当木块与木板共速时， 由动量定理可得mv0＝(M＋m)v1 解得v1＝1 m/s 因为木板与墙壁碰撞无机械能损失，所以木板与墙壁碰撞后速度大小相等，方向相反，所以第一次碰撞墙壁对木板的冲量为I＝－Mv1－Mv1 解得I＝－4 N·s 第一次碰撞墙壁对木板的冲量大小为4 N·s。 (2)木块第一次在木板上相对静止的位置到木板左端的距离为木板的最短长度。则木板最短长度为 mv－(M＋m)v＝μmgLmin 解得Lmin＝3 m。 (3)木块与木板第一次共速后，两者相对运动过程中木板始终在做减速运动，可以将木板所有减速过程连成一个完整的减速过程，其初速度为v1＝1 m/s，末速度为零，相对滑动阶段木板加速度大小 aM＝＝0.5 m/s2 第一次共速前木板加速的时间t1＝＝2 s 此后所有相对滑动时间为t′＝＝2 s 则木块与木板相对滑动总时间为t＝t1＋t′＝4 s。 6.如图6所示，一质量M＝3 kg的小车由水平部分AB和光滑圆轨道BC组成，圆弧BC的半径R＝0.4 m且与水平部分相切于B点，小物块Q与AB段之间的动摩擦因数μ＝0.2，小车静止时左端与固定的光滑曲面轨道MN相切，一质量为m1＝0.5 kg的小物块P从距离轨道MN底端高为h＝1.8 m处由静止滑下，并与静止在小车左端的质量为m2＝1 kg的小物块Q(两物块均可视为质点)发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知除了小车AB段粗糙外，其余所有接触面均光滑，重力加速度g＝10 m/s2。 图6 (1)求碰撞后瞬间物块Q的速度； (2)求物块Q在小车上运动1 s时相对于小车运动的距离(此时Q未到B点且速度大于小车的速度)； (3)要使物块Q既可以到达B点又不会从小车上掉下来，求小车左侧水平部分AB的长度L的取值范围。 答案　(1)4 m/s，方向水平向右　(2) m (3)1.5 m≤L≤3 m 解析　(1)物块P沿MN滑下，设末速度为v0， 由机械能守恒定律得m1gh＝m1v 解得v0＝6 m/s 物块P、Q碰撞，取向右为正方向 设碰后瞬间P、Q速度分别为v1、v2 由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2 由机械能守恒定律得 m1v＝m1v＋m2v 解得v1＝－2 m/s，v2＝4 m/s 故碰撞后瞬间物块Q的速度为4 m/s，方向水平向右。 (2)物块Q与小车相对运动，由牛顿第二定律求得两者的加速度分别为 a2＝－＝－2 m/s2 a3＝＝ m/s2 物块Q的位移x2＝v2t＋a2t2＝3 m 小车的位移x3＝a3t2＝ m 解得s＝x2－x3＝ m。 (3)物块Q刚好到达B点时就与木板共速时AB段最长，根据动量守恒定律有 m2v2＝(m2＋M)v3 可得共同速度为v3＝1 m/s 由能量守恒定律得 m2v＝(m2＋M)v＋μm2gL1 解得L1＝3 m 物块Q刚好回到A点与木板共速时，AB段最短， 根据动量守恒定律可得共同速度仍为v3＝1 m/s 由能量守恒定律得 m2v＝(m2＋M)v＋2μm2gL2 解得L2＝1.5 m 当AB段最短时需要验证物块Q在圆弧上共速时上升高度是否超过R，由能量守恒定律得 m2v＝(m2＋M)v＋μm2gL2＋m2gH 解得H＝0.3 m<R＝0.4 m 所以不会从圆弧轨道上滑出，则AB段的长度范围为1.5 m≤L≤3 m。 7.（2023高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，绳长为l，小球质量为m1，小车质量为m2，将小球向右拉至水平后放手，则（水平面光滑）（ ） A．系统的总动量守恒 B．水平方向任意时刻小球与小车的动量等大反向 C．小球不能向左摆到原高度 D．小车向右移动的最大距离为 【答案】BD 【详解】AB．根据题意可知，系统只是在水平方向所受的合力为零，竖直方向的合力不为零，故水平方向的动量守恒，而总动量不守恒，即水平方向任意时刻小球与小车的动量等大反向，A错误、B正确； C．以小球和小车组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，且小球和小车水平方向的合动量为零，当小球的速度为零时、小车的速度也为零，所以小球能向左摆到原高度，C错误； D．小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，初始时总动量为0，设小车向右运动的最大距离为x，则小球向左运动的位移为2l - x；取向右为正方向，根据水平方向平均动量守恒有 可得 D正确。 故选BD。 8.（2024·贵州·模拟预测）如图，光滑水平地面上，动量为的小球1向右运动，与同向运动且动量为的小球2发生弹性碰撞，，碰撞后小球1的速率为、动能为、动量大小为，小球2的速率为、动能为、动量大小为。下列选项一定正确的是（　　） A． B．碰撞后球2向右运动，球1向左运动 C． D． 【答案】D 【详解】AB．要发生碰撞则 根据两个物体发生弹性碰撞的公式可得碰撞后速度 ， 因此当足够大时可造成 由弹性碰撞规律，当时可造成碰后两者可以都向右运动，故AB错误； C．碰撞过程小球2动能增大，但初动能小球1的大于小球2的，故碰后动能大小不确定，故C错误； D．碰撞过程小球2动量增大，且系统动量守恒，所以，故D正确。 故选D。 9.（2024·江苏·高考真题）某重力储能系统的简化模型如图所示，长度为、倾角为的斜坡上，有一质量为的重物通过线索与电动机连接。在电动机的牵引下，重物从斜坡底端点由静止开始运动，到达点时速度达到最大值，然后重物被匀速拉到点，此时关闭电动机，重物恰好能滑至顶端点，系统储存机械能。已知绳索与斜坡平行，重物与斜坡间的动摩擦因数为，重力加速度为，不计空气阻力和滑轮摩擦。 （1）求的长度； （2）求重物从到过程中，电动机的输出功率； （3）若不计电动机的损耗，取在整个上升过程中，系统存储的机械能E1和电动机消耗的电能 E2的比值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）重物在CD段运动过程中，由牛顿第二定律得 由运动学公式 联立解得 （2）重物在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为 由得 （3）全过程重物增加的机械能为 整个过程由能量守恒得电动机消耗的总电能转化为重物增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知 故可得 10.（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m 【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有 第一次经过C点的向心加速度大小为 ②小物块a在DE上时，因为 所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有 解得 ③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为 将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有 解得 （2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有 解得 设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 11.（2024·辽宁辽阳·二模）如图所示，可看成质点的物体静置在木板右端，物体以的速度沿水平地面向右运动，与木板发生弹性正碰（碰撞时间极短），最终物体恰好能到达木板的左端。已知物体、的质量都等于木板质量的2倍，物体与木板之间的动摩擦因数，水平地面足够大且光滑，取重力加速度大小，求： （1）碰撞后物体的速度大小； （2）物体在木板上的加速时间； （3）物体、在运动方向上的最小距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设木板C的质量为，物体A、B的质量为，B碰撞C由动量守恒定律可知 由机械能守恒可知 联立并代入数据解得 （2）A恰好达到C的最左端，A、C系统由动量守恒可知 解得 对物体A进行受力分析，根据牛顿第二定律可知 物体A加速到的时间为 联立解得 （3）A与木板C系统损失的机械能为摩擦力做的功，由能量守恒可知 则木板的长度为 A、B在运动方向上速度相同时，距离最小，运动时间为 解得 B、C碰撞后B做匀速直线运动，此时B的位移为 B、C碰撞后A做匀加速直线运动，此时A的位移为 A、B最初的距离为，此时A、B的距离最小为 联立并代入数据解得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲　 板块模型中动力学、能量和动量的综合应用 考点一 动力学和图像在板块模型中的应用 例1 (多选)如图1甲所示，小车B紧靠平台边缘静止在光滑水平面上，物体A(可视为质点)以初速度v0从光滑的平台水平滑到与平台等高的小车上(未冲出)，物体和小车的v－t图像如图乙所示，取重力加速度g＝10 m/s2，则以下说法正确的是(　　) 图1 A.物体A与小车B间的动摩擦因数为0.3 B.物体A与小车B的质量之比为1∶2 C.小车B的最小长度为2 m D.如果仅增大物体A的质量，物体A有可能冲出去 训练1（2023·辽宁·三模）如图所示，光滑水平地面上并排放置着质量分别为、的木板A、B，一质量的滑块C（视为质点）以初速度从A左端滑上木板，C滑离木板A时的速度大小为，最终C与木板B相对静止，则（　　）    A．木板B与滑块C最终均静止在水平地面上 B．木板B的最大速度为2m/s C．木板A的最大速度为1m/s D．整个过程，A、B、C组成的系统机械能减少了57.5J 训练2（2023·湖北·模拟预测）如图所示，质量为m的光滑圆环套在固定的水平杆上，轻绳的另一端系着质量为M的木块.质量为的子弹以大小为的水平速度射入木块，并以速度v离开木块，子弹穿过木块的时间极短.重力加速度为g，不计木块的质量损失，下列说法正确的是（　　） A．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都守恒 B．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都不守恒 C．子弹射出木块后的瞬间，圆环对杆的压力等于 D．木块上升到最高点时，速度大小为 考点二 能量观点在板块模型中的应用 例2 如图2所示，一倾角为θ＝37°的足够长斜面体固定在水平地面上，一质量为M＝2 kg的长木板B沿着斜面以速度v0＝9 m/s匀速下滑，现把一质量为m＝1 kg的铁块A轻轻放在长木板B的左端，铁块恰好没有从长木板右端滑下，A与B间、B与斜面间的动摩擦因数相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： 图2 (1)铁块A和长木板B共速后的速度大小； (2)长木板的长度； (3)请用数值验证，铁块刚放上长木板左端时与达到共速时系统的总能量相等。 训练1（2024·辽宁葫芦岛·一模）“南方小土豆”来东北旅游时，滑雪是深受喜欢的运动项目之一，滑雪过程可简化为如图所示。斜面与水平面平滑连接，质量为的游客从高度为的斜坡顶端无初速度滑下，并运动到水平面上的点停下。假设游客与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，，下列说法正确的是（ ） A．游客沿斜面下滑过程中机械能守恒 B．游客沿斜面下滑过程中重力的瞬时功率大小不变 C．水平距离 D．游客下滑高度一定时，斜面倾角越大，水平距离越大 训练2（2024·江苏苏州·二模）如图所示，半径为的光滑圆弧曲面与倾角为37°足够长的固定粗糙斜面在点平滑相接，质量为的小物块B恰好静止在斜面上，此时物块B与点的距离为。另一质量为的小物块A从与圆心等高处由静止释放，通过点滑上斜面，与物块B发生弹性碰撞。已知物块A与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，两物块均可视为质点，碰撞时间极短。求： （1）物块A运动到点时对曲面的压力； （2）物块A与B碰撞前的速度； （3）从物块A与B第一次碰撞到两物块再次碰撞经历的时间。 考点三 动量观点在板块模型中的应用 例3 如图3甲所示，一右端固定有竖直挡板的质量M＝2 kg的木板静置于光滑的水平面上，另一质量m＝1 kg的物块以v0＝6 m/s的水平初速度从木板的最左端P点冲上木板，最终物块在木板上Q点(图甲中未画出)与木板保持相对静止，物块和木板的运动速度随时间变化的关系图像如图乙所示。物块可视为质点。求： 图3 (1)图乙中v1、v2和v3的大小； (2)整个过程物块与木板之间因摩擦产生的热量。 训练1（23-24高三上·山东·阶段练习）如图所示，物块A和上表面粗糙的长木板B放在光滑水平上，物块C静止在长木板B的右端，物块A的质量为2m，长木板B的质量为m。物块A以速度向右运动，与长木板B发生弹性碰撞的时间极短，物块C始终未滑离长木板B，稳定后A、B、C恰好不再碰撞。求： （1）A、B碰撞后瞬间A的速度； （2）B、C间摩擦产生的热量。 训练2（2024·河北·一模）如图所示，在光滑水平面上相隔一定距离放有相同的表面平整的木板B和C，B、C的质量均为2m。质量为m、可视为质点的物块A静置在木板C的最左端，A与B、C间的动摩擦因数相同。现让木板B以大小为的初速度水平向右运动，经过一段时间后，B、C相撞，碰撞时间极短，碰后B、C粘在一起，此后A滑上B板，最终三者共速一起运动。求： （1）木板B、C碰后瞬间的速度大小v； （2）整个过程中系统因摩擦产生的热量Q。 作业练习 1.如图1所示，静止在水平地面上的木板(厚度不计)质量为m1＝1 kg，与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，质量为m2＝2 kg且可看成质点的小物块与木板和地面间的动摩擦因数均为μ2＝0.4，以v0＝4 m/s的水平初速度从左端滑上木板，经过t＝0.6 s滑离木板，g取10 m/s2，以下说法正确的是(　　) 图1 A.木板的长度为1.68 m B.小物块离开木板时，木板的速度为1.6 m/s C.小物块离开木板后，木板的加速度大小为2 m/s2，方向水平向右 D.小物块离开木板后，木板与小物块将发生碰撞 2.如图2甲所示，光滑的水平地面上放着一个足够长的长木板，t＝0时，一质量为m的滑块以初速度v0滑上长木板，两者的v－t图像如图乙所示，当地的重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) 图2 A.在0～t0时间内，滑块在长木板上滑过的位移为Δx＝v0t0 B.长木板的质量为M＝2m C.在0～t0时间内，滑块受到的摩擦力为Ff＝ D.在0～t0时间内，滑块与长木板之间因摩擦而产生的热量为Q＝ 3.(多选)(2023·全国乙卷，21)如图3，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　) 图3 A.木板的动能一定等于fl B.木板的动能一定小于fl C.物块的动能一定大于mv－fl D.物块的动能一定小于mv－fl 4.如图4所示，质量为2m、长为L的木板放在光滑水平地面上，其左端放有质量为m的小物块。初始时物块和木板同时获得等大反向的初速度v0，最终物块恰好没滑离木板，重力加速度为g，求： 图4 (1)小物块与木板间的动摩擦因数； (2)小物块对地向右运动的过程，木板的位移大小。 5.如图5所示，光滑水平地面上有一质量为M＝2 kg的木板，木板的左端放有一质量为m＝1 kg的小木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.1。在木板两侧地面上各有一竖直固定墙壁，起初木板靠左侧墙壁静止放置。现给木块向右的水平初速度v0＝3 m/s，在此后运动过程中木板与墙壁碰撞前木块和木板均已相对静止，木块始终没有从木板上掉下。设木板与墙壁碰撞时间极短且无机械能损失，取g＝10 m/s2，求： 图5 (1)第一次碰撞墙壁对木板的冲量大小I； (2)木板的最短长度L； (3)木块与木板发生相对滑动的时间总和t。 6.如图6所示，一质量M＝3 kg的小车由水平部分AB和光滑圆轨道BC组成，圆弧BC的半径R＝0.4 m且与水平部分相切于B点，小物块Q与AB段之间的动摩擦因数μ＝0.2，小车静止时左端与固定的光滑曲面轨道MN相切，一质量为m1＝0.5 kg的小物块P从距离轨道MN底端高为h＝1.8 m处由静止滑下，并与静止在小车左端的质量为m2＝1 kg的小物块Q(两物块均可视为质点)发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知除了小车AB段粗糙外，其余所有接触面均光滑，重力加速度g＝10 m/s2。 图6 (1)求碰撞后瞬间物块Q的速度； (2)求物块Q在小车上运动1 s时相对于小车运动的距离(此时Q未到B点且速度大于小车的速度)； (3)要使物块Q既可以到达B点又不会从小车上掉下来，求小车左侧水平部分AB的长度L的取值范围。 7.（2023高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，绳长为l，小球质量为m1，小车质量为m2，将小球向右拉至水平后放手，则（水平面光滑）（ ） A．系统的总动量守恒 B．水平方向任意时刻小球与小车的动量等大反向 C．小球不能向左摆到原高度 D．小车向右移动的最大距离为 8.（2024·贵州·模拟预测）如图，光滑水平地面上，动量为的小球1向右运动，与同向运动且动量为的小球2发生弹性碰撞，，碰撞后小球1的速率为、动能为、动量大小为，小球2的速率为、动能为、动量大小为。下列选项一定正确的是（　　） A． B．碰撞后球2向右运动，球1向左运动 C． D． 9.（2024·江苏·高考真题）某重力储能系统的简化模型如图所示，长度为、倾角为的斜坡上，有一质量为的重物通过线索与电动机连接。在电动机的牵引下，重物从斜坡底端点由静止开始运动，到达点时速度达到最大值，然后重物被匀速拉到点，此时关闭电动机，重物恰好能滑至顶端点，系统储存机械能。已知绳索与斜坡平行，重物与斜坡间的动摩擦因数为，重力加速度为，不计空气阻力和滑轮摩擦。 （1）求的长度； （2）求重物从到过程中，电动机的输出功率； （3）若不计电动机的损耗，取在整个上升过程中，系统存储的机械能E1和电动机消耗的电能 E2的比值。 10.（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 11.（2024·辽宁辽阳·二模）如图所示，可看成质点的物体静置在木板右端，物体以的速度沿水平地面向右运动，与木板发生弹性正碰（碰撞时间极短），最终物体恰好能到达木板的左端。已知物体、的质量都等于木板质量的2倍，物体与木板之间的动摩擦因数，水平地面足够大且光滑，取重力加速度大小，求： （1）碰撞后物体的速度大小； （2）物体在木板上的加速时间； （3）物体、在运动方向上的最小距离。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$