第5讲　万有引力定律的应用 专题讲义 -2025届高考物理二轮复习

第5讲　万有引力定律的应用 考点一　开普勒定律与万有引力定律的应用 例1 2022年10月，太原卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将S－SAR01星发射升空，这颗卫星主要为应急管理、生态环境主体业务提供国产化数据保障，若S－SAR01星绕地球做匀速圆周运动的轨道距地面高度为h，地球的半径为R，地球表面北极的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是(　　) A.地球的质量为M＝ B.S－SAR01星轨道处的重力加速度为 C.地球的平均密度为 D.S－SAR01星运行的速度为 跟踪训练1（2024山东临沂·二模）如图（a）所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（2022广西壮族自治区·一模）（多选）如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地前下一片片很薄的面片儿，面片儿便飞向锅里。面片刚被削离时距锅的高度为h与锅缘的水平方向的距离为L， 锅的半径也为L。将削出的面片的运动视为平抛运动，且面片都落入锅中，重力加速度为g。则下列对所有面片在空中运动的描述，其中，正确的是（　　） A．运动的时间相同 B．速度的变化量不相同 C．落入锅中的面片，水平最大速度是最小速度的3倍 D．落入锅中的面片，水平最大速度是最小速度的4倍 考点二　人造卫星和天体运动 人造卫星运动问题的分析要点 例2 (2023·广东卷，7)如图2(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　) 图2 A.周期为2t1－t0 B.半径为 C.角速度的大小为 D.加速度的大小为 例3（2025重庆西南大学附属中学·一模）依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为，恒星距黑洞的距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量、为日地距离，为地球绕太阳的运动周期。由此估算该黑洞的质量约为（　　） A． B． C． D． 方法总结　双星系统模型规律及有用结论 模型图示 基本规律或结论 各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，向心力大小是相等的，则＝m1ωr1，＝m2ωr2 两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2 两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L 两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，＝ 双星的运动周期T＝2π 双星的总质量公式m1＋m2＝ 跟踪训练3 (多选)如图4所示，卫星A是2022年8月20日我国成功发射的“遥感三十五号04”组卫星(轨道为圆)，卫星B是地球同步卫星，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，已知三颗卫星的质量相等，下列说法正确的是(　　) 图4 A.卫星A运动得最快 B.卫星B的加速度最小 C.卫星B、P的角速度相等 D.卫星P受到地球的引力最小 跟踪训练4 （2025安徽黄山·一模）2024年11月3日，神舟十八号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员叶光富、李聪、李广苏即将踏上回家之旅。空间站组合体距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．悬浮在空间站内的物体，不受力的作用 B．空间站组合体的质量 C．地球的密度 D．神舟十八号飞船与空间站组合体分离后做离心运动 考点三　卫星的变轨、对接、追及相遇问题 1.卫星变轨的分析思路 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或再变轨到较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或再变轨到较小半径圆轨道上运动 2.两卫星相距最近和最远满足的条件 (1)相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 (2)相距最远：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。 例4 2022年11月1日4时27分，空间站梦天实验舱在发射入轨后，成功对接于天和核心舱前向端口。梦天实验舱，又称为梦天舱，是中国空间站“天宫”的重要组成部分。对接变轨过程简化为如图5所示，MN是椭圆轨道Ⅱ的长轴。梦天实验舱从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，并在圆轨道Ⅲ上与运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是(　　) 图5 A.梦天实验舱在变轨过程中机械能不变 B.可让梦天实验舱先进入圆轨道Ⅲ，然后加速追赶天和核心舱实现对接 C.无论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ，梦天实验舱在N点的加速度都相同 D.梦天实验舱在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期与天和核心舱的运行周期相等 跟踪训练5 (多选)(2022·湖南卷，8)如图6，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是(　　) 图6 A.火星的公转周期大约是地球的倍 B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小 跟踪训练6（2024湖南益阳·一模）（多选）我国计划2025年前后发射天问二号，开展小行星探测任务；2030年前后发射天问三号和天问四号，分别开展火星采样返回任务和木星系探测任务。若将探测器送入地火转移轨道，逐渐远离地球，并成为一颗人造行星，简化轨迹如图。定义地球和太阳平均距离为1个天文单位（Au），火星和太阳平均距离为1.5个天文单位，则（　　） A．探测器在地火转移轨道上从P点转移到Q点的时间小于6个月 B．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 C．探测器在地火转移轨道上P点的加速度大于Q点的加速度 D．地球、火星绕太阳运动的速度之比为 高考真题 1.(2023·山东卷，3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A.30π B.30π C.120π D.120π 2.(2023·辽宁卷，7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图7所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) 图7 A.k3 B.k3 C. D. 3.(2023·6月浙江选考，9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍，月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A.木卫一轨道半径为r B.木卫二轨道半径为r C.周期T与T0之比为n D.木星质量与地球质量之比为n3 4.(2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图8所示。根据以上信息可以得出(　　) 图8 A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 5.(2023·湖南卷，4)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其它物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是(　　) A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 6.（2025全国·高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（    ）    A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 7.（2023全国·高考真题）“天问一号”从地球发射后,在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点,再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道,则天问一号 (　　) A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 8.（2025全国·高考真题）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破.“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为,运行一圈所用时间约为100分钟.如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”.下列说法正确的是（ ） A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 9.（2025全国·高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星绕恒星做匀速圆周运动.由于的遮挡，探测器探测到的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与的公转周期相同.已知的质量为，引力常量为.关于的公转，下列说法正确的是（ ） A. 周期为 B. 半径为 C. 角速度的大小为 D. 加速度的大小为 作业练习 基础练习 1.(2023·江苏卷，4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A.质量 　　　　 B.向心力大小 C.向心加速度大小 　　　　 D.受到地球的万有引力大小 2.（2025全国·高考真题）太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径.则（ ） A. 空间站变轨前、后在点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 3.（2025江西·一模）“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后成功与在轨的“天宫”空间站核心舱对接。已知对接后的“神舟十七号”飞船与空间站组合体在轨高度约为 ，运行周期为 。地球半径为 ，地球表面的重力加速度 取 引力常量为 ，下列说法正确的是（ ） A．由于不受重力，空间站中的烛焰呈近似球形 B．组合体在轨运行速度约为 C．地球的平均密度大于 D． 小于 4.（2025河南安阳·一模）2024年2月29日，我国成功将互联网卫星01星送入预定轨道，若将该卫星轨道近似为圆形，其围绕地球做匀速圆周运动的周期可表示为，则（　　） A．a为地球半径，b为地球表面的重力加速度，c为卫星的轨道半径 B．a为卫星的轨道半径，b为地球表面的重力加速度，c为地球半径 C．a为地球半径，b为该卫星的向心加速度，c为卫星的轨道半径 D．a为卫星的轨道半径，b为该卫星的向心加速度，c为地球半径 5.（2025广东珠海·一模）如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程，探测器从地球表面发射至地月转移轨道，在点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动，然后在点变轨后沿圆形轨道②运动，下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道①上经过点时应该加速才能进入轨道② B．探测器在轨道②上的运行速度大于月球的第一宇宙速度 C．探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中，地球对探测器的万有引力对探测器做负功 D．探测器在轨道①上的周期小于轨道②上的周期 6.（2023全国·高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 7.（2025广东·一模）已知土星绕太阳公转的周期为年地球绕太阳公转的周期为年，由此可以判定土星和地球绕太阳公转的线速度大小之比是(    ) A． ： B． ： C． ： D． ： 8.（2025全国·高考真题）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星.如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直.卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈.已知地球半径为R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为 (　　) A．-R B． C．-R D． 提升训练 9.（2022河北衡水·二模）（多选）农历除夕，神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富在遥远的太空专门发来视频，向祖国和人民送上祝福。如图所示，假设空间站绕地心做近似圆周运动，地球半径为R，航天员在空间站内观察地球的最大张角为。万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，航天员给全国人民拜年的时长为t。下列说法正确的是（　　） A．空间站运行的轨道半径为 B．空间站所在轨道的重力加速度为 C．空间站绕地球运动的速率为 D．拜年期间空间站运行的弧长为 10.（2023全国·高考真题）（多选）如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上容易测得地球－水星连线与地球－太阳连线夹角α，地球－金星连线与地球－太阳连线夹角β。两角最大值分别为αm、βm，则(　　) A．水星的公转周期比金星的大 B．水星的公转向心加速度比金星的大 C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm D．水星与金星的公转线速度之比为∶　 11.（2024全国·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法. （1） 某质量为的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为，在远日点速度为.求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功. （2） 设行星与恒星的距离为，请根据开普勒第三定律及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力与的平方成反比. （3） 宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍.设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样.地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周期为，求. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲　万有引力定律的应用 考点一　开普勒定律与万有引力定律的应用 例1 2022年10月，太原卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将S－SAR01星发射升空，这颗卫星主要为应急管理、生态环境主体业务提供国产化数据保障，若S－SAR01星绕地球做匀速圆周运动的轨道距地面高度为h，地球的半径为R，地球表面北极的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是(　　) A.地球的质量为M＝ B.S－SAR01星轨道处的重力加速度为 C.地球的平均密度为 D.S－SAR01星运行的速度为 答案　B 解析　根据地球表面两极处万有引力等于重力有＝mg，可得M＝，则地球的平均密度可表示为ρ＝＝，故A、C错误；根据＝mg′，结合M＝，可得S－SAR01星轨道处的重力加速度g′＝，故B正确；根据万有引力提供向心力可得＝m，结合M＝可得S－SAR01星运行的速度v＝，故D错误。 跟踪训练1（2024山东临沂·二模）如图（a）所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设M绕Q运动的公转周期为，由图（b）可知，解得，设行星M、N绕Q运动的半径分别为、，根据开普勒第三定律可得，解得，则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为，选D。 跟踪训练2（2022广西壮族自治区·一模）（多选）如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地前下一片片很薄的面片儿，面片儿便飞向锅里。面片刚被削离时距锅的高度为h与锅缘的水平方向的距离为L， 锅的半径也为L。将削出的面片的运动视为平抛运动，且面片都落入锅中，重力加速度为g。则下列对所有面片在空中运动的描述，其中，正确的是（　　） A．运动的时间相同 B．速度的变化量不相同 C．落入锅中的面片，水平最大速度是最小速度的3倍 D．落入锅中的面片，水平最大速度是最小速度的4倍 【答案】AC 【详解】 A．由于削出的面片的运动视为平抛运动，则在竖直方向做自由落体运动，由于高度相同，则运动的时间相同，A正确； B．根据加速度的定义式有 由选项A可知，面片运动的时间相同，且只受重力则加速度为g，则速度的变化量相同，B错误； CD．削出的面片的运动视为平抛运动，则在水平方向有 则经过计算可知，落入锅中的面片，水平最大速度是最小速度的3倍，D错误C正确。 故选AC。 考点二　人造卫星和天体运动 人造卫星运动问题的分析要点 例2 (2023·广东卷，7)如图2(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　) 图2 A.周期为2t1－t0 B.半径为 C.角速度的大小为 D.加速度的大小为 答案　B 解析　由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝·＝·，故D错误。 例3（2025重庆西南大学附属中学·一模）依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为，恒星距黑洞的距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量、为日地距离，为地球绕太阳的运动周期。由此估算该黑洞的质量约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该黑洞的质量为，其轨道半径，恒星的质量为，其轨道半径，两者相距为L，运动周期为，黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，根据万有引力提供向心力有，因为，联立解得，地球绕太阳做匀速圆周运动，设地球质量为m，根据万有引力提供向心力，解得，由题意知，，，联立以上解得，选B。 方法总结　双星系统模型规律及有用结论 模型图示 基本规律或结论 各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，向心力大小是相等的，则＝m1ωr1，＝m2ωr2 两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2 两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L 两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，＝ 双星的运动周期T＝2π 双星的总质量公式m1＋m2＝ 跟踪训练3 (多选)如图4所示，卫星A是2022年8月20日我国成功发射的“遥感三十五号04”组卫星(轨道为圆)，卫星B是地球同步卫星，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，已知三颗卫星的质量相等，下列说法正确的是(　　) 图4 A.卫星A运动得最快 B.卫星B的加速度最小 C.卫星B、P的角速度相等 D.卫星P受到地球的引力最小 答案　AC 解析　由于卫星B是地球同步卫星，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，卫星P、B的角速度相等，C正确；对于卫星A、B，根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，由题图可知rA<rB，所以vA>vB；由于ωB＝ωP, rB＞rP，根据v＝ωr，可知vB>vP，则卫星A运动得最快，A正确；根据G＝ma，可知aA>aB，根据a＝ω2r，可知aB>aP，卫星P的加速度最小，B错误；根据 F引＝G，由于卫星P距地心最近，其受到地球的引力最大，D错误。 跟踪训练4 （2025安徽黄山·一模）2024年11月3日，神舟十八号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员叶光富、李聪、李广苏即将踏上回家之旅。空间站组合体距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．悬浮在空间站内的物体，不受力的作用 B．空间站组合体的质量 C．地球的密度 D．神舟十八号飞船与空间站组合体分离后做离心运动 【答案】C 【详解】A．悬浮在空间站内的物体，仍受地球的引力作用，选项A错误； B．根据 可得地球的质量 选项B错误； C．地球的密度 选项C正确； D．神舟十八号飞船与空间站组合体分离后将做向心运动，选项D错误。选C。 考点三　卫星的变轨、对接、追及相遇问题 1.卫星变轨的分析思路 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或再变轨到较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或再变轨到较小半径圆轨道上运动 2.两卫星相距最近和最远满足的条件 (1)相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 (2)相距最远：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。 例4 2022年11月1日4时27分，空间站梦天实验舱在发射入轨后，成功对接于天和核心舱前向端口。梦天实验舱，又称为梦天舱，是中国空间站“天宫”的重要组成部分。对接变轨过程简化为如图5所示，MN是椭圆轨道Ⅱ的长轴。梦天实验舱从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，并在圆轨道Ⅲ上与运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是(　　) 图5 A.梦天实验舱在变轨过程中机械能不变 B.可让梦天实验舱先进入圆轨道Ⅲ，然后加速追赶天和核心舱实现对接 C.无论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ，梦天实验舱在N点的加速度都相同 D.梦天实验舱在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期与天和核心舱的运行周期相等 答案　C 解析　梦天实验舱在变轨过程中需要加速做离心运动，有外力对其做正功，机械能增大，故A错误；如果梦天实验舱先进入圆轨道Ⅲ后再加速，梦天实验舱会飞到更高的轨道，无法与天和核心舱实现对接，故B错误；无论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ，梦天实验舱在N点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知梦天实验舱在N点的加速度都相同，故C正确；由题图可知椭圆轨道Ⅱ的半长轴小于圆轨道Ⅲ的轨道半径，根据开普勒第三定律＝k可知梦天实验舱在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱的运行周期，故D错误。 跟踪训练5 (多选)(2022·湖南卷，8)如图6，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是(　　) 图6 A.火星的公转周期大约是地球的倍 B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小 答案　CD 解析　根据题意结合开普勒第三定律可知＝，由于火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得T火＝T地，故A错误；根据G＝m，可得v＝，火星轨道半径大于地球轨道半径，火星运行的线速度小于地球运行的线速度，在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，相对速度最小，故D正确。 跟踪训练6（2024湖南益阳·一模）（多选）我国计划2025年前后发射天问二号，开展小行星探测任务；2030年前后发射天问三号和天问四号，分别开展火星采样返回任务和木星系探测任务。若将探测器送入地火转移轨道，逐渐远离地球，并成为一颗人造行星，简化轨迹如图。定义地球和太阳平均距离为1个天文单位（Au），火星和太阳平均距离为1.5个天文单位，则（　　） A．探测器在地火转移轨道上从P点转移到Q点的时间小于6个月 B．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 C．探测器在地火转移轨道上P点的加速度大于Q点的加速度 D．地球、火星绕太阳运动的速度之比为 【答案】CD 【详解】A．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，由开普勒第三定律可知其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则由对称性可知从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，A错误； B．卫星从Q点变轨时，要增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由，可得，可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，B错误； C．对探测器，其受到太阳的万有引力提供向心力有，得，可见探测器在地火转移轨道上P点的加速度大于Q点的加速度，C正确； D．对地球、火星，其受太阳的万有引力提供向心力，得，由题意有，所以地球、火星绕太阳运动的速度之比为，D正确。选CD。 高考真题 1.(2023·山东卷，3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A.30π B.30π C.120π D.120π 答案　C 解析　设地球半径为R，由题意知，r＝60R，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公转，由万有引力提供向心力，有G＝m月r，联立解得T＝120π，故C正确。 2.(2023·辽宁卷，7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图7所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) 图7 A.k3 B.k3 C. D. 答案　D 解析　设太阳、地球、月球的半径分别为R太、R地、R月，月球绕地球转动的半径为r月，地球绕太阳转动的半径为r地，根据题意，由几何关系，有＝，根据万有引力提供向心力，有＝m月r月，＝m地r地，星球的密度ρ地 ＝，ρ太＝，可得＝＝，故D正确，A、B、C错误。 3.(2023·6月浙江选考，9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍，月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A.木卫一轨道半径为r B.木卫二轨道半径为r C.周期T与T0之比为n D.木星质量与地球质量之比为n3 答案　D 解析　木卫三绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m木卫三nr，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m月r，联立解得木星质量与地球质量之比＝n3，D正确；如果地球、木星质量相等，则根据上式可知＝n3，但木星、地球质量并不相等，C错误；设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为R1、R2、R3，根据开普勒第三定律＝k，可知R∶R∶R＝1∶4∶16，所以木卫一的轨道半径为，木卫二的轨道半径为，A、B错误。 4.(2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图8所示。根据以上信息可以得出(　　) 图8 A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 答案　B 解析　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；当火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面，根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比和半径比，所以无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日则有t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。 5.(2023·湖南卷，4)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其它物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是(　　) A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 答案　B 解析　 恒星自转→ 6.（2025全国·高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（    ）    A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 【答案】B 【详解】A．火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误； B．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确； C．在星球表面根据万有引力定律有 由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误； D．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有 要发生下一次火星冲日则有 得 可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。 故选B。 7.（2023全国·高考真题）“天问一号”从地球发射后,在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点,再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道,则天问一号 (　　) A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】C　 【详解】因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动,则发射速度要大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度,即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间,A错误;因地火转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径,则地火转移轨道周期大于地球公转周期(12个月),故“天问一号”从P点转移到Q点的时间大于6个月,B错误;因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴,由开普勒第三定律可知,“天问一号”在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小,C正确;“天问一号”从P点变轨时,要瞬时加速做离心运动,运动过程中速度逐渐减小,在某点之后,“天问一号”在地火转移轨道上运动的速度小于地球绕太阳的速度,D错误. 8.（2025全国·高考真题）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破.“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为,运行一圈所用时间约为100分钟.如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”.下列说法正确的是（ ） A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 【答案】A 【解析】“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，轨道平面始终与太阳保持固定的取向，即地球绕太阳转动的角速度与“夸父一号”的运行轨道平面绕太阳转动的角速度相等，地球绕太阳每天转动的角度为 ，则“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 ，A正确；由，解得，近地卫星的环绕速度为，“夸父一号”的轨道半径大于地球半径，故“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度小于，B错误；对近地卫星有，可得，对“夸父一号”有，可得，由于“夸父一号”的轨道半径大于地球半径，故，C错误；开普勒第三定律应用的前提条件为同一中心天体，“夸父一号”和地球对应的中心天体分别为地球和太阳，因此不能用开普勒第三定律求解日地间平均距离，D错误. 【快解】 卫星运动规律“高轨低速大周期” 绕同一中心天体做匀速圆周运动的卫星，利用万有引力提供向心力，可知轨道半径越大，速度越小，加速度越小，角速度越小，周期越大，口诀为“高轨低速大周期”，通过该结论可以快速推出B、C选项错误. 9.（2025全国·高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星绕恒星做匀速圆周运动.由于的遮挡，探测器探测到的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与的公转周期相同.已知的质量为，引力常量为.关于的公转，下列说法正确的是（ ） A. 周期为 B. 半径为 C. 角速度的大小为 D. 加速度的大小为 【答案】B 【解析】因为行星的遮挡,探测器检测到的亮度会略有降低,所以两次亮度减弱之间的时间就是行星的公转周期,即,A错误；行星绕恒星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得,解得,B正确；行星公转的角速度,C错误；该行星的向心加速度,D错误. 作业练习 基础练习 1.(2023·江苏卷，4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A.质量 　　　　 B.向心力大小 C.向心加速度大小 　　　　 D.受到地球的万有引力大小 答案　C 解析　 2.（2025全国·高考真题）太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径.则（ ） A. 空间站变轨前、后在点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【解析】由得，同一位置空间站到地心的距离相等，加速度相同，A正确；由开普勒第三定律可知，空间站椭圆轨道半长轴大于圆轨道半径，则变轨后的运动周期比变轨之前的周期长，B错误；空间站变轨时发动机推力做正功，速度增大，所以变轨后在点的速度比变轨前的大，C错误；由得，高度越低，空间站运行速度越大，D错误. 3.（2025江西·一模）“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后成功与在轨的“天宫”空间站核心舱对接。已知对接后的“神舟十七号”飞船与空间站组合体在轨高度约为 ，运行周期为 。地球半径为 ，地球表面的重力加速度 取 引力常量为 ，下列说法正确的是（ ） A．由于不受重力，空间站中的烛焰呈近似球形 B．组合体在轨运行速度约为 C．地球的平均密度大于 D． 小于 【答案】C 【详解】A．空间站中的烛焰仍然受到地球的吸引，仍然受到重力的作用，故A错误； B．根据 ， ， 代入数据得 ，故B错误； C．根据 ， ，地球的平均密度 ，所以地球的平均密度大于 ，故C正确； D．同步卫星的周期 ，轨道半径 ，组合体的轨道半径 ，根据开普勒第三定律可知，组合体的周期T大于1h，故D错误。故选C。 4.（2025河南安阳·一模）2024年2月29日，我国成功将互联网卫星01星送入预定轨道，若将该卫星轨道近似为圆形，其围绕地球做匀速圆周运动的周期可表示为，则（　　） A．a为地球半径，b为地球表面的重力加速度，c为卫星的轨道半径 B．a为卫星的轨道半径，b为地球表面的重力加速度，c为地球半径 C．a为地球半径，b为该卫星的向心加速度，c为卫星的轨道半径 D．a为卫星的轨道半径，b为该卫星的向心加速度，c为地球半径 【答案】B 【详解】由万有引力提供向心力可得 解得 又因为 故可知 对比可知，为该卫星的轨道半径，为地球表面的重力加速度，为地球半径。 故选B。 5.（2025广东珠海·一模）如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程，探测器从地球表面发射至地月转移轨道，在点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动，然后在点变轨后沿圆形轨道②运动，下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道①上经过点时应该加速才能进入轨道② B．探测器在轨道②上的运行速度大于月球的第一宇宙速度 C．探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中，地球对探测器的万有引力对探测器做负功 D．探测器在轨道①上的周期小于轨道②上的周期 【答案】C 【详解】A．飞船由椭圆轨道①上经过P点时应该减速做向心运动变轨到轨道②，故A错误； B．月球的第一宇宙速度是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度，即为由月球的万有引力提供向心力可得 解得 飞船在轨道②上的环绕速度 其中是飞船距月球表面的高度，可知飞船在轨道②上的环绕速度小于月球的第一宇宙速度，故B错误； C．探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中，引力方向与位移方向的夹角大于90度，所以地球对探测器的万有引力对探测器做负功，故C正确； D．设飞船在轨道①上半长轴为a，由开普勒第三定律可得 可知 则有 即飞船在轨道①上的周期大于轨道②上的周期，故D错误。 故选C。 6.（2023全国·高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 【答案】　B 【详解】　由万有引力提供向心力有G＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。 7.（2025广东·一模）已知土星绕太阳公转的周期为年地球绕太阳公转的周期为年，由此可以判定土星和地球绕太阳公转的线速度大小之比是(    ) A． ： B． ： C． ： D． ： 【答案】  【解析】根据万有引力提供向心力 得----， ----， 由得 由得 故A正确，BCD错误． 选． 根据万有引力提供向心力，解出轨道半径与周期的关系和线速度与轨道半径的关系，根据已知的周期之比解出半径之比，进一步解出线速度之比． 本题要掌握万有引力提供向心力这个关系，选择恰当的向心力的表达式，解出线速度与轨道半径的关系和轨道半径与周期的关系． 8.（2025全国·高考真题）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星.如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直.卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈.已知地球半径为R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为 (　　) A．-R B． C．-R D． 【答案】C　 【题眼】“卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈”. 【详解】由题可知,“羲和号”卫星环绕周期T0=,设卫星轨道距离地面高度为h,则卫星轨道半径r=h+R,卫星所受万有引力提供向心力,有=mr,由于地球两极表面上的物体所受万有引力与重力相等,则有=m'g,联立可得h=-R,C正确. 提升训练 9.（2022河北衡水·二模）（多选）农历除夕，神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富在遥远的太空专门发来视频，向祖国和人民送上祝福。如图所示，假设空间站绕地心做近似圆周运动，地球半径为R，航天员在空间站内观察地球的最大张角为。万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，航天员给全国人民拜年的时长为t。下列说法正确的是（　　） A．空间站运行的轨道半径为 B．空间站所在轨道的重力加速度为 C．空间站绕地球运动的速率为 D．拜年期间空间站运行的弧长为 【答案】BD 【详解】 A．由图，根据几何关系有 解得空间站运行的轨道半径为 故A错误； B．根据万有引力等于重力可得 ， 解得空间站所在轨道的重力加速度为 故B正确； C．根据万有引力提供向心力有 又有 ， 可得 故C错误； D．根据，由C选项分析可得，拜年期间空间站运行的弧长为 故D正确。 故选BD。 10.（2023全国·高考真题）（多选）如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上容易测得地球－水星连线与地球－太阳连线夹角α，地球－金星连线与地球－太阳连线夹角β。两角最大值分别为αm、βm，则(　　) A．水星的公转周期比金星的大 B．水星的公转向心加速度比金星的大 C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm D．水星与金星的公转线速度之比为∶　 【答案】BC　 【详解】本题考查万有引力与天体运动。由“高轨低速长周期”可知，金星绕太阳运动的公转轨道半径比水星大，则它的公转周期比水星长，A错误；由牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝G，水星的公转轨道半径更小，则其向心加速度更大，B正确；当地球与行星的连线与行星运行轨迹相切时，夹角取得最大值，如图所示，设地球的公转轨道半径为R，则水星公转轨道半径为Rsin αm，金星公转轨道半径为Rsin βm，水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm，C正确；由万有引力充当向心力有G＝m，解得v＝，水星与金星的公转线速度之比为∶，D错误。 11.（2024全国·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法. （1） 某质量为的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为，在远日点速度为.求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功. （2） 设行星与恒星的距离为，请根据开普勒第三定律及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力与的平方成反比. （3） 宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍.设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样.地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周期为，求. 【答案】（1） （2） 见解析 （3） 【解析】 （1） 根据动能定理有. （2） 设行星绕恒星做匀速圆周运动,行星的质量为,运动半径为,运动速度大小为,恒星对行星的作用力提供向心力,则,运动周期,根据开普勒第三定律,为常量,得,即恒星对行星的作用力与的平方成反比. （3） 假定恒星的能量辐射各向均匀,地球绕恒星做半径为的圆周运动,恒星单位时间内向外辐射的能量为.以恒星为球心,以为半径的球面上,单位面积单位时间接收到的辐射能量.设地球绕太阳公转半径为,在新轨道上公转半径为.地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样,必须满足不变,由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍,得,设恒星质量为,地球在轨道上运行周期为,根据万有引力提供向心力有,解得,由于恒星质量是太阳质量的2倍,得. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$