第3讲 曲线运动 专题讲义-2025届高考物理二轮复习

第3讲　曲线运动 考点一　运动的合成与分解 例1 (2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　) 答案　D 解析　 跟踪训练1（2025全国·高考真题）（多选）一条河流某处存在高度差,小鱼从低处向上跃出水面,冲到高处.如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为,末速度沿轴正方向.在此过程中,小鱼可视为质点且只受重力作用.关于小鱼的水平位置、竖直位置、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间的关系，下列图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】小鱼斜向上跳出后，在空中做斜上抛运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和沿轴正方向的匀减速直线运动，两方向的位移分别为,，A正确，B错误；沿轴正方向速度保持不变，C错误；沿轴正方向速度随时间均匀减小至0，，D正确. 跟踪训练2（2023湖南·一模）（多选）大型风洞是研发飞行器不可缺少的设施,我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示,某次风洞实验中,风力大小和方向均恒定,一质量为m的轻质小球先后经过a、b两点,其中在a点的速度大小为v,方向与ab连线成α=45°角;在b点的速度大小也为v,方向与ab连线成β = 45°角。已知ab连线长为d,小球只受风力的作用,小球的重力忽略不计。下列说法中正确的是 A．风力方向垂直于ab连线 B．从a点运动到b点所用的时间为 C．小球的最小速度为1.8v D．风力大小为 【答案】AB　 【解析】新颖试题：大型风洞技术 由题意可知小球做匀变速曲线运动,根据加速度的定义可知加速度方向一定和速度变化量的方向相同,如图所示,根据几何关系可知加速度方向垂直于a、b连线,所以风力方向垂直于a、b连线,A正确;小球在沿ab方向做匀速直线运动,从a点运动到b点所用的时间为t==,B正确;当小球在垂直于ab方向的分速度为零时速度最小,为vmin=vcos 45°=v≠1.8v,C错误;小球在垂直ab方向的加速度大小为a===,根据牛顿第二定律可得风力大小为F=ma=,D错误。 【一题多解】从矢量三角形分析加速度方向,也可将该运动等效为类斜抛运动,ab等效为水平面。 例2（2024陕西·一模）如图所示,物块A套在光滑水平杆上,连接物块A的轻质细线与水平杆间所成夹角为θ=53°,细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B相连,定滑轮顶部离水平杆距离为h=0.2 m,现将物块B由静止释放,物块A、B均可视为质点,重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,不计空气阻力,则 A．物块A与物块B速度大小始终相等 B．物块B下降过程中,重力始终大于细线拉力 C．当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块B的速度最大 D．物块A能达到的最大速度大小为1 m/s 【答案】D　 【解析】经典试题:速度的合成与分解 根据关联速度可得vAcos θ=vB,所以二者的速度大小不相等,A错误;细线与杆垂直时,则根据选项A可知,物块B的速度为零,所以B会经历减速过程,则重力会小于细线拉力,B错误;当物块A经过左侧滑轮正下方时,细线与杆垂直,物块B的速度为零,C错误;当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块A的速度最大,根据系统机械能守恒得mg=mv2,得v=1 m/s,D正确。 【技巧必背】 关联速度的分析,首先要明确实际速度和分速度,实际速度即是物体实际运动的速度,也是合速度。 其次看关联的状态,合速度往关联的方向上分解,若是绳子(杆)相连的物体,两者沿绳子(杆)的方向速度大小相等;若是接触,垂直接触面方向速度相等。 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 　 跟踪训练3（2023江西南昌·一模）（多选）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上,轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车,P与滑轮间的细绳平行于斜面,小车以速率v水平向右做匀速直线运动,当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示),已知重力加速度为g,则下列分析正确的是 A．P的速率为v B．P的速率为vcosθ2 C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力大于mgsin θ1 【答案】BD　 【解析】经典试题:关联速度 将小车的速度v沿细绳方向和垂直于细绳方向正交分解,如图所示, 物体P的速率与小车沿绳子方向的速率相等,则有vP=vcosθ2,A错误,B正确;小车向右做匀速直线运动,所以θ2减小,v不变,则vP逐渐变大,说明物体P沿斜面向上做加速运动,对物体P受力分析,可知物体P受到竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力和沿斜面向上的拉力T,沿斜面方向由牛顿第二定律可得T-mgsin θ1=ma,所以绳对P的拉力T>mgsin θ1,C错误,D正确。 跟踪训练4（2024山东广饶一中·二模）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，b放在地面上，a、b通过铰链用长为l的刚性轻杆连接，初始时刚性杆与水平地面的夹角为60°，现将装置从静止开始释放，不计一切摩擦，将a、b视为质点，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．滑块a下落过程中机械能一直减小 B．当杆与水平面的夹角为30°时，滑块a与b的速度之比为 C．滑块b的最大速度 D．滑块a落地时b的速度为 【答案】C 【详解】 A：整个过程中，b的速度先增大后减小，故杆对a的力先是推力后是拉力，即杆对a先做负功，后做正功，故其机械能先减小后增大，A错误； B：设此时a的速度为，b的速度为，则有，，B错误； C：设杆与水平面夹角为时b的速度最大，整个系统机械能守恒，则有，结合二者沿杆的方向上速度相等，则有，解得，根据数学知识中的均值不等式可得，，，代入上式可得，C正确； D：a落地时，水平方向的分速度为0，故b的速度为0，D错误。选C。 【关键点拨】理解力的作用与反作用关系，以及如何将牛顿第二定律应用于动态系统中。熟练运用动能定理和势能概念来分析物体的能量变化。同时，对于匀加速直线运动，要能够准确计算位移与速度的关系。在解题过程中，不要忽视数学计算技巧。 考点二　抛体运动 1.处理平抛(类平抛)运动的四条注意点 (1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动。 (2)如图甲所示，对于从斜面上水平抛出又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ，速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。 (3)如图乙所示，对平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ。 　　 (4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。 2.斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法 (1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例(如图3所示) 图3 速度：vx＝v0cos θ， vy＝v0sin θ－gt 位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2 (2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。 例3（2024河北·一模）在第24届冬季奥林匹克运动会上,某运动员在进行跳台滑雪比赛时,从跳台边缘O点以某一速度水平滑出。如图所示,A、B、C为其运动轨迹上的三个点,且A、B连线与B、C连线在水平方向上的投影相等,忽略空气阻力,运动员可视为质点,关于运动员在AB段与BC段的运动,下列说法正确的是 A．速度的变化量相同 B．速率的变化量相同 C．动能的变化量相同 D．重力势能的变化量相同 【答案】A　 【解析】基础考点：平抛运动的规律+功能关系 A、B连线与B、C连线在水平方向上的投影相等,根据平抛运动的规律知运动员水平方向做匀速运动,所以AB段与BC段运动时间相同,速度的变化量Δv=gΔt相同,A正确;运动员做平抛运动,水平方向是匀速直线运动,竖直方向是自由落体运动,相同时间间隔内速率变化量不同,B错误;运动员竖直方向做匀加速运动,相同时间内下落高度变大,重力做功变大,重力势能减少量变大,根据动能定理可知,动能的增加量变大,C、D错误。 跟踪训练5（2022江西南昌南昌市实验中学·一模）从某高度以初速度v0水平抛出一个质量为m的小球，不计空气阻力，在小球下落的过程中，其加速度a、速度变化量△v、重力的功率P和重力的功W与时间t的关系图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 A．小球做平抛运动，只受重力作用，加速度为重力加速度不随时间变化，图象为平行时间轴的一条直线，故A错误； B．重力的功率 其图象为过坐标原点的一条倾斜直线，故B正确； C．速度变化量，其图像为过坐标原点的一条倾斜直线，故C错误； D．重力的功 下落高度 联立可得 其图象为抛物线（关于纵轴对称一部分），故D错误。 故选B。 跟踪训练6（2025云南·一模）如图所示，“套圈”活动中，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点，不计空气阻力，则（　　） A．套中Ⅰ号物品，套环被抛出的速度较大 B．套中Ⅰ号物品，重力对套环做功较小 C．套中Ⅱ号物品，套环飞行时间较长 D．套中Ⅱ号物品，套环动能变化量较小 【答案】D 【详解】A．根据平抛运动规律，水平方向和竖直方向的位移公式为，，可得，套中Ⅰ号物品时x位移较小，h下落高度较大，可知套环被抛出的速度v0一定较小，A错误； B．根据重力做功表达式W=mgh可知，套中Ⅰ号物品时h下落高度较大，重力对套环做功较大，B错误； C．根据平抛运动规律，竖直方向的位移公式可得，套中Ⅱ号物品，h下落高度较小，套环飞行时间较短，C错误；     D．套中物品过程中由动能定理得，套中Ⅱ号物品，h下落高度较小，重力做功较小，可知套环动能变化量较小，D正确。选D。 例4（2025全国·高考真题）（多选）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离.当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的点.网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变.重力加速度取，网球碰墙后的速度大小和着地点到墙壁的距离分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【思路导引】 网球向上运动过程中轨迹所在竖直平面如图甲所示,网球运动全过程的俯视图如图乙所示. 【解析】网球的运动过程如图所示,设网球的竖直分速度为,则有,则网球的水平分速度,网球从被击出到与墙壁碰撞经历的时间为,网球的击出点到碰墙点的投影间的距离,网球在碰到墙壁时的速度大小为,速度方向与墙壁间的夹角满足,网球碰到墙壁前瞬间平行于墙壁的分速度,垂直墙壁的速度,网球碰到墙壁后的速度大小,A错误,B正确.网球碰到墙壁后沿墙壁方向的速度与垂直墙壁方向的速度相等,则合速度方向与墙壁间的夹角 ,网球着地所用时间,网球着地过程的轨迹在水平面的投影长度,则网球着地点到墙壁的距离,C错误,D正确. 跟踪训练7（2025江苏·高考真题）（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度大小为，与水平方向的夹角为 ，抛出点和落点的连线与水平方向夹角为 ，重力加速度大小取，忽略空气阻力.重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. 运动时间为 B. 落地速度与水平方向夹角为 C. 重物离连线的最远距离为 D. 轨迹最高点与落点的高度差为 【答案】BD 【解析】设竖直向下为正方向,由题意可得,解得,A错误；重物落地时,水平速 度,竖直速度,落地速度与水平方向夹角的正切值,解得 ,可得落地速度与水平方向夹角为 ,B正确；当重物速度方向与平行时,重物离连线最远,即,解得,由,解得,此时重物的水平位移,竖直位移,离连线最远位置如图中点所示, 则,C错误；重物上升到最高点所需时间满足,解得,轨迹最高点与落点的高度差,D正确. 跟踪训练8（2024河北·一模）如图所示,甲、乙两个同学打乒乓球。甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角,乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角。设乒乓球每次击打拍面时速度方向与拍面垂直,且击打拍面前后的速度大小相等,方向相反,不计空气阻力,则乒乓球击打甲的拍面时的速度大小与击打乙的拍面时的速度大小之比为 A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】热门考点：斜抛运动 由题可知,乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动,由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直,根据斜上抛运动的特点可知乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变,则有v1sin 45°=v2sin 30°,解得==,C正确。 考点三　圆周运动 1.水平面内的圆周运动 (1) (2)常见模型 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好滑动 圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面 2.竖直面内的圆周运动 (2)常见模型 轻绳模型 最高点FT＋mg＝m 恰好通过最高点时，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点mg±F＝m 恰好通过最高点时，杆对小球的弹力等于小球重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点、最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点；恰好做完整圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点 例5 （2025广东·一模）（多选）如图所示，一个内壁光滑的固定圆锥筒，其轴线垂直于水平面，一质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半，小球可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球A受到重力、支持力和向心力三个力的作用 B．小球A所受合力的方向水平 C．小球A受到的合力大小为 D．小球A做匀速圆周运动的角速度为 【答案】BC 【详解】小球受到重力、垂直筒壁斜向上的支持力，合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，方向指向匀速运动轨迹的圆心．示意图为： 设筒壁与水平面的夹角为 ，则合外力即向心力 解得： ，故BC正确； 求解圆周运动临界问题的关键 本题的关键是把握两个临界状态：一是物体与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力时，细线对物体将要有拉力；二是物体刚要离开转台时，物体与转台间的摩擦力刚好为零，细线的拉力在水平方向的分力提供物体做圆周运动的向心力。根据临界状态下物体的受力情况，结合牛顿运动定律求出临界状态下的角速度是关键点。 跟踪训练9（2025广东·二模）（多选）轮固定在同一转轴上，轮用皮带连接且不打滑。边缘点A、B，已知轮的半径比，当转轴匀速转动时，则（　　） A．A、B线速度之比为 B．A、B角速度之比为 C．A、B加速度之比为 D．A、B周期之比为 【答案】ABCD 【详解】A．A、B两点靠传送带传动，线速度大小相等，故A、B线速度之比为1:1，故A正确； B．A、B两点靠传送带传动，线速度大小相等，根据 可得 故B正确； C．根据 可知，A、B两点的加速度之比为 故C正确； D．由 可知，A、B两点的周期之比为2：1，故D正确； 故选ABCD。 跟踪训练10（2025全国·高考真题）如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动,卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在点.细管内有一根原长为、劲度系数为的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为、可视为质点的插销.当以速度匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动.若过大,插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止.忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内,要使卷轴转动不停止，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】卷轴与细管同轴转动,角速度相同,当以速度匀速拉动细绳,且插销恰好位于端盖处时,插销做匀速圆周运动的线速度大小为,卷轴转动不停止时,弹簧最大伸长量为,根据牛顿第二定律有 ,联立解得,正确. 高考真题 1.(2023·全国甲卷，17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　设该质点的质量为m，运动周期为T，轨道半径为r，所受合力为F，由题意知T＝，k为比例系数，将上式代入F＝mr得F＝mr3，即质点所受合力的大小与轨道半径的3次方成正比，所以n＝3，故C正确。 2.(2023·湖南卷，2)如图9(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) 图9 A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 答案　B 解析　 3.(2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 答案　 解析　设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空气阻力，石子做平抛运动， 竖直方向有v＝2gh， 恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ≥， 联立解得v0≥ 即抛出速度的最小值为vmin＝。 4.(2023·江苏卷，15)如图10所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。 图10 (1)求滑雪者运动到P点的时间t； (2)求滑雪者从B点飞出的速度大小v； (3)若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。 答案　(1)　(2) (3)(1－μ)d 解析　(1)滑雪者由A点运动到P点的过程中，由牛顿第二定律得 mgsin 45°－Ff＝ma 在垂直斜坡方向由平衡条件得 mgcos 45°＝FN 又Ff＝μFN 解得a＝g(1－μ) 由运动学公式x＝at2得t＝。 (2)设P点到B点的过程重力做的功为WG，克服摩擦力做的功为Wf，则滑雪者从P点由静止开始下滑到B点的过程，由动能定理得WG－Wf＝0 滑雪者由A点到B点过程，由动能定理得 mgdsin 45°＋WG－Wf－μmgdcos 45°＝mv2 联立解得v＝。 (3)滑雪者离开B点后做斜抛运动，则 竖直方向的分速度vy＝vsin 45°＝ 水平方向的分速度 vx＝vcos 45°＝ 滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大，则其在空中运动的时间 t＝＝ 则平台BC的最大长度为L＝vxt 由以上解得L＝(1－μ)d。 5.（2023全国·高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2。O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m。重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为(　　) A．100∶1 B．1∶100 C．1∶200 D．200∶1 【答案】C　 【详解】本题考查平抛运动、竖直上抛运动的性质。图1中铯原子在真空中做平抛运动，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，则有x＝d＝v0t1，解得t1＝ s，图2中铯原子在真空中做竖直上抛运动，则有y＝d＝g，解得t2＝ s，故＝，故C正确。 作业练习 基础练习 1.（2025江西·一模）（多选）某同学在运动会上掷标枪，要得到优异的成绩，他除了要考虑抛掷的动作还要考虑风向的影响。某次某同学在抛掷标枪，如图所示，标枪（可视为质点）的质量为 ，其在一水平恒定的风力作用下运动， 两点是其运动轨迹上的点，标枪经过 两点时的速度大小均为 已知标枪经过 点时的速度方向与 连线的夹角为 ，则下列说法正确的是（ ） A．标枪的重力与水平恒定风力的合力 的方向与 连线的夹角为 B．标枪在 点时的速度方向与 连线的夹角也为 C．标枪从 点运动到 点的过程中速度最小值为 D．在 点时，标枪重力的瞬时功率为 【答案】BC 【详解】A．根据题意可知标枪受到重力和水平恒定风力的合力F为一恒定值，标枪经过A、B两点时速度大小相等（动能相等），结合动能定理可知标枪从A点运动至B点过程中，合力F做的功为零，故合力F的方向与AB连线垂直，故A错误； BC．再把标枪在A点的速度沿AB方向和垂直于AB方向分解，故标枪沿着AB方向的分速度不变，标枪在B点时的速度方向与AB连线的夹角也为θ，而标枪垂直于AB方向的分速度先减小后增加，可知在等效最高点时标枪只有沿AB方向的分速度，即标枪从A点运动到B点的过程中速度最小值为 ，故BC正确； D．标枪在B点时的速度v与竖直方向的夹角未知，故在B点时，标枪重力的瞬时功率不一定为 ，故D错误。故选BC。 2.（2024湖南衡阳·二模）（多选）如图所示，刚性轻杆一端固定一个小球，另一端固定在过O点的水平转轴上，使轻杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．小球在转动过程中，向心加速度不变 B．在转动过程中经过某一位置时，杆对小球的弹力可能为0 C．从最高点转到最低点的过程中，杆对小球的弹力做负功 D．小球经过最高点时，所受杆的作用力一定竖直向下 【答案】BC 【详解】A．小球在转动过程中，向心加速度方向时刻改变，A错误； BD．小球经过最高点时，合外力提供向心力，若满足时，此时杆对小球的弹力，B正确，D错误； C．从最高点转到最低点的过程中，重力做正功，根据动能定理，故杆对小球的作用力做负功，C正确。选BC。 3.（2024全国·课本原题）（多选）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC长为L/2，把悬线另一端的小球（可视为质点）拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球（ ） A. 线速度突然增大为原来的2倍 B. 角速度突然增大为原来的2倍 C. 向心力突然增大为原来的2倍 D. 所受悬线的拉力突然增大为原来的2倍 【答案】BC 【解析】悬线与钉子碰撞前后瞬间,悬线的拉力和小球的重力与小球运动方向垂直,小球的线速度大小不变,A错误；小球的运动半径突然减小为原来的,由知,角速度突然增大为原来的2倍,由知,向心力突然增大为原来的2倍,B、C正确；在最低点,有,因碰到钉子后小球所受合力变为原来的2倍,故悬线的拉力变大,但不是变为原来的2倍,D错误. 【易错分析】小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子,对小球受力分析,受到重力和悬线的拉力作用,两力均沿竖直方向,它们的合力提供向心力,与小球运动的线速度方向垂直,只改变线速度的方向,不改变线速度的大小.本题应该先分析清楚不变的物理量,再代入公式进行推导.在这类题目中,易误认为角速度不变而造成错解. 4.（2025广东珠海·一模）体育课上某同学水平抛出一铅球，忽略空气阻力，从抛出时开始计时。下列关于铅球的速度大小、竖直方向分位移的大小、速度与水平方向夹角的正切值，位移与水平方向夹角的正切值随时间的变化关系中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．铅球的速度大小为 可知图像不是一次函数关系，故A错误； B．根据可知，图像是开口向上的抛物线，故B错误； C．根据 可知图像是正比例函数关系，故C正确； D．根据 可知图像是正比例函数关系，故D错误； 故选C。 5.（2025江苏·高考真题）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b（ ） A． 加速度相同 B． 初速度相同 C． 在最高点的速度相同 D． 在空中的时间相同 【答案】A 【解析】不计空气阻力，从喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；喷泉喷出的水在空中运动的时间，由题图知，则，D错误；设喷泉喷出的水的水平分速度，由题图知，两喷泉喷出的水的水平位移大小相等，则，水在最高点的速度等于水平方向的分速度，喷泉喷出的水在最高点的速度不相同，C错误；，则，，无法判断初速度的大小关系，B错误． 6.（2025全国·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方，将青蛙的跳跃视为平抛运动.若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（ ） A．荷叶 B．荷叶 C．荷叶 D．荷叶 【答案】C 【解析】青蛙做平抛运动,竖直方向有,水平位移设为,则初速度,若以最小的初速度完成跳跃,即最小,则应该使最小、最大,故青蛙应跳到荷叶上,正确. 7.（2025全国·高考真题）“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现．拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达，此时纽扣上距离中心处的点向心加速度大小约为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆周运动向心加速度，由题干信息知，，代入数据可得接近，故C正确． 【易错分析】 有些学生对圆周运动相关定义理解不清，会误认为转速就是角速度 ，将与混淆． 8.（2025全国·高考真题）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量.如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动.用力传感器测得绳上的拉力为F,用秒表测得小球转过n圈所用的时间为t,用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R.下列说法正确的是（ ） A. 圆周运动轨道可处于任意平面内 B. 小球的质量为 C. 若误将n-1圈记作n圈，则所得质量偏大 D. 若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小 【答案】A 【解析】因太空中物体处于完全失重状态，故小球的圆周运动轨道可以在任意平面内，A正确；根据向心力公式，周期公式，且，解得小球质量，B错误；若误将圈记作圈，即将圈数多记，偏大，则质量偏小，C错误；若测时未计入小球半径，即偏小，则质量偏大，D错误. 提升练习 9.（2023山东青岛·一模）（多选）水平地面上有一足够长且足够宽的固定斜面,倾角为37°,小明站在斜面底端向斜面上投掷可视作质点的小石块。若石块出手时的初速度方向与水平方向成45°,出手高度为站立点正上方1.8 m,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是 A．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直,石块在斜面上的落点恰好与出手点等高,则石块出手时的初速度大小为2 m/s B．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直,石块在斜面上的落点恰好与出手点等高,则石块出手时的初速度大小为2 m/s C．若石块的初速度大小一定,当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直时,石块飞行时间最短 D．若投出石块的最大初速度为8 m/s,则石块在斜面上与出手点等高的所有落点所组成的线段长度不会超过12 m 【答案】ACD　 【解析】基础考点：斜抛运动+三维空间 石块出手时的初速度方向与水平方向成45°,有tan 45°=,可得vx=vy,石块落在1.8 m高的斜面上,有tan 37°=,则石块的水平位移大小x=2.4 m,石块运动到最高点时,有x'=vxt==1.2 m,y'=t=0.6 m,又=2gy',解得vy=2 m/s,所以石块出手时的初速度大小v==2 m/s,A正确,B错误;若石块的初速度大小一定,当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直时,石块在斜面上的落点最高,石块下落时间最短,石块飞行时间最短,C正确;若投出石块的初速度大小为8 m/s,则vx0=vy0=8 m/s×sin 45°=4 m/s,石块在斜面上的落点恰好与出手点等高时,最长运动时间t0=2= s,最大水平位移x0=vx0t0= m,最小水平位移x=2.4 m,石块最大水平位移处与最小水平位移处的距离Δx== m<6 m,则石块在斜面上与出手点等高的所有落点所组成的线段长度不会超过2Δx=12 m,D正确。 10.（2022天津·二模）（多选）2022年冬奥会在我国北京和张家口市举行，滑雪项目成为人们非常喜爱的运动项目。如图所示为运动员从高为的A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，经过时间落到长直滑道上的C点，不计滑动过程中的摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若加倍，则水平飞出的速度加倍 B．若加倍，则在空中运动的时间加倍 C．若减半，运动员落到斜面时的速度方向不变 D．若减半，运动员在空中离斜面的最大距离变小 【答案】CD 【详解】 A．运动员从高为的A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，根据动能定理可得 解得 可知若加倍，则水平飞出的速度变成原来的倍，A错误； B．假设斜面倾角为，落到斜面位置离点距离为，运动员在空中做平抛运动，则有 联立解得 可知若加倍，则在空中运动的时间变成原来的倍，B错误； C．假设运动落地斜面上的速度方向与水平方向夹角为，竖直分速度为，则有 又 可得 说明落地斜面上的速度方向与水平方向夹角为定值，与抛出的速度没有关系，若减半，运动员落到斜面时的速度方向不变，C正确； D．把运动员在空中的运动分解成沿斜面向下初速度为，加速度大小为的匀加速直线运动和垂直斜面向上初速度为，加速度大小为的匀减速直线运动，当垂直斜面的分速度减到时，运动员离斜面最远，则有 可知若减半，运动员在空中离斜面的最大距离变小，D正确； 故选CD。 11.（2025山东·一模）如图所示，光滑轻杆MN水平固定在竖直墙上，所在直线过半径为R的固定圆环的圆心，质量为m的物体P穿在轻杆MN上，通过铰链与轻杆AB相连，轻杆AB的另一端通过铰链与物体A连接，而物体A穿在光滑圆环上，从C点开始沿圆环逆时针做角速度为ω 的匀速圆周运动，杆AB长为nR(n>2)，物体P在运动过程中不会从N端滑出，也不会碰墙，重力加速度为g． （1） 求物体A从C点开始到和物体P的速度第一次相同时，该过程中杆对物体P做功的平均功率； （2） 写出物体P的速度与OA转过的角度θ 的关系表达式； （3） 物体A从C点开始到第一次到达圆环最高点时，该过程中杆MN对物体P的作用力的冲量是物体P重力冲量的k倍，求杆AB对物体P的作用力的冲量大小； （4） 如果，当物体A运动到OA连线与MC成30° 角时，求物体P的加速度大小． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 （1） 和沿杆方向的分速度相等，，当时，代入可得，所以运动到最高点时与速度相同，根据动能定理得，，物体从点运动到最高点的时间为，，平均功率为． （2） 由于，根据正弦定理得，解得． （3） 的速度始终沿水平方向，所以的方向水平，根据动量定理和勾股定理得，竖直方向的冲量为，物体增加的动量为，解得． （4） 和沿着杆方向的分加速度相同，则有，因为，所以，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲　曲线运动 考点一　运动的合成与分解 例1 (2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　) 跟踪训练1（2025全国·高考真题）（多选）一条河流某处存在高度差,小鱼从低处向上跃出水面,冲到高处.如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为,末速度沿轴正方向.在此过程中,小鱼可视为质点且只受重力作用.关于小鱼的水平位置、竖直位置、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间的关系，下列图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 跟踪训练2（2023湖南·一模）（多选）大型风洞是研发飞行器不可缺少的设施,我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示,某次风洞实验中,风力大小和方向均恒定,一质量为m的轻质小球先后经过a、b两点,其中在a点的速度大小为v,方向与ab连线成α=45°角;在b点的速度大小也为v,方向与ab连线成β = 45°角。已知ab连线长为d,小球只受风力的作用,小球的重力忽略不计。下列说法中正确的是 A．风力方向垂直于ab连线 B．从a点运动到b点所用的时间为 C．小球的最小速度为1.8v D．风力大小为 例2（2024陕西·一模）如图所示,物块A套在光滑水平杆上,连接物块A的轻质细线与水平杆间所成夹角为θ=53°,细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B相连,定滑轮顶部离水平杆距离为h=0.2 m,现将物块B由静止释放,物块A、B均可视为质点,重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,不计空气阻力,则 A．物块A与物块B速度大小始终相等 B．物块B下降过程中,重力始终大于细线拉力 C．当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块B的速度最大 D．物块A能达到的最大速度大小为1 m/s 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 　 跟踪训练3（2023江西南昌·一模）（多选）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上,轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车,P与滑轮间的细绳平行于斜面,小车以速率v水平向右做匀速直线运动,当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示),已知重力加速度为g,则下列分析正确的是 A．P的速率为v B．P的速率为vcosθ2 C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力大于mgsin θ1 跟踪训练4（2024山东广饶一中·二模）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，b放在地面上，a、b通过铰链用长为l的刚性轻杆连接，初始时刚性杆与水平地面的夹角为60°，现将装置从静止开始释放，不计一切摩擦，将a、b视为质点，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．滑块a下落过程中机械能一直减小 B．当杆与水平面的夹角为30°时，滑块a与b的速度之比为 C．滑块b的最大速度 D．滑块a落地时b的速度为 考点二　抛体运动 1.处理平抛(类平抛)运动的四条注意点 (1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动。 (2)如图甲所示，对于从斜面上水平抛出又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ，速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。 (3)如图乙所示，对平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ。 　　 (4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。 2.斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法 (1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例(如图3所示) 图3 速度：vx＝v0cos θ， vy＝v0sin θ－gt 位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2 (2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。 (2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。 例3（2024河北·一模）在第24届冬季奥林匹克运动会上,某运动员在进行跳台滑雪比赛时,从跳台边缘O点以某一速度水平滑出。如图所示,A、B、C为其运动轨迹上的三个点,且A、B连线与B、C连线在水平方向上的投影相等,忽略空气阻力,运动员可视为质点,关于运动员在AB段与BC段的运动,下列说法正确的是 A．速度的变化量相同 B．速率的变化量相同 C．动能的变化量相同 D．重力势能的变化量相同 跟踪训练5（2022江西南昌南昌市实验中学·一模）从某高度以初速度v0水平抛出一个质量为m的小球，不计空气阻力，在小球下落的过程中，其加速度a、速度变化量△v、重力的功率P和重力的功W与时间t的关系图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练6（2025云南·一模）如图所示，“套圈”活动中，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点，不计空气阻力，则（　　） A．套中Ⅰ号物品，套环被抛出的速度较大 B．套中Ⅰ号物品，重力对套环做功较小 C．套中Ⅱ号物品，套环飞行时间较长 D．套中Ⅱ号物品，套环动能变化量较小 例4（2025全国·高考真题）（多选）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m.当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点.网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变.重力加速度g取10m/s，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ） A. B. C. D. 跟踪训练7（2025江苏·高考真题）（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度大小为20m/s，与水平方向的夹角为30° ，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30° ，重力加速度大小取10m/s²，忽略空气阻力.重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. 运动时间为 B. 落地速度与水平方向夹角为 C. 重物离连线的最远距离为 D. 轨迹最高点与落点的高度差为 跟踪训练8（2024河北·一模）如图所示,甲、乙两个同学打乒乓球。甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角,乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角。设乒乓球每次击打拍面时速度方向与拍面垂直,且击打拍面前后的速度大小相等,方向相反,不计空气阻力,则乒乓球击打甲的拍面时的速度大小与击打乙的拍面时的速度大小之比为 A． B． C． D． 考点三　圆周运动 1.水平面内的圆周运动 (1) (2)常见模型 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好滑动 圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面 2.竖直面内的圆周运动 (2)常见模型 轻绳模型 最高点FT＋mg＝m 恰好通过最高点时，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点mg±F＝m 恰好通过最高点时，杆对小球的弹力等于小球重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点、最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点；恰好做完整圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点 例5 （2025广东·一模）（多选）如图所示，一个内壁光滑的固定圆锥筒，其轴线垂直于水平面，一质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半，小球可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球A受到重力、支持力和向心力三个力的作用 B．小球A所受合力的方向水平 C．小球A受到的合力大小为 D．小球A做匀速圆周运动的角速度为 求解圆周运动临界问题的关键 本题的关键是把握两个临界状态：一是物体与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力时，细线对物体将要有拉力；二是物体刚要离开转台时，物体与转台间的摩擦力刚好为零，细线的拉力在水平方向的分力提供物体做圆周运动的向心力。根据临界状态下物体的受力情况，结合牛顿运动定律求出临界状态下的角速度是关键点。 跟踪训练9（2025广东·二模）（多选）轮固定在同一转轴上，轮用皮带连接且不打滑。边缘点A、B，已知轮的半径比，当转轴匀速转动时，则（　　） A．A、B线速度之比为 B．A、B角速度之比为 C．A、B加速度之比为 D．A、B周期之比为 跟踪训练10（2025全国·高考真题）如图所示,在细绳的拉动下,半径为的卷轴可绕其固定的中心点在水平面内转动,卷轴上沿半径方向固定着长度为的细管,管底在点.细管内有一根原长为、劲度系数为的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为、可视为质点的插销.当以速度匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动.若过大,插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止.忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内,要使卷轴转动不停止，的最大值为（ ） A． B． C． D． 高考真题 1.(2023·全国甲卷，17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2023·湖南卷，2)如图9(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) 图9 A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 3.(2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 4.(2023·江苏卷，15)如图10所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。 图10 (1)求滑雪者运动到P点的时间t； (2)求滑雪者从B点飞出的速度大小v； (3)若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。 5.（2023全国·高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2。O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m。重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为(　　) A．100∶1 B．1∶100 C．1∶200 D．200∶1 作业练习 基础练习 1.（2025江西·一模）（多选）某同学在运动会上掷标枪，要得到优异的成绩，他除了要考虑抛掷的动作还要考虑风向的影响。某次某同学在抛掷标枪，如图所示，标枪（可视为质点）的质量为 ，其在一水平恒定的风力作用下运动， 两点是其运动轨迹上的点，标枪经过 两点时的速度大小均为 已知标枪经过 点时的速度方向与 连线的夹角为 ，则下列说法正确的是（ ） A．标枪的重力与水平恒定风力的合力 的方向与 连线的夹角为 B．标枪在 点时的速度方向与 连线的夹角也为 C．标枪从 点运动到 点的过程中速度最小值为 D．在 点时，标枪重力的瞬时功率为 2.（2024湖南衡阳·二模）（多选）如图所示，刚性轻杆一端固定一个小球，另一端固定在过O点的水平转轴上，使轻杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．小球在转动过程中，向心加速度不变 B．在转动过程中经过某一位置时，杆对小球的弹力可能为0 C．从最高点转到最低点的过程中，杆对小球的弹力做负功 D．小球经过最高点时，所受杆的作用力一定竖直向下 3.（2024全国·课本原题）（多选）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC长为L/2，把悬线另一端的小球（可视为质点）拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球（ ） A. 线速度突然增大为原来的2倍 B. 角速度突然增大为原来的2倍 C. 向心力突然增大为原来的2倍 D. 所受悬线的拉力突然增大为原来的2倍 4.（2025广东珠海·一模）体育课上某同学水平抛出一铅球，忽略空气阻力，从抛出时开始计时。下列关于铅球的速度大小、竖直方向分位移的大小、速度与水平方向夹角的正切值，位移与水平方向夹角的正切值随时间的变化关系中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5.（2025江苏·高考真题）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b（ ） A． 加速度相同 B． 初速度相同 C． 在最高点的速度相同 D． 在空中的时间相同 6.（2025全国·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方，将青蛙的跳跃视为平抛运动.若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（ ） A．荷叶 B．荷叶 C．荷叶 D．荷叶 7.（2025全国·高考真题）“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现．拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达，此时纽扣上距离中心处的点向心加速度大小约为（ ） A． B． C． D． 8.（2025全国·高考真题）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量.如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动.用力传感器测得绳上的拉力为F,用秒表测得小球转过n圈所用的时间为t,用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R.下列说法正确的是（ ） A. 圆周运动轨道可处于任意平面内 B. 小球的质量为 C. 若误将n-1圈记作n圈，则所得质量偏大 D. 若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小 提升练习 9.（2023山东青岛·一模）（多选）水平地面上有一足够长且足够宽的固定斜面,倾角为37°,小明站在斜面底端向斜面上投掷可视作质点的小石块。若石块出手时的初速度方向与水平方向成45°,出手高度为站立点正上方1.8 m,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是 A．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直,石块在斜面上的落点恰好与出手点等高,则石块出手时的初速度大小为2 m/s B．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直,石块在斜面上的落点恰好与出手点等高,则石块出手时的初速度大小为2 m/s C．若石块的初速度大小一定,当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直时,石块飞行时间最短 D．若投出石块的最大初速度为8 m/s,则石块在斜面上与出手点等高的所有落点所组成的线段长度不会超过12 m 10.（2022天津·二模）（多选）2022年冬奥会在我国北京和张家口市举行，滑雪项目成为人们非常喜爱的运动项目。如图所示为运动员从高为的A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，经过时间落到长直滑道上的C点，不计滑动过程中的摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若加倍，则水平飞出的速度加倍 B．若加倍，则在空中运动的时间加倍 C．若减半，运动员落到斜面时的速度方向不变 D．若减半，运动员在空中离斜面的最大距离变小 11.（2025山东·一模）如图所示，光滑轻杆MN水平固定在竖直墙上，所在直线过半径为R的固定圆环的圆心，质量为m的物体P穿在轻杆MN上，通过铰链与轻杆AB相连，轻杆AB的另一端通过铰链与物体A连接，而物体A穿在光滑圆环上，从C点开始沿圆环逆时针做角速度为ω 的匀速圆周运动，杆AB长为nR(n>2)，物体P在运动过程中不会从N端滑出，也不会碰墙，重力加速度为g． （1） 求物体A从C点开始到和物体P的速度第一次相同时，该过程中杆对物体P做功的平均功率； （2） 写出物体P的速度与OA转过的角度θ 的关系表达式； （3） 物体A从C点开始到第一次到达圆环最高点时，该过程中杆MN对物体P的作用力的冲量是物体P重力冲量的k倍，求杆AB对物体P的作用力的冲量大小； （4） 如果，当物体A运动到OA连线与MC成30° 角时，求物体P的加速度大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$