第三单元 长方体和正方体-2024-2025学年人教版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年人教版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第三单元 长方体和正方体 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽 　　　 侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高 　　　 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 　　　 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12 　　　 表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6） 　　　 没盖的表面积＝棱长×棱长×5 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高 字母公式：v=abh v=sh 3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。 5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。 6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。 8、、体积和容积单位之间的进率：　 1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升 字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1 9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 1. 长方体的6个面有时不都是长方形。 2. 长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。 3. 在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 4. 物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。 5.并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。 6. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。 7. 体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。 8. 在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。 9. 只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。 10. 用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。 11. 物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。 12. 计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。 13. 用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.37（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•禹城市期末）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如图）。原来每块长方体彩砖的表面积是　　平方厘米。 A．736 B．368 C．1472 D．以上答案都不对 【思路点拨】把一个长方体切成两块，表面积比原来增加了2个切面的面积；从左往右： 图一，增加部分的面积等于原来长方体左、右两个面的面积； 图二，增加部分的面积等于原来长方体前、后两个面的面积； 图三，增加部分的面积等于原来长方体上、下两个面的面积； 把增加部分的面积相加，即是长方体六个面的面积之和，也就是原来每块长方体彩砖的表面积。 【规范解答】解：（平方厘米） 答：原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积的应用。 2．（2分）（2024春•商水县期末）用两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了　　平方厘米． A．25 B．50 C．75 D．100 【思路点拨】根据两个正方体拼组一个长方体的特点可知，拼组后的表面积正好减少了原来正方体的2个面的面积，所以此题只要求出小正方体的2个面的面积即可解决问题． 【规范解答】解：根据题干分析，拼组后的表面积正好减少了原来正方体的2个面的面积， （平方厘米） 答：表面积比原来两个表面积之和减少50平方厘米． 故选：。 【考点评析】根据题干，得出表面积减少部分是指原来正方体的2个面，是解决此类问题的关键． 3．（2分）（2024春•新郑市期中）如图，用相同的小正方体搭成一个大正方体，如果取走标号　　的小正方体，剩下的几何体的表面积最大。 A．① B．② C．③ D．任意一个 【思路点拨】依据题意结合图示可知，取走标号③的小正方体，减少3个面的同时增加3个面，剩下几何体的表面积等于长方体的表面积；取走标号②的小正方体，减少2个面的同时增加4个面，剩下几何体的表面积等于长方体的表面积加上2个面的面积；取走标号①的小正方体，减少1个面的同时增加5个面，剩下几何体的表面积等于长方体的表面积加上4个面的面积，由此解答本题。 【规范解答】解：由分析可知，取走标号①的小正方体，减少1个面的同时增加5个面，剩下几何体的表面积最大。 故选：。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积的应用。 4．（2分）（2023春•青白江区期中）一个长方体包装盒的长是，宽是，高是。一种圆柱形零件的底面直径是，高是，这个包装盒内最多能放　　个这种零件。 A．40 B．42 C．46 D．49 【思路点拨】根据题意可知，这个圆柱形零件底面直径是2厘米，高是1厘米，也就是底面边长是2厘米，高1厘米的长方体纸盒能放入一个这样的零件，所以先根据“包含”除法的意义，求出长方体包装盒的长、宽各包含多少个2厘米，长方体包装盒的高是零件高的几倍，然后根据乘法的意义，用乘法求出最多能放的个数。 【规范解答】解：（个 （个（厘米） （个 （个 答：这个包装盒内最多能放40个这种零件。 故选：。 【考点评析】此题主要考查长方体的容积公式，圆柱的体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是明确：底面边长是2厘米，高1厘米的长方体纸盒能放入一个这样的零件。 5．（2分）（2024春•安阳县期中）一个长方体水箱，从里面量长，宽，深。往里面加入深的水，小明将一块石头放入水中后，水面上升到，石头的体积是　　。 A．1750 B．1400 C．700 D．350 【思路点拨】依据题意结合图示可知，石头的体积等于长14厘米，宽10厘米，高是厘米的长方体的体积，由此解答本题。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：石头的体积是350立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分15分，每空1分） 6．（2分）（2023秋•无锡期末）要做一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），需要玻璃 　80　平方分米；如果装满水，能盛水 　　升。 【思路点拨】需要多少玻璃就是要求正方体的表面积，因为无盖，所以只算5个面，因为正方体的每个面都相等，所以用一个面的面积可算出需要多少玻璃；能盛水多少升，就是求这个正方体容器的容积，也就是这个正方体的体积。1立方分米升，最后把单位换成升。 【规范解答】解： （平方分米） （升 所以需要玻璃80平方分米，能盛水64升。 故答案为：80；64。 【考点评析】熟练掌握正方体的表面积和体积的计算方法，结合实际情境，分清楚是要计算表面积还是体积。需要注意“无盖”，算容积应该用容积单位。 7．（2分）（2024•东莞市）如图（单位：，图中一个小球的体积是 　15　，一个大球的体积是 　　。 【思路点拨】从左往右，图一的长方体容器中没有水；图二，往装有水的圆柱体容器中放入4个小球，此时长方体容器中水深为；则长方体容器中高的水的体积就是4个小球的体积；根据长方体的体积长宽高，求出4个小球的体积，再除以4，即是一个小球的体积； 图三，继续往圆柱体容器中放入2个大球，此时长方体容器中水深为；则长方体容器中高的水的体积就是2个大球的体积；根据长方体的体积长宽高，求出2个大球的体积，再除以2，即是一个大球的体积。 【规范解答】解：4个小球的体积： 一个小球的体积： 2个大球的体积： 一个大球的体积： 答：图中一个小球的体积是，一个大球的体积是。 故答案为：15；45。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 8．（3分）（2024春•辽阳县期末）挖一个长50米，宽30米，深2米的长方体蓄水池，占地面积是 　1500　平方米，如果在它的四壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是 　　平方米，最多能容纳 　　立方米的水。 【思路点拨】依据题意可知，占地面积等于长50米，宽30米的长方形的面积，抹水泥的面积等于占地面积加上2个长50米，宽2米的长方形的面积，加上2个长30米，宽2米的长方形的面积，容纳水的体积等于长50米，宽30米，深2米的长方体的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（平方米） （平方米） （立方米） 答：占地面积是1500平方米，如果在它的四壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是1820平方米，最多能容纳3000立方米的水。 故答案为：1500，1820，3000。 【考点评析】本题考查的是长方体的表面积、体积公式的应用。 9．（2分）（2024春•福清市期末）如图，用棱长为的小正方体搭成一个魔方，角上少了一个小正方体。现在这个魔方的体积是 　208　，表面积是 　　。 【思路点拨】根据正方体的体积、表面积的意义，从正方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来的表面积不变，体积减少了一个棱长为的小正方体的体积，根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，据此解答即可。 【规范解答】解： 答：现在这个魔方的体积是，表面积是。 故答案为：208；216。 【考点评析】本题考查的是正方体的表面积、体积公式的应用。 10．（2分）（2024春•交城县期中）在无盖的长方体盒子内放置棱长为1厘米的小正方体，如图。这个长方体盒子的表面积是 　47　平方厘米，容积是 　　立方厘米。 【思路点拨】从图中可知，长可放置5个棱长为1厘米的小正方体，宽可放3个，高可放2个，即这个长方体的盒子的长是5厘米、宽是3厘米、高是2厘米。这是一个无盖的盒子，根据表面积长宽（长高宽高），容积长宽高，代入数据即可求解。 【规范解答】解：表面积： （平方厘米） 容积：（立方厘米） 答：这个长方体盒子的表面积是47平方厘米，容积是30立方厘米。 故答案为：47；30。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积、体积公式的应用。 11．（2分）（2024春•福清市期末）已知一个长方体的底面周长是，高是，那么这个长方体的棱长总和是 　54　，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是 　　。 【思路点拨】长方体的棱长总和（长宽高），即长方体的棱长总和（长宽）高，再根据长方体的底面周长（长宽），由此可以推理得出，长方体的棱长总和长方体的底面周长高； 不含上下面的长方体的表面积（长高宽高），即不含上下面的长方体的表面积（长宽）高，再根据长方体的底面周长（长宽），由此可以推理得出，不含上下面的长方体的表面积长方体的底面周长高，据此解答。 【规范解答】解：由分析可知： 长方体的棱长总和： 不含上下面的长方体的表面积： 答：这个长方体的棱长总和是，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是。 【考点评析】本题考查的长方体特征以及长方体表面积公式的应用。 12．（1分）（2024春•博罗县期中）把一块长14米，宽12米，高8米的长方体木块截成一个最大的正方体，这个正方体木块的体积是 　512　立方米。 【思路点拨】依据题意可知，这个正方体木块的棱长是8米，利用正方体的体积棱长棱长棱长，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（立方米） 答：正方体的体积是512立方米。 故答案为：512。 【考点评析】本题考查的是正方体体积公式的应用。 13．（1分）（2024春•张家口期中）亮亮不小心把家里长方体鱼缸（无盖）前面的玻璃打破了。已知这个鱼缸的长是8分米，宽是5分米，高是7分米，修理时需要配上的玻璃的面积是 　56　平方分米。 【思路点拨】依据题意可知，需要的玻璃的面积等于长是8分米，宽是7分米的长方形的面积，由此解答本题。 【规范解答】解：（平方分米） 答：修理时需要配上的玻璃的面积是56平方分米。 故答案为：56。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积的应用。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024春•淅川县期中）一个长1.2米，宽0.8米，高0.5米的长方体木箱，它的容积是0.48立方米。 　　（判断对错） 【思路点拨】物体的体积是指物体所占空间的大小，计算体积通常从物体的外面测量数据；物体的容积通常是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，计算容积通常从物体的里面测量数据，木箱的容积要小于木箱的体积，据此解答。 【规范解答】解：长方体木箱的体积：（立方米），容积小于体积，本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是长方体体积公式的应用。 15．（2分）（2024春•道外区期中）在长方体中，不是相对的棱的长度都不相等．　　．（判断对错） 【思路点拨】长方体一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个相对的面是正方形，其他四个面都是长方形，当有两个面是正方形时，则有8条棱长度相等．由此解答． 【规范解答】解：当长方体有两个面是正方形时，则有8条棱长度相等． 所以长方体中不相对的棱，长度也可能相等． 故答案为：． 【考点评析】此题考查目的是理解和掌握长方体的特征． 16．（2分）（2024春•临漳县期中）把水倒入一个从里面量长、宽、高的长方体玻璃水槽中，这时水面距水槽口。 　　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，利用长方体的高体积长宽，计算水面高度，由此解答本题。 【规范解答】解：立方厘米 （厘米） （厘米） 答：这时水面距水槽口12厘米。本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是长方体体积公式的应用。 17．（2分）（2023春•未央区校级期末）如果一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么它们的表面积一定相等．　错误　（判断对错） 【思路点拨】解答此题应根据题意，通过举例进行分析、进而得出结论． 【规范解答】解：例如：长方体的长宽高分别为4厘米、3厘米、2厘米，棱长之和为（厘米）； 表面积则为：（平方厘米）； 与其棱长之和相等的正方体的棱长：（厘米），其表面积：（平方厘米）； 所以如果一个长方体和一个正方体棱长和相等，那么他们的表面积一定相等，是错的； 故答案为：错误． 【考点评析】此题应根据长方体和正方体的棱长总和与棱长之间的关系及长方体和正方体的表面积计算方法进行解答． 18．（2分）（2023春•虞城县校级期中）把两个完全相同的表面积都为36平方厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是72平方厘米。 　　（判断对错） 【思路点拨】把两个完全相同的表面积都为36平方厘米的正方体拼成一个长方体，则表面积减少了两个正方形面，先根据正方体的表面积棱长棱长，用即可求出1个面的面积，进而求出减少的表面积，然后用即可求出现在长方体的表面积。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：把两个完全相同的表面积都为36平方厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是60平方厘米。原题干说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查了立体图形的拼接，明确表面积减少了几个面是解答本题的关键。 四．看图列式计算（共2小题，满分8分，每小题4分） 19．（4分）（2018春•惠安县期中）如图是长方体的展开图，根据有关数据，求出这个长方体的表面积和体积． 【思路点拨】由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、6分米和3分米，分别利用长方体的表面积公式和长方体的体积公式，即可求出其表面积和体积． 【规范解答】解： 答：表面积是，体积是． 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，关键是弄清楚长方体的长、宽、高的具体数值． 20．（4分）求下列长方体和正方体的表面积和体积．（单位：厘米） 【思路点拨】（1）根据长方体的表面积公式：．体积公式：，直接列式解答． （2）根据正方体的表面积公式，正方体体积公式：．直接列式解答． 【规范解答】解：（1）表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：长方体的表面积是700平方厘米，体积是1200立方厘米． （2）表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米． 【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的表面积和体积的计算，直接根据它们的表面积公式、体积公式进行解答． 五．联系生活，实际应用（共10小题，满分57分） 21．（5分）（2024秋•金水区期末）一根长5米的长方体通气管的横截面是边长2分米的正方形。每根通气管所占空间是多少？制作4根这样的通气管，要想给这些管子刷漆（里面不刷），一共要刷多少平方米？ 【思路点拨】利用长方体的体积公式计算每根通气管所占空间，刷漆的面积等于4个长方体的侧面积，由此列式计算即可。 【规范解答】解：5米分米 （立方分米） （平方分米） 1600平方分米平方米 答：每根通气管所占空间200立方分米，一共要刷16平方米。 【考点评析】本题考查的是长方体的体积公式的应用。 22．（5分）（2024•惠来县）洛音旗舰店按照客户要求制作一批月饼礼品盒，礼品盒是用铜版纸制作的一个长方体，展开图如左图，实物图如右图，盒子的底面是边长为25厘米的正方形。（不计损耗和铜版纸厚度） （1）要在制作好的月饼盒四周贴上一圈印有月桂沐秋图案的彩纸（上、下面不贴），至少需要多少平方厘米的彩纸？ （2）这个月饼礼品盒的容积是多少立方分米？ 【思路点拨】（1）彩纸的面积等于4个长25厘米，宽12厘米的长方形的面积，由此解答本题； （2）依据题意可知，长方体的长、宽都是25厘米，高是12厘米，利用长方体的体积长宽高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（1） （平方厘米） 答：需要1200平方厘米的彩纸。 （2） （立方厘米） 7500立方厘米立方分米 答：这个月饼礼品盒的容积是7.5立方分米。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积、体积公式的应用。 23．（5分）（2024春•河东区期末）如图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 【思路点拨】根据题意，在长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，折成一个高6厘米的无盖铁盒，那么这个正方形的边长是6厘米；则长方形铁皮的长、宽分别减去2个6厘米，即是长方体铁盒的长与宽；根据长方体的体积（容积）公式，求出这个铁盒的容积。 【规范解答】解：长方体铁盒的长：（厘米） 长方体铁盒的宽：（厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2856立方厘米。 【考点评析】本题考查的是长方体体积公式的应用。 24．（6分）（2024•遂溪县）在一节数学活动课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下的测量与操作； ①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量到底面直径是，高是。 ②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是。 ③小明把20枚相同的螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 ④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据上面的信息，请你计算出一枚螺丝钉的体积。 【思路点拨】先根据①和②求出注入水的高度，再根据③和④求出放入20枚螺丝钉后水面的高度，作差求出水面高度差；加入20枚螺丝钉增加的体积为底面直径为，高度为的圆柱的体积，求出体积再除以20即可求出一枚螺丝钉的体积。 【规范解答】解： 答：一枚螺丝钉的体积为。 【考点评析】本题考查用排水法求不规则图形的体积，掌握比的应用和圆柱的体积公式是解题的关键。 25．（6分）（2021春•平桂区 期末）王大爷的房间长8米、宽3.5米、高2.8米，现要给四面墙的底下部分刷上1.2米高的浅绿色油漆（开门处1平方米不刷），每平方米需要油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？ 【思路点拨】根据题意可知，要给四面墙的底下部分刷上1.2米高的浅绿色油漆，也就是求长是8米，宽是3.5米，高是1.2米长方体的四个侧面的面积，根据长方形表面积公式，求出四个侧面的面积有多少平方米，再减去开门处不涂的1平方米，即可求出油漆面积。 【规范解答】解： （千克） 答：共需要15.96千克油漆。 【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 26．（6分）（2020秋•射阳县校级月考）张明过生日时买了一块长方体蛋糕和小伙伴们一起分享，他决定从上部和下部分别截去高为2厘米和高为4厘米的长方体，给自己留下的是中间的正方体（如图）。结果蛋糕的表面积减少了144平方厘米。那么原来长方体蛋糕的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】从上部和下部分别截去2厘米和4厘米长方体后，便成为一个正方体，可知这个长方体的底面是一个正方形，这个长方体上、下部减少的面就是一个高是（厘米）的长方体的4给相同的侧面，所以用减少的面积除以4，求出减少部分的长方体的一个侧面的面积，再用这一个侧面的面积除以，求出这个长方体的底面的长，这个长方体的长和宽相同，高是厘米，再利用长方体体积长宽高，即可求出原长方体的体积。 【规范解答】解：（平方厘米） （厘米） （立方厘米） 答：原来长方体蛋糕的体积是432立方厘米。 【考点评析】本题是考查图形的切拼问题、长方体的侧面积与体积的计算，关键是求出这个长方体的长和宽。 27．（6分）（2024春•城厢区期末）有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙．将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【思路点拨】我们运用方程解答便于理解，设这时水深是厘米．运用底面积乘以高分别表示出甲乙两个容器的体积加在一起的和等于现在乙容器里面的水的体积． 【规范解答】解：设这时水深是厘米． ， ， ， ， ； 答：这时水深是8厘米． 【考点评析】本题运用长方体的体积公式进行解答即可，即运用“长宽高体积”进行计算即可． 28．（6分）（2023春•西秀区期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为，高，向容器中倒入水，再把一个雪梨浸没在水中，这时量得容器内的水深是．这个雪梨的体积是多少？ 【思路点拨】先根据长方体的体积计算公式求出后来容器内水和雪梨的总体积，然后减去倒入水的体积，即可求出雪梨的体积． 【规范解答】解：5升立方分米， ， ， （立方分米）； 答：这个雪梨的体积是1立方分米． 【考点评析】此题主要考查不规则物体的体积计算方法，根据长方体的体积计算方法解答即可． 29．（6分）（2023秋•苏州期中）欢欢用一张长45厘米，宽35厘米的硬纸板（如图），从四个角上剪下边长是5厘米的正方形，再折成一个长方体盒子．这个盒子的容积是多少立方厘米？（硬纸板厚度不计） 【思路点拨】由图形可知，四个角剪下一个边长5厘米的正方形，再折成一个长方体盒子，盒子的高就是5厘米，盒子长是厘米，盒子的宽是厘米；根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答． 【规范解答】解：， ， （立方厘米）； 答：盒子的容积是4375立方厘米． 【考点评析】此题主要考查长方体的容积（体积）的计算，关键是先求出它的长、宽、高，再根据容积公式解答． 30．（6分）（2023春•平昌县期末）丹丹的房间长，宽，高，门窗面积是．现在要粉刷这个房间的四壁和天花板． （1）粉刷的面积是多少？ （2）如果每平方米需涂料，一共需要涂料多少？ 【思路点拨】（1）要求需要粉刷的面积共是多少平方米，要粉刷的面是5个面，根据长方休表面积计算的方法，求出需要粉刷的面积，还要减去门窗的面积，就是要粉刷的面积；（2）求出要粉刷的面积乘0.3就是需要的涂料数．据此解答． 【规范解答】解：（1） （平方米） 答：需要粉刷的面积是52平方米． （2）（千克） 答：共需要涂料15.6千克． 【考点评析】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第三单元 长方体和正方体 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽 　　　 侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高 　　　 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 　　　 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12 　　　 表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6） 　　　 没盖的表面积＝棱长×棱长×5 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高 字母公式：v=abh v=sh 3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。 5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。 6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。 8、、体积和容积单位之间的进率：　 1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升 字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1 9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 1. 长方体的6个面有时不都是长方形。 2. 长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。 3. 在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 4. 物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。 5.并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。 6. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。 7. 体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。 8. 在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。 9. 只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。 10. 用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。 11. 物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。 12. 计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。 13. 用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.37（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•禹城市期末）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如图）。原来每块长方体彩砖的表面积是　　平方厘米。 A．736 B．368 C．1472 D．以上答案都不对 2．（2分）（2024春•商水县期末）用两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了　　平方厘米． A．25 B．50 C．75 D．100 3．（2分）（2024春•新郑市期中）如图，用相同的小正方体搭成一个大正方体，如果取走标号　　的小正方体，剩下的几何体的表面积最大。 A．① B．② C．③ D．任意一个 4．（2分）（2023春•青白江区期中）一个长方体包装盒的长是，宽是，高是。一种圆柱形零件的底面直径是，高是，这个包装盒内最多能放　　个这种零件。 A．40 B．42 C．46 D．49 5．（2分）（2024春•安阳县期中）一个长方体水箱，从里面量长，宽，深。往里面加入深的水，小明将一块石头放入水中后，水面上升到，石头的体积是　　。 A．1750 B．1400 C．700 D．350 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分15分，每空1分） 6．（2分）（2023秋•无锡期末）要做一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），需要玻璃 　　平方分米；如果装满水，能盛水 　　升。 7．（2分）（2024•东莞市）如图（单位：，图中一个小球的体积是 　　，一个大球的体积是 　　。 8．（3分）（2024春•辽阳县期末）挖一个长50米，宽30米，深2米的长方体蓄水池，占地面积是 　　平方米，如果在它的四壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是 　　平方米，最多能容纳 　　立方米的水。 9．（2分）（2024春•福清市期末）如图，用棱长为的小正方体搭成一个魔方，角上少了一个小正方体。现在这个魔方的体积是 　　，表面积是 　　。 10．（2分）（2024春•交城县期中）在无盖的长方体盒子内放置棱长为1厘米的小正方体，如图。这个长方体盒子的表面积是 　　平方厘米，容积是 　　立方厘米。 11．（2分）（2024春•福清市期末）已知一个长方体的底面周长是，高是，那么这个长方体的棱长总和是 　　，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是 　　。 12．（1分）（2024春•博罗县期中）把一块长14米，宽12米，高8米的长方体木块截成一个最大的正方体，这个正方体木块的体积是 　　立方米。 13．（1分）（2024春•张家口期中）亮亮不小心把家里长方体鱼缸（无盖）前面的玻璃打破了。已知这个鱼缸的长是8分米，宽是5分米，高是7分米，修理时需要配上的玻璃的面积是 　　平方分米。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024春•淅川县期中）一个长1.2米，宽0.8米，高0.5米的长方体木箱，它的容积是0.48立方米。 　　（判断对错） 15．（2分）（2024春•道外区期中）在长方体中，不是相对的棱的长度都不相等．　 　．（判断对错） 16．（2分）（2024春•临漳县期中）把水倒入一个从里面量长、宽、高的长方体玻璃水槽中，这时水面距水槽口。 　　（判断对错） 17．（2分）（2023春•未央区校级期末）如果一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么它们的表面积一定相等．　　（判断对错） 18．（2分）（2023春•虞城县校级期中）把两个完全相同的表面积都为36平方厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是72平方厘米。 　　（判断对错） 四．看图列式计算（共2小题，满分8分，每小题4分） 19．（4分）（2018春•惠安县期中）如图是长方体的展开图，根据有关数据，求出这个长方体的表面积和体积． 20．（4分）求下列长方体和正方体的表面积和体积．（单位：厘米） 五．联系生活，实际应用（共10小题，满分57分） 21．（5分）（2024秋•金水区期末）一根长5米的长方体通气管的横截面是边长2分米的正方形。每根通气管所占空间是多少？制作4根这样的通气管，要想给这些管子刷漆（里面不刷），一共要刷多少平方米？ 22．（5分）（2024•惠来县）洛音旗舰店按照客户要求制作一批月饼礼品盒，礼品盒是用铜版纸制作的一个长方体，展开图如左图，实物图如右图，盒子的底面是边长为25厘米的正方形。（不计损耗和铜版纸厚度） （1）要在制作好的月饼盒四周贴上一圈印有月桂沐秋图案的彩纸（上、下面不贴），至少需要多少平方厘米的彩纸？ （2）这个月饼礼品盒的容积是多少立方分米？ 23．（5分）（2024春•河东区期末）如图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 24．（6分）（2024•遂溪县）在一节数学活动课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下的测量与操作； ①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量到底面直径是，高是。 ②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是。 ③小明把20枚相同的螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 ④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据上面的信息，请你计算出一枚螺丝钉的体积。 25．（6分）（2021春•平桂区 期末）王大爷的房间长8米、宽3.5米、高2.8米，现要给四面墙的底下部分刷上1.2米高的浅绿色油漆（开门处1平方米不刷），每平方米需要油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？ 26．（6分）（2020秋•射阳县校级月考）张明过生日时买了一块长方体蛋糕和小伙伴们一起分享，他决定从上部和下部分别截去高为2厘米和高为4厘米的长方体，给自己留下的是中间的正方体（如图）。结果蛋糕的表面积减少了144平方厘米。那么原来长方体蛋糕的体积是多少立方厘米？ 27．（6分）（2024春•城厢区期末）有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙．将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 28．（6分）（2023春•西秀区期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为，高，向容器中倒入水，再把一个雪梨浸没在水中，这时量得容器内的水深是．这个雪梨的体积是多少？ 29．（6分）（2023秋•苏州期中）欢欢用一张长45厘米，宽35厘米的硬纸板（如图），从四个角上剪下边长是5厘米的正方形，再折成一个长方体盒子．这个盒子的容积是多少立方厘米？（硬纸板厚度不计） 30．（6分）（2023春•平昌县期末）丹丹的房间长，宽，高，门窗面积是．现在要粉刷这个房间的四壁和天花板． （1）粉刷的面积是多少？ （2）如果每平方米需涂料，一共需要涂料多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$