高一数学第一次月考模拟试卷02（江苏专用，测试范围：苏教版2019必修第二册第9-10章）-2024-2025学年高一数学下学期

高一数学月考模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2.在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与是非零向量，，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设向量，，，若的最大值为5，则正实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列各式中，值为的是（ ） A B. C D. 10.下列说法正确的是（ ） A. 设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则 B. 设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 C. 设，，且，则 D. 若是内的一点，满足，则 11.定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则与方向相同的单位向量的坐标为_______． 13. 在中，角的对边分别为，，则角_____________. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 16. 在平面直角坐标系中，已知，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数t的值. 17. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 18.如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. （1）若，求线段EF的长； （2）若，设，求实数和的值； （3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由． （2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学月考模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 2.在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】   如图，因，则，即， 解得：. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】因为， 所以， 故，解得. 故选：B 4. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 得， 故选：A. 5. 已知向量与是非零向量，，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，，与的夹角为，所以， 所以， 所以在上的投影向量为， 故选：A. 6. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， 因为，， 所以，即， 且, 所以, 所以. 故选：A. 7. 设向量，，，若的最大值为5，则正实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】因为，， 所以， ， 则， 又， 所以 ，当且仅当与反向时取等号， 所以，即，解得或， 又，所以. 故选：C 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列各式中，值为的是（ ） A B. C D. 【答案】BC 【解析】选项A，，错误； 选项B，，正确； 选项C，，正确； 选项D，，错误. 故选：BC. 10.下列说法正确的是（ ） A. 设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则 B. 设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 C. 设，，且，则 D. 若是内的一点，满足，则 【答案】ABC 【解析】对于A，由不共线，与共线， 则，即，所以，解得，故A正确； 对于B，由，的夹角为锐角，得且不共线（同向）， 则，解得且，即实数的取值范围为，故B正确； 对于C，由，，则， 由，得，解得，故C正确； 对于D，由，得， 令的中点分别为，则，即， 则是线段靠近的四等分点， 如图，在中，连接，则是的中位线， 所以，故D错误. 故选：ABC 11.定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】，其中是与的夹角， 对A：若，则，， 则，故A正确； 对B：若，则，故与夹角为90°， 则，故B错误； 对C：若，则，故C正确； 对D：若，，则，， ,，，， 则，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则与方向相同的单位向量的坐标为_______． 【答案】 【解析】设与方向相同的单位向量的坐标为，则 解得或, 故与同方向的单位向量的坐标是. 故答案为：. 13. 在中，角的对边分别为，，则角_____________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 即， 又， 所以， 所以或（舍） 所以， 故答案为：. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2）7 【解析】（1）已知,,故 所以， 故 （2）由得：． 16. 在平面直角坐标系中，已知，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，， 所以，， 因为， 所以，解得. （2）， 因为，所以， 解得. 17. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，且， 所以，则， 所以. （2）因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 18.如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. （1）若，求线段EF的长； （2）若，设，求实数和的值； （3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； （2）若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； （3）， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由． （2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1）存在，或 （2） 【解析】（1）因为 ， 所以，函数存在相伴向量，， 所以，与共线的单位向量为或 . （2）的“相伴函数”， 因为在处取得最大值， 所以，当，即时，有最大值， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 令，则， 因为均为上的单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以， 所以，， 所以，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$