精品解析：广东省阳江市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题

2022-2023学年阳江一中高一第二学期第二次月考数学 命题：黄丽丝；审题：刘勇江 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. | D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据并集的概念运算可得结果. 【详解】集合，， ， 故选：B． 2. 函数的定义域为（ ） A. （0，2] B. [0，2] C. [0，2） D. （0，2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 故选：A 3. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，可得，再根据是第二象限角，所以，再利用即可得解. 【详解】，， 是第二象限角，，． 选：A． 4. 已知的图象经过点，则的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求解出的值，然后将的值代入幂函数中分析幂函数奇偶性和单调情况，由此判断出幂函数的图象. 【详解】因为经过，所以，所以， 所以幂函数为，显然为奇函数，排除A、C： 又因为在时，增长趋势比快速，所以排除D. 故选：B． 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 故， 故选：D 6. 酒驾是严重危害交通安全违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． （参考数据：，）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案． 【详解】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了， 则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后， 他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少， 他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，， ． 整数的值为5． 故选：C． 7. 已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（ ）． A. B. 5 C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式转化为对任意的，恒成立．再构造函数，利用二次函数知识求出最大值即可得解. 【详解】由题意知，对任意的，，即，即恒成立． 令， 当时，，， 实数的最小值为5． 故选：B． 8. 已知函数，．若有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】令，可得，作出函数与函数的图象，通过函数有2个零点求解的范围即可． 【详解】令，可得，作出函数与函数的图象如下图所示， 由图可知，当时，即时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点，因此，实数的取值范围是． 故选：D． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，在每小题有多项符合题目要求，选错不得分，漏选得2分） 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质，可判定A、B正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定C错误，D正确. 【详解】由，，根据不等式的性质，可得，所以A是正确的； 由，，可得， 则，可得，所以B正确； 取，，则，从而，所以C错误； 由幂函数，在上是增函数， 则由，即得，则D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10. 下面选项中正确的有（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充要条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可知A错误；根据全称命题的否定是特称命题可知B正确：根据或可知C错误：根据且可知D正确. 【详解】对于选项A，特称命题的否定是全称命题， “，”的否定是“，”，故A错误； 对于选项B，全称命题的否定是特称命题， “任意，则”的否定是“存在，则”，故B正确： 对于选项C，或， 则“”是“”的充分不必要条件，故C错误： 对于选项D，且， 则““是““的必要不充分条件，故D正确： 故选：BD． 11. 设函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 满足 C. 在上单调递减，那么的最大值是 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】首先化简，再利用三角函数的图像与性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对于选项，即A正确： 对于选项 ， 即不是的对称轴，故B错误： 对于选项时，单调递碱， 故减区间为，，的最大值是，故C正确； 对于的图象向右平移个单位得到 ，故D错误． 故选：AC． 12. 已知函数f(x)是定义在(-∞， 0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x>0时，.下列说法正确的是（ ） A. 当2<x≤4时， B. C. 存在x0∈(-∞，0)∪(0，+∞)， 使得f(x0)=2 D. 函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为10 【答案】AD 【解析】 【分析】A.首先设，，代入后求函数的解析式；B.取特殊值，判断；CD选项，都可以根据图象判断选项. 【详解】A.当时，，，故A正确； B.当时，，故B不正确； C.如图，画出函数在图象，函数的最大值是1，所以不存在，使，故C不正确； D.，因为函数是偶函数，所以要判断在的零点个数，只需判断的零点个数，根据函数图象，函数在的零点个数，有5个，故在的零点个数是10个，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据分段函数，求函数的解析式，以及函数零点问题，重点是理解函数的解析式，并画出函数的图象，并能根据条件求等区间段的解析式. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】原式， 故答案为：5. 14. 若正实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解． 【详解】因为正数，满足，所以，所以， 解得，当且仅当，时取等号． 故答案为：． 15. 已知某扇形圆心角的弧度数是2，扇形周长是4cm，则该扇形的面积为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】由扇形弧长公式及其周长有求出半径，再应用扇形面积公式求面积. 【详解】若扇形的半径为，则，可得， 由题设，扇形的面积. 故答案为：1 16. 梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第12分钟时，他距地面大约为___________米. 【答案】55 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，第分钟时所在位置的高度为，设出其三角函数的表达式，由题意，得出其周期，求出解析式，然后将代入，可得答案. 【详解】如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米. 则摩天轮的最低点离地面10米，即 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为 则 由题意，,则，所以 当时， 故答案为：55 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，点、在单位圆上，点的坐标为，点在第二象限，为正三角形，点是单位圆与轴正半轴的交点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果． （2）由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和的余弦公式，计算求得结果． 【详解】（1）因为A点的坐标为，根据三角函数定义 可知． （2）根据三角函数定义知 因为三角形为正三角形，所以， 所以 ． 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求的解析式； （2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在的实数解. 【答案】（1）；（2）或或. 【解析】 【分析】 （1）先根据函数图象确定出的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式求解出的值，然后代入点结合的范围求解出的值，从而的解析式可求； （2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据得到关于的方程，结合，求解出的值即为方程的实数解. 【详解】（1）因为由图象可知，所以且，所以， 所以，代入点，所以且，所以， 所以； （2）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的后得到的函数解析式为：， 因为，所以，又因为，所以， 所以或或，所以或或， 所以方程在的实数解为：或或. 【点睛】思路点睛：根据的图象求解函数解析式的步骤： （1）根据图象的最高点可直接确定出的值； （2）根据图象对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出的值； （3）代入图象中非平衡位置的点，结合的范围求解出，则函数解析式可求. 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）用“五点法”画出在一个周期内的图象． 【答案】（1）；（2）图像见解析. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变形，得到函数，再求函数的单调递增区间；（2）列表，描点画出函数的图象. 【详解】（1） 令， 得． 因此，函数的单调递增区间为； （2）列表如下： 0 0 2 0 -2 0 在一个周期内的图象如图所示： 20. 已知函数，且．． （1）判断的奇偶性，并证明你的结论； （2）若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）为定义域在上的奇函数，证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的值，根据函数的奇偶性的定义证明即可； （2）问题转化为恒成立，设，则，得到（当且仅当时，等号成立），从而求出的最大值即可． 【详解】由，解得， 故 （1）为定义域在上的奇函数，证明如下： 即 所以为奇函数. （2）由条件得，即恒成立， 设，则，（当且仅当时，等号成立） 所以的最小值是，- 所以， 即的最大值是． 21. 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少 【解析】 【分析】 （1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为，且在上为增函数，故选，在代入数据计算可得. （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：，根据二次函数的性质求出最值. 【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数； 函数在是减函数，所以不符合题意； 而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意； 所以选择函数. 由已知数据得： 解得： 所以， （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得： 因为，所以，当时，y有最小值30. 所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L. 【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题. 22. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“漂移点”． （1）判断函数在上是否有“漂移点”，并说明理由； （2）若函数在上有“漂移点”，求正实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上有“漂移点”，理由见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）构造函数，根据零点存在性定理以及“漂移点”的定义可得答案； （2）转化为在上有解，分类讨论，结合二次函数知识可求出结果. 【详解】（1）函数在上有“漂移点”，理由如下 设， 因为，，所以， 由零点存在定理可知，在上至少有1个零点，并设零点为， 即至少有1个实根， 所以函数在上有“漂移点”． （2）若函数在上有“漂移点”， 则存在实数，使得成立， 即，即， 因为，所以，． 当时，，不合题意 当时，令，则在上有零点 当时，开口向下，对称轴， 在上单调递减，， 所以在上恒小于零，不合题意， 当时，开口向上，对称轴， 由题意只要，即， 解得． 因为，所以． 综上所述：正实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第（1）问，根据零点存在性定理以及“漂移点”的定义求解是解题关键；第（2）问，构造函数，利用二次函数知识求解是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年阳江一中高一第二学期第二次月考数学 命题：黄丽丝；审题：刘勇江 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. | D. 2. 函数的定义域为（ ） A. （0，2] B. [0，2] C. [0，2） D. （0，2） 3. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的图象经过点，则的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． （参考数据：，）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（ ）． A. B. 5 C. D. -1 8. 已知函数，．若有2个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，在每小题有多项符合题目要求，选错不得分，漏选得2分） 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C D. 10. 下面选项中正确的有（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充要条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 11. 设函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 满足 C. 在上单调递减，那么的最大值是 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到 12. 已知函数f(x)是定义在(-∞， 0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x>0时，.下列说法正确的是（ ） A. 当2<x≤4时， B. C. 存在x0∈(-∞，0)∪(0，+∞)， 使得f(x0)=2 D. 函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为10 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算______． 14. 若正实数，满足，则的最大值为______． 15. 已知某扇形圆心角的弧度数是2，扇形周长是4cm，则该扇形的面积为____________. 16. 梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第12分钟时，他距地面大约为___________米. 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，点、在单位圆上，点的坐标为，点在第二象限，为正三角形，点是单位圆与轴正半轴的交点． （1）求值； （2）求的值． 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求的解析式； （2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在的实数解. 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）用“五点法”画出在一个周期内的图象． 20. 已知函数，且．． （1）判断的奇偶性，并证明你的结论； （2）若恒成立，求的最大值． 21. 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 22. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“漂移点”． （1）判断函数在上否有“漂移点”，并说明理由； （2）若函数在上有“漂移点”，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $