专题18.4 勾股定理逆定理的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题18.4 勾股定理逆定理的应用 · 典例分析 【典例1】如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 【思路点拨】 此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与萌萌的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 ∴当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与萌萌的距离最近． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（   ） A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定 2．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上． 5．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米． 6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ． 7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）如图，某学校在美化校园施工过程中留下了一块空地，现计划在空地上铺草坪，已知米，米，，米，米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 8．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，求四边形的面积． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 10．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由： （2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． （1）求的长； （2）连接，判断的形状并说明理由． 12．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 13．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元． 14．（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； （2）如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，，点为的中点．现需要开辟一块的空地用于堆肥，已知，． （1）你能确定的形状吗，请说明理由． （2）计算阴影部分的面积． 17．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地，其中，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点作了垂直于的小路．经测量，，，． （1）求这块空地的面积； （2）求小路的长．（答案可含根号） 18．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这片荒地的面积． 20．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉， （1）求证：是直角三角形． （2）若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 21．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． （1）汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 22．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.4 勾股定理逆定理的应用 · 典例分析 【典例1】如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 【思路点拨】 此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与萌萌的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 ∴当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与萌萌的距离最近． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（   ） A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定 【思路点拨】 本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：由题意得，海里，海里，， ∵，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴乙船的航向为南偏东或北偏西， 故选：． 2．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【思路点拨】 本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【解题过程】 解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 4．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上． 【思路点拨】 此题考查了勾股定理的逆定理和方位角的表示，首先根据勾股定理的逆定理求出，然后利用方位角求解即可． 【解题过程】 解：根据题意得， ∵，， ∴ ∴ 如图所示，当点B在下方时， ∴ ∴岛B在岛C的南偏东方向上； 如图所示，当点B在上方时， ∴ ∴岛B在岛C的北偏西方向上； 综上所述，岛B在岛C的南偏东或北偏西方向上． 故答案为：南偏东或北偏西． 5．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米． 【思路点拨】 先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【解题过程】 解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形且； 设千米，则千米， 在中，由已知得， 由勾股定理得：， ∴，解得x=． 故答案为． 6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键． 当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解． 【解题过程】 解：如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵成， ∴是直角三角形，由勾股定理，得 ∴； 当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图， ∵，于H，过点D作于F， ∴，， ∴， ∴ 由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：8；12． 7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）如图，某学校在美化校园施工过程中留下了一块空地，现计划在空地上铺草坪，已知米，米，，米，米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【思路点拨】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案． 【解题过程】 解：如图，连接， 在中，，米，米， 由勾股定理得米， ∵米，米， ，， ∴， ∴， 该区域面积 (平方米)， 用该草坪铺满这块空地共需花费元． 8．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，求四边形的面积． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 答：四边形的面积为18． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，由等腰三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，再由勾股定理逆定理得出，最后由计算即可得解． 【解题过程】 解：如图，作于， ， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴（平方米）． 10．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由： （2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 【思路点拨】 此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：，理由如下： 由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米 ∵， ∴是直角三角形，， 即； （2）由题意可知，， ∴（米）， ∴（米） 而（米） ∵， ∴路线更短 11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． （1）求的长； （2）连接，判断的形状并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 【解题过程】 （1）解： ， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 12．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【思路点拨】 此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）设米，则米，根据勾股定理得到，解得，则米，即可求出原来的路线的长． 【解题过程】 （1）由题知：米，米，米， ∵， ∴在中：， ∴是直角三角形，， 则， 即是最近的路． （2）设米，则米， 在中，根据勾股定理， 即， 解得， 则米，得：米． 13．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路每米100元，列式计算即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵米，米，米， ∴，则， ∴是以为直角的直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： （米）； （2）解：∵， ∴， 即， ∴（米）， ∴需花费（元） 答：修建小路共需1920元． 14．（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； （2）如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 【思路点拨】 本题考查勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出,再根据勾股定理求出,根据三角形面积公式计算,得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵, ∴, ∴这个三角形是直角三角形, ∴三角形的面积为：； （2）如图,过点A作于D, 设,则, 在中, 在中,, ∴,即, 解得：, 由勾股定理得：（m）, ∴, ∴该实验基地的面积为． 15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，，点为的中点．现需要开辟一块的空地用于堆肥，已知，． （1）你能确定的形状吗，请说明理由． （2）计算阴影部分的面积． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由题意得，由勾股定理逆定理即可判断的形状是直角三角形； （2）连接，则，利用勾股定理可计算出的长，利用即可计算出阴影部分面积． 【解题过程】 （1）解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴的形状是直角三角形，且； （2）连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， ， ∴ ． 17．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地，其中，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点作了垂直于的小路．经测量，，，． （1）求这块空地的面积； （2）求小路的长．（答案可含根号） 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，再由和 的长得出是直角三角形，分别算出和的面积即可； （2）利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴在中， ， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵空地的面积 ∴空地的面积 答：这块空地的面积为． （2）在中， 即4× ．     答：小路的长为 ． 18．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【思路点拨】 此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这片荒地的面积． 【思路点拨】 此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）连接，在中，利用勾股定理求出即可； （2）用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，根据四边形纸片的面积即可求出答案． 【解题过程】 （1）解：连接，如图 在中，，， 即、两点之间的距离为； （2）在中，，， ， 是直角三角形，， 四边形纸片的面积 ． 因此该四边形荒地的面积为． 20．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉， （1）求证：是直角三角形． （2）若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【思路点拨】 本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，，且．得，结合勾股逆定理即可作答． （2）过作于点，结合等腰三角形的性质得，运用勾股定理计算，再运用割补法进行求面积，即可作答． 【解题过程】 （1）解：∵，，且． ∴， 即， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：如图，过作于点， ，，过作于点 ， 在中， 由勾股定理得：， 由（1）得，是直角三角形， ， （元）． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 21．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． （1）汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【思路点拨】 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【解题过程】 （1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 22．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【思路点拨】 本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【解题过程】 （1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$