专题18.3 利用勾股定理的逆定理求解（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题18.3 利用勾股定理的逆定理求解 · 典例分析 【典例1】【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（为等腰三角形时，的长．（结果保留根号）    【思路点拨】 （1）由可得是直角三角形； （2）可得为等腰直角三角形，过分别作、的垂线即可得到D； （3）由可得是直角三角形，由题意可得，即为等腰直角三角形，，再分类讨论求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵在中，，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形 故答案为：直角； （2）当时， ； 当时， 过作交于D，    ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 过作交于D，    ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，解得； 综上所述，当为等腰三角形时，或或； （3）∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，则，    ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，则，    ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，    综上所述，当为等腰三角形时，或或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 如图，连接，求解，证明，延长至，使，连接， 证明为等边三角形，可得，从而可得答案． 【解题过程】 解：如图，连接，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，而 ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 3．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了三角形．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． 延长至点E，使，连接，结合是的中线证明，得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用勾股定理求得，即可求得． 【解题过程】 解：如图，延长至点E，使，连接， ∵， ∴ ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 故选：C ． 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【解题过程】 解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 【思路点拨】 本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【解题过程】 解：如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 6．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．注意分点B在外部与内部两种情况讨论． 【解题过程】 解： 中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 分两种情况，当点B在外部时，如图： 、、、围成的四边形的面积为：； 当点B在内部时，如图： 、、、围成的四边形的面积为：； 故答案为：36或24． 7．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 【思路点拨】 由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【解题过程】 解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作于，过点作于，由可得，，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形的面积可得，然后证明，得到，最后利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：过点作于，过点作于，则， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． 根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，则，再利用勾股定理得到答案． 【解题过程】 解：由题意得： ，两点关于射线对称， ， 为定值，要使周长最小， 即最小， 如图，当点为与射线的交点时，周长最小， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【思路点拨】 本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【解题过程】 解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查了垂线段最短，轴对称求线段和最值问题，勾股定理及其逆定理．作点关于的对称点，连接，，，当时，最短，根据垂线段最短以及两点之间线段最短，可知的最小值是线段的长，利用等积法即可求解． 【解题过程】 解：如图，作点关于的对称点，连接，，，当时，最短， ∵中，，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴ ， 当三点共线时，且时，取得最小值， 如图，延长交的延长线于点， ∵，，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点D作交于H，连接，可证明得到，进而得到；证明，得到，则垂直平分，可得，可设，则，，，再证明，根据三角形面积得到，再进一步可得答案． 【解题过程】 解：如图所示，过点D作交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的周长． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长． 【解题过程】 （1）解：是直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，则 ∴的周长． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 和中，． （1）求证：； （2）若 ，求证： ． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理，等腰三角形的性质． （1）证明即可得出结论； （2）由（1）可得，根据 ，得到，推出，结合可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴，即， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1 ）知， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小宇所在的小组在学校组织的研学活动中合作搭建的帐篷的支架示意图．在中，帐篷的顶点为A，点在地面上的同一水平线上，均为支架，且．经测量知，，，． （1）求的长； （2）当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是否最为稳定？ 【思路点拨】 本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，是解题的关键． （1）设，则，在中，利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出与的长，从而得出的长，再利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，，进而得出结论． 【解题过程】 （1）解：设，则， ， ， 在中，， 即， 解得：． ∴， ∴的长为； （2）解：帐篷最为稳定． 理由如下： 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ∴是直角三角形，． ∴帐篷符合要求． 16．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在四边形中，，．若，，． （1）如图1，连接，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，连接，过A作，交的延长线于点E，求的面积． 【思路点拨】 （1）由勾股定理的逆定理可求解； （2）由“”可证,可得,,由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解； 【解题过程】 （1）解：是直角三角形，理由如下， ,, 根据勾股定理得， ,, , 是直角三角形，； （2）解：, , , , , , ∴，即, 又, , ,, ∵, ∴， , ． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． （1）求证：； （2）求的大小； （3）求的长． 【思路点拨】 （1）运用证明解题即可； （2）利用勾股定理求出长，然后利用勾股定理的逆定理得到，解题即可； （3）过点作于点，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解题即可． 【解题过程】 （1）证明：∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 在中，， ， ， ． （3）解：过点作于点， ， ， ， ， 由勾股定理可得，即， 解得：或（舍去）， ， ， 在中，． 18．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知：如图，在中．，，的周长为． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②直接写出线段的长． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据题意求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明； （2）①由（1）可知，结合，推出，由可得，得到，根据角平分线的定义可得，即可证明；②由，，且，推出，得到，根据，，得到，推出，得到，即可求解． 【解题过程】 （1）证明： ，，的周长为， ， ，， ， 是直角三角形； （2）①证明： ， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ； ② ，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 19．（23-24九年级上·重庆·期中）如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接． （1）求的面积和线段的长； （2）如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，面积计算，熟练掌握折叠，勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，得到，结合判定是直角三角形，过点A作于点M，计算即可． （2）过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M，设，则，利用勾股定理，三角形面积公式计算即可． 【解题过程】 （1）∵，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴； 过点A作于点M， 则， ∴， ∴， ∴． （2）根据题意，得，，， 设，则， ∴， 解得， 故， 过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故点到的距离为． 20．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． （1）若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； （2）点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【思路点拨】 （1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【解题过程】 （1）如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， ； （2）如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形． 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． （1）求的长； （2）已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； （3）点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【思路点拨】 （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【解题过程】 （1）解： ，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）解：①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①如图，当点P在线段上时： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②如图，当点P在延长线上时，连接， 设，则，， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 22．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    （1）求证：； （2）如图1，若，，求的长； （3）如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 【思路点拨】 （1）在中，由，，可得，由勾股定理得，进而可证； （2）由（1）可知，由勾股定理得，，在中，，可得是等腰直角三角形，则，根据，计算求解即可； （3）如图，在上取一点H，使，连接，，由，，可得，，证明，则，，由，可得，，由，，可得，，则，即，由，可得，由勾股定理，得，则，进而可得以，和为边，能围成直角三角形． 【解题过程】 （1）证明：在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为3.5； （3）解：能围成直角三角形，理由如下： 如图，在上取一点H，使，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴以，和为边，能围成直角三角形． 23．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接． （1）如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形； （2）当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性质， （1）延长到，使得，连接，可证，可得，，在中，运用勾股定理逆定理可得，于是有，即可求解； （2）过点作，与的延长线交于点，连接，可证，可得，运用勾股定理逆定理即可求解． 【解题过程】 （1）解：结论：以三条线段为边构成的三角形是直角三角形， 理由：延长到，使得，连接， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴以三条线段为边构成的三角形是直角三角形； （2）解：结论：． 理由：过点作，与的延长线交于点，连接， 则， ∵点是的中点， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【思路点拨】 （1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【解题过程】 解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.3 利用勾股定理的逆定理求解 · 典例分析 【典例1】【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（为等腰三角形时，的长．（结果保留根号）    【思路点拨】 （1）由可得是直角三角形； （2）可得为等腰直角三角形，过分别作、的垂线即可得到D； （3）由可得是直角三角形，由题意可得，即为等腰直角三角形，，再分类讨论求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵在中，，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形 故答案为：直角； （2）当时， ； 当时， 过作交于D，    ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 过作交于D，    ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，解得； 综上所述，当为等腰三角形时，或或； （3）∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，则，    ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，则，    ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，    综上所述，当为等腰三角形时，或或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 5．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 6．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ． 7．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 8．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是 ． 12．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的周长． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 和中，． （1）求证：； （2）若 ，求证： ． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小宇所在的小组在学校组织的研学活动中合作搭建的帐篷的支架示意图．在中，帐篷的顶点为A，点在地面上的同一水平线上，均为支架，且．经测量知，，，． （1）求的长； （2）当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是否最为稳定？ 16．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在四边形中，，．若，，． （1）如图1，连接，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，连接，过A作，交的延长线于点E，求的面积． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． （1）求证：； （2）求的大小； （3）求的长． 18．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知：如图，在中．，，的周长为． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②直接写出线段的长． 19．（23-24九年级上·重庆·期中）如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接． （1）求的面积和线段的长； （2）如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离． 20．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． （1）若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； （2）点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． （1）求的长； （2）已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； （3）点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 22．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    （1）求证：； （2）如图1，若，，求的长； （3）如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 23．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接． （1）如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形； （2）当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由． 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$