专题18.1 运用勾股定理解三角形（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题18.1 运用勾股定理解三角形 · 典例分析 【典例1】（1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接， ①若，求的长； ②如图2，当，作平分，交于E，求的长； （2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长． 【思路点拨】 此题重点考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性较强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，求得，则，而，由勾股定理得，于是得到问题的答案； ②设，则，根据勾股定理求得，作于，由角平分线的性质得，证明，得，，设，则，在中，根据勾股定理得，求解可得； （2）由，得，，根据勾股定理求得，，作于，利用三角形面积求得 ，根据勾股定理求得 ，作于，证明，得，，进而可得，根据勾股定理即可求得；当点在点右侧时，根据勾股定理求出，，得到，在上取点，使，连接，可证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【解题过程】 解：（1）① ， ， ， ， ， ； ②设，则， 在中， ， ， ， ， 作于， 平分， ，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 即的长为； （2） ， ， ， ， ， ，， 作于， ， ， ， 中， ， 作于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 中，． 当点在点右侧时，如图4， 由题得 ， ， ， ， 设， ， ， 经检验：是方程的解， ， ， ， 在上取点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，若，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 6．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在和中， ，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 10．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是、上的动点，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，则的面积是 12．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是 ． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，为中线，点F在上，满足，连接并延长交于点E，若则的长为 ． 14．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是等边三角形，点D、E在外，，，，，则 ． 15．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，，将四边形折叠，使点和点重合，折痕为，则的长为 ．    16．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 18．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、，若，，，则的长为 ． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在直角中，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，交于点，连接．过点作于点，交于点，下面结论中正确的序号有 ． ①；②；③当，；④当时，． 20．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）将沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值． （2）问：当t为何值时，为等腰三角形？ （3）现将其沿着直线翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 21．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，， ， ，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当__________时，． （2）当________时， 为等腰三角形． （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把 的周长分成相等的两部分？ 22．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 24．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图，连接连交于，求的值． 25．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，四边形中，对角线与交于点，，． （1）求证：； （2）如图2，当时，过点作，交于点，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若点为中点，点为上一点，连接、，，，求四边形的面积． 26．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接．      （1）求的度数； （2）如图1，可得线段，，的数量关系为__________；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，过的顶点分别作对边上的中线和高线． （1）在图1中，若，，，，分别求出，的值； （2）①如图1，猜想和之间的关系，并证明你的结论； ②如图2，，点是边上一动点，点是边上一点，且，则的最小值为________． 28．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． （1）如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； （2）如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） （3）拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 29．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，．    （1）如图1，求的长； （2）如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； （3）如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，等腰直角绕直角顶点C在所在的平面内转动，连接 （1）探究与的数量关系并证明； （2）若，则当点三点共线时，求的长； （3）若，则当是以为腰的等腰三角形时，连接，并求的长． 31．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． （1）的度数为 °． （2）求点O到边的距离及的面积． （3）如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． （1）如图，在中，若，且，求证：； （2）如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ （3）如图，，，，，则的长度？ 33．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，过点作直线，点在直线上，连接、，且，过点作交于点．      （1）如图，请问和有怎样的数量关系，并证明； （2）如图，直线交直线于点，求证：； （3）已知，在直线绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．（注：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半） 34．（24-25八年级上·重庆·期末）在中． （1）如图1，若平分交于点且的面积为15，求的长； （2）如图2，若为等边三角形，点为边上的一点，点为边的中点，点为边上的一点，连接与且，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，若，线段在直线上移动，点在点的上方且，将线段绕点顺时针旋转到，当取最小值时，求的周长． 35．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； （3）如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长． 36．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，． （1）若，求线段的长； （2）如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.1 运用勾股定理解三角形 · 典例分析 【典例1】（1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接， ①若，求的长； ②如图2，当，作平分，交于E，求的长； （2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长． 【思路点拨】 此题重点考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性较强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，求得，则，而，由勾股定理得，于是得到问题的答案； ②设，则，根据勾股定理求得，作于，由角平分线的性质得，证明，得，，设，则，在中，根据勾股定理得，求解可得； （2）由，得，，根据勾股定理求得，，作于，利用三角形面积求得 ，根据勾股定理求得 ，作于，证明，得，，进而可得，根据勾股定理即可求得；当点在点右侧时，根据勾股定理求出，，得到，在上取点，使，连接，可证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【解题过程】 解：（1）① ， ， ， ， ， ； ②设，则， 在中， ， ， ， ， 作于， 平分， ，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 即的长为； （2） ， ， ， ， ， ，， 作于， ， ， ， 中， ， 作于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 中，． 当点在点右侧时，如图4， 由题得 ， ， ， ， 设， ， ， 经检验：是方程的解， ， ， ， 在上取点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作于点， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【思路点拨】 本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点C作于点D，结合等边三角形的性质和勾股定理可求出的长．画出以线段，，的长为边组成的三角形为，且令，，，过点作于点H，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【解题过程】 解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 如图，令，，，过点作于点H， 设，则． ∵，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 3．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，若，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 该题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 过点作交于点，根据，即可证明，根据等腰三角形性质可得，设，则，在中，根据勾股定理算出，解得，，再过点作交于点，设，则，在中，根据勾股定理列方程，解出，求出，则，，，在中，根据勾股定理即可算出． 【解题过程】 解：过点作交于点， ， 即， 又， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 解得：， 即，， 过点作交于点， 设，则， 在中，， 解得：， ∴，则，，， 在中，， 故选：A． 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案． 【解题过程】 解：连接，取的中点G，连结，， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最小值，此时，的值也最小， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选C． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【思路点拨】 如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【解题过程】 解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故选：C． 6．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【解题过程】 解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【思路点拨】 首先在等腰中，可知，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，，；过点作于点，解得，进一步可得，再在中，利用勾股定理解得的值，易得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解题过程】 解：∵在等腰中，，，是斜边的中点， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在和中， ，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【解题过程】 解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④． 故选：C． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键． 作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,则即为周长的最小值，求出的长即可． 【解题过程】 解：如图：作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G, ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 故答案为． 10．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，证明出的最小值为，再求出的长即可． 【解题过程】 解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 在中， ， 由勾股定理，得， 在中，． 故答案为：5． 11．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，则的面积是 【思路点拨】 过点作，交边于点，过点作，交边于点，如图所示，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，，进而由三角形的外角性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，由勾股定理求出，进而表示出，在中，由勾股定理列方程求解出，最后由三角形面积公式得到，将代入化简即可得到答案． 【解题过程】 解：过点作，交边于点，过点作，交边于点，如图所示： ， ， 在中，，则是等腰直角三角形， ，， 和均为等腰直角三角形， ， 是的一个外角，且， ， 是等腰三角形，则， 设， 在中，由勾股定理可得， 则，， 在中，，由勾股定理可得， 即，解得， ，， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是 ． 【思路点拨】 延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，证明，得出，证明，得出，说明，得出当最小时，最小，根据当、、三点共线时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 【解题过程】 解：延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，如图所示： ，，， ， 又，， 垂直平分， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当最小时，最小， 当、、三点共线时，最小，且最小值为， 的最小值为： ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，为中线，点F在上，满足，连接并延长交于点E，若则的长为 ． 【思路点拨】 此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形是解决问题的关键． 延长到，使，连接，过点作于点，依题意得，则，证明和全等得，进而再证明是等腰三角形得，则，由此可求出，然后再由勾股定理求出BP的长即可得出答案． 【解题过程】 解：延长到，使，连接，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是等边三角形，点D、E在外，，，，，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的勾股定理等知识，以为边作等边三角形，连接，作于点证明和得求出，运用勾股定理求出的长即可得出的长 【解题过程】 解：以为边作等边三角形，连接，作于点如图， ∵均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 即, ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，，将四边形折叠，使点和点重合，折痕为，则的长为 ．    【思路点拨】 过点作于点，交于点，首先证明，为等边三角形，进而计算，，由折叠可知，在中，利用勾股定理可得，进而可得，设，则，，，在中，利用勾股定理可解得，即，可得，在中，易知，，，在中，由勾股定理可得，即可获得答案． 【解题过程】 解：如下图，过点作于点，交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠可知， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∵，， ∴，，， 设，则，，， 在中，可有， 即， 解得，即， ∴， 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理，， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解． 【解题过程】 解：延长，交于点， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ， , ． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，并利用等腰三角形的性质作出辅助线是解题的关键，过点B作，使，连接，，则，易证得，得到，故当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值，过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则，设，则，在中，利用勾股定理可得，则，再利用证得，，，在中，利用勾股定理可得到，从而得到，的值，再次利用勾股定理可求得的值，进而得到的最小值． 【解题过程】 解：如图，过点B作，使，连接，， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值， 过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、，若，，，则的长为 ． 【思路点拨】 根据题意，结合等腰直角三角形的性质可知，点只能在内，如图，过点作，利用勾股定理求得，，则，过点作交于，交于，连接，，则，可知，均为等腰直角三角形，，，即也是等腰直角三角形，再证明，同理：，，得，，然后证明，同理，得，，由此可得点、点、点在同一直线上，可知，再利用勾股定理即可求解． 【解题过程】 解：在等腰直角三角形中，，于点D， ∴，，， 如图，当点在内或上时，，不符合题意， ∴点只能在内，如图，过点作， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 过点作交于，交于，连接，，则， ∴，均为等腰直角三角形，则，，，， ∴，即也是等腰直角三角形， ∵，， ∴，同理：，， ∴，， ∴，同理， ∴，， ∵， ∴，则点、点、点在同一直线上， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在直角中，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，交于点，连接．过点作于点，交于点，下面结论中正确的序号有 ． ①；②；③当，；④当时，． 【思路点拨】 ①证明，再根据，可依据“”判定和全等，由此可对该结论进行判断； ②连接，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，则，再根据和全等得，，则，然后根据勾股定理可对该结论进行判断； ③过点作于点，根据，设，，则，，，分别求出，，，进而得，，，由此可对该结论进行判断； ④过点作于点，证明△是等腰直角三角形，设，则，设，则，证明，得，根据得，则，由此可求出，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【解题过程】 解：①在直角中，， ，， 是等腰直角三角形，且以为直角边， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， 故结论①正确； ②连接，如图1所示： ，于点， ， 即是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， 故结论②正确； ③过点作于点，如图2所示： ， 设，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 又， ， 故结论③不正确； ④过点作于点，如图3所示： ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 在中，设， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确． 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 20．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）将沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值． （2）问：当t为何值时，为等腰三角形？ （3）现将其沿着直线翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【思路点拨】 （1）连接，根据勾股定理求出，利用勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 【解题过程】 （1）解：如图，连接，    ∵在中，，，， ∴， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，， 即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图，    ，，， ， 在中，， 即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ， ∴为或10时满足条件． 21．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，， ， ，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当__________时，． （2）当________时， 为等腰三角形． （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把 的周长分成相等的两部分？ 【思路点拨】 （1）由勾股定理得，进而分当在上时，和点在线段上两种情况求解即可； （2）分两种情况：①若在边上时，（），此时用的时间为秒；②若在边上时，有三种可能，分别求出点运动的路程，即可得出结果； （3）分两种情况：①当、没相遇前；②当、相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵中，， ， ， ∴， 当在上时，如图， ∵， ∴， 在中， ∴即， 解得（秒）， 当在线段上时， ∵，， ∴， ∴（秒） 故答案为：秒或秒； （2）解：①若在边上时，（），如图所示： （秒）， 此时用的时间为秒，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 、若，如图所示： 此时，（）， 即运动的路程为， 所以用的时间为秒， ∴秒时，为等腰三角形； 、若，过作于，如图所示： 则， 由面积法得： （）， ∴ （）， ∴ ， ∴运动的路程为：（）， ∴秒，为等腰三角形； 、若时，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴（）． ∴运动的路程为：（）， ∴时间为秒时，为等腰三角形； ∴为秒或秒或秒或秒时为等腰三角形； （3）解：分两种情况： ①、没相遇前，当点在上，在上，如图所示： 则，， ∴， ∴； ②当、相遇后，当点在上，在上，如图所示： 则，， ∴， ∴； ∴为秒或秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 22．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【思路点拨】 （1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【解题过程】 （1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：① ，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 【思路点拨】 （1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求得，由等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理即可求出的长度； （3）过点作于点，构造，设，利用可证得，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可求得的长，进而可求得的长． 【解题过程】 （1）解：是等边三角形， ，，， 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 在等边三角形中，，， 又， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 24．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图，连接连交于，求的值． 【思路点拨】 （1）由等腰直角三角形的性质得，，因为于，所以，而，可求得，，即可证明； （2）先证明，得，再证明，得，所以； （3）作于点，则，所以，则，由，求得，再根据三角形的中位线定理证明，则，所以，则，所以，求得． 【解题过程】 （1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵于， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵交的延长线于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：如图，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，点在上，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 25．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，四边形中，对角线与交于点，，． （1）求证：； （2）如图2，当时，过点作，交于点，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若点为中点，点为上一点，连接、，，，求四边形的面积． 【思路点拨】 （1）在和中根据三角形内角和，结合可推出，然后由推出，即，得证； （2）根据题意可知，利用角的和差以及三角形外角的性质可推出，，结合，可证，从而得到，即可求得； （3）延长使，连接，，，不妨设，那么，根据以及三角形内角和定理，可知，，结合和都是等腰直角三角形，，推出 ，，结合是中点，推出是等腰直角三角形，接着证明，得到，，再证明和，得到，结合，推导出，最后利用勾股定理，算出，，，，，最后利用四边形面积可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：， ， 又 又 （2）解：，， ， 由（1）可知， 在和中 为等腰直角三角形 （3）解：延长使，连接，， 不妨设，那么 ， 由（2）可知，，，， 和都是等腰直角三角形 ， 由（2）可知， ，， 是中点 又 是等腰直角三角形 又 在和中 在和中 在中，， ， 在中，， ， 是中点 四边形的面积为 26．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接．      （1）求的度数； （2）如图1，可得线段，，的数量关系为__________；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【思路点拨】 （1）在射线上截取，由多边形的内角和公式可得，进而可得，结合，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，即，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，于是得解； （2）由（1）可得，，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得线段，，的数量关系；过点作交于点，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由可得，即，利用可证得，于是可得，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得结论． 【解题过程】 （1）解：如图，在射线上截取， 直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：，，， 由勾股定理可得：， ， 即：线段，，的数量关系为， 故答案为：； 将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系发生变化，关系是，理由如下： 如图，过点作交于点， ， ， 直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得：， ， 即：． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，过的顶点分别作对边上的中线和高线． （1）在图1中，若，，，，分别求出，的值； （2）①如图1，猜想和之间的关系，并证明你的结论； ②如图2，，点是边上一动点，点是边上一点，且，则的最小值为________． 【思路点拨】 （1）根据题意得出，在中，在中，分别表示，进而得出方程，解得，进而勾股定理求得的长，在中，勾股定理，即可求解； （2）①根据（1）的方法求得，，进而求得和，比较结果，即可求解； ②根据①的结论可得，转化为的最小值，根据垂线段最短得，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴ 解得： ∴，则， ∴， ∵是的中线，， ∴ 设， 在中，， ∴ ； （2）①设， ∴， ∵是的中线 ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ ②如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴， 由①可得 ∴取最小值时，取最小值，即取最小值， ∴当 时，最小， 又∵， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴，即， 则的最小值为 故答案为：． 28．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． （1）如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； （2）如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） （3）拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 【思路点拨】 （1）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，得，，根据勾股定理的应用，即可； （2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，根据勾股定理，则，进行解答，即可； （3）过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，根据勾股定理，则，即可． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：； （3）解：与a，b不满足（2）的关系式，存在新的数量关系式为：， 证明：如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即． 29．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，．    （1）如图1，求的长； （2）如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； （3）如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键； （1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据勾股定理得出结论即可； （3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解． 【解题过程】 （1）解：过作的垂线，垂足是，在中，    ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：；理由如下，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∴； （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ②当点在的延长线上时，如图，则，    同理可证， ∴， ∴， ∴， 综上，当点到直线的距离等于6时，或． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，等腰直角绕直角顶点C在所在的平面内转动，连接 （1）探究与的数量关系并证明； （2）若，则当点三点共线时，求的长； （3）若，则当是以为腰的等腰三角形时，连接，并求的长． 【思路点拨】 （1）根据证明，即可解答； （2）如图2，设，根据是等腰直角三角形，可得，，证明，则，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：①如图3，当时，延长交于O，交于N，证明是的垂直平分线即可解答；②如图4，当时，延长交于N，分别由勾股定理计算的长，由面积法可得的长，从而得的长，即可解答． 【解题过程】 （1）解：，理由如下：如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，设， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵点B，E，D三点共线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； （3）解：分两种情况： ①如图3，当时，延长交于O，交于N， ∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； ②如图4，当时，延长交于N， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 综上，的长为或． 31．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． （1）的度数为 °． （2）求点O到边的距离及的面积． （3）如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得的度数． （2）作于G，于H，于I．根据角平分线的性质可得，设，根据即可求出x的值为1，即点O到边的距离为1，再根据可求得的值，进而可求得的面积． （3）先利用面积法求得，再根据勾股定理可求得，则可得，作于E，根据角平分线的性质可得，再根据可求得．作于F，同理可求得，进而可求得的长． 【解题过程】 （1）解： ，分别平分，， ，， ∵在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：135； （2）解：作于G，于H，于I，连接． 平分，平分， ，， 设， 在中， ，， ∴根据勾股定理，得， ， ∴， 即． 解得， ∴O到的距离为1； 解得． ． （3）， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理，得， ． 作于E， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得． 作于F， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得， ． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． （1）如图，在中，若，且，求证：； （2）如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ （3）如图，，，，，则的长度？ 【思路点拨】 （1）由，得出，由证得，即可得出结论； （2）连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； （3）将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解题过程】 （1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； （3）解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 33．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，过点作直线，点在直线上，连接、，且，过点作交于点．      （1）如图，请问和有怎样的数量关系，并证明； （2）如图，直线交直线于点，求证：； （3）已知，在直线绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．（注：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半） 【思路点拨】 （1）由等腰三角形的判定与性质可证； （2）如图，在直线上取点，连接，使，则，证明，则，，，由勾股定理得，，由，可得； （3）由题意知，分两种情况求解：如图，则，，，，，，由，可得，由勾股定理求即可；如图，同理计算求解即可． 【解题过程】 （1）解：，证明如下： ，， ， ， ； （2）解：证明：如图，在直线上取点，连接，使， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理·得：， ， ； （3）解：的长为或，理由如下： 由题意知，分两种情况求解： 如图， ， ， ， 由（1）知， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； 如图， ， ， ，， 由（1）知， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 综上所述，的长为或． 34．（24-25八年级上·重庆·期末）在中． （1）如图1，若平分交于点且的面积为15，求的长； （2）如图2，若为等边三角形，点为边上的一点，点为边的中点，点为边上的一点，连接与且，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，若，线段在直线上移动，点在点的上方且，将线段绕点顺时针旋转到，当取最小值时，求的周长． 【思路点拨】 （1）如图：过D作，再根据三角形面积公式求得，再根据角平分线的性质定理即可解答； （2）如图所示，以为边，向右作等边三角形，连接，证明，得到，；则可证明M、H、Q三点共线；如图所示，延长到G，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，则，即； （3）利用手拉手模型证明，得到，则可证明点Q在直线上运动，故当时，有最小值，求出，则可得到，进而可得，；如图所示，过点D和N分别作的垂线，垂足分别为F、G，则，可求出，进而得到，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； 【解题过程】 （1）解：如图：过D作， ∵，的面积为15， ∴，即，解得：． ∵平分，，， ∴． （2）证明： 如图所示，以为边，向右作等边三角形，连接， ∵都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴M、H、Q三点共线； 如图所示，延长到G，使得，连接， ∵M为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点C是定点，是定线段， ∴点Q在直线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D和N分别作的垂线，垂足分别为F、G，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴的周长． 35．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； （3）如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长． 【思路点拨】 （1）过D作于H，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出，利用等角对等边可求出，即可求解； （2）延长交于M，在取点F，使，利用翻折的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用等边对等角和三角形外角的性质求出，设，利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，利用勾股定理求出，利用含的直角三角形的性质，即可求解； （3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证平分，然后利用可证，得出，在、中，利用勾股定理可得出，代入数据即可求解． 【解题过程】 （1）解：过D作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于M，在取点F，使， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， ∵翻折， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， 同理可证平分， ∴， 又， ∴， 又，， ∴∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 综上，的长为或． 36．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，． （1）若，求线段的长； （2）如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长． 【思路点拨】 （1）根据线段绕点逆时针旋转60°得到线段，可知为等边三角形，再证，可知，从而求得答案； （2）过点作交的延长线于点，由（1）可知，，，从而知道，推出，借助平角可求得，借助证明，可知为中点，，，推出当最大时，与重合，又因为，， 那么此时点在的中点，从而得证； （3）当点在线段的延长线时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于点，先求得，利用三角形中位线，求得、以及，在用勾股定理，求得，最后在用勾股定理，求得；当点在线段时，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，取的中点，连接，作交于点，先求得和的长度，然后计算出，然后在中用勾股定理求得和，然后利用是三角形中位线求得，从而求得，，然后判定为等边三角形，推导出，从而得到，，最后在中用勾股定理求得，从而得到． 【解题过程】 （1）解：是等边三角形 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， （2）解：过点作交的延长线于点 由（1）可知， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 是等边三角形 ， ， 又 ， 最大时，与重合 又， 那么此时点在的中点，如图所示： ， （3）解：①当点在线段的延长线时，如图所示： 由（1）可知，是等边三角形， 等边的边长为4， ，，， ， ， 取的中点，连接，，过点作交的延长线于点 ，， ， ， ， ， ， ②当点在线段时，连接，如图所示： 由（1）可知，是等边三角形，，是等边三角形， ， 是中点 是的中点 是等边三角形，是中点 ， 过点作交的延长线于点 在中，， ， 在中， 取的中点，连接 ，， ， 取的中点，连接 ， ， 是等边三角形 作交于点 ， ， ． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$