（同步讲练篇）第三单元 （2、3、5的倍数、分解质因数及公因数倍数应用·13大考点+易错点）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（苏教版）

2025学年五年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 因数与倍数 （2、3、5的倍数、分解质因数、最大公因数及最小公倍数应用） 【考点1】、的倍数特征 3 【考点2】奇数与偶数的认识 5 【考点3】和与积的奇偶性 7 【考点4】的倍数特征 9 【考点5】、、的倍数特征综合 11 【考点6】质数与合数的认识 13 【考点7】质数与合数的综合应用 15 【考点8】质因数与合数的含义 18 【考点9】分解质因数 19 【考点10】公因数与最大公因数 21 【考点11】用最大公因数解决实际问题 23 【考点12】公倍数与最小公倍数 25 【考点13】用最小公倍数解决实际问题 28 魔法时钟的秘密 数字城堡的钟塔突然停摆，国王焦急万分。相传只有解开钟塔里的数学谜题，才能让时间重新流动。 因数精灵和倍数精灵结伴来到钟塔底部，发现一扇刻满数字的石门。石门上写着：“要让时钟恢复，需找到同时满足三个条件的数 —— 它是 12 的倍数，有 8 个因数，且比 50 小。” “先找 12 的倍数。” 因数精灵边说边列出：12、24、36、48。倍数精灵用魔法放大镜检查每个数的因数数量： 12 的因数有 1、2、3、4、6、12（共 6 个），不够。 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24（共 8 个！） “就是 24！” 两个精灵同时喊出。他们将 24 填入石门凹槽，钟声瞬间响起，指针开始规律转动。 原来，数字 24 不仅是 12 的倍数，其因数个数正好是 8 个。因数与倍数的巧妙结合，让时间重新在城堡流淌。 【考点1】、的倍数特征 的倍数个位是、、、、；的倍数个位是或；区分奇数、偶数。 【解题思路】观察个位数字判断。 【易错点】混淆和的倍数特征。 ： 29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填( )。 答案：0 分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。所以既是5的倍数又是2的倍数的特征：个位上是0的数；据此解答。 详解：由分析可得：29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填0。 1．按要求选择合适的数填在圈内。 1  2  5  8  10  24  46  59  415  672  320  458  15 答案： 个位上是0，2，4，6，8；个位上是0或5；个位上是0 分析：自然数中，能被2整除的数叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数； 1、5、59、415、15都不能被2整除，则是奇数。2、8、10、24、46、672、320、458都能被2整除，则是偶数。 5、10、415、320、15都能被5整除，则是5的倍数。 再找出既是2的倍数，又是5的倍数的数，最后得出规律即可。 详解： 个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 2．在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 答案： 15，7，1，19，41 4，20，36 15，20 分析：个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是0或5的数是5的倍数。据此解题。 详解：在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有15，7，1，19，41；偶数有4，20，36；5的倍数有15，20。 3．在1、16、18、20、23、33、9、2八个数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )，3的倍数有( )，5的倍数有( )，既是奇数又是合数的数有( )，既是偶数又是质数的数有( )。 答案： 1、23、33、9 16、18、20、2 23、2 16、18、20、33、9 18、33、9 20 33、9 2 分析：整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；1既不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数。40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3的倍数特征：各位上的数的和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 详解：根据分析可得： 在1、16、18、20、23、33、9、2八个数中，奇数有（ 1、23、33、9 ），偶数有（ 16、18、20、2 ），质数有（ 23、2 ），合数有（ 16、18、20、33、9 ），3的倍数有（ 18、33、9 ），5的倍数有（ 20 ），既是奇数又是合数的数有（ 33、9 ），既是偶数又是质数的数有（ 2 ）。 【考点2】奇数与偶数的认识 明确奇数和偶数的定义，如是奇数，是偶数。 【解题思路】根据是否为的倍数判断。 【易错点】对奇数偶数概念模糊，如认为不是偶数。 ： 在括号里写出含有字母的式子。 三个连续的奇数中，最小的奇数是m，最大的奇数是( )，这三个奇数的和是( )，这三个奇数的平均数是( )。 答案： m＋4 3m＋6 m＋2 分析：已知相邻的奇数相差2，最小的奇数是m，中间的奇数为m＋2，最大的奇数为m＋4；再把三个奇数相加，求出三个奇数的和，再用三个奇数的和÷3，即可求出这三个奇数的平均数，据此解答。 详解：最大的奇数：m＋4 三个奇数和： m＋m＋2＋m＋4 ＝3m＋6 三个奇数的平均数： （3m＋6）÷3 ＝m＋2 三个连续的奇数中，最小的奇数是m，最大的奇数是m＋4，这三个奇数的和是3m＋6，这三个奇数的平均数是m＋2。 1．有三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是( )，最大的是( )。如果最小的数是18，那么这三个数的平均数是( )。 答案： a－2 a＋2 20 分析：根据“相邻的两个偶数相差2”，分别得出这三个偶数；如果最小的那个是18，则另两个就是18＋2、18＋4，用这三个数的和除以3即可求得它们的平均数；据此解答． 详解：三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是a－2，最大是a＋2； 最小数是18，则另外两个数为：18＋2＝20；18＋4＝22； （18＋20＋22）÷3 ＝（38＋22）÷3 ＝60÷3 ＝20 有三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是a－2，最大的是a＋2。如果最小的数是18，那么这三个数的平均数是20。 2．30的因数有( )，其中奇数有( )，质数有( )。 答案： 1，2，3，5，6，10，15，30 1，3，5，15 2，3，5 分析：根据求一个因数的方法，求出30的因数；不能被2整除的数叫做奇数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此解答。 详解：30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 奇数有：1，3，5，15； 质数有：2，3，5。 30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，其中奇数有1，3，5，15；质数有2，3，5。 3．78  45  70  96  25  150  90  8  513 奇数有( )，偶数有( )，有因数3的数有( )，同时是2、3、5的倍数的数有( )。 答案： 45，25，513 78，70，96，150，90，8 78，45，96，150，90，513 150，90 分析：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数；各位上的数的和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。 详解：78  45  70  96  25  150  90  8  513； 奇数有：45，25，513； 偶数：78，70，96，150，90，8； 有因数3的数有：78，45，96，150，90，513； 2、3、5的倍数的数有：150，90。 78  45  70  96  25  150  90  8  513 奇数有45，25，513，偶数：78，70，96，150，90，8，有因数3的数有：78，45，96，150，90，513，同时是2、3、5的倍数的数有：150，90。 【考点3】和与积的奇偶性 和的奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 积的奇偶性：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。 【解题思路】通过举例归纳规律，如（奇数+奇数=偶数），（奇数×偶数=偶数）。 【易错点】记混规律（如认为“奇数+偶数=偶数”）；应用时未正确判断数的奇偶性。 ： ，结果是( )。（填“奇数”或“偶数”） 答案：奇数 分析：先算乘法，奇数×奇数仍为奇数，因此1×3×5×7×9×11为奇数。7个奇数相加，奇数个奇数的和为奇数，所以结果是奇数。 详解：1＋3＋5＋7＋9＋11＋1×3×5×7×9×11，结果是奇数。 1．不计算，直接判断：1＋3＋5＋…＋97＋99的和是( )，13×24×5×19×1999×2023的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 答案： 偶数 偶数 分析：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据奇数和偶数的运算性质，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行分析。 详解：1＋3＋5＋…＋97＋99，共50个奇数相加，2个奇数一组可以分成25组，每组的和都是偶数，25个偶数相加的和还是偶数，因此1＋3＋5＋…＋97＋99的和是偶数； 13×24×5×19×1999×2023，24是偶数，其余各数是奇数，因为奇数×偶数＝偶数，因此13×24×5×19×1999×2023的积是偶数。 2．选择合适的词语填在下面的括号中，使表达准确。（每个词语只能用一次） 质因数、奇数、偶数、质数、合数。 这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是( )，任意两个奇数相乘的积一定是( )；2和3都是18的( )；最小的( )与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是( )。 答案： 偶数 奇数 质因数 质数 合数 分析：因数和倍数的意义：当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。质因数是指在一个数的因数中，是质数的因数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此判断即可。 4个连续自然数中有2个数是奇数，2个偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以4个连续自然数的和是偶数；根据奇偶的运算性质，可知任意两个奇数相乘的积一定是奇数；18＝2×9＝3×6，2和3都是质数，所以2和3都是18的质因数；最小的两位数是10，20÷10＝2，所以2×10＝20，2是最小的质数，所以最小的质数与最小的两位数的积是20；根据合数的定义，可知几个质数相乘的积一定是合数。 详解：4个连续自然数的和是偶数，任意两个奇数相乘的积一定是奇数；2和3都是18的质因数；最小的质数与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是合数。 3．1＋3＋5＋…＋39的和是( )，1×3×5×…×39的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 答案： 偶数 奇数 分析：根据“奇数＋奇数＝偶数”可知，奇数个奇数相加的和还是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数，又“1＋3＋5＋…＋39”共有20个奇数相加，所以和是偶数；奇数×奇数＝奇数，1×3×5×…×39中的因数都是奇数，所以积是奇数；据此解答即可。 详解：根据分析可知， 1＋3＋5＋…＋39的和是偶数，1×3×5×…×39的积是奇数。（填“奇数”或“偶数”） 点睛：此题考查奇数、偶数的运算性质，根据奇数、偶数的性质灵活运用即可。 【考点4】的倍数特征 各位数字之和是的倍数，如：，是的倍数。 【解题思路】计算数字之和，判断是否为的倍数。 【易错点】仅看个位判断的倍数，如认为是的倍数。 ： 14□同时是2和3的倍数，□里可以填( )。 答案：4 分析：2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除的数，据此解答。 详解：1＋4＝5 5＋0＝5，5÷3＝1……2，□里不能填0； 5＋2＝7，7÷3＝2……1，□里不能填2； 5＋4＝9，9÷3＝3，□里能填4； 5＋6＝11，11÷3＝3……2，□里不能填6； 5＋8＝13，13÷3＝4……1，□里不能填8。 14□同时是2和3的倍数，□里可以填4。 1．学校为考生准备了128支2B铅笔，平均分给3个班至少要减去( )支，平均分给5个班至少要加上( )支。 答案： 2 2 分析：要想平均分给3个班，总支数必须是3的倍数，要想平均分给5个班，总支数必须是5的倍数，根据3和5的倍数的特征进行分析。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 详解：1＋2＋8＝11、11－9＝2（支） 130－128＝2（支） 学校为考生准备了128支2B铅笔，平均分给3个班至少要减去2支，平均分给5个班至少要加上2支。 2．一个三位数37□，当它既是2的倍数又是5的倍数时，□里填( )。当它是3的倍数时，□里可以填的数是( )。 答案： 0 2、5或8 分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 详解：个位数字是0，这样的数既是2的倍数又是5的倍数，370既是2的倍数又是5的倍数； 3＋7＋2＝12，12是3的倍数，372是3的倍数； 3＋7＋5＝15，15是3的倍数，375是3的倍数； 3＋7＋8＝18，18是3的倍数，378是3的倍数。 一个三位数37□，当它既是2的倍数又是5的倍数时，□里填0。当它是3的倍数时，□里可以填的数是2、5或8。 3．在2、10、13、19、24、57、91、120这些数中，素数有( )个，合数有( )个，既是奇数又是3的倍数的数是( )，同时是2、3、5倍数的数是( )；把24分解质因数，24＝( )；13和91的最大公因数是( )。 答案： 3 5 57 120 2×2×2×3 13 分析：素数就是质数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 两数成倍数关系，最大公因数是较小数。 详解：在2、10、13、19、24、57、91、120这些数中，素数有2、13、19，共3个，合数有10、24、57、91、120，共5个，既是奇数又是3的倍数的数是57，同时是2、3、5倍数的数是120；把24分解质因数，24＝2×2×2×3；91÷13＝7，13和91成倍数关系，所以13和91的最大公因数是13。 【考点5】、、的倍数特征综合 同时是、、的倍数，需满足个位是且数字和是的倍数，如。 【解题思路】先看个位，再算数字和。 【易错点】遗漏条件，如只看个位是就判定。 ： 生活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数有( )。 答案： 110；120 120；12315 120 分析：2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。 详解：2的倍数有：110，120； 110；1＋1＋0＝2；2不能被3整除，110不是3的倍数； 120；1＋2＋0＝3；3能被3整除，120是3的倍数； 119；1＋1＋9＝11；11不能被3整除，119不是3的倍数； 12315；1＋2＋3＋1＋5＝12；12能被3整除，12315是3的倍数； 3的倍数有：120，12315； 同时是2，3，5的倍数有120。 活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有110，120，3的倍数有120，12315，同时是2、3、5的倍数有120。 1．在1、4、8、0中选出三个数字，按要求组成三位数。 (1)同时是2、3、5的倍数是( )。 (2)最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 答案：(1)180 (2) 841 104 分析：（1）先考虑这个三位数是2、5的倍数，那么它的个位一定是0。再考虑这个三位数又是3的倍数，那么它的个位之和是1＋8＋0＝9，4＋8＋0＝12。由此得出同时是2、3、5的倍数的三位数。 （2）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。要求最大的奇数，个位上的数是1，那么百位是8，十位是4。要求最小的偶数，个位上的数是4，那么百位是1，十位是0。 详解：（1）同时是2、3、5的倍数是180、810、480、840。 （2）在1、4、8、0中，奇数是1，偶数是4、8、0，且8＞4＞1＞0； 最大的奇数是841，最小的偶数是104。 2．一个两位数3□，它既是2的倍数，又有因数3，这个两位数最大是( )，把它分解质因数是( )。 答案： 36 36＝2×2×3×3 分析：既是2的倍数，又有因数3，则这个数的个位数是0、2、4、6、8，且各位数字之和是3的倍数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式。据此解答。 详解：一个两位数3□是2的倍数：30、32、34、36、38。 3＋0＝3，3是3的倍数，所以30既是2的倍数，又有因数3； 3＋2＝5，5不是3的倍数，所以32是2的倍数，但没有因数3； 3＋4＝7，7不是3的倍数，所以34是2的倍数，但没有因数3； 3＋6＝9，9是3的倍数，所以36既是2的倍数，又有因数3； 3＋8＝11，11不是3的倍数，所以38是2的倍数，但没有因数3。 因此既是2的倍数，又有因数3有30、36。 36＞30 即这个两位数最大是36。 36＝2×2×3×3 因此把它分解质因数是36＝2×2×3×3。 3．在括号里填合适的数字。 (1)16( )、30( )是2的倍数，又是5的倍数。 (2)19( )、4( )( )是2的倍数，又是3的倍数。 (3)45( )、( )20既有因数3，又有因数2，还是5的倍数。 答案：(1) 0 0 (2) 2 0 2 (3) 0 1 分析：（1）个位是0的数，即是2的倍数，也是5的倍数； （2）个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各个数位相加的和是3的倍数的数是3的倍数； （3）先满足是2和5的倍数，个位就是0，再满足3的倍数特征即可。 详解：（1）160、300是2的倍数，又是5的倍数。 （2）192、402是2的倍数，又是3的倍数。 （3）450、120既有因数3，又有因数2，还是5的倍数。 【考点6】质数与合数的认识 质数只有和本身两个因数（如），合数有其他因数（如）；既不是质数也不是合数。 【解题思路】分析因数个数判断。 【易错点】对的性质判断错误；认为偶数都是合数。 ： 将下面各数按要求填在相应的框里。 1    2    9    11    15    19    20    26    99    100 答案：奇数：1，9，11，15，19，99 偶数：2，20，26，100 合数：9，15，20，26，99，100 质数：2，11，19 分析：不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9；能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。 只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。 详解：通过分析可得： 奇数有：奇数：1，9，11，15，19，99； 偶数有：2，20，26，100； 合数有：9，15，20，26，99，100； 质数有：2，11，19。 1．在括号里填合适的质数。 21＝( )＋( )＝( )×( ) 34＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 72＝( )×( )×( )×( )×( ) 答案： 2 19 3 7 3 31 5 29 11 23 17 17 2 2 2 3 3 分析：因数只有1和它本身两个数的数叫质数。看清楚是相加还是相乘，从最小的质数2尝试，找出几个质数相加或者找出几个质数相乘。 详解：21＝2＋19＝3×7 34＝3＋32＝5＋29＝11＋23＝17＋17 72＝2×2×2×3×3 2．把下面各数写成两个质数相加的形式。 25＝( )＋( )        19＝( )＋( ) 答案： 2 23 2 17 分析：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 详解：25＝2＋23        19＝2＋17 3．在括号里填上合适的质数。 13＝( )＋( )        15＝( )＋( )        87＝( )×( ) 答案： 2 11 2 13 3 29 分析：一个大于1的自然数，除了1和它自身外没有其他因数，这样的数叫质数；根据质数的定义，分别找出13、15和87以内的所有质数，再试着用各自所有的质数进行相加或相乘，直到使等式成立；据此解答。 详解：13以内的质数有：2，3，5，7，11，根据组合可知2＋11＝13；15以内的质数有：2，3，5，7，11，13，根据组合可知2＋13＝15；87以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53， 59，61， 67，71，73，79， 83，根据组合可知3×29＝87。 因此13＝2＋11；15＝2＋13；87＝3×29。 【考点7】质数与合数的综合应用 如两个质数的积是，求这两个质数（和）。 【解题思路】对积分解，结合质数定义筛选。 【易错点】分解因数时未考虑质数条件。 ： 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。 答案： 194 2257 分析：质数中，除2以外都是奇数。因为99是奇数，“奇数＋偶数＝奇数”，故这两个质数中一定有一个是2，则另一个是99－2＝97，因此这两个质数的乘积是2×97＝194； 两个质数的和是98，找出和和98的两个质数，再分别计算出两个数的积，最后比较积的大小。 详解：99＝2＋97，则2×97＝194； 98＝19＋79＝31＋67＝37＋61 19×79＝1501，31×67＝2077，37×61＝2257 1501＜2077＜2257 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是194；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是2257。 1．读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 答案： 7 3 2 2 7 13 3 2 2 11 23 17 2 2 17 分析：40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37；再根据10、16、40分别是两个质数的和，11、15、21分别是3个质数的和，从40以内的质数，找到合适的质数即可。 详解：； （答案不唯一）；（答案不唯一） （答案不唯一）；（答案不唯一） 点睛：本题考查质数，解答本题的关键是掌握质数的特征。 2．在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝___”这道题时，乐乐是这样想的：因为( )＋( )＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数( )。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是( )。 答案： 偶数 奇数 2 7 分析：根据和的奇偶性，偶数＋奇数＝奇数，则3a和7b中一定有一个数是偶数，分别假设3a是偶数或者7b是偶数，再结合3a＋7b＝41进行计算解答即可。 详解：由分析可知，3a和7b中一定有一个数是偶数，a、b均为质数，a和b中一定有一个是质数2， 假设3a是偶数，且a是质数，那么a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41， 3×2＋7b＝41 6＋7b＝41 6＋7b－6＝41－6 7b＝35 7b÷7＝35÷7 b＝5 则a＋b＝7。 假设7b是偶数，且b是质数，则b＝2，把b＝2代入3a＋7b＝41， 3a＋7×2＝41 3a＋14＝41 3a＋14－14＝41－14 3a＝27 3a÷3＝27÷3 a＝9 9是合数，不符合题意； 所以a＝2，b＝5，a＋b＝7。 因为偶数＋奇数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数2。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是7。 3．黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 答案： 百灵鸟社团 航模社团 器乐社团 益智社团 分析：人数是合数的数是可以分成排成方队展示的，而人数是质数的数是不可以排成方队的。只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数）；除了1和它本身，还有其他因数的数叫作合数。 详解：39的因数：1、3、13、39，故39是合数，百灵鸟社团能排成3排，每排13个人的方队； 91的因数：1、7、13、91，故91是合数，航模社团能排成7排，每排13个人的方队； 41的因数：1、41，故41是质数，器乐社团不能排成方队； 23的因数：1、23，故23是质数，益智社团不能排成方队。 【考点8】质因数与合数的含义 质因数是合数的因数且为质数，如，和是质因数。 【解题思路】分解合数，从因数中找质数。 【易错点】混淆因数与质因数，如认为是的质因数。 ： 在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。 答案： 3 9 3 18＝2×3×3 分析：一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。 详解：在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。 1．35的因数有( )，其中质因数有( )。 答案： 1、5、7、35 5、7 分析：根据找一个数的因数的方法，利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组的找出35的因数，再按照质数的定义，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数即为质数，在35的因数中找出质数即可得解。 详解：35＝1×35＝5×7 则35的因数有1、5、7、35，其中质因数有5、7。 2．15的因数有( )，其中是质数的有( )，这几个质数就是15的( )。 答案： 1、3、5、15 3、5 质因数 分析：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。先应用列乘法算式法找到15的所有因数，再根据质数的概念，找出是质数的因数，据此解答。 详解：，，所以15的因数有1，3，5，15，其中是质数的是3、5，这几个质数就是15的质因数。 3．在27＝3×9中，( )和( )都是( )的因数，( )是( )的质因数。 答案： 3 9 27 3 27 分析：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 详解：因为27＝3×9，所以3和9都是27的因数，3是27的质因数。 点睛：本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 【考点9】分解质因数 用短除法将合数写成质数相乘形式，如。 【解题思路】从最小质数除起，直到商为质数。 【易错点】短除法步骤错误；分解不彻底，如。 ： 按分解质因数的过程填空。 答案： 2；2；2；7 分析：用逐步分解法分解质因数时，每一步将一个数写成两个数相乘的形式，其中至少有一个乘数是质数； 用短除法分解质因数时，每一步的除数和最后的商都为质数，在试商的过程中，从最小的质数开始分解，最后再写成质数相乘的形式。 详解： 56＝2×2×2×7 1．你会在括号里填合适的质数吗？ ( )( )    ( )( ) ( )( )    ( )( ) ( )( )( ) ( )( )＝( )( ) 答案： 5 2 7 3 7 2 11 3 2 3 3 7 11 5 13 分析：根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把每个合数分成两个质的积，也可把每个合数分成两个质的和；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 详解：52 73 72 113 233 711＝513 2．下面各数是由哪些质数相乘得到的？             ( )( )    ( )( )( ) ( )( )    ( )( )( ) 答案： 3 5 2 3 7 13 2 11 2 3 分析：根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把每个合数分成两个质的积；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 详解：35 237 132 1123 3．把6和14分解质因数。 ( )( )  ( )( ) 答案： 2 3 2 7 分析：分解质因数的方法：①相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式；如：36＝3×2×2×3，运算时可逐步分解写成36＝4×9＝2×2×3×3或36＝3×12＝3×2×2×3；②短除法：分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的算式的叫短除法；据此解答。 详解：6＝2×3 14＝2×7 【考点10】公因数与最大公因数 公有的因数是公因数，最大的是最大公因数，如和的最大公因数是。 【解题思路】列举因数找公共部分，或用短除法。 【易错点】找公因数时遗漏；对倍数关系的两数，误判最大公因数。 ： 学校武术队有女生24人，男生36人。在武术拳展示活动中，男生和女生分别排队，要使每排的人数相等，每排最多有( )人，这时男生和女生一共有( )排。 答案： 12 5 分析：要使每排的人数相等，则每排最多站的人数为24和36的最大公因数，先求出24和36的最大公因数；再分别用24和36除以这个最大公因数，所得结果即为女生、男生分别站了多少排，最后把女生和男生站的排数相加，据此解答。 详解：24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是2×2×3＝12。 24÷12＋36÷12 ＝2＋3 ＝5（排） 因此每排最多有12人，这时男生和女生一共有5排。 1．张老师把35只铅笔和40本笔记本分别平均分给若干名三好学生，结果铅笔正好分完，练习本还差2本。三好学生最多有( )名。 答案：7 分析：用练习本的40本加上差的2本，求出需要练习本多少本；再分别将需要的铅笔支数和需要的练习本的本数分解质因数，然后用它们公有的质因数相乘，求得的积就是这两个数的最大公因数，即是得奖的三好学生最多有几人。 详解：40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是7，所以三好学生最多有7人。 2．如果，，那么A和B最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 答案： 2m 56m 分析：全部公有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。据此 详解： ＝56m 那么A和B最大公因数是2m，最小公倍数是56m。 3．如果a和b都是非0的自然数，且b＝36a，a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 答案： a b 分析：当两数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。据此解答。 详解：因为b＝36a，则b是a的倍数，a是较小数，b是较大数。 所以a和b的最大公因数是a，a和b的最小公倍数是b。 【考点11】用最大公因数解决实际问题 如将长厘米、宽厘米的纸裁成最大正方形，求边长（求和的最大公因数）。 【解题思路】分析问题，转化为求最大公因数。 【易错点】无法将实际问题与最大公因数联系。 ： 把下边两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？ 答案：15厘米 分析：求每根短彩带最大长度，就是求45和30的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数为1，据此解答。 详解：45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最大公因数为3×5＝15，每根短彩带最长时15厘米。 答：每根短彩带最长是15厘米。 1．下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 答案：50棵 分析：要使栽树最少，应使每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是64和36的最大公因数，求出64和36的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离；长方形的周长＝（长＋宽）×2，然后用长方形的周长除以最大公因数，即可求出最少要栽的棵数。 详解：64＝2×2×2×2×2×2 36＝2×2×3×3 则64与36的最大公因数是2×2＝4 （64＋36）×2÷4 ＝100×2÷4 ＝200÷4 ＝50（棵） 答：最少要栽50棵树。 2．五（1）班有男生27人、女生18人，如果男、女生分别排队，要使每排人数都相等，每排最多排几人？男、女生各要排成几排？ 答案：9人；男生：3排，女生：2排 分析：（1）要求每排最多排多少人，就是求27和18的最大公因数，根据分解质因数的方法，先把27和18分解质因数，再找出它们的最大公因数就是每排最多排的人数； （2）分别用男生、女生人数除以每排最多排的人数就是对应的排数。 详解：27＝3×3×3 18＝2×3×3 27和18的最大公因数是：3×3＝9 27÷9＝3（排） 18÷9＝2（排） 答：要使每排人数都相等，每排最多排9人，男生要排成3排，女生要排成2排。 3．把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 答案：6个；13朵 分析：要求所有的花正好分完，且每个花瓶里玫瑰花和康乃馨的朵数都分别相同，最多能插几个花瓶，也就是求42和36的最大公因数；先求出这两个数的最大公因数，就是最多能插多少个花瓶；再分别用玫瑰花和康乃馨的数量除以花瓶的个数，分别得到每个花瓶中玫瑰花和康乃馨各有多少朵，两种花的数量相加即为每个花瓶里至少插多少朵花。 详解：42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 因此42和36的最大公因数是2×3＝6。 玫瑰花：42÷6＝7（朵） 康乃馨：36÷6＝6（朵） 7＋6＝13（朵） 答：最多能插6个花瓶，每个花瓶里至少插13朵花。 【考点12】公倍数与最小公倍数 公有的倍数是公倍数，最小的是最小公倍数，如和的最小公倍数是。 【解题思路】列举倍数找公共部分，或用短除法。 【易错点】找公倍数时遗漏；对互质数的最小公倍数判断错误。 ： 先填一填，再找出12和18的公倍数。 答案：见详解 分析：倍数是指一个整数能够被另一个整数整除这个整数就是另一整数的倍数。公倍数是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。我们先分别找出100以内12和18的倍数，再找出它们的公倍数。 详解：.100以内12的倍数 从12开始，12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12 ×4＝48 12×5＝60 12×6＝72 12×7＝84 12×8＝96 所以100以内12的倍数有12、24、36、48、60、72、84、96。 100以内18的倍数： 18×1＝18 18×2＝36 18×3＝54 18×4＝ 72 18×5＝90 所以100以内18的倍数有18、36、54、72、90。 100以内12和18的公倍数：对比100以内12的倍数和100以内18的倍数，发现相同的数有36和72。所以100以内12和18的公倍数是36、72。 1．50以内4和6的公倍数有( )，3和9的公倍数有( )。 答案： 12、24、36、48 9、18、27、36、45 分析：因此先用分解质因数的方法，分别求出4和6的最小公倍数。如果两个数是倍数关系，其中的较大数就是它们的最小公倍数。据此可知：3和9的最小公倍数是9。再列出50以内最小公倍数的倍数，即可找出两个数的公倍数。 详解：4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12 12×2＝24   12×3＝36   12×4＝48 50以内4和6的公倍数有：12、24、36、48。 9是3的倍数，3和9的最小公倍数是9。 9×2＝18   9×3＝27   9×4＝36   9×5＝36 50以内3和9的公倍数有9、18、27、36、45。 2．先阅读材料，再完成填空。 第19届亚运会于2022年9月10日至25日在中国浙江杭州举行。本届亚运会、亚残运会共设有56个竞赛场馆及多个分项比赛，其中竞技性比赛24项，球类比赛18项。 (1)上面材料用到的自然数中，奇数有( )，偶数有( )；质数有( )，合数有( )。 (2)9和18的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 答案：(1) 19、9、25 2022、10、56、24、18 19 2022、9、10、25、56、24、18 (2) 9 18 分析：（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 （2）两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 详解：（1）上面材料用到的自然数中，奇数有19、9、25，偶数有2022、10、56、24、18；质数有19，合数有2022、9、10、25、56、24、18。 （2）9和18是倍数关系，所以9和18的最大公因数是9，最小公倍数是18。 3．妈妈端来一盘糖果，平均分给6个人，正好分完；平均分给10个人，也正好分完。这盘糖果最少有( )个。 答案：30 分析：根据题意，糖果的个数能同时被6和10整除，想要得出这盘糖果的最少的个数就是找出6和10的最小公倍数。 详解： [6，10]＝2×3×5＝30 这盘糖果最少有30个。 【考点13】用最小公倍数解决实际问题 如甲每天、乙每天去图书馆，求再次相遇天数（求和的最小公倍数）。 【解题思路】分析问题，转化为求最小公倍数。 【易错点】分不清求最小公倍数还是最大公因数。 ： 学校运动会即将召开，在长60米的跑道一边插彩旗。原来从一端起每隔3米插一面彩旗，现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。哪些彩旗不需要重新插？不需要重新插的彩旗有多少面？（先在下图中画一画，再算一算） 答案：图见详解；起点处、12米处、24米处、36米处、48米处、60米处；6面 分析：原来从一端起每隔3米插一面彩旗，此时彩旗位置在起点、3米、6米、9米、12米……3的倍数处，现在改成每隔4米插一面，此时彩旗位置在起点、4米、8米、12米、16米……4的倍数处，彩旗的位置在3和4的公倍数处时就不需要重新插彩旗，求出60以内（含60）3和4的公倍数，最后再加上起点处的彩旗，据此解答。 详解： 3和4的最小公倍数是3×4＝12。 12×1＝12（米） 12×2＝24（米） 12×3＝36（米） 12×4＝48（米） 12×5＝60（米） 60÷12＋1 ＝5＋1 ＝6（面） 答：起点处、12米处、24米处、36米处、48米处、60米处的彩旗不需要重新插，不需要重新插的彩旗有6面。 1．有一包糖果，平均分给3人、4人、5人都正好分完，这包糖果至少有多少块？ 答案：60块 分析：根据题意，求这包糖果有多少块，就是求3、4和5的这三个数的最小公倍数；根据求最小公倍数的方法：几个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果几个数为倍数关系，最大的数为最小公倍数，如果几个数为互质数，几个数的乘积为最小公倍数，据此解答。 详解：3、4、5为互质数， 最小公倍数为：3×4×5＝60，这包糖果至少有60块。 答：这包糖果至少有60块。 2．去年暑假期间，小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，7月31日两人在游泳馆相遇，八月份他们一共相遇了几次？ 答案：2次 分析：已知小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，那么两人同时去游泳的间隔天数就是4和3的公倍数。4和3是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积12。用八月的总天数除以它们的最小公倍数得到的整数商就是两人相遇的次数。 详解：4和3的最小公倍数是：4×3＝12 即每12天他们相遇了一次。 8月份有31天。 31÷12＝2（次）……7（天） 答：八月份他们一共相遇了2次。 3．有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？ 答案：72个 分析：根据题意，要求这筐桃子最多有多少个，先求出5和7的最小公倍数，再找出100以内5和7的最小公倍数的倍数，再加上2，即可解答。 详解：5和7的最小公倍数是5×7＝35 100以内35的倍数有：35，70； 70＋2＝72（个） 72＜100，最多有72个。 答：这筐桃最多有72个。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年五年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 因数与倍数 （2、3、5的倍数、分解质因数、最大公因数及最小公倍数应用） 【考点1】、的倍数特征 3 【考点2】奇数与偶数的认识 4 【考点3】和与积的奇偶性 5 【考点4】的倍数特征 5 【考点5】、、的倍数特征综合 6 【考点6】质数与合数的认识 6 【考点7】质数与合数的综合应用 7 【考点8】质因数与合数的含义 8 【考点9】分解质因数 9 【考点10】公因数与最大公因数 10 【考点11】用最大公因数解决实际问题 10 【考点12】公倍数与最小公倍数 11 【考点13】用最小公倍数解决实际问题 12 魔法时钟的秘密 数字城堡的钟塔突然停摆，国王焦急万分。相传只有解开钟塔里的数学谜题，才能让时间重新流动。 因数精灵和倍数精灵结伴来到钟塔底部，发现一扇刻满数字的石门。石门上写着：“要让时钟恢复，需找到同时满足三个条件的数 —— 它是 12 的倍数，有 8 个因数，且比 50 小。” “先找 12 的倍数。” 因数精灵边说边列出：12、24、36、48。倍数精灵用魔法放大镜检查每个数的因数数量： 12 的因数有 1、2、3、4、6、12（共 6 个），不够。 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24（共 8 个！） “就是 24！” 两个精灵同时喊出。他们将 24 填入石门凹槽，钟声瞬间响起，指针开始规律转动。 原来，数字 24 不仅是 12 的倍数，其因数个数正好是 8 个。因数与倍数的巧妙结合，让时间重新在城堡流淌。 【考点1】、的倍数特征 的倍数个位是、、、、；的倍数个位是或；区分奇数、偶数。 【解题思路】观察个位数字判断。 【易错点】混淆和的倍数特征。 ： 29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填( )。 1．按要求选择合适的数填在圈内。 1  2  5  8  10  24  46  59  415  672  320  458  15 2．在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 3．在1、16、18、20、23、33、9、2八个数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )，3的倍数有( )，5的倍数有( )，既是奇数又是合数的数有( )，既是偶数又是质数的数有( )。 【考点2】奇数与偶数的认识 明确奇数和偶数的定义，如是奇数，是偶数。 【解题思路】根据是否为的倍数判断。 【易错点】对奇数偶数概念模糊，如认为不是偶数。 ： 在括号里写出含有字母的式子。 三个连续的奇数中，最小的奇数是m，最大的奇数是( )，这三个奇数的和是( )，这三个奇数的平均数是( )。 1．有三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是( )，最大的是( )。如果最小的数是18，那么这三个数的平均数是( )。 2．30的因数有( )，其中奇数有( )，质数有( )。 3．78  45  70  96  25  150  90  8  513 奇数有( )，偶数有( )，有因数3的数有( )，同时是2、3、5的倍数的数有( )。 【考点3】和与积的奇偶性 和的奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 积的奇偶性：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。 【解题思路】通过举例归纳规律，如（奇数+奇数=偶数），（奇数×偶数=偶数）。 【易错点】记混规律（如认为“奇数+偶数=偶数”）；应用时未正确判断数的奇偶性。 ： ，结果是( )。（填“奇数”或“偶数”） 1．不计算，直接判断：1＋3＋5＋…＋97＋99的和是( )，13×24×5×19×1999×2023的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 2．选择合适的词语填在下面的括号中，使表达准确。（每个词语只能用一次） 质因数、奇数、偶数、质数、合数。 这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是( )，任意两个奇数相乘的积一定是( )；2和3都是18的( )；最小的( )与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是( )。 3．1＋3＋5＋…＋39的和是( )，1×3×5×…×39的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【考点4】的倍数特征 各位数字之和是的倍数，如：，是的倍数。 【解题思路】计算数字之和，判断是否为的倍数。 【易错点】仅看个位判断的倍数，如认为是的倍数。 ： 14□同时是2和3的倍数，□里可以填( )。 1．学校为考生准备了128支2B铅笔，平均分给3个班至少要减去( )支，平均分给5个班至少要加上( )支。 2．一个三位数37□，当它既是2的倍数又是5的倍数时，□里填( )。当它是3的倍数时，□里可以填的数是( )。 3．在2、10、13、19、24、57、91、120这些数中，素数有( )个，合数有( )个，既是奇数又是3的倍数的数是( )，同时是2、3、5倍数的数是( )；把24分解质因数，24＝( )；13和91的最大公因数是( )。 【考点5】、、的倍数特征综合 同时是、、的倍数，需满足个位是且数字和是的倍数，如。 【解题思路】先看个位，再算数字和。 【易错点】遗漏条件，如只看个位是就判定。 ： 生活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数有( )。 1．在1、4、8、0中选出三个数字，按要求组成三位数。 (1)同时是2、3、5的倍数是( )。 (2)最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 2．一个两位数3□，它既是2的倍数，又有因数3，这个两位数最大是( )，把它分解质因数是( )。 3．在括号里填合适的数字。 (1)16( )、30( )是2的倍数，又是5的倍数。 (2)19( )、4( )( )是2的倍数，又是3的倍数。 (3)45( )、( )20既有因数3，又有因数2，还是5的倍数。 【考点6】质数与合数的认识 质数只有和本身两个因数（如），合数有其他因数（如）；既不是质数也不是合数。 【解题思路】分析因数个数判断。 【易错点】对的性质判断错误；认为偶数都是合数。 ： 将下面各数按要求填在相应的框里。 1    2    9    11    15    19    20    26    99    100 1．在括号里填合适的质数。 21＝( )＋( )＝( )×( ) 34＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 72＝( )×( )×( )×( )×( ) 2．把下面各数写成两个质数相加的形式。 25＝( )＋( )        19＝( )＋( ) 3．在括号里填上合适的质数。 13＝( )＋( )        15＝( )＋( )        87＝( )×( ) 【考点7】质数与合数的综合应用 如两个质数的积是，求这两个质数（和）。 【解题思路】对积分解，结合质数定义筛选。 【易错点】分解因数时未考虑质数条件。 ： 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。 1．读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 2．在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝___”这道题时，乐乐是这样想的：因为( )＋( )＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数( )。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是( )。 3．黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 【考点8】质因数与合数的含义 质因数是合数的因数且为质数，如，和是质因数。 【解题思路】分解合数，从因数中找质数。 【易错点】混淆因数与质因数，如认为是的质因数。 ： 在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。 1．35的因数有( )，其中质因数有( )。 2．15的因数有( )，其中是质数的有( )，这几个质数就是15的( )。 3．在27＝3×9中，( )和( )都是( )的因数，( )是( )的质因数。 【考点9】分解质因数 用短除法将合数写成质数相乘形式，如。 【解题思路】从最小质数除起，直到商为质数。 【易错点】短除法步骤错误；分解不彻底，如。 ： 按分解质因数的过程填空。 1．你会在括号里填合适的质数吗？ ( )( )    ( )( ) ( )( )    ( )( ) ( )( )( ) ( )( )＝( )( ) 2．下面各数是由哪些质数相乘得到的？             ( )( )    ( )( )( ) ( )( )    ( )( )( ) 3．把6和14分解质因数。 ( )( )  ( )( ) 【考点10】公因数与最大公因数 公有的因数是公因数，最大的是最大公因数，如和的最大公因数是。 【解题思路】列举因数找公共部分，或用短除法。 【易错点】找公因数时遗漏；对倍数关系的两数，误判最大公因数。 ： 学校武术队有女生24人，男生36人。在武术拳展示活动中，男生和女生分别排队，要使每排的人数相等，每排最多有( )人，这时男生和女生一共有( )排。 1．张老师把35只铅笔和40本笔记本分别平均分给若干名三好学生，结果铅笔正好分完，练习本还差2本。三好学生最多有( )名。 2．如果，，那么A和B最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．如果a和b都是非0的自然数，且b＝36a，a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【考点11】用最大公因数解决实际问题 如将长厘米、宽厘米的纸裁成最大正方形，求边长（求和的最大公因数）。 【解题思路】分析问题，转化为求最大公因数。 【易错点】无法将实际问题与最大公因数联系。 ： 把下边两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？ 1．下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 2．五（1）班有男生27人、女生18人，如果男、女生分别排队，要使每排人数都相等，每排最多排几人？男、女生各要排成几排？ 3．把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 【考点12】公倍数与最小公倍数 公有的倍数是公倍数，最小的是最小公倍数，如和的最小公倍数是。 【解题思路】列举倍数找公共部分，或用短除法。 【易错点】找公倍数时遗漏；对互质数的最小公倍数判断错误。 ： 先填一填，再找出12和18的公倍数。 1．50以内4和6的公倍数有( )，3和9的公倍数有( )。 2．先阅读材料，再完成填空。 第19届亚运会于2022年9月10日至25日在中国浙江杭州举行。本届亚运会、亚残运会共设有56个竞赛场馆及多个分项比赛，其中竞技性比赛24项，球类比赛18项。 (1)上面材料用到的自然数中，奇数有( )，偶数有( )；质数有( )，合数有( )。 (2)9和18的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．妈妈端来一盘糖果，平均分给6个人，正好分完；平均分给10个人，也正好分完。这盘糖果最少有( )个。 【考点13】用最小公倍数解决实际问题 如甲每天、乙每天去图书馆，求再次相遇天数（求和的最小公倍数）。 【解题思路】分析问题，转化为求最小公倍数。 【易错点】分不清求最小公倍数还是最大公因数。 ： 学校运动会即将召开，在长60米的跑道一边插彩旗。原来从一端起每隔3米插一面彩旗，现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。哪些彩旗不需要重新插？不需要重新插的彩旗有多少面？（先在下图中画一画，再算一算） 1．有一包糖果，平均分给3人、4人、5人都正好分完，这包糖果至少有多少块？ 2．去年暑假期间，小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，7月31日两人在游泳馆相遇，八月份他们一共相遇了几次？ 3．有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$