特训03 平面向量、解三角形的几何应用 压轴题（七大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训03 平面向量、解三角形的几何应用 压轴题（七大题型） 目录： 题型1：求模长的应用 题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合 题型3：平面向量坐标表示的应用 题型4：解三角形有关的化简、求值等 题型5：解三角形求最值问题 题型6：设角化角求最值综合题 题型7：题型1-4综合题 题型1：求模长的应用 1．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 2．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合 3．如图，在中，，，点为和的交点，设，． (1)设，求，的值； (2)若，，，求； (3)若在上，，且，求的取值范围． 4．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 5．如图 1 所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.    (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)如图 2，过点的直线与边，分别交于点，，设 ，设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 题型3：平面向量坐标表示的应用 6．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.    (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 7．如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； (2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 8．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 题型4：解三角形有关的化简、求值等 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 10．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作. (1)当时，称为调和点列，若，求的值； (2)①证明：； ②已知，点为线段的中点，，，求，. 题型5：解三角形求最值问题 11．在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足 (1)求角； (2)为边上一点，，且求的最小值. (3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值. 12．已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 并且，记. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到. (1)若，求. (2)射线上的点满足. ①求； ②求的最小值. 13．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，. ①求； ②若的平分线交于点，求线段的长； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 题型6：设角化角求最值综合题 14．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在和上，修建的木栈道AB与道路，围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．    (1)当为正三角形时求修建的木栈道AB与道路，围成的三角地块OAB面积； (2)若的面积，求木栈道AB长； (3)如图2，设， ①将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域； ②求木栈道AB的最小值． 15．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． (1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； (2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求的最小值． 16．在面积为的中，内角所对的边分别为，且． (1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围； (2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值． 题型7：题型1-4综合题 17．在平面四边形中，对角线和交于点，分别延长和交于点，连接并延长交于点. (1)如图（1），若四边形为圆的内接四边形，， （i）求的长； （ii）求的值； (2)如图（2），若的面积等于3，当取最小值时，求的面积. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 平面向量、解三角形的几何应用 压轴题（七大题型） 目录： 题型1：求模长的应用 题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合 题型3：平面向量坐标表示的应用 题型4：解三角形有关的化简、求值等 题型5：解三角形求最值问题 题型6：设角化角求最值综合题 题型7：题型1-4综合题 题型1：求模长的应用 1．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果； （2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算； （3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可. 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值. 则的最小值为2. （3）设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题 2．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)﹒ 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【解析】（1）在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； （2） ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； （3）∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合 3．如图，在中，，，点为和的交点，设，． (1)设，求，的值； (2)若，，，求； (3)若在上，，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设，，根据向量的线性运算法则可得，，从而构造关于和的方程组，可得，得解； （2）先利用三角形的面积公式求得的值，再由，即可得解； （3）设，与的夹角为，其中，利用，结合平面向量的基本定理与数量积的运算法则，推出，再由，求出的取值范围即可． 【解析】（1）设，， 则，， 所以，， 所以， 解得， 所以， 又， 所以，． （2）， 由（1）知，， 所以． （3）由（1）知，， 所以， 设，与的夹角为，其中， 则， 而， 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围为． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生逻辑推理能力和运算能力． 4．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可； .（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值； （3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 化简后可得，所以， 若，则. （2）如图，设的中点分别为，连接， 则， 又，同理， 又， 即，同理， 整理得到，解得； （3）如图，为的平分线，则， 所以， 设，. 故， 因为不共线，故，所以， 因为，所以，故. 又, 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题. 5．如图 1 所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.    (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)如图 2，过点的直线与边，分别交于点，，设 ，设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； （3）由题意可得，根据共线定理得到，根据三形的面积公式可得，再结合，将转化为的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 又，且、不共线，所以，； （2）因为、、三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，即， 所以， 又因为， 即，又、不共线， 所以，解得， 所以． （3）根据题意． 同理可得：， 由（2）可知，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 化简得， 根据题意，， ， 所以 ， 又，则，所以， 所以， 易知，当时，有最大值，又因为， 所以. 题型3：平面向量坐标表示的应用 6．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.    (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得夹角余弦值即可； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【解析】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系，    则，，，， 所以， ，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故. （3）同（1）问建立相同直角坐标系，    则可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 7．如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； (2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【解析】（1）① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. （2）依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 8．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【解析】（1）函数的“源向量”为， 所以， 所以函数的值域为 （2）因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值． （3）如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 题型4：解三角形有关的化简、求值等 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，， 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解； （2）①先找到，设，，在和中，由正弦定理得，，从而由得解. ②假设存在实常数，k合题，由和差化积，积化和差化简可得： ，由，是定值，整理化简得到： ，故而,进而得解. 【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去），又，所以； （2）①因为，所以，又，，所以，. 如图，设，，    则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有, 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，. 【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强. 10．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作. (1)当时，称为调和点列，若，求的值； (2)①证明：； ②已知，点为线段的中点，，，求，. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）设，，结合可整理得到，由此可得的值； （2）①根据，，，，结合三角形面积公式和角之间的等量关系可整理得到结论； ②根据可整理得到，由和可构造方程组求得结果. 【解析】（1）由知：两点分属线段内外分点， 不妨设，， 则，， 由知：，， ，即. （2）①在中， ， ， 则 在中， ， ， 则， 又， ， 即； ②，，即， 又点为线段的中点，即，则， 又，则，， 设，，且， 由可知：， 即，整理可得：； 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得，， 且， 则，即， 由得：或（舍），即，. 题型5：解三角形求最值问题 11．在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足 (1)求角； (2)为边上一点，，且求的最小值. (3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理，辅助角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）由题意可得为角平分线，再由等面积法可得，由基本不等式可得的范围，进而求出三角形的面积的最小值； （3）由正弦定理可得三角形外接圆的半径，再由向量的运算及基本不等式可得的最小值． 【解析】（1）由及， 可得， 所以， 由余弦定理可得， 所以，即， 因为， 所以， 即； （2）在中，由正弦定理可得：，即， 在中，由正弦定理可得：，即， 且与互为补角，可得， 即，又，且，即，所以， 又，所以，所以为的角平分线， 所以， 由可得， 所以，解得，当且仅当时取得等号， 即的最小值为， 所以； 即的面积的最小值为； （3）设圆半径为，则， 设，，则，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是设，，从而得到，再根据数量积的定义将转化为关于的式子. 12．已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 并且，记. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到. (1)若，求. (2)射线上的点满足. ①求； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；②的最小值为 【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，最后根据角的范围即可求解； （2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可； ②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可. 【解析】（1）因为，所以点在线段上，如图①所示， 又，所以由，得， 所以为的角平分线，又，所以， 在中，， 由余弦定理得，解得， 由正弦定理得，即，解得， 又是最大边，所以. （2）记. ①因为， 所以点在线段的延长线上，如图②所示， 即 所以，化简得， 解得，，且， 所以. ②因为， 所以， 即， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，此时，. 故的最小值为.     【点睛】关键点点睛：由推出，并结合基本不等式求解. 13．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，. ①求； ②若的平分线交于点，求线段的长； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 【答案】(1); (2) (3) 【分析】（1）①利用同角三角函数基本关系和正弦定理以及余弦定理即可得到答案； ②根据余弦定理得，再利用三角形面积公式即可得到答案； （2）设，将表示为角的三角函数，再利用二倍角公式，转化为关于的函数，即可求出范围； （3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值. 【解析】（1）①因为， 所以， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以； ②又因为，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则， 即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （2）延长交于，延长交于， 设，所以， 在Rt中，， 在中，，所以， 在Rt中，， 同理可得在Rt中，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是将边转化为关于角的三角函数，再利用二倍角公式即可求出最值. 题型6：设角化角求最值综合题 14．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在和上，修建的木栈道AB与道路，围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．    (1)当为正三角形时求修建的木栈道AB与道路，围成的三角地块OAB面积； (2)若的面积，求木栈道AB长； (3)如图2，设， ①将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域； ②求木栈道AB的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积. （2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果. 方法2：运用两个三角形面积公式可得，的值，再结合余弦定理可得，联立可求得AB的长. （3）①运用内切圆性质可得，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB. ②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果. 方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可. 方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可. 【解析】（1）如图所示，      设三角地块面积为S，等边△OAB边长为， 所以由等面积法得：， 解得， 所以. 故修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积为平方千米. （2）方法1：设圆C分别与、、相切于点N、E、M，如图所示，    则，，， 所以在中，， 所以， 设，， 所以， 解得：，即：. 故木栈道AB长为. 方法2：设三角地块面积为S，，，，， 由等面积法可得：， 即：， 所以①，②， 在△中，由余弦定理得， 即：③， 由①②③解得：. 故木栈道AB长为. （3）如图所示，    ①由题意知，， 由内切圆的性质可知，， 设直线和圆相切点，，则， 因为，解得：， 又因为，， 所以，， 所以. 即：. ②方法1： ， 当且仅当时等号成立， 故木栈道的长度最小值为. 方法2： 因为， 所以， 所以， 所以， 故木栈道的长度最小值为. 方法3： ， 因为， 所以， 所以， 所以， 故木栈道的长度最小值为. 【点睛】方法点睛： 解三角形的应用问题的要点 （1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素； （2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解． 解三角形中最值（范围）问题的解题策略 利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）． 15．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． (1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； (2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可； （2）①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值. 【解析】（1）设, 在中，由余弦定理得, ， 当时，. （2）①在中，由余弦定理, 所以， 再由正弦定理得, , , , , 所以，. ②设，则 由正弦定理可得,所以, 所以 . 当时，的最小值为. 【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可. 16．在面积为的中，内角所对的边分别为，且． (1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围； (2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程的解，整理得，根据正切函数的单调性及的范围即可求出的取值范围； （2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为8得出，则，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不等式即可得出最小值． 【解析】（1）在中，由三角形面积公式得， 由正弦定理得：， 整理得：，由余弦定理得：， 又，故， 因为为锐角三角形， 所以，，所以， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 故． （2）由，得， 所以， 由（1）得， 所以为正三角形， 所以， 因为为边的中点， 所以， 设，， 在BDE和ADF中， 由正弦定理得，， 化简得，， ， 因为 ， 所以， 则 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为．    题型7：题型1-4综合题 17．在平面四边形中，对角线和交于点，分别延长和交于点，连接并延长交于点. (1)如图（1），若四边形为圆的内接四边形，， （i）求的长； （ii）求的值； (2)如图（2），若的面积等于3，当取最小值时，求的面积. 【答案】(1)（i）    （ii） (2) 【分析】（1）先证明两个引理，然后利用余弦定理推知，再由引理1得到，最后用引理2得到； （2）由引理2即得，然后证明，并通过证明过程推知取等当且仅当，，再用实际的例子说明，能取到，从而的确是的最小值且取到最小值当且仅当，. 最后利用，即可求得结果. 【解析】（1）先证明两个引理. 引理1：设是圆内接四边形，则. 证明：如图，设是圆内接四边形，过作的平行线交四边形的外接圆于，则. 再连接，交于. 从而，故. 而，所以相似于. 再由知，又因为，所以相似于. 由相似于，相似于，知，. 所以，，故. 这就证明了. 引理1得证. 引理2：如图，在中，分别是线段上的点，若三条直线交于一点，则. 证明：设，，，. 则，，，. 所以，. 而点在直线和上，故，即. 由可知，即，故. 代入的定义，知，所以. 引理2得证. 回到原题. 若四边形为圆的内接四边形，，，，： （i） 由于四边形为圆的内接四边形，故. 从而，使用余弦定理得. 从而，代入已知条件得. 所以，从而，即. 由引理1得. 故. （ii） 由，，知. 所以. 由于，故，从而. 由，，知相似于，从而. 代入已知条件及得，故，. 从而，. 由引理2知，所以. 从而. （2）由引理2知，再结合已知条件就有. 从而，故. 通过不等式的取等条件可以推知等号成立需要，，即，. 下面的例子表明，能够满足，从而能取到： 如图，在平面直角坐标系中令，可验证这些点满足条件，此时，，，从而. 故的最小值是，而且取到最小值的充要条件是，. 所以，题目条件即为，，这就意味着，，. 故，，. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题中的两个引理分别叫“托勒密定理”和“塞瓦定理”，是平面几何的熟知定理. 在引理1中，若去掉四边形是圆内接四边形的条件，则依然有结论，且等号成立当且仅当四边形有外接圆，该命题的证明与引理1类似，但点将不能直接取在线段上，而是使得相似于，且相似于的合适的位置；在引理2中，等式也是三条直线交于一点的充分条件，使用必要性的结论和同一法即可证明. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$