第一次月考卷（测试范围：第6-7章）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 测试范围：第6-7章 一、单选题 1．已知复数，则 （    ） A．1 B． C． D．2 2．已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则在方向上投影长度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 5．设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（    ）米. A． B． C． D． 7．已知中，，，，于，，则 A．6 B． C．3 D． 8．已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知z为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 11．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 三、填空题 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 13．已知复数，，则的最大值为 . 14．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）． (1)求m的值； (2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．如图，在边长为4的正中，为的中点，为中点，，令，.    (1)试用、表示向量； (2)延长线段交于，求的值. 19．平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 测试范围：第6-7章 一、单选题 1．已知复数，则 （    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果. 【解析】， . 故选：B. 2．已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标运算即可得解. 【解析】解:因为, 又, 所以, 即, 故选:D. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量垂直的坐标运算，属基础题. 3．已知向量，，则在方向上投影长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解析】解：，， 则，， 故在方向上的投影长度为：． 故选：B． 4．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【解析】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 5．设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，求得各角的大小，利用正弦定理求得答案. 【解析】由于，故， 故， 故选：A 6．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【解析】由题知，，，则，， 又，所以，所以，， 在中，， 根据正弦定理有， 且， 则， 在中，. 所以山高为米. 故选：B. 7．已知中，，，，于，，则 A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】求得结合，利用，根据平面向量数量积的运算法则化简即可得结果. 【解析】因为，，， 所以， 因为，且, 所以， ， 可得， ，故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 8．已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换公式得到，确定，根据面积范围得到，得到，再依次判断每个选项得到答案. 【解析】， 则，即， 故， ， 即，， 整理得到. 设外接圆的半径为，由正弦定理可得：， ，故，即， ，故，即， ，则， 对选项A：，即，但不一定正确； 对选项B：，即，正确； 对选项C： ，不一定正确； 对选项D： ，不一定正确； 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，三角形面积公式，正弦定理，以此考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角恒等变换公式将条件转化为是解题的关键. 二、多选题 9．已知z为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，然后逐个分析判断即可 【解析】令，则， 对于A，因为，，所以，所以A错误， 对于B，因为，，所以，，所以B正确， 对于C，因为，，所以，所以C正确， 对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误， 故选：BC 10．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断的形状. 【解析】A：若，而，即，故，正确； B：由锐角知：，即，则，正确； C：由题设，可得，又，则或，故为等腰或直角三角形，错误； D：由题设，，故，即，又，可知，故必是等边三角形，正确. 故选：ABD 11．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 【答案】BD 【分析】画出图形，由同时平方可求；同理由同时平方可求；由，代换成基底向量可求的余弦值；结合重心性质全部代换成可验证选项D. 【解析】如图所示：由题可知，分别为中点，则， 同时平方得 ， 则，故A错误； 又， 同时平方得， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】/ 【分析】由正弦定理结合三角形中角的范围即可得出结果. 【解析】由题知，，， 在中，由正弦定理，得， 所以，解得， 因为中，，所以，所以. 故答案为：. 13．已知复数，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值. 【解析】因为复数，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 14．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 . 【答案】/-0.2 【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值. 【解析】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直， 由三线合一得到，取的中点， 因为，故，    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【解析】（1）由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. （2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 16．在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）． (1)求m的值； (2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值. （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【解析】（1）复数，且为纯虚数是的共轭复数），则， 解得． （2）， 复数在复平面对应的点在第一象限， ， 解得．实数的取值范围是． 17．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18．如图，在边长为4的正中，为的中点，为中点，，令，.    (1)试用、表示向量； (2)延长线段交于，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）设，用、表示出，再由向量共线得到，根据平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可表示出，再根据数量积的运算律计算可得. 【解析】（1） . （2）设， 所以 由于与共线，则， 即，即，解得，即， 所以， ， 所以 . 19．平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）若，由公式求向量的坐标； （2）用向量法证明余弦定理； （3）设，有，利用旋转求出，得两点坐标，可求中点坐标. 【解析】（1），则， . （2）设，， ， 所以， 同理可得， （3）设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. 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