专题01 平面向量及其应用 单元阶段复习（十一大题型+六大常用解题策略）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

专题01 平面向量及其应用 单元阶段复习（十一大题型） 题型目录： 题型1：概念辨析 题型2：平面向量的线性表示 题型3：平面向量的加减运算 题型4：平面向量的数量积 题型5：平面向量数量积的应用 题型6：平面向量基本定理及其应用 题型7：正弦定理、余弦定理 题型8：正弦定理、余弦定理的应用 题型9：平面向量与解三角形综合 题型10：正弦定理、余弦定理的实际应用 题型11：解答综合题 常用解题技巧： 1、平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 2、利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 3、计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 4、求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． 5、求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； ②坐标法． 6、两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 题型1：概念辨析 1．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 2．下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 题型2：平面向量的线性表示 3．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 4．若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型3：平面向量的加减运算 5．在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型4：平面向量的数量积 8．已知向量，若，则实数（    ） A． B．3 C．4 D．7 9．已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 10．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 题型5：平面向量数量积的应用 13．在中，，，且的一个内角为直角，则k的值为 . 14．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 15．已知向量，，则 ，的最小值为 ． 题型6：平面向量基本定理及其应用 16．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 17．如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（   ） A． B． C．0 D． 18．在中，，，，，为线段上的点且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 19．在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 20．如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 21．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 22．在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 题型7：正弦定理、余弦定理 24．锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 26．已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 27．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 28．在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 29．在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． 题型8：正弦定理、余弦定理的应用 30．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 . 32．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 题型9：平面向量与解三角形综合 33．在中，，，则面积的最大值为 ． 34．中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 35．已知内角的对边分别为，为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 题型10：正弦定理、余弦定理的实际应用 36．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 37．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 38．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 题型11：解答综合题 39．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 40．在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 41．记的内角，，的对边分别，，，已知． (1)求； (2)设是边中点，若，求． 42．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，求的最小值. 43．在中，角，，的对边分别为，，，且的面积． (1)求的大小； (2)若的外接圆半径为3，求周长的取值范围． 44．某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，． (1)求景点电动车专用道BE的长； (2)由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？ 45．如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 46．如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. (1)当点与点重合时，求的值； (2)记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 单元阶段复习（十一大题型） 题型目录： 题型1：概念辨析 题型2：平面向量的线性表示 题型3：平面向量的加减运算 题型4：平面向量的数量积 题型5：平面向量数量积的应用 题型6：平面向量基本定理及其应用 题型7：正弦定理、余弦定理 题型8：正弦定理、余弦定理的应用 题型9：平面向量与解三角形综合 题型10：正弦定理、余弦定理的实际应用 题型11：解答综合题 常用解题技巧： 1、平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 2、利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 3、计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 4、求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． 5、求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； ②坐标法． 6、两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 题型1：概念辨析 1．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【解析】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 2．下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【解析】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 题型2：平面向量的线性表示 3．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 【答案】 【分析】令，由平面向量的线性运算即可求解； 【解析】设， 则， 即， 解得 ． 故答案为： 4．若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】根据题意，结合共线向量的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，由向量，，， 可得，所以，所以三点共线，所以A正确； 对于B中，由向量，， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以B错误； 对于C中，由向量，，， 可得，设，即， 所以，此时方程组无解，所以三点不共线，所以C错误； 对于D中，向量，， 设，即，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以D错误. 故选：A. 题型3：平面向量的加减运算 5．在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【解析】. 故选：C. 6．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【解析】, 另解：. 故选：B 7．如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【解析】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 题型4：平面向量的数量积 8．已知向量，若，则实数（    ） A． B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果. 【解析】∵，∴， ∵，∴，解得. 故选：D. 9．已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解析】由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 10．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角. 【解析】由，得，而，则， ，而， 所以与的夹角. 故选：C 11．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【解析】设与的夹角为， 则， 得， ，. 故选：B. 12．若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 【答案】D 【分析】根据已知条件可判断为直角三角形，从而求得的值. 【解析】令，，则， 则由及, 在中，，，， 由正弦定理：,解得,故得为直角三角形， 且，所以. 故选：D 题型5：平面向量数量积的应用 13．在中，，，且的一个内角为直角，则k的值为 . 【答案】，， 【分析】根据题意，分或或讨论，结合向量垂直的数量积关系运算得解. 【解析】当时，则，所以.所以. 当时，则，， 所以.所以. 当时，则，所以.所以. 综上所述：或或. 故答案为：或或. 14．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【解析】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 15．已知向量，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据求出的坐标，再求出的坐标，从而求出其模的最小值. 【解析】因为，，所以， 则，所以，当且仅当时取等号，所以. 故答案为：， 题型6：平面向量基本定理及其应用 16．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【解析】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 17．如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得. 【解析】依题意，，， 所以， 所以 . 故选：A． 18．在中，，，，，为线段上的点且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】结合平面向量的线性运算，利用数量积的运算律求解即可. 【解析】因为，，又， 则， 又，，， 所以 .    故选：A 19．在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【解析】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 20．如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得. 【解析】在中，点在线段上，且， 则， ，而，因此， 即，所以. 故选：A 21．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【解析】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 22．在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得，，再根据“1”的代换,运用基本不等式即可求得答案. 【解析】因为，，所以， 由A，E，D三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 23．如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 【答案】 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【解析】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 题型7：正弦定理、余弦定理 24．锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦定理即可得到答案. 【解析】若a为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 若c为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 故. 故选：B 25．在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到，再利用正弦定理求解边长即可. 【解析】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C 26．已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】应用正弦定理计算求解. 【解析】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 27．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得. 【解析】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 28．在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式可得出的值. 【解析】在中，因为，则，故，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 由三角形的面积公式可得，可得. 故选：B. 29．在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据二倍角公式求出的值，进而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判断的范围并求出的值，最后根据三角函数的两角和公式求出的值. 【解析】已知，根据二倍角公式，则有. 因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：. 已知，将其代入可得：，解得. 因为为锐角，根据，可得. 由正弦定理，已知，，，则. 因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角. 根据，可得. 因为，所以， 则 . 故答案为： 题型8：正弦定理、余弦定理的应用 30．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，或，进而可得. 【解析】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 31．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式得到，最后借助辅助角公式求出最大值. 【解析】 由余弦定理知，所以， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以. 设的面积为S，所以， 令，可得， 当且仅当时，上式等号成立， 即有，解得或（舍去）， 则，所以， 故面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：利用基本不等式得到面积，通过取倒数从而设，借助于辅助角公式求出的最小值，即可得到的最大值. 32．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解． 【解析】对于A，，则，由正弦定理可得， ，故A正确； 对于B，由正弦定理， ，此时无解，故B错误； 对于C，，又且， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：，， ，， ，或，若，，则， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 题型9：平面向量与解三角形综合 33．在中，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值. 【解析】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由，由. 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则. 设，则，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 34．中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】用、作为基底表示出、，根据数量积的运算律及余弦定理得到，即可得解. 【解析】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 35．已知内角的对边分别为，为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【解析】 对于A，是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错误； 对于B，由，得，所以 ， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，，C正确； 对于D，由，得 ， 所以 ，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确. 故选：BCD. 题型10：正弦定理、余弦定理的实际应用 36．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【解析】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 37．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【解析】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 38．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 【答案】C 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【解析】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 题型11：解答综合题 39．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 40．在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式计算可得； （2）利用余弦定理计算可得. 【解析】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或, 当时，又，所以，又，， 所以，则，与矛盾，所以舍去； 所以． 41．记的内角，，的对边分别，，，已知． (1)求； (2)设是边中点，若，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解. （2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解. 【解析】（1）在中，由正弦定理及， 得，又， 则，而， 化简得，即，而，因此， 所以. （2）在中，由，得，， 由正弦定理，得，由是边中点，得， 则，因此， 在中，由正弦定理，得. 42．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，求的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 可得， 因为，所以. （2）由可得， 即， 可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 43．在中，角，，的对边分别为，，，且的面积． (1)求的大小； (2)若的外接圆半径为3，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式和余弦定理化简，再利用特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据正弦定理边化角，利用三角形的内角和消元，再利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求解即可. 【解析】（1）因为，所以， 由余弦定理，有，即，所以， 因为，所以； （2）因为的外接圆半径为3，所以，，， 又，所以， 即，因为，所以， 故，所以的周长的取值范围为． 44．某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，． (1)求景点电动车专用道BE的长； (2)由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？ 【答案】(1)15km． (2)景区可以铺设该步行道． 【分析】（1）利用余弦定理得到，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求； （2）根据正弦定理得到，然后利用换元法求范围来判断即可. 【解析】（1） 连接BD，在中，，， 所以， 所以．由题意可知，所以． 在中，， 所以，即景点电动车专用道BE的长为15km． （2）设，则，，． 在中，由正弦定理得， 所以， ， 所以． 设，，则． 因为在上单调递增，所以． 因为，所以景区可以铺设该步行道． 45．如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据几何关系，表示向量； （2）根据几何关系，表示向量；设，，，，再利用平面向量基本定理表示，即可求解； （3）结合（2）和，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【解析】（1）由点是的中点， 得. （2）设，，，， 则，① 又 ，② 所以对比①②得，得， 所以； （3）由（2）得，即，    因为，， 所以 ， 即，当且仅当，即时等号成立， 此时面积最大，为. 46．如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. (1)当点与点重合时，求的值； (2)记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. 【答案】(1) (2)（i）答案见解析（ii） 【分析】（1）由题意得，结合三角形内角和即可得解； （2）（i）先求出面积表达式，然后代入求值即可；（ii）由题意得，结合三角恒等变换即可求解. 【解析】（1），当与点重合时，，. （2）（i）在中，，. 当时，； （ii）在中，，. 当时，结合题意知： . ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$