专题7.1 复数的概念（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.1 复数的概念 【考点1：复数的定义及分类】 1 【考点2：复数相等】 2 【考点3：复数的模】 4 【考点4：复数的几何意义】 4 【考点1：复数的定义及分类】 【知识点：复数的定义及分类】 (1)复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： [方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　 1．（2025高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 6．（2025高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 7．（多选）（24-25高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 8．（多选）（2025高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【考点2：复数相等】 【知识点：复数相等】 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 1．（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·期末）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 4．（2025高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 5．（2025高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 6．（2025高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 7．（2025高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 8．（2025高一下·全国·课后作业）已知，，若，求实数的值． 【考点3：复数的模】 【知识点：复数的模】 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 1．（2025高三下·湖北·开学考试）（    ） A． B． C． D． 2．（河南省南阳市2024-2025学年高三下学期3月5日模拟检测数学试卷）已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 3．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川南充·二模）已知复数，则（   ） A．0 B． C．2 D． 5．（24-25高三上·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 6．（2025·河北·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【考点4：复数的几何意义】 【知识点：复数的几何意义】 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 1．（2025高三下·全国·专题练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 2．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（多选）（2025高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 5．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 8．（2025高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 复数的概念 【考点1：复数的定义及分类】 1 【考点2：复数相等】 4 【考点3：复数的模】 7 【考点4：复数的几何意义】 9 【考点1：复数的定义及分类】 【知识点：复数的定义及分类】 (1)复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： [方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　 1．（2025高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 【答案】答案见解析 【分析】根据复数的分类及复数运算分类即可. 【详解】，，是实数； ，，是虚数； 是纯虚数. 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得. 【详解】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 3．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 5．（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 6．（2025高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【分析】由复数的基本概念求解即可. 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 7．（多选）（24-25高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 8．（多选）（2025高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C. 【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误； 对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确； 对于C，的平方根为，C错误； 对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确. 故选：BD 【考点2：复数相等】 【知识点：复数相等】 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 1．（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏·期末）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案. 【详解】，故，所以. 故选：C. 3．（2025高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 4．（2025高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由复数相等的条件表示出，再结合二次函数和正弦函数的性质求出范围即可； 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 5．（2025高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合给定条件将用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为：. 6．（2025高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 7．（2025高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 8．（2025高一下·全国·课后作业）已知，，若，求实数的值． 【答案】或 【分析】先判断出，在对分类讨论，解得后需要代入集合验证是否满足. 【详解】因为，所以， 所以有或， 由，得解之得； 由，得解之得， 代入都满足和集合元素1互异， 综上可知，或． 【考点3：复数的模】 【知识点：复数的模】 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 1．（2025高三下·湖北·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件根据复数的模的公式求结论. 【详解】. 故选：D. 2．（河南省南阳市2024-2025学年高三下学期3月5日模拟检测数学试卷）已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 3．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】由，可知在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆环及内部， 故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 故选：B 4．（2025·四川南充·二模）已知复数，则（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】通过复数的运算求出，进而根据模长公式计算即可. 【详解】 因为， 所以，所以. 故选：C. 5．（24-25高三上·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 6．（2025·河北·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，得到，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 7．（2025高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【考点4：复数的几何意义】 【知识点：复数的几何意义】 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 1．（2025高三下·全国·专题练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，结合向量运算即可得解. 【详解】由向量对应的复数是，得，由向量对应的复数是，得， 因此，所以向量对应的复数是. 故答案为： 2．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】写出复数对应点的坐标即可得到答案. 【详解】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为， 所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 4．（多选）（2025高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 5．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义及向量运算可求解答案. 【详解】设复数，在复平面内对应的点为，则由题意, 因为，所以，即为正三角形，其高线长为； . 故选：C 7．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 8．（2025高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$