专题10 认识三角形（9大题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题10 认识三角形 目录 【题型一 辨别三角形的相关概念】 1 【题型二 三角形的分类】 2 【题型三 三角形的个数】 3 【题型四 构成三角形的条件】 4 【题型五 确定第三边的取值范围】 4 【题型六 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】 4 【题型七 由三角形的三边关系化简绝对值】 5 【题型八 三角形中角度的有关计算】 5 【题型九 三角形三边关系的应用】 6 【题型一 辨别三角形的相关概念】 例题：（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 2．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型二 三角形的分类】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23七年级下·广东清远·期末）在中，，，这个三角形是 三角形（按角分类） 【题型三 三角形的个数】 例题：（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【题型四 构成三角形的条件】 例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）以下列数据为三边长能构成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．7，8，9 D．7，2，4 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）有三条线段，，，能使这三条线段围成一个三角形的的值是（　　） A． B． C． D． 【题型五 确定第三边的取值范围】 例题：（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知某三角形的三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值有 个． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 【题型六 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【题型七 由三角形的三边关系化简绝对值】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三边长，化简． 【题型八 三角形中角度的有关计算】 例题：如图，直线，直线l与分别相交于两点，交于点C．已知，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 在中，是的角平分线，是中边上的高，求的度数． 【题型九 三角形三边关系的应用】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为了估计池塘两岸，的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（   ） A．3米 B．14米 C．5米 D．9米 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图是一个折叠凳子及其侧面示意图，点是，的中点，且，则折叠凳子的宽可能为（   ）      A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（   ） A． B． C．或 D． 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2025·贵州黔南·一模）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西延安·期末）在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若、分别是等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在的延长线上，，平分，平分，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·江西赣州·期中）等腰三角形的一边长是6，另一边长是10，则该等腰三角形的周长是 ． 10．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，交于点．是的角平分线吗？请说明理由． 14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边．且，． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边为奇数，判断的形状． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，分别是的高和角平分线，且，，求和的度数．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 认识三角形 目录 【题型一 辨别三角形的相关概念】 1 【题型二 三角形的分类】 2 【题型三 三角形的个数】 4 【题型四 构成三角形的条件】 6 【题型五 确定第三边的取值范围】 7 【题型六 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】 8 【题型七 由三角形的三边关系化简绝对值】 10 【题型八 三角形中角度的有关计算】 11 【题型九 三角形三边关系的应用】 13 【题型一 辨别三角形的相关概念】 例题：（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 2．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【题型二 三角形的分类】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以是直角三角形． 因为是边上的高， 所以， 所以都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 2．（22-23七年级下·广东清远·期末）在中，，，这个三角形是 三角形（按角分类） 【答案】锐角 【分析】本题考查三角形的分类，有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴这个三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【题型三 三角形的个数】 例题：（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【题型四 构成三角形的条件】 例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）以下列数据为三边长能构成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．7，8，9 D．7，2，4 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A 不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）有三条线段，，，能使这三条线段围成一个三角形的的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，解题的关键是掌握构成三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：，然后可得答案． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， ∴， 故选：C． 【题型五 确定第三边的取值范围】 例题：（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 【答案】9 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：， 即， 因此整数的最大值是9． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知某三角形的三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值有 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系得到． 三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形三边长分别为4，x，11， ∴， ∴， ∵x为正整数， ∴x的值是8、9、10、11、12、13、14， ∴满足条件的x值的个数是7个． 故答案为：7． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 【答案】 5 等腰 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：一个三角形的三边长为2，5，a， 则，即， 若此三角形的周长为偶数，则， 此时三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：，5，等腰． 【题型六 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵ ∴不满足三角形的三边关系，不能围成三角形； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵，满足三角形的三边关系 ∴此时它的周长是． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， ∴此时能构成三角形， ∴另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：， ，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为3，等腰三角形的三边长为：， ，不能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的周长是15． 故选：C． 【题型七 由三角形的三边关系化简绝对值】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】13或11 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当3为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为3， ，能组成三角形． 此时三角形的周长为； 综上可知，此三角形的周长为13或11． 故答案为：13或11． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系解答即可． 本题考查了绝对值的化简，三角形三边关系应用，整式的加减，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：，b，c，是三角形的三边长， ，． 原式 ． 【题型八 三角形中角度的有关计算】 例题：如图，直线，直线l与分别相交于两点，交于点C．已知，求的度数． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数． 【详解】解：∵a∥b    47° ∵AC⊥AB        90° ∠2+∠ABC=180° ∴∠2=43°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余，求得，进一步计算求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 在中，是的角平分线，是中边上的高，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，由可求出，再由三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型九 三角形三边关系的应用】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为了估计池塘两岸，的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（   ） A．3米 B．14米 C．5米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记基本性质并灵活判断是解题关键．根据三角形的三边关系即可判断结果． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即：， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图是一个折叠凳子及其侧面示意图，点是，的中点，且，则折叠凳子的宽可能为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的含义，三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 先求解，结合，即，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点是，的中点，且， ∴， ∵， ， ∴A符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选C． 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．只要判断最短的两边之和大于第三边，即可作出判断． 【详解】解：A．∵，∴这三条线段能组成三角形，故A不符合题意； B．∵，∴这三条线段能组成三角形，故B不符合题意； C．∵，∴这三条线段能组成三角形，故C不符合题意； D．∵，∴这三条线段不能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 4．（2025·贵州黔南·一模）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， 在中，， ∴， 故选：C ． 5．（24-25八年级上·陕西延安·期末）在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形的可能取值即可解答． 【详解】解：∵在中，若， ，即， ∴， ∵的长度为整数， ∴的长度可以为3、4、5， ∴的周长可能是9、10、11． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若、分别是等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法．注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．先根据非负数的性质列出方程组，再根据等腰三角形的定义解答．由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：， ，． 分两种情况： （1）当1为底边长时，腰长为2， ， ，，能组成三角形，此时三角形的周长为； （2）当2为底边长时，腰长为1， ， ，，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为5． 故答案为：5． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在的延长线上，，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质；由角平分线的定义得，，由三角形的外角性质得，，即可求解；掌握三角形外角的性质，能角平分线进行有关计算是解题的关键． 【详解】解：平分， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江西赣州·期中）等腰三角形的一边长是6，另一边长是10，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】22或26/26或22 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为10，此时该等腰三角形的周长是； 综上所述，该等腰三角形的周长是22或26． 故答案为：22或26 10．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质．由直角三角形的两个锐角互余求出，再根据平角的定义求出，最后根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为或 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为， ∴， ∴， ∵x为偶数， ∴或， 当时，这个三角形的周长是：； 当时，这个三角形的周长是：； 综上，这个三角形的周长为或． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，交于点．是的角平分线吗？请说明理由． 【答案】是的角平分线，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义可知，再根据“两直线平行，内错角相等”可知，易得，即可证明结论． 【详解】解：是的角平分线，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边．且，． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系（确定第三边的取值范围），等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）由三角形三边之间的关系可得，于是得解； （2）由“第三边为奇数”且可得，进而可得，于是可得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边之间的关系可得：， 即：， ， 第三边的取值范围为； （2）解：第三边为奇数，且， ， ， 是等腰三角形． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，分别是的高和角平分线，且，，求和的度数．    【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的平分线和高，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键．先利用三角形内角和定理，求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是的高，结合三角形内角和定理，求出，再结合即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$