专题09 概率的初步全章复习（二大考点8种题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题09 概率的初步全章复习 目录 【题型一 事件的分类】 2 【题型二 求某事件的频率】 3 【题型三 由频率估计概率】 4 【题型四 列举法求概率】 6 【题型五 列表法或树状图求概率】 7 【题型六 已知概率求数量】 9 【题型七 几何概率】 10 【题型八 （不）放回问题求概率】 12 【题型一 事件的分类】 例题：（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列事件为必然事件的是（   ） A．明天是晴天 B．一个三角形三个内角和小于 C．两个正数的和为正数 D．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的概念，解题的关键是理解必然事件是在一定条件下必然会发生的事件． 依次分析每个选项，判断其是否符合必然事件的定义． 【详解】A、明天的天气是不确定的，明天可能是晴天，也可能是其他天气，故“明天是晴天”是随机事件； B、根据三角形内角和定理，三角形的内角和是，故“一个三角形三个内角和小于”是不可能事件； C、两个正数相加，结果一定是正数，这是必然会发生的，故“两个正数的和为正数”是必然事件； D、任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是不确定的，可能是50次，也可能不是50次，故“任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次”是随机事件． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件属于随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．煮熟的鸭子飞了 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； 、购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意； 、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列成语所描述的事件中，表示不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．探囊取物 D．百步穿杨 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．守株待兔是随机事件，故此选项不符合题意； B．缘木求鱼是不可能事件，故此选项符合题意； C．探囊取物是必然事件，故此选项不符合题意； D．百步穿杨是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型二 求某事件的频率】 例题：（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 【答案】D 【分析】根据频率的定义即可解答． 【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次， 则数字0和2的频率相同，均为， 数字3和4的频率相同，均为． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键． 【题型三 由频率估计概率】 例题：（24-25九年级上·江西赣州·期末）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数 100 200 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.85 0.9 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 【答案】A 【分析】本题考查用频数估计概率，熟练掌握利用频数估计概率是解题的关键．根据频数估计概率可直接进行求解． 【详解】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.92附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.92． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某射击选手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，则该射击选手击中靶心的概率的估计值为 （结果精确到）． 【答案】 【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 【详解】解：依题意得击中靶心频率逐渐稳定在附近， ∵精确到， ∴估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为． 故答案为：． 【题型四 列举法求概率】 例题：（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率的计算，一枚质地均匀的硬币，抛掷后共有种可能性：正面朝上、反面朝上，所以每次抛掷后正面朝上的概率均为． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上， 第次抛掷，正面朝上的概率是． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，那么，小球最终到达F点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率，先列举出所有等可能得情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，共有，，，4种等可能的情况， 其中小球最终到达F点的情况有，，共2种， ∴小球最终到达F点的概率为． 故选：A． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 【题型五 列表法或树状图求概率】 例题：（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况， ∴两次都摸到黑球的概率是． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）为传承红色基因，学习红色精神，某班组织甲、乙、丙三个学习小组参观红色教育基地，三个小组分别从确山竹沟革命纪念馆，桐柏精神红色教育基地选择一个参观，用画树状图或列表的方法求三个小组参观同一个红色教育基地的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到三个小组参观同一个红色教育基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将参观确山竹沟革命纪念馆、桐柏精神红色教育基地分别记为A、B， 画树状图为： 由树状图可知共有8种等可能的结果，三个小组参观同一个教育基地的结果有2种， ∴三个小组参观同一个红色教育基地的概率为． 2．（24-25九年级下·江西吉安·开学考试）2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． (1)小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”） (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查事件的分类，列表法求出概率： （1）根据事件的分类作答即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是随机事件； 故答案为：随机； （2）用分别表示四部电影，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种， ∴． 【题型六 已知概率求数量】 例题：（24-25九年级上·福建泉州·期末）在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（   ） A．9个 B．19个 C．25个 D．38个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，已知概率求数量．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．已知概率后，再根据概率公式即可计算数量． 【详解】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在左右， ∴每摸一次，摸到蓝色球的概率为， ∴口袋中蓝色球个数最接近：（个）， 故选B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知在一个不透明的袋子里面有4个红球和个白球，每个球除颜色外均相同．现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知概率求数量，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：依题意，， 解得：，经检验是原方程的解， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球黄球共10个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数可能是 个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， 故答案是：3． 【题型七 几何概率】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．如图，已知面积为的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在黑色部分的频率即可得出答案． 【详解】解∶黑色部分的面积约为， 故答案为∶． 2．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可； 【详解】解：设每个小正方形格子的长度都是1， ∴ 黑色区域的面积，游戏板的面积， 所以击中黑色区域的概率为， 故答案为：． 【题型八 （不）放回问题求概率】 例题：（24-25九年级上·山东青岛·期末）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于40元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． （2）解：将这三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有：，，，，，，共6种， 小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东济南·期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据共有3种等可能情况即可求解； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数恰好是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为3、4、5， ∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为； （2）解：列表如下： 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 53 54 共有6种等可能的结果，其中这个两位数恰好是奇数的结果有：35，43，45，53，共4种， 故这个两位数恰好是奇数的概率为． 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）谢老师在完成《光和眼睛》的教学内容后，带领学生到操场上做有趣的光学实验．实验之前，谢老师准备了，，，，五张卡片，卡片上对应写有平面镜，凹面镜，凸面镜，凹透镜，凸透镜．同学们通过抽取卡片的形式选取自己对应的实验仪器． (1)夏天同学随机抽取一张，则抽中的仪器可以直接当作放大镜使用的概率是_____； (2)班长和物理课代表同时从老师手中抽取一张卡片，请用列表法或画树状图的方法求他们所得到的光学仪器对光都有汇聚作用的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合要求的的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：五张卡片中，可以直接当作放大镜使用的为凸透镜， ∴所求概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图为： 根据树状图可知共有种等可能结果，，其中所得到的光学仪器对光有汇聚作用（凹面镜和凸透镜）的有种， ∴概率为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键． 根据利用频率估计概率可知红球出现的概率为0.25，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：∵经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在左右，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的占比稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：C． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）下列事件属于必然事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．若，则直线一定经过第一象限 D．经过十字路口，刚好是绿灯 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故A不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件，故B不符合题意； C、若，则直线一定经过第一象限，是必然事件，故C符合题意； D、经过十字路口，刚好是绿灯，是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”分别记为A，B，C，D， 列表如图： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数为4种，小明和小颖恰好选到同一个志愿服务项目的概率是， 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种， ∴恰好有两人左拐的概率为， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． 【答案】随机 【分析】此题主要考查了随机事件的概念，解决本题需要正确理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可解决． 【详解】解：“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是随机事件． 故答案为：随机． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表，当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 ．（精确到） 摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500 白球频率 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，根据摸球次数足够多时摸到白球的频率就是概率解题即可． 【详解】解： 摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·云南昭通·期末）为考察一种盆栽幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种盆栽幼苗的成活率是 ．（结果用百分数表示） 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解：根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活率是； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，黑色方砖的面积为5，因此黑色方砖占整体的， 所以小球最终停留在黑色方砖上的概率是， 故答案为：． 10．（2025·河南郑州·一模）一个不透明的盒子里装有如图所示的4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），则抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， 抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明与小颖玩一个投镖游戏，投镖所用的靶子如下图所示．规定小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1分，投中白色区域不得分；小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2分，投中白色区域不得分．如果两人投镖均是随意的，那么谁获胜的概率大？请说明理由． 【答案】两人获胜的概率一样大．理由见解析 【分析】根据题意分别得出两人得分的概率，进而比较得出即可．此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式求出是解题关键． 【详解】解：两人获胜的概率一样大．理由如下： ∵小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1分，投中白色区域不得分， ∴． ∵小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2分，投中白色区域不得分， ∴， ∵， ∴两人获胜的概率一样大． 12．（24-25九年级上·河南许昌·期末）某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ (2)小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法求概率，理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是． （2）画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是B和C的结果有2种，     ∴抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率为，即． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）某水果公司以2元的成本购进柑橘，在销售过程中销售人员随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如下图所示的统计图． (1)估计柑橘损坏的概率为_______，柑橘完好的概率为_______； (2)估计这批柑橘完好的质量为_______； (3)如果该公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在销售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)； (2)9000 (3)每千克柑橘定价为5元比较合适 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键． （1）从图表可以估计柑橘损坏的概率估计值为，即可得出柑橘完好的概率估计值； （2）根据题意，这批柑橘完好的质量所有水果的质量柑橘完好的概率； （2）通过理解题意可知本题的等量关系，即没有损坏的水果的售价所有水果的成本元，即可列方程解决． 【详解】（1）解：根据所给的图形可得柑橘损坏的概率估计值为， ∴柑橘完好的概率估计值为， 故答案为：，； （2）解：估计柑橘完好的质量为（千克）， 故答案为：； （3）解：设每千克柑橘定价元， ， 解得， 答：每千克柑橘定价元比较合适． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）．    （1）一定能摸到的是 ； （2）能摸到且摸到的可能性较大的是 ； （3）能摸到但摸到的可能性较小的是 ； （4）不可能摸到的是 ． 【答案】 ⑤ ④ ② ① 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）可能性等于所求情况数与总情况数之比，概率为1即为一定能摸到； （2）可能性等于所求情况数与总情况数之比，红球数目较大的，摸到的可能性较大，即可求解 （3）可能性等于所求情况数与总情况数之比，红球数目较小的，摸到的可能性较小，即可求解 （4）可能性等于所求情况数与总情况数之比，概率为0即为一定不能摸到，即可得解； 【详解】（1）⑤中20个球中，全部为红球，摸到红球的概率为，是必然事件，故一定能摸到 故答案为：⑤ （2）④中红球数较多，20个球中有18个红球，能摸到且摸到的可能性较大，概率为 故答案为：④ （3）②中红球数较少，20个球中有2个红球，能摸到且摸到的可能性较小，概率为， 故答案为：② （4）①中20个球中，没有红球，不可能摸到红球，是不可能事件； 故答案为：① 15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为助力长沙争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传，每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查一共有多少人． (2)扇形统计图中，“D”志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为 (3)本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)50人 (2)108° (3) 【分析】（1）根据的人数和所占的百分比求出总人数即可； （2）求出所占是百分比，然后乘以即可； （3）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查的学生共有：（人）， 答：本次调查一共有50人． （2）解：“．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为：， 故答案为：； （3）解：根据题意画树形图： 共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况， 则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，列表法与树状图法以及统计图，解题关键是条形统计图与扇形信息关联，利用列表法或树状图法得出所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率的初步全章复习 目录 【题型一 事件的分类】 2 【题型二 求某事件的频率】 2 【题型三 由频率估计概率】 2 【题型四 列举法求概率】 3 【题型五 列表法或树状图求概率】 4 【题型六 已知概率求数量】 5 【题型七 几何概率】 5 【题型八 （不）放回问题求概率】 6 【题型一 事件的分类】 例题：（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列事件为必然事件的是（   ） A．明天是晴天 B．一个三角形三个内角和小于 C．两个正数的和为正数 D．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件属于随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．煮熟的鸭子飞了 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列成语所描述的事件中，表示不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．探囊取物 D．百步穿杨 【题型二 求某事件的频率】 例题：（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 【题型三 由频率估计概率】 例题：（24-25九年级上·江西赣州·期末）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数 100 200 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.85 0.9 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某射击选手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，则该射击选手击中靶心的概率的估计值为 （结果精确到）． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【题型四 列举法求概率】 例题：（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，那么，小球最终到达F点的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ．    【题型五 列表法或树状图求概率】 例题：（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）为传承红色基因，学习红色精神，某班组织甲、乙、丙三个学习小组参观红色教育基地，三个小组分别从确山竹沟革命纪念馆，桐柏精神红色教育基地选择一个参观，用画树状图或列表的方法求三个小组参观同一个红色教育基地的概率． 2．（24-25九年级下·江西吉安·开学考试）2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． (1)小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”） (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 【题型六 已知概率求数量】 例题：（24-25九年级上·福建泉州·期末）在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（   ） A．9个 B．19个 C．25个 D．38个 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知在一个不透明的袋子里面有4个红球和个白球，每个球除颜色外均相同．现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则 ． 2．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球黄球共10个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数可能是 个． 【题型七 几何概率】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．如图，已知面积为的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为 ． 2．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【题型八 （不）放回问题求概率】 例题：（24-25九年级上·山东青岛·期末）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东济南·期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）谢老师在完成《光和眼睛》的教学内容后，带领学生到操场上做有趣的光学实验．实验之前，谢老师准备了，，，，五张卡片，卡片上对应写有平面镜，凹面镜，凸面镜，凹透镜，凸透镜．同学们通过抽取卡片的形式选取自己对应的实验仪器． (1)夏天同学随机抽取一张，则抽中的仪器可以直接当作放大镜使用的概率是_____； (2)班长和物理课代表同时从老师手中抽取一张卡片，请用列表法或画树状图的方法求他们所得到的光学仪器对光都有汇聚作用的概率． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025七年级下·全国·专题练习）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）下列事件属于必然事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．若，则直线一定经过第一象限 D．经过十字路口，刚好是绿灯 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表，当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 ．（精确到） 摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500 白球频率 8．（24-25九年级上·云南昭通·期末）为考察一种盆栽幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种盆栽幼苗的成活率是 ．（结果用百分数表示） 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ． 10．（2025·河南郑州·一模）一个不透明的盒子里装有如图所示的4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），则抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明与小颖玩一个投镖游戏，投镖所用的靶子如下图所示．规定小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1分，投中白色区域不得分；小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2分，投中白色区域不得分．如果两人投镖均是随意的，那么谁获胜的概率大？请说明理由． 12．（24-25九年级上·河南许昌·期末）某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ (2)小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）某水果公司以2元的成本购进柑橘，在销售过程中销售人员随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如下图所示的统计图． (1)估计柑橘损坏的概率为_______，柑橘完好的概率为_______； (2)估计这批柑橘完好的质量为_______； (3)如果该公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在销售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘定价为多少元比较合适？ 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）．    （1）一定能摸到的是 ； （2）能摸到且摸到的可能性较大的是 ； （3）能摸到但摸到的可能性较小的是 ； （4）不可能摸到的是 ． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为助力长沙争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传，每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查一共有多少人． (2)扇形统计图中，“D”志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为 (3)本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$